Bïi ThÞ Thu HiỊn VỊ mét sè néi dung cđa hình học ơclit n chiều chơng trình toán trung học phổ thông Khoá luận tốt nghiệp: Đại học S phạm Toán Mục lục Trang Lời nói đầu Chơng1 PHẳNG, ĐƠN HìNH, HộP, KHOảNG CáCH 1.1 Phẳng 1.1.1 Một số khái niệm mở đầu 1.1.2 Định nghĩa phẳng 1.1.3 Vị trí tơng đối phẳng 1.1.4 Định nghĩa trực giao phẳng 1.1.5 Phơng trình tham số m- phẳng 12 1.1.6 Phơng trình tổng quát m- phẳng 13 1.2 Khoảng cách 13 1.2.1 Định thức Gram 13 1.2.2 Khoảng cách điểm 14 1.2 Khoảng cách từ điểm đến m- phẳng 15 1.2.4 Khoảng cách hai phẳng 19 1.2.5 Khoảng cách từ điểm đến siêu phẳng 24 1.3 Hộp 26 1.3.1 T©m tØ cù 26 1.3.2 TËp låi 27 1.3.3 Hép 28 1.4 Đơn hình 29 Chơng số phép biến hình 32 2.1 ánh xạ afin 32 2.1.1 định nghĩa 32 2.1.2 Tính chất 33 2.1.3 Các định lí 34 2.1.4 Biểu thức toạ độ 34 2.1.2 PhÐp chiÕu song song A n , E n 35 2.2 Biến đổi afin 37 2.2.1 định nghĩa 37 2.2.2 Các định lí 37 2.2.3 Phép tÞnh tiÕn 38 2.2.4 PhÐp vÞ tù 38 2.2.5 PhÐp thấu xạ afin 39 2.2.6 Phép thấu xạ trợt afin 40 2.2.7 Biến đổi đối hợp 40 ánh xạ đẳng cự 40 2.3.1 Các định nghĩa 40 2.3.2 Phép đối xứng qua m- phẳng 41 2.3.3 Phép quay quanh n- phẳng 42 3.4 Dạng tắc biến đổi đẳng cự 43 2.4 ánh xạ đồng dạng 45 2.4.1 định nghĩa 45 2.4.2 Các định lí 45 2.4.3 Dạng tắc biến đổi đồng dạng 46 Chơng Một số tập 48 Lời nói đầu Chơng trình hình học cao cấp trờng Đại học S phạm năm gần chủ yếu gồm ba loại không gian hình học n chiều: Không gian afin, không gian Ơclit không gian xạ ảnh Do tính chất trừu tợng tổng quát không gian nên việc học tập sinh viên có nhiều khó khăn bắt đầu Việc để hiểu vận dụng đợc kiến thức đợc trang bị trờng Đại học vào công tác giảng dạy sau trờng yêu cầu nhiệm vụ ngời sinh viên ngồi ghế trờng Đại học Đây yêu cầu có tính nguyên tắc việc học đôi với hành mà sinh viên làm đợc làm tốt Ngoài việc đợc học kiến thức giáo viên cung cấp, thân sinh viên cần phải tự tìm hiểu, tự nghiên cứu để thấy đợc mối liên hệ kiến thức bậc học Đại học kiến thức đợc giảng dạy sau bậc phổ thông Đề tài Về số nội dung hình học Ơclit n chiều chơng trình Toán THPT giúp phần nhỏ việc giải khó khăn tìm mối liên hệ kiến thức bậc học Đại học kiến thức đợc giảng dạy sau bậc phổ thông Ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, nội dung đề tài bao gồm chơng: Chơng Phẳng, đơn hình, hộp, khoảng cách Chơng Một số phép biến hình Chơng Một số tập Chơng chơng trình bày nội dung lí thuyết hình học Ơclit n chiều đặc biệt chơng trình Toán THPT chơng 3, tập áp dụng không gian Ơclit n chiều kết phổ thông Lần đợc làm quen với việc nghiên cứu khoa học, kinh nghiệm thân cha có nên nội dung đề tài thiếu sót, mong nhận đợc đóng góp thầy cô giáo, bạn bè để đề tài đựơc hoàn chỉnh Chơng1 PHẳNG, ĐƠN HìNH, HộP, KHOảNG CáCH 1.1 Phẳng 1.1.1 Một số khái niệm mở đầu Định nghĩa (Không gian afin) Cho không gian vectơ trờng K , tập A mà phần tử đợc gọi điểm ánh xạ: : A ì A V , ký hiÖu φ(M, N) = MN , M, N∈ A Bộ ba ( A , , V ) đợc gọi không gian afin trờng K hai tiên đề sau đợc thoả mÃn: (i) Với M A với vectơ u V có nhÊt ®iĨm N∈ A cho MN = u (ii) Víi mäi bé ba ®iĨm M, N, P ∈ A ta cã MN + NP = MP Kh«ng gian afin ( A , , V ) gọi không gian afin A liên kết với không gian vectơ V trờng K A K - không gian afin Không gian vectơ V liên kết với không gian afin A thờng kí hiệu A Không gian afin A đợc gọi n chiều viết A n dim A = n Đặc biệt A tập hợp điểm, V tập hợp vectơ mặt phẳng không gian thông thờng, ta có mặt phẳng afin không gian afin thông thờng sử dụng trờng phổ thông Định nghĩa (Không gian vectơ Ơclit) Không gian vectơ đợc trang bị tích vô hớng đợc gọi không gian vectơ Ơclit Định nghĩa (Không gian Ơclit) Không gian Ơclit không gian afin liên kết với không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều Không gian Ơclit gọi n chiều không gian vectơ Ơclit liên kết với có chiều n Không gian Ơclit n chiều thờng kí hiệu En , không gian vectơ Ơclit liên kết với kí hiệu E n Đặc biệt với n = ta có không gian Ơclit E 2(mặt phẳng Ơclit) Với n = ta có không gian Ơclit E thông thờng ta đà nghiên cứu phổ thông Nhận xét: - Mỗi không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều với cấu trúc afin tắc không gian Ơclit, chẳng hạn nh R n - Các không gian afin thực n chiều trở thành không gian Ơclit n chiều cách trang bị tích vô hớng cho không gian vectơ liên kết với không gian afin đà cho Định nghĩa (Mục tiêu trực chuẩn, hệ toạ độ trực chuẩn) Mục tiêu afin (O; e1 , e2 , , en ) cđa kh«ng gian Ơclit n chiều E n đợc gọi mục tiêu trực chuẩn (hay hệ toạ độ Đềcác vuông góc) sở E n sở trực chuẩn, tức là: ei e j = ịj ={ e1 , e2 , , en } , ∀i, j = 1, n Toạ độ điểm mục tiêu trực chuẩn gọi toạ độ trực chuẩn - Đặc biệt: + n = 2: Xét hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy gồm trục Ox, Oy vuông góc với với vectơ đơn vị i , j lần lợt trục Ta cã : i = j = vµ i j = OM = x i + y j (Khi cặp số (x, y) toạ ®é cđa ®iĨm M ®èi víi mơc tiªu trùc chn (O; i , j ) + n = xÐt hệ toạ độ Đềcac vuông góc Oxyz mà mục tiêu trùc chuÈn lµ (O; i , j , k ) cã: i = j = k = i j = 0, j k = 0, i k = 0, OM = x i + y j + z k Bé (x, y ,z) toạ độ điểm M mục tiêu (O; i , j , k ) 1.1.2 Định nghĩa phẳng Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A n , điểm I thuộc A không gian véctơ A Khi tập hợp: = {M A / IM } , đợc gọi phẳng (gọi tắt phẳng) qua I có phơng Nếu dim = m đợc gọi m- phẳng hay phẳng m chiều Đặc biệt: 0- phẳng điểm; 1- phẳng gọi đờng thẳng; 2- phẳng gọi mặt phẳng; n- phẳng không gian afin n chiỊu A n chÝnh lµ A n ; (n-1)- phẳng A n gọi siêu phẳng Đặc biệt mặt phẳng E 2, siêu phẳng đờng thẳng, không gian E siêu phẳng mặt phẳng 1.1.3 Vị trí tơng đối phẳng Định nghĩa Trong không gian afin A n cho p - phẳng q - phẳng (p q) lần lợt có phơng - Các phẳng gọi cắt chúng có điểm chung - Cái phẳng gọi song song với phẳng không gian - Các phẳng gọi chéo chúng không cắt không song song với - Giao đợc hiểu theo nghĩa lí thuyết tập hợp gọi giao hai phẳng - Tổng + giao tất phẳng chứa đợc gọi tổng hai phẳng (còn gọi phẳng tổng) Định lí Giao hai phẳng tập rỗng phẳng có phơng Hệ Nếu phẳng song song với phẳng chúng điểm chung nằm Hệ Qua điểm I đà cho, cã mét m- ph¼ng nhÊt song song víi mphẳng cho trớc Đặc biệt: + Trong chơng trình hình học trờng phổ thông hai đờng thẳng (mặt phẳng) trùng xem song song với (theo định nghĩa trên) Tuy nhiên có đờng thẳng song song với mặt phẳng nhng mặt phẳng song song với đờng thẳng + Qua điểm đà cho có đờng thẳng (mặt phẳng) song song với đờng thẳng (mặt phẳng) cho trớc 1.1.4 Định nghĩa trực giao phẳng Định nghĩa Cho W1,W2 không gian không gian vectơ Ơclit V (i) W1 đợc gọi trùc giao víi W2 ( kÝ hiƯu W1⊥ W2) ⇔ víi mäi x ∈ W1 , víi mäi y ∈ W2 : x y = ( x ⊥ y ) (ii) W1 gäi lµ bï trùc giao víi W2 ⇔ W1 ⊥ W2 vµ W1 ⊕ W2 = V Đặc biệt không gian Ơclit E n cho phẳng có phơng phẳng có phơng - Hai phẳng đợc gọi trực giao với không gian vectơ trực giao - Phẳng gọi bù trực giao với phẳng β ⇔ α bï trùc giao víi β Khi n = 2: + Trong E hai đờng thẳng vuông góc trực giao với bï trùc giao víi Khi n =3 + Trong E (hệ toạ độ Oxyz): Hai mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng trực giao với Nhng đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng bù trực giao với Nh chơng trình Toán THPT trực giao phẳng E 2, E quan hệ vuông góc đờng thẳng với đờng thẳng, đờng thẳng với mặt phẳng không gian Định lí 2: Hai phẳng trực giao với có không điểm chung Hai phẳng bù trực giao với có điểm chung Đặc biệt - Trong E hai đờng thẳng bù trực giao với nên có mét ®iĨm chung nhÊt - Trong E 3: Nh− đà xét đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng bù trực giao từ ®ã chóng giao t¹i mét ®iĨm chung nhÊt Nhng đờng thẳng vuông góc với trực giao với nên chúng điểm chung, có điểm chung Định lÝ NÕu α trùc giao víi β vµ γ bù trực giao với hai phẳng song song Hệ Hai phẳng bù trực giao với phẳng thứ ba song song với có số chiều Hệ Qua mét ®iĨm ®· cho cã nhÊt mét ph¼ng bï trùc giao víi mét ph¼ng 10 P0 P1 Gr( P0 P , , P0 Pm ) = P0 P1 P0 P2 P0 P1 P0 Pm P0 Pm P0 P1 P0 Pm P0 P2 a a2 2 a = a2 a2 a2 a2 2 a a2 = ( )m 2 1 a P0 Pm ( ) am (m + 1) = 2m (a m )2 am m + (m + 1) = VËy V(S)= m! m m! 2m b, Gäi h khoảng cách từ Pm đến (m- 1)- phẳng m qua P0, , Pm-1 theo công thức tính khoảng cách ta có h2 = d2(Pm, m) = Gr ( P0 P1, , P0 Pm−1 , P0 Pm ) Gr ( P0 P1, , P0 Pm−1 )  m m +1  a  2m  m +1 Tơng tự nh câu a) ta có h2 = d2(Pm, αm) = Suy h = a 2m  m−1 m  a  2m−1 Vì vai trò bình đẳng đỉnh đơn hình nên h khoảng cách từ đỉnh đến (m- 1)- mặt đối diÖn c, Ta cã P0G = ( P0 P1 + + P0 Pm ) nªn m +1 53   d2(P0, G) = P0G =   ( P0 P1 + + P0 Pm ) =  m +1 2   m (∑ P0 P i + 2∑ P0 Pi PPj ) =   m +  i =1 i≠ j a2 a 2 2 (ma + Cm a ) = (m + Cm ) Suy d(P0, G) = m + Cm = 2 (m + 1) (m + 1) m +1 Vì vai trò bình đẳng đỉnh S nên khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm là: a m + Cm m +1 d, ChØ cÇn chøng minh víi i = vai trò bình đẳng đỉnh S Xét vectơ phơng đờng thẳng P0G0 vectơ PPj nằm phơng (m- 1)i ph¼ng α0 Ta cã P0G = P0G0 PPj = i ( P0 P1 + + P0 Pm ) , PPj = P0 Pj − P0 Pi nªn suy ra: i m ( P0 P1 + + P0 Pm ) ( P0 Pj − P0 Pi ) = m 1 a2 a2   (a + (m + 1) ) − (a + (m + 1) )  = VËy P0G0 PPj = Vì với vectơ i 2 m v tổ hợp tuyến tính vectơ PPj (i, j= 1, 2, , m) nªn i P0G0 v = hay P0G0 ⊥ v Do ®ã P0G0 ⊥ α Đặc biệt: Khi m = 2, đơn hình S(P0, P1, P2) tam giác P0P1P2, diện tích tam giác V(H)= a2 a2 = 4 Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm G bán kính đờng tròn ngoại tiếp 54 tam giác P0P1P2 bán kính ®ã lµ d= h= a Đó kết ta đà biết trờng phổ thông Khi m = đơn hình S(P0, P1, P2, P3) tứ diện cạnh a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cạnh a là: R=d= a a + C32 = 4 A ThĨ tÝch cđa khèi tø diện a3 V(S)= a3 a3 = = 23 12 Độ dài ®−êng cao cđa tø diƯn ®Ịu lµ h= a D G +1 2a a =a = = 2.3 6 T−¬ng tù ta cịng có P0G0 vuông góc với mặt đối diện P1P2P3 Đó kết ta đà biết trờng phổ thông B i Trong E n cho m- đơn hình có đỉnh P0, , Pm thoả mÃn P0 P i ⊥ P0 Pj víi mäi i, j = 1, , m vµ i ≠ j ( ta gọi m- đơn hình nh m- đơn hình trực giao P0) Đặt = P0 Pi (i =1, , m) h khoảng cách từ P0 ®Õn (m- 1) - ph¼ng α ®i qua P1, , Pm (còn gọi h chiều cao cuả ứng víi ®Ønh P0 ) Chøng minh r»ng 1 = + + h a1 am Giải Gọi m_ phẳng xuất phát từ P0 có phơng = L(a1, , am ) không gian Ơclit m chiều, ta viết E m = Khi siêu phẳng cđa E m Trong E m lÊy mơc tiªu trùc chuÈn 55 (P0; e1 , em ) mµ ei = mục tiêu là: x1 a1 ai phơng trình siêu phẳng (Trong E m xm + + =1 am Khoảng cách d(P0, ) = h tính theo công thức khoảng cách từ điểm đến siêu phẳng là: h= 1 + + + 2 a1 a2 am Vì P0 có toạ độ (0, 0, , 0) ®ã: 1 = + + h a1 am Đặc biệt Với m = 2, ta có toán: Cho tam giác ABC vuông A, h độ dài đờng cao hạ từ ®Ønh A cđa tam gi¸c Khi ®ã ta cã: 1 = + (b= AC, c= AB) h b c Víi m = ta cã toán: Cho tứ diện OABC, OA, OB, OC đôi vuông góc H hình chiếu O mặt phẳng ABC đó: 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Đó kết ta đà biết trờng phỉ th«ng B i 6: Trong E n víi mơc tiªu trùc chuÈn (O; e1 , e2 en ) Gọi Pi điểm mà OPi = ei , i = 1, 2, , n TÝnh thÓ tích (n - 1)- đơn hình S(P1, P2, , Pn) Gi¶i PPi = OP i − OP = ei − a1 e1 = PP i PP j = ( ei − a1 e1 )( a j e j − a1 e1 ) = a1 1 1 (i ≠ j) vµ PPj = ai2 + a nªn ta cã: i j 56 V(S)= Gr ( PP , , PP n ) 1 (n − 1)! … a12 a12 + a3 … a12 = … … … … a2 + a2 a12 n a12 a12 + a2 a12 Dn- = Gr ( PP , PP3 , , PPn ) = 1 … a12 a12 = a12 … … … … a12 a12 + a3 … … a12 a12 a12 a12 a3 = … … 0 a12 a2 … a12 a12 a12 + a3 … a12 … … … … a12 a12 … a12 + an + … a12 + an … … … … = a12 a12 … 2 2 + a12 Dn - = a1 a3 an + a2 Dn − 2 an 2 2 TiÕp tôc trình ta đợc: Dn - = a1 a4 an + a3 Dn−3 ⇒ Dn - = 2 2 2 a12 a3 an + a12 a2 a4 an + a2 a3 Dn −3 n Cứ tiếp tục trình đó: Dn- = ∑ a a a a 2 i i +1 2 2 an ( kÝ P2 O P1 i =1 hiệu a i nghĩa không chøa ai2 tÝch) ⇒ V(S) = ( n − 1)! ∑ a12a22 ai2+1 an2 Khi n = 2, đơn hình S(P1, P2) đoạn thẳng P1P2 Khi thể tích đơn hình S(P1, P2) độ dài đoạn thẳng P1P2 độ dài là: a12 + a2 PP2 = = a12 + a2 1! Đó kết ta đà biết phổ thông 57 Khi n = 3, đơn hình S(P1, P2, P3) lµ tø diƯn OP1P2P3, OH = Ta cã: a1a2 P2 a12 + a2 2 2 a12 a2 a12 a2 + a12 a3 + a2 a3 = P3H =a + 2 a1 + a2 a12 + a2 2 S∆ PP2 P3 = P3 O P1 PP2 P3 H = = 2 2 2 a1 + a2 a12 a2 + a12 a3 + a2 a3 = 2 2 a12 a2 + a12 a3 + a2 a3 (3 1)! a12 + a2 Đó kết ta đà biết B i Trong không gian Ơclit E n đơn hình S( P0, P1, , Pm) gọi vuông đỉnh P0 Po Pi P0 P j = víi i ≠ j (i, j = 1, , m) Xét (m - 1)- đơn hình Si(P0 , , Pi , , Pm) vuông ®Ønh Pi (kÝ hiƯu Pi nghÜa lµ bá ®iĨm Pi tập hợp điểm P0, m V (S ) 2 P1, , Pm) Chøng minh r»ng V (S0)= i i =1 Gi¶i: Ta cã: S0( P1, P2, , Pm), Si(P0 , , Pi , , Pm) Chän mơc tiªu trùc chn (P0; e1 , e2 em ) th× P0 Pi = ei , i= 1, 2, , m Theo kết ta có:   V2(S0)=    (m − 1)!  m ∑ a a a a 2 i m i =1 58   V2(Si) =   Gr ( P0 P1 , , P0 Pi −1 , P0 Pi +1 , , P0 Pm )  (m − 1)!  Ta cã Gr ( P0 P1 , , P0 P−1 , P0 Pi +1 , , P0 Pm ) = i a12 0 = 0 a2 0 ai2−1 0 0 0   ⇒ ∑ V ( Si ) =   i =1  (m − 1)!  m 2 0 0 0 0 2 2 = a1 a2 −1ai +1 am ai2+1 0 am m ∑ a a a 2 2 i −1 i +1 a am = V2(S0) i =1 Trờng hợp với n = 2, đơn hình vuông tam giác vuông, ta có kết quả: Nếu tam giác ABC vuông A AB2+ AC2= BC2.(Đó định lí Pitago tam giác vuông mà ta đà học trờng phổ thông) Với n = 3, đơn hình vuông tứ diện OABC thoả mÃn: OA, OB, OC đôi vuông góc 2 2 S∆ABC = S∆OAB + S∆OBC + SOAC Đó kết ta đà biết tr−êng phỉ th«ng A B i Trong E thông thờng cho n- giác D Tìm tất phép dời hình phản dời hình E biến D thành D ( Tập phép đẳng cù cđa B O C E biÕn D thµnh D lập thành nhóm phép lấy tích ánh xạ Nhóm gọi nhóm n- giác d) Lời giải: 59 Gọi O tâm d vµ f: E → E lµ mét phép đẳng cự biến d thành d Vì O trọng tâm họ đỉnh d f phép afin (bảo toàn khái niệm trọng tâm) nên f(O) = O f(d) = d nên f biến đỉnh d thành đỉnh d Giả sử f phép dời hình, f(O) = O nên f phép quay tâm O Vì góc nhìn từ tâm O đến hai đỉnh có dạng ϕ = 2kπ (k = 1, 2,…, n) nªn f phép quay tâm O, n góc quay Nếu lấy k = n f phép đồng E Ngợc lại, phép quay nói giữ bất động d Suy có n phÐp dêi h×nh cđa E (gåm n phÐp quay) biến d thành d Giả sử f phép phản dời hình Vì f(O)= O nên f phép ®èi xøng qua trôc chøa O LÊy mét ®Ønh A d f(A) đỉnh B d Nếu A B trục đối xứng OA Nếu A B trục đối xứng trung trực AB (Trờng hợp n lẻ: đờng thẳng nối O với đỉnh trung trực cạnh đối diện Trờng hợp n chẵn: có n n đờng thẳng nối O với đỉnh trung trực cạnh) Ngợc lại 2 phép đối xứng nh đơng nhiên biến d thành d B i Trong E thông thờng cho n- diện d a với d tứ diện hÃy tìm tất phép dời hình phản dời hình E biến d thành d b Với d hình lập phơng hÃy tìm tất phép dời hình phản dời hình E biến d thành d c Hỏi có phép dời hình phép phản dời hình E biến d thành d hình mặt đều, hình 20 mặt đều, hình 12 mặt (Tập hợp phép đẳng cự E biến d thành d lập thành nhóm phép lấy tích ánh xạ Nhóm gọi nhóm n- diện d) Lời giải: 60 Gọi O tâm d O trọng tâm họ đỉnh d Giả sử f phép đẳng cự E biến d thành d f(O) = O, f phép biến đổi afin (bảo toàn khái niệm trọng tâm) Nếu f phép dời hình f(O) = O suy f lµ mét phÐp quay quanh trục qua O Nếu f phép phản dời hình f(O) = O suy f phép đối xứng qua mặt phẳng chứa O phép đối xứng quay mà trục quay mặt phẳng đối xứng qua O Vì f(d) = d nên f biến ®Ønh cđa d thµnh mét ®Ønh cđa d a Tr−êng hợp d tứ diện ta chứng minh đợc có 12 phép dời hình 12 phép phản dời hình biến d thành d, bao gồm 12 phép quay quanh ®−êng nèi O víi mét ®Ønh cđa d, phép đối xứng qua mặt phẳng chứa O cạnh d, phép đối xứng quay mà trục quay đờng thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện mặt phẳng đối xứng qua bốn trung điểm cạnh lại Thật vậy, f phép dời hình giữ bất động đỉnh A đỉnh d f phép quay trục OA Mặt phẳng qua đỉnh lại vuông góc với trục quay OA nên bất động Thu hẹp f phép quay gãc ϕ = kπ , k= 1, 2, 3 Do f phép quay trục OA, góc nói (khi k = f đồng nhất) Nếu f phép dời hình nhng không giữ bất động đỉnh f(A) ®Ønh B ≠ A, hai ®Ønh C, D cßn lại phải có f(C)= D Vì f phép quay nên mặt phẳng song song với AB, CD mặt phẳng bất động, trục quay qua O, vuông góc với mặt phẳng đờng vuông góc chung cuả AB, CD, qua trung điểm M, N AB, CD, góc quay (MA, MB) = Từ kết suy có 12 phép dời hình, phép quay trục, biến d thành d Bây giả sử f phép phản dời hình giữ bất động đỉnh A phép đối xứng qua mặt phẳng Khi tập ba đỉnh lại phải biến thành tập f có tính chất đối hợp nên ba đỉnh lại phải có ®iĨm bÊt ®éng 61 Suy f lµ phÐp ®èi xứng qua mặt phẳng chứa O cạnh d Nếu f không giữ bất động đỉnh d, ta giả sử bốn đỉnh d A, B, C, D vµ f(A)= B, f(C)= D Khi f phép đối xứng qua mặt phẳng AB CD chéo Vậy f phép đối xứng quay Vì trung điểm P AC phải biến thành trung điểm Q BD, hai điểm P, Q đối xứng qua O nên trục quay PQ, mặt phẳng đối xứng qua O, vuông góc với PQ Chiếu vuông góc A, B lên ta đợc A, B góc quay (OA,OB) Từ kết suy có 12 phép phản dời hình gồm phép đối xứng trục qua mặt phẳng phép đối xứng quay biến d thành d có dạng nh b Trờng hợp d hình lập phơng ta chứng minh đợc có 24 phép dời hình 24 phép phản dời hình biến d thành d, bao gåm phÐp ®ång nhÊt, phÐp quay quanh ®−êng chÐo, phép quay quanh đờng nối tâm hai mặt đối diƯn, phÐp ®èi xøng qua ®−êng nèi trung ®iĨm hai cạnh đối diện, phép đối xứng s qua tâm cđa d, phÐp ®èi xøng quay quanh ®−êng chÐo, phép đối xứng quay quanh đờng nối tâm hai mặt đối diện, phép đối xứng qua mặt trung bình, phép đối xứng qua mặt chéo Thật vậy, gọi cặp đỉnh đối diện d (A, A),(B, B), (C, C), (D, D) gọi tâm d O Kí hiệu G tập hợp phép đẳng cự E biến d thành d Trớc hết nhận xét 24 phép sau phép dời hình biến d thành d + Phép ®ång nhÊt + PhÐp quay quanh mét ®−êng chÐo víi gãc quay 2π 4π hc (gåm phÐp) 3 + Phép quay quanh đờng nối tâm mặt ®èi diƯn víi gãc quay hc 3π (gåm phÐp) 62 π , hc π , + PhÐp ®èi xøng qua ®−êng nèi trung ®iĨm cđa hai c¹nh ®èi diƯn (gåm phÐp) KÝ hiƯu tËp hỵp 24 phép G+ Bây ta tính số phần tư cđa G LÊy mét ®Ønh A cđa d Tập GA phần tử G giữ bất ®éng A cã phÇn tư, gåm phÐp ®ång nhÊt, hai phÐp quay trơc AA’ gãc 2π 4π vµ , ba phép đối xứng qua ba mặt chéo 3 chứa AA Cho đỉnh M d cã Ýt nhÊt mét phÐp cđa G (cã thĨ lÊy G+) biến A thành M Tập phần tử G biến A thành M đợc kí hiệu GM Lấy cố định phần tử f thuộc GM lập ánh xạ : GM GA theo quy t¾c ϕ (g)= g −1 f víi mäi g∈ GM (bëi v× g −1 f ∈ G, g f (A)= A) Dễ dàng chứng minh đợc song ánh Suy GM có phần tử Cho M thay đổi đỉnh D số phần tử G biến A thành M 48 Vì phần tử G ®Ịu biÕn A thµnh mét ®Ønh nµo ®ã cđa d nên số phần tử G 48 Gọi s phép đối xứng qua tâm O d f phép phản dời hình E biến d thành d Lập ánh xạ : G+ G theo quy tắc: h G+ ψ (h) = s h DƠ thÊy ψ lµ đơn ánh (vì với h1, h2 G+ mà s h1 = s h2 th× s −1 s h1 = s −1 s h2 , ®ã h1 = h2) Suy (G+) gồm 24 phần tử Vì s phản dời hình h G+ dời hình nên (h) = s h phép phản dời hình Vậy G+ (G+)= , G= G+ (G+) Từ định nghĩa G+ (G+) suy có 24 phép phản dời hình E biến d thành d, gồm phép đối xøng s (qua O), phÐp ®èi xøng quay quanh đờng chéo (góc quay , mặt phẳng đối xứng qua O vuông góc với trục quay), 3 phÐp ®ãi xøng quay quanh ®−êng nối tâm mặt đối diện (góc quay , mặt phẳng đối xứng qua O vuông góc với trục quay), phép đối xứng qua mặt trung bình, phép đối xứng qua mặt chéo 63 c Hình mặt đều, hình 12 mặt đều, hình 20 mặt hình có tâm đối xứng Có thể áp dụng phơng pháp giả nh câu b) Kết quả: Nếu d hình mặt có 24 phép dời hình 60 phép phản dời hình E biến d thành d Nếu d hình 20 mặt có 60 phép dời hình 60 phép phản dời hình E biến d thành d Nếu d hình 12 mặt có 45 phép dời hình 45 phép phản dời hình E biÕn d thµnh d B i 10 Trong E n chøng minh r»ng tÝch cđa hai phÐp vÞ vù h1, h2 lần lợt có tâm O1, O2 có tỉ số vị tự k1, k2 mà k1.k2 phép vị tự tâm O thẳng hàng với O1, O2 có tỉ số k = k1.k2 Lời giải: Tr−íc hÕt ta nhËn xÐt: Trong E n cho biÕn ®æi afin f: E n → E n, nÕu f phép vị tự tuyến tính E n với tỉ số k f phÐp vÞ tù cđa E n víi tØ sè k Ta cã h2 h1 = h2 h1 nªn víi mäi x ∈ E n th× h2 h1 ( x) = h2 (h1 ( x)) = h2 (k1 x) = k2 k1 ( x) Vì k1.k2 nên h2 h1 phép vị tự tuyến tính tỉ số k1.k2 Do theo nhận xét h2 h1 phép vị tự tỉ số k1.k2 tâm O Đặt O1= h2 h1 (O1 ) = h2 (O1 ) ta có O, O1, O1 thẳng hàng, O2, O1, O1 thẳng hàng Suy O, O1, O2 thẳng hàng Đặc biệt: n = tích hai phép vị tự khác tâm phép vị tự có tâm thẳng hàng với hai tâm hai phép vị tự đà cho (nếu k1.k2 1), đặc biệt phép tịnh tiến hay phép đồng (nếu k1.k2 =1) 64 KÕt luËn ch−¬ng Ch−¬ng bao gồm dạng tập để củng cố cho phần lí thuyết chơng Đó tập đà đợc chọn lọc thể đợc tính bao quát toàn nội dung lí thuyết đà đợc trình bày chơng trớc Sau tập tác giả đà đặc biệt hoá kết có đợc không gian n chiều để có kết chơng trình Toán Trung học phổ thông để ngời đọc có cách nhìn tổng quan khoa häc h×nh häc 65 KÕt luËn H×nh häc nãi chung hình học Ơclit n chiều nói riêng phận Toán học, có vai trò lín thùc tiƠn cc sèng cịng nh− khoa hoc kĩ thuật Hình học trờng Trung học phổ thông đợc nghiên cứu không gian Ơclit chiều, chiều trờng hợp riêng không gian Ơclit n chiều Trên sở tìm hiểu số nội dung hình học Ơclit n chiều chơng trình Toán Trung học phổ thông khoá luận đà trình bày 39 định nghĩa, 20 định lí, hệ quả, định lí khái niệm khác 10 tập Với khối lợng kiến thức nh khoá luận đà tập trung nghiên cứu vấn đề sau: - Nghiên cứu khái niệm phẳng, đơn hình, hộp, khoảng cách hình học Ơclit n chiều đặc biệt chơng trình Toán THPT - Nghiên cứu số phép biến hình không gian Ơclit n chiều đặc biệt phép biến hình chơng trình Toán THPT - Nghiên cứu số tập không gian tổng quát không gian chiều, chiều chơng trình Toán THPT Căn vào mục tiêu, nội dung nghiên cứu sử dụng hợp lí phơng pháp nghiên cứu khóa luận đà đạt đợc: + Xây dựng, chọn lọc tìm mối liên hệ số nội dung hình học Ơclit n chiều với nội dung tơng ứng chơng trình hình học THPT + Từ có cách nhìn tổng quan vỊ khoa häc h×nh häc, sù quan hƯ biƯn chứng chúng (xét không gian afin, không gian Ơclit), đồng thời đa số dạng toán vận dụng 66 Tài liệu tham khảo Lê Khắc Bảo Hình học giải tích NXB Giáo dục 1982 Phạm Khắc Ban, Phạm Bình Đô Hình học afin hình học Ơclit ví dụ tập NXB Đại học S phạm 2004 Văn Nh Cơng, Tạ Mân Hình học afin hình học Ơclit NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 1998 Văn Nh Cơng, Kiều Huy Luân, Hoàng Trọng Thái Hình học NXB Giáo dục 1998 Nguyễn Văn Đoành, Phạm Bình Đô, Trần Lê Tờng Bài tập hình học cao cÊp tËp NXB Gi¸o dơc 1994 Phan Huy Khải Toán nâng cao cho học sinh hình học lớp 10 NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 1998 Trần Phơng Hình học giải tích NXB Hà Nội 2005 Đoàn Quỳnh, Văn Nh Cơng , Phạm Khắc Ban, Tạ Mân Hình học 11 (nâng cao) NXB Giáo dục 2007 Đoàn Quỳnh, Văn Nh Cơng , Phạm Khắc Ban, Lê Huy Tùng, Tạ Mân Hình học 12 (sách giáo khoa thí điểm ban khoa học tự nhiên) NXB Giáo dục 2005 10 Hà Trầm Bài tập hình học afin hình học Ơclit NXB Đại học S ph¹m 2000 67 ... phép bi? ?n hình Chơng Một số tập Chơng chơng trình bày n? ??i dung lí thuyết hình học Ơclit n chiều đặc biệt chơng trình To? ?n THPT chơng 3, tập áp dụng không gian Ơclit n chiều kết phổ thông L? ?n đợc... dựng, ch? ?n lọc tìm mối li? ?n với n? ??i dung tơng ứng phép bi? ?n hình quen thuộc chơng trình To? ?n Trung học phổ thông 47 Chơng Một số tập B i Trong không gian Ơclit E n với mục tiêu trực chu? ?n, cho... + f bi? ?n đờng thẳng thành đờng thẳng + f bi? ?n đờng thẳng song song thành đờng thẳng song song + f bi? ?n đỉnh hình bình hành thành đỉnh hình bình hành + N? ?u f bi? ?n ®iĨm A, B, C, D thành điểm A,