f  x , y       x y      x n n k k       BỘ G IÁ O DỤC VÀ ð À O T Ạ O T R ƯỜ N G ð ẠI HỌ C Q UY N HƠ N ð Ề C HÍNH T H ỨC ð Ề TH I T UY Ể N SIN H CA O HỌ C NĂ M 2011 N G ÀN H : TO ÁN HỌ C Môn thi: GIẢI T Í C H Th ời gi an l àm bài : 180 phút, k hông kể t h ời gi an p hát ñề . Câu 1. C h ứ ng mi nh r ằ ng h àm số f : 2  x ác ñị nh b ởi   x 2  y 2  s i n   1 x 2  y 2 khi  x , y    0, 0    0 khi  x , y    0, 0    liê n t ụ c , c ó các ñạ o hàm r iê ng f ' , f ' g iá n ño ạ n nh ư ng f kh ả vi tại  0, 0  . Câu 2. a) C ho dã y số  a n  và hàm số f :  0,1   xác ñị nh b ởi f  0   0 và f  x   a n n ế u x    1 , 1    v ới mọ i n  1. Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u  a  b ị ch ặ n thì f kh ả tích trên  0,1  ; và  n  1 n  n    n ế u a n  n v ớ i mọi n thì f không kh ả tích trên  0,1  ; . 1 b) Xét tính kh ả tích Lebesgue của f và tính  L   f d  (n ế u có) v ớ i 0  8 x 2011   , x    0 ; 1   f  x    x 2  x l n x , x   \ , x   \    0 ; 1 / 2      1 / 2 ; 1   Câu 3. a) X ét không g ia n ñị nh c hu ẩ n c các d ã y số hộ i t ụ v ới c hu ẩ n c ho b ởi x  sup n x n v ới m ọ i x   x n   c . C h ứ ng mi nh r ằ ng tậ p h ợ p c 0 không ñ â u t rù mật t rong c . các d ã y số hộ i t ụ v ề 0 là không g ia n c on ñóng v à b) C ho X là không g ia n mê - t r ic ñầ y ñủ v à  f n : X   là các d ã y h àm liê n t ụ c s a o c ho v ới n   m ọ i x  X t ồn tại lim f n  x  . C h ứ ng mi nh r ằ ng t ồn tại tậ p V  X n   mở , kh ác rỗng v à t ồn tại M  0 s a o c ho f n  x   M v ới m ọ i x  V v à m ọ i n  . Câu 4. C ho X là không g ia n Ba n ac h t r ê n t r ườ ng số . X ét d ã y x * n n  0  X * v à không g ia n v ectơ l 1  X    x   x n   X :  n  0 x n     1) C h ứ ng mi nh r ằ ng l 1  X  là không g ia n Ba n ac h v ới c hu ẩ n x 0     n  0 n . 2) a ) G iả s ử d ã y  x *  b ị c h ặ n. V ới m ỗ i n  0 ñặt A, A n : l 1  X   c ho b ởi Ax   x *  x  ; A x   x *  x    x   x    l  X    k k n  k k k k  0 1 k  0 0  k  n Ch ứ ng m i nh r ằ ng A , A n x ác ñị nh các á nh x ạ t uy ế n tí nh liê n t ụ c . Tí nh các c hu ẩ n A , A n . Ch ứ ng m i nh r ằ ng  A n   b ị c h ặ n v à hộ i t ụ t h e o ñ iể m v ề A . b) G iả s ử á nh x ạ A c ho t rong câ u a ) ho à n t o à n x ác ñị nh. Ch ứ ng m i nh r ằ ng d ã y  x *  b ị c h ặ n. 3) Cho d ã y  a n   . S ử dụng câ u 2) c h ứ ng m i nh r ằ ng các ñ iề u k iệ n s a u là tươ ng ñươ ng : a ) n a x k 1  l v ới mỗ i x  l ;    b)  a n   l  .  n 1 n  0 HẾT T h í s i nh không ñ ược sử dụng t ài liệ u. Cán bộ coi th i không gi ả i th íc h g ì th ê m. . N HƠ N ð Ề C HÍNH T H ỨC ð Ề TH I T UY Ể N SIN H CA O HỌ C NĂ M 2011 N G ÀN H : TO ÁN HỌ C Môn thi: GIẢI T Í C H Th ời gi an l àm bài : 180 phút, k hông kể t h ời. tích Lebesgue của f và tính  L   f d  (n ế u có) v ớ i 0  8 x 2011   , x    0 ; 1   f  x    x 2  x l n x , x   ,