Mục lục Mục lục Lời nói đầu Chơng I: Các kiến thức tích phân 1.1 Định nghĩa tích phân 1.2 Tính chất tích phân 1.3 Các phơng pháp tính tích phân 1.3.1 Phơng pháp áp dụng trực tiếp công thức Newton- Leibnitz 1.3.2 Phơng pháp đổi biến số 1.3.3 Phơng pháp tính tích phân phần 1.4 ý nghĩa hình học tích phân Chơng II ứng dụng tích phân Toán học 2.1 Tính diện tích hình phẳng 2.2 Tính độ dài cung ®−êng cong 2.3 TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay 2.3.1 ThĨ tÝch cđa vËt thĨ theo thiÕt diƯn ngang đà biết 2.3.2 Thể tích khối tròn xoay 2.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 2.5 Các toán vận dụng Chơng III: ứng dụng tích phân Vật lý 3.1 Sơ đồ tổng quát ứng dơng cđa tÝch ph©n VËt lý 3.2 Moment tÜnh, moment quán tính toạ độ trọng tâm 3.2.1 Đờng cong phẳng 3.2.2 Hình phẳng 3.4 Bài tập áp dụng Kết luận Tài liệu tham khảo Lời nói đầu Toán học môn khoa học nh môn khoa học khác thuộc ngành KHTN, Toán học có liên hệ chặt chẽ với thực tiễn cã øng dơng réng r·i rÊt nhiỊu lÜnh vùc khoa học, công nghệ, sản xuất nh đời sống xà hội đại Toán học công cụ ngành khoa học khác Trong nghiệp GD- ĐT nớc ta năm gần có xu hớng phát triển t tởng dạy học theo hớng: Tăng cờng tính ứng dụng Toán học vào thực tiễn mà nội dung bao quát là: Học đôi với hành, giáo dục gắn liền với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trờng kết hợp với giáo dục gia đình giáo dục xà hội Hiện học sinh phổ thông míi chØ biÕt vËn dơng phÇn lý thut lÜnh héi đợc để giải tập nội môn Toán cha biết vận dụng phần lý thuyết vào môn học khác đời sống thực tiễn Vì rèn luyện nâng cao lực ứng dụng Toán học mục tiêu chủ yếu việc giảng dạy Toán học trờng phổ thông nhằm phát huy khả ứng dụng học sinh học tập nâng cao chất lợng đào tạo Với ứng dụng rộng rÃi tích phân xác suất thống kê, hình học, vật lý, học, thiên văn học, y học, ngành công nghệ nh đóng tàu, sản xuất ô tô, máy bay ngành hàng không với mong muốn tìm hiểu, làm rõ khả cách thức vận dụng phơng pháp dạy học: Tăng cờng tính ứng dụng Toán học thực tiễn, để góp phần nâng cao chất lợng dạy học nội dung tích phân trờng phổ thông trình bày đề tài: Nghiên cứu số ứng dụng tích phân chơng trình trung học phổ thông cách đa kiến thức cần nhớ sở xây dựng hệ thống tập có ứng dụng tích phân Toán học Vật lý Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận đợc trình bày chơng: Chơng Các kiến thức tích phân Chơng ứng dụng tích phân Toán học Chơng ứng dụng tích phân Vật lý Nhân dịp xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Công Tấn toàn thể thầy cô giáo tổ môn Toán, trờng Đại học Hùng Vơng đà tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khoá luận Mặc dù đà cố gắng nhng tránh khỏi thiếu sót mong nhận đợc ý kiến đóng góp bảo thầy cô giáo quan tâm bạn bè để đề tài đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Phú Thọ, ng y 30 tháng 04 năm 2008 Tác giả Chơng Các kiến thức tích phân Cho hàm số y = f(x) xác định đoạn [ a ; b] Ta thực phép chia đoạn [ a ; b] thành n phần tuỳ ý điểm chia x0 , x1, , x2 , , xn cho a = x0 < x1 < x2 < < xn−1 < xn = b Mỗi phép chia nh gọi phép phân hoạch đoạn [ a ; b] Ký hiệu chữ Mỗi phân hoạch , đoạn [ a ; b] đợc chia thành n đoạn xk ; xk , k = 1, n Gọi độ dài lớn đoạn xk ; xk đờng kính phân hoạch Ký hiÖu d (π )   d (π ) = max { xk − xk −1} 1≤k ≤n Trong đoạn xk ; xk lấy t ý mét ®iĨm ξ k : xk −1 ≤ ξ k ≤ xk vµ lËp   n tỉng σ = σ π (ξ1, ξ , , ξ n ) = ∑ f (ξ k )( xk − xk −1 ) (1) k =1 Tỉng (1) gäi lµ tổng tích phân hàm số f(x) ứng với phân hoạch đoạn [ a ; b] cách chọn điểm k đoạn xk ; xk    n NÕu tån t¹i giới hạn hữu hạn I = lim d ( )0 σ = lim d (π )→0 ∑ f (ξk )( xk xk 1) k =1 không phụ thuộc vào phép phân hoạch cách lấy điểm k đoạn b ta gọi số I tích phân từ a đến b hàm số f(x) Ký hiÖu: I = ∫ f ( x)dx a Nh tích phân l giới hạn tổng tích phân, số hạng tăng lên vô v số hạng dần tới 1.1 Định nghĩa tích phân Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [ a ; b] Giả sử F(x) nguyên hàm của f(x) đoạn [ a ; b] Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi tích phân từ a đến b, (hay tích phân xác định đoạn [ a ; b] hàm sè f(x)) b ∫ Ký hiÖu: b f ( x)dx = F ( x) = F (a) − F (b) a a (Đây công thức Newton- Leibnitz) 1.2 Tính chất tích phân Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục đoạn [ a ; b] Khi theo định nghĩa tích phân ta chứng minh đợc tính chất sau: b +) a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a b b b a a +) ∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x)dx b b b a +) a a ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx b b a +) c a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx b +) NÕu hµm số liên tục f ( x ) đoạn [ a ; b] f ( x)dx ≥ a b a +) NÕu f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [a ; b] th× b a ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx 1.3 Các phơng pháp tính tích phân 1.3.1 Phơng pháp áp dụng trực tiếp công thức Newton- Leibnitz VÝ dô: π π ∫ sin x dx = cos x a) b) = −1 = −1 2 ∫ ( x + x )dx = ∫ x dx + ∫ xdx = 1 x3 + x = 63 + 2.(4 − 1) = 21 + 14 = 35 1.3.2 Phơng pháp đổi biến số Định lý: Giả sử x = (t ) hàm số liên tục có đạo hàm [α ; β ] vµ ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b Khi x biÕn thiên [ ; ] t biến thiên trªn [α ; β ] β b ∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t )).ϕ (t ) dt ' Khi ®ã ta cã: α a VÝ dụ: Tính tích phân sau: x3 ( x + 1)3 dx a) x + = t ⇒ dt = xdx ⇒ xdx = Giải: Đặt Khi 1 dt x = ⇒ t =1 ; x =1 ⇒ t = 2 ( t − 1) dt =  −  dt x3 x x.dx ⇒∫ dx = ∫ =   3 ∫ ∫  t2 t3  ( x + 1) ( x + 1) 2.t 0 = 1 1 12 1 dt − ∫ dt = − + 2 ∫ t2 21t t1 t ∫ b) x +1 dx 3x + Giải: Đặt 1 1 1  =  − + + −  =  16  3x + = t ⇒ 3x + = t ⇒ x = ⇒ 3dx = 3t 2dt ⇒ dx = t 2dt Khi ⇒ ∫ x +1 dx = ∫ 3x + 1 ( x = ⇒ t =1 ; x = ⇒t=2 t3 −1 ) +1 t + 2t dt t dt = ∫ t  t 2t   t 2t   25 2.22 1  46 = ∫  +  dt =  + − − =  = + 3 15   15 15  15  1 c) ∫ x dx Giải: Đặt x = sin t ⇒ dx = cos t dt ; t3 −1 Khi x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = π ⇒ ∫ − x dx = ∫ π − sin t cos t dt = π ∫ cos = π 2 ∫ tdt = 0 ∫ cos t cos t.dt π ⇒ ∫ x 2 x2 + x2 + x2 = ∫ − t2 +1 ( Gi¶i: dx ) dx = ∫ t −1 = π +0 = π 1 ⇒ dx = dt t t Đặt x= Khi 2 + cos 2t 1  dt =  t + sin 2t  2  ∫ d) π x= dt 1 1+ 2 t t t.dt = −∫ t2 +1 1 (t + 1) d t2 +1 = − 2 ( ⇒ t = ; x =1 ⇒ t =1 ) 2 = − t2 +1 = 1.3.3 phơng pháp tính tích phân phần Định lý: Nếu u(x) v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ a ; b] thì: b b a a ∫ u( x).v '( x)dx = [u( x)v( x)] b Hay: ∫ udv = uv b a a b − ∫ vdu ; Hc: a b − ∫ u '( x).v( x)dx a b ∫ v.du a b = u v a b − ∫ u dv a VÝ dô: Tính tích phân sau: e a) Đặt ln x dx x2 Gi¶i: 1 ln x = u ⇒ du = dx ; dv = dx ⇒ v = − x x x e ⇒ e ln x ln x dx = − x x ∫ =− e +∫ 1 e ln x dx = − x x e =− x 1 ln e 1 − +1= − − +1=1− e e e e e ∫ xe dx x b) Gi¶i: u = x ⇒ du = dx ; dv = e x dx v = e x Đặt ∫ xe dx = xe x − ∫ e dx = e − e x x = e−e +1=1 0 ∫x c) 0 π x Gi¶i: sin xdx u = x ⇒ du = xdx ; dv = sin x.dx v = cos x Đặt x sin xdx = − x cos x 2 + ∫ x cos xdx = + I 0 π TÝnh π π 2 x.cos x.dx Đặt u = x ⇒ du = dx ; dv = cos x.dx ⇒ v = sin x π π ⇒ I = x sin x 2 π VËy − ∫ sin xdx = ∫x sin x dx = 2.( π π + cos x = π −1 π − 1) = Chú ý: Trong toán tích phân với hàm lợng giác nhiều ta phải áp dụng phơng pháp tính tích phân phần nhiều lần đa dạng từ dễ dàng tính đợc tích phân đà cho 1.4 ý nghĩa hình học tích phân Giả sử f(x) hàm số liên tục dơng đoạn [ a ; b] Ta đà chứng minh đợc diện tích S(x) hình thang cong AAMM giới hạn cung AM đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox đờng song song với trục Oy qua điểm A, M có hoành độ theo thứ tự a x nguyên hµm cđa hµm sè f(x) S (x) = F (x) + C Y Xác định số C: + Với x = a ta cã S (a) = A M B M’ B/ X VËy F (a) + C = ⇒ C = - F (a) ⇒ S (x) = F (x) - F (a) + Víi x = b ta cã S (b) = F (b) - F (a) Mµ S (b) chÝnh lµ diƯn tÝch cđa hình A/ thang cong AABB b Vậy tích phân ∫ f ( x)dx , f(x) l mét h m số dơng đoạn [ a ; b] , l diện tích a hình thang cong giới hạn đờng y = f(x); y = 0; x = a; x = Kết luận chơng 1: Chơng đà hệ thống kiến thức tích phân chơng trình trung học phổ thông là: Định nghĩa tích phân, tính chất tích phân, phơng pháp tính tích phân ý nghĩa hình học tích phân Chơng gồm ví dụ minh họa phơng pháp tính tích phân Trớc tóm tắt kiến thức tích phân, tác giả đà đa khái niệm trực giác sơ lợc việc xem tích phân giới hạn tổng Phần có sách giáo khoa lớp 12 trờng trung học phổ thông hành nhng lại phần đọc thêm nhiều học sinh không quan tâm Do đề tài tài liệu tham khảo cần thiết cho giáo viên học sinh Chơng ứng dụng tích phân toán học Trong chơng xét tính ứng dụng tích phân toán học mà cụ thể hình học để tính diện tích hình phẳng, độ dài cung đờng cong, thể tích vật thể tròn xoay, diện tích mặt tròn xoay Để vận dụng đợc tích phân xác định vào tính diện tích hình phẳng, độ dài cung đờng cong, thể tích vật thể tròn xoay, diện tích mặt tròn xoay trớc hết ta cần phải nắm đợc phơng pháp tính tích phân, công thức tính diện tích hình phẳng, độ dài cung đờng cong, thể tích vật thể tròn xoay, diện tích mặt tròn xoay 2.1 Tính diện tích hình phẳng y = f ( x) x = a b + Diện tích hình phẳng giíi h¹n bëi:  ⇒ S = ∫ f ( x) dx x=b  a y =  (lo¹i 1)  y = f1 ( x)  y = f ( x) b  + DiƯn tÝch h×nh phẳng giới hạn bởi: ( a < b) S = ∫ f1 ( x) − f ( x) dx x=a  a x = b  (lo¹i 2) + Diện tích hình hỗn hợp: Nếu hình phẳng loại 1, loại Với hình hỗn hợp tuỳ thuộc vào cung, đoạn, cấu tạo hình mà phân chia thành hình loại 1, loại để tính đợc diện tích hình bé phËn Y Y y = f(x) a a b b X y = f(x X 1a 1b 10 3.2.1 Đờng cong phẳng - Xét cung đờng cong y = f ( x ) víi f ( x ) ≥ vµ cã f ' ( x ) liªn tơc a ≤ x ≤ b XÐt mét yếu tố s cung lấy điểm M(x ; y) yếu tố Theo giả thiết khối l−ỵng cđa ∆s = ∆s.ρ = ∆s.1 Coi khèi lợng tập chung điểm M moment tÜnh ∆M o ; ∆M x ; ∆M y cña yếu tố s đợc định nghĩa là: M o = ∆s x + y ; ∆M x = ∆s y ; ∆M y = ∆s.x Ta biÕt: ∆s ≈ ds = + ( y ') dx dM o = x + y + ( y ') dx Y dM x = y + ( y ') dx Mds dM y = x + ( y ') dx b VËy M o = ∫ x + y + ( y ') dx a b b M x = ∫ y + ( y ') dx ; M y = ∫ x + ( y ') dx a a b X a b Ix = ∫ y b + ( y ') dx ; I y = ∫ x + ( y ') dx a a Theo giả thiết khối lợng cung ®−êng cong m = s.1, s lµ ®é dµi cung b b cđa ®−êng cong, ta biÕt: s = ∫ + ( y ') dx nªn m = ∫ + ( y ') dx a a Suy toạ độ trọng tâm cung đờng cong lµ: b x0 = My m ∫x = b + ( y ') dx a b ∫ ; y0 = + ( y ') dx a Mx = m ∫y a b ∫ a 3.2.2 H×nh ph¼ng 31 + ( y ') dx + ( y ') dx - XÐt h×nh thang cong giới hạn đờng y = f ( x ) liên tục, trục Ox, đờng th¼ng x = a, x = b XÐt mét yÕu tố s hình coi gần hình chữ nhËt chiỊu réng lµ dx chiỊu dµi lµ y Lóc khối lợng s y.dx.1 Bây ta coi khối lợng tập chung tâm hình chữ nhật moment tĩnh M x s đợc định nghÜa 1 lµ: ∆M x ≈ y.dx y = y dx 2 Suy dM x = Y y dx y = f(x) b b M x = ∫ y dx ; M y = ∫ x y.dx a a b b 1 I x = ∫ y dx ; ; I y = ∫ x y dx 3a 3a Tõ ®ã ta cã thĨ tÝnh x0 ; y0 a dx b X 3.3 B i tËp ¸p dơng B i tËp 1: T×m moment tÜnh M x nửa hình tròn y = R x ( y ) Bài giải Theo công thức tính moment tĩnh hình phẳng ta có: b R R 1 M x = ∫ y dx = ∫ R − x dx = ∫ R − x dx 2a −R R ( =∫ R −x 2 ) ( )  x3  dx =  R x −  3  R ( ) R3 R =R − = 3 B i tËp 2: T×m M x ; M y ; x0 ; y0 vµ I x nửa đờng tròn đồng chất y = R x R Bài giải 32 R2 x2 ; Vì nửa đờng tròn đồng chất nên theo tính ®èi xøng suy träng t©m ( x0 ; y0 ) phải trục Oy, nghĩa x0 = mµ x0 = My ⇒ M y = m.x0 = m b Theo c«ng thøc tÝnh M x ta cã: M x = ∫ y + ( y ') dx a R = ∫ R2 − x2 + −R x2 dx R2 − x2 R ∫ Mx = R R = 2R2 dx = R x R −R −R Ta cã: y0 = Y Mx mµ m = s.1 = π R m 2R2 2R = ⇒ y0 = πR π -R R X Moment quán tính đợc tính theo c«ng thøc: b I x = ∫ y + ( y ') dx = R ∫ (R − x2 ) −R a  1+    R   dx = R ∫ R − x dx R2 − x2  −R x Đặt x = R sin t dx = R cos t dt ; Khi x = R ⇒ t = π ⇒ I x= π ; x = −R ⇒ t = − π ∫ −π 2 R cos t dt = R ∫   = R3  t + sin 2t    π = π π π  + cos 2t 3  dt = R ∫ dt + ∫ cos 2t dt       R3 π B i tập 3: Tìm momen quán tính I o hình tròn bán kính R tâm O Bài giải 33 Xét yếu tố s hình tròn gồm hai đờng tròn bán kính r r+dr tâm O Diện tích s là: ∆s = π ( r + dr ) − r = r.dr R áp dụng công thøc tÝnh moment qu¸n tÝnh ta cã: r dI o = ∆s.1.d = 2π r.r dr (V× cïng cách O khoảng r) dI o = 2. r dr R R r4 ⇒ I o = ∫ 2π r dr = 2π ∫ r dr = 2π 0 R = R4 B i tập 4: Tìm moment quán tính I x đoạn parabol (P) có dây cung a độ võng dây h Bài giải Ta có: AB = a ; OC = h Lập phơng trình parabol y = h N x (N hệ số bất định) Y a  T×m N Ta cã: B  ;  ∈ (P ) 2  C a2 4h 4h ⇒ 0= h−N ⇒ N = ⇒ y = h − x2 a a a I x = ∫ y dx = −a a = h3 ∫ a ∫ 4h    h − x  dx a   A  12.x 48.x 64.x  − + −  dx  a a a    4.x3 48.x5 64.x  = h3  x − + −   a 5.a 7.a  34 a = 16 a.h3 105 B X B i tập 5: Tìm moment quán tính hình elip với bán trục a, b trục Bài giải Các trục trục toạ độ x = a sin t Ta có phơng trình tham số cña elip:   y = b cos t Khi t thay ®ỉi tõ ®Õn π ≤ t x thay đổi từ đến a Do đối xứng với trục toạ độ nªn ta cã: π I x = π = 3 π ∫ y ( t ) dx( t ) = Y ∫b ∫ b cos3 t.a.cos t.dt -a a.b3 cos t.dt a π = a b3 ∫ cos 4t 3  + cos 2t + 8 -b   dt  1 3  = a b3  t + sin 2t + sin 4t  32 8  π π a.b3 3.π = a.b = 8.2 π Iy =4 π ∫x ∫a ( t ) y ( t ) dx(t ) = =a b 2 sin t b cos t dt = a b π π π ∫ sin (t ) dt = a b VËy I x = ∫ π a.b3 vµ I y = ∫ sin t cos dt − cos 4t a3 b   dt =  t − sin 4t  2   π π a3 b B i tËp 6: 35 = π a3 b X  x = a cos3 t Tìm moment tĩnh moment quán tÝnh cña cung axtroit:   y = a sin t  n»m gãc phÇn t− thø nhÊt Bài giải Do tính đối xứng trục toạ ®é nªn ta cã: M x = M y ; I x = I y V× vËy ta chØ cần tính moment trục Ox Với góc phần t− thø nhÊt th×: ≤ t ≤ π Vậy áp dụng công thức tính moment tĩnh moment qu¸n tÝnh ta cã: π b π M x = ∫ y.dL = ∫ a ( dL = a.sin t.3a.sin t cos t dt = 3.a 2 ∫ sin t.d (sin t ) ( x ')2 (t ) + ( y ') (t ) dt = 3.a cos t.sin t dt ) π sin t ⇒ M x = 3.a 2 = 3.a 3.a ⇒ My = Mx = 5 π b I x = ∫ y dL = ∫ a sin t.3a.cos t.sin t.dt = 3.a a = π ∫ sin t sin t.d (sin t ) = 3.a π 3.a3 3.a3 VËy: I y = I x = 8 B i tập 7: Xác định toạ độ trọng tâm miền giới hạn parabol a x = y ; a y = x ; ( a > ) Bài giải: Các điểm miền đối xứng qua đờng phân giác góc phần t thứ Suy trọng tâm nằm đờng phân giác a x2  x3  Ta cã: M y = ∫ x. a.x −  dx = ∫  x a.x −  dx a  a   0 a 36 = a x a x4 − 4a a a3 a3 = ⇒ Mx = My = 20 20 DiƯn tÝch cđa hình giới hạn Y hai parabol là: y= a  x2  S = ∫  a.x −  dx = a  0 a x a − x3 3a x2 a a a x= y2 a 2 a2 a2 = a = 3 Vậy toạ độ trọng tâm hình cần tìm là: a X 9a a 3 9a ; y0 = x0 = x0 = = 20 20 a 20 B i tập 8: Xác định toạ độ trọng tâm miền giới hạn cung đầu đờng xycloit: x = a ( t − sin t ) ; y = a ( − cos t ) ; ( ≤ t ≤ 2π ) vµ trơc Ox Bµi gi¶i Mx = 2π ∫ a3 = 2π a3 a3 y dx = 2π ∫ ( − cos t ) a3 dt = 2π ∫ ( − 3cos t + 3cos t − cos t ) dt 2π =  ∫  − 3cos t +  3(1 + cos 2t ) 3cos t + cos3t − 3cos 2t cos3t   15 −  − cos t +  dt ∫ 2 4  a3  15  =  t − sin t + sin 2t − sin 3t  2 4 12  2π My = ∫ 2π x y.dx = a =a ∫ ( t − sin t ).( − cos t ) 2π   dt  ∫ [t (1 − cos t ) 2 − sin t.(1 − cos t ) ]dt 37 2π dt a3 5.π a = ( 5π + ) = 2 2π 2π + cos 2t   = a ∫ t 1 − 2.cos t +  dt − a ∫ (1 − cos t ) d (1 − cos t )   2π 2π  3 1 (1 − cos t )  3  = a  t  t − 2sin t + sin 2t  − ∫  t − 2sin t + sin 2t  dt − 4 0   2   2π  3   3  = a  π  2π +  −  t + 2cos t − cos 2t  −   4 0  2    ( 2π     ) = a3 6π − 3π = 3.a3 π DiƯn tÝch S giíi hạn cung đầu đờng xycloit trục Ox b»ng: S = 3π a (VÝ dơ ch−¬ng 2) Vậy toạ độ trọng tâm C ( x0 ; y ) lµ: x0 = My S = M 3.π a3 5π a 5a = π a ; y0 = x = = S 3.π a 2.3.π a B i tËp 9: TÝnh ¸p lực nớc lên thành đập thẳng đứng hình thang mà chiều dài cạnh song song 50m 200m, chiều cao 10m Giả sử mức nớc mấp mé bờ đập áp lực (P) nớc lên phần nhỏ diện tích phần nhân với khoảng cách từ mặt nớc đến phần Bài giải Giả sử đập nớc ABCD (hình vẽ) Ta chia đập thành nhiều phần nhỏ đờng song song với chân đập Gọi MNPQ phần nhỏ đợc chia x : độ sâu nớc tới MN dx : chiều cao phần nhỏ Vì phần chia nhỏ nên coi MNPQ hình chữ nhật áp suất điểm nh Kẻ DM' // BC cắt MN K KN = DC = M'B = 50 (m) Theo h×nh vÏ ta cã: MN = MK + KN = MK + 50 38 Vì: DMK ~ DAM ' nên ta có: MK DI MK DI MK 10 − x = ⇔ = ⇔ = AM ' DJ AB − M ' B DJ 200 − 50 10 ⇔ MK = 15.(10 − x) 200m ⇒ MN = MK + KN = A M/ J =150 - 15 x +50 = 200 - 15x B x VËy diƯn tÝch cđa MNPQ M lµ: S MNPQ = ( 200 − 15 x ) dx I K N 10m Q P dx Vì theo giả thiết áp lực nớc lên phần nhỏ D 50m C diện tích phần nhân với khoảng cách từ mặt nớc đến phần Do gọi dP áp lực nớc lên MNPQ ta cã: dP = x.(200 - 15.x)dx VËy ¸p lùc cđa nớc lên thành đập là: 10 P= 10 ∫ x.( 200 − 15x ) dx = ∫ ( 200.x − 15.x ) dx  x2 x3  10 =  200 − 15  = 100 x − 5.x3 30  ( ) 10 = 5000 (tÊn) B i tËp 10: Mét kÐt n−íc hình trụ hai đáy phẳng, đặt nằm ngang, chứa lợng nớc thể tích két Tính áp lực nớc lên mặt đáy két (tính đơn vị tấn) đờng kính két m Bài giải Ta chia đáy két thành băng nhỏ, băng nhỏ đợc coi nh hình chữ nhật có chiều rộng 2y chiều cao dx Ta có: dP = x.dS = x.2y.dx Vì y = R − x ( R lµ bán kính đáy két ) nên dP = x R − x dx 39 R R VËy P = 2.∫ x R − x dx = − ∫ 2 ( R2 − x2 d R2 − x2 ) = − R2 − x2 ( ) R 2 = ( R ) = R 3 VËy víi R = 3m th× P = 33 = 18 (tÊn) B i tập 11: Lực đẩy điện tích dấu e1 ; e2 đặt cách khoảng r đợc cho công thức: F = e1.e2 r2 Giả sử điện tích e1 đợc đặt cố định góc có hoành độ HÃy tính công lực đẩy F làm cho điện tích e2 di chuyển từ điểm M1 có hoành độ r1 đến điểm M có hoành ®é r2 r1 x dx r2 M1 M M2 X Bài giải Gọi A(x) công lực ®Èy F lµm cho e2 di chun tõ ®iĨm M1 ®Õn ®iĨm M cã hoµnh ®é x Cho x sè gia nhỏ dx Vì dx nhỏ, nên khoảng [x,x+dx] coi lực đẩy F nh không ®æi b»ng F = e1 e2 r2 Do công lực đẩy làm cho e2 di chuyển từ x đến x+ dx gần bằng: 40 dA = e1 e2 dx x2 Vậy công lực đẩy F làm cho e2 di chuyển từ M1 đến M b»ng: r2 r2 r1 e e A = ∫ 2 dx = − e1 e2 x x r 1 1 = e1 e2  −   r1 r2  B i tËp 12:  Một dòng điện xoay chiều i = I sin  t + ϕ  ch¹y qua mét đoạn mạch có điện T trở R HÃy tính nhiệt lợng Q tỏa đoạn mạch ®ã thêi gian mét chu kú T theo c«ng thøc: T Q = ∫ R.i dt Bµi giải áp dụng công thức ta có nhiệt lợng Q tỏa đoạn mạch thời gian chu kú T lµ:  2π  t +ϕ  − cos   2π   T  dt Q = ∫ R.i dt = ∫ R.I sin  t + ϕ  dt = R.I ∫  T  0 T T T R.I  T  2π  t − sin  t + ϕ  =  4π  T  T R.I = T B i tập 13: Đặt vào đoạn mạch hiệu điện thÕ xoay chiÒu u = U sin 2π t Khi T mạch có dòng điện xoay chiều i = I sin t + với độ lệch pha T dòng diện hiệu điện HÃy tính công dòng điện xoay chiều thực T đoạn mạch thời gian chu kú T theo c«ng thøc: A = ∫ u.i.dt 41 Bài giải áp dụng công thức ta có công dòng điện xoay chiều thực đoạn mạch thời gian chu kỳ T là: T T 0 A = ∫ u.idt = ∫ U I sin T = U I ∫ U I = 0 = 2π  2π  t.sin  t + ϕ  dt T  T  1  4π  t + ϕ   dt cos ϕ − cos  2  T   T U I T ∫ cosϕ.dt − 02 4π U I cosϕ t T − T  4π ∫ cos  T    4π  t +ϕ d  t +ϕ    T  T U I T U I  4π  sin  t + ϕ  = 0 T cosϕ 8π  T 0 B i tËp 14: Một dòng điện xoay chiều có cờng độ I = I m sin 2π t , hiƯu ®iƯn thÕ lµ T  2π  V = Vm sin  t − ϕ  ®ã I m , Vm , lần lợt cờng độ cực đại, hiệu T điện cực đại, độ lệch pha dòng điện Biết lợng (công) dòng điện khoảng thời gian dt là: dA = I V dt = I m Vm sin 2π  2π  t.sin  t − ϕ  dt T  T Tính công suất dòng điện biết công suất đợc cho công thức: P = A T Bài giải Trớc hết ta tính lợng mà dòng điện sinh chu kỳ T (tức tính công chu kỳ T) Vì theo gi¶ thiÕt ta cã: dA = I V dt = I mVm sin 2π  2π  t.sin  t − ϕ  dt T  T  42 T T ⇒ A = ∫ I mV m sin 4π   2π 2π t sin( t − ϕ )dt = I mVm ∫ cos ϕ − cos( t − ϕ ) dt T T T    T  4π  I m Vm  t cos ϕ − sin  t − ϕ  4π  T   = = T I m Vm  T T I V  sin ϕ − − sin ϕ  = m m T cos ϕ  T cos ϕ + 2  4π 4π  VËy c«ng st cđa dòng điện là: P = A I m Vm = cos ϕ (w) T B i tËp 15: VËn tốc chất điểm biến thiên theo quy luật v = v0 + a t Hái kho¶ng thêi gian [0 ; T] điểm đợc đoạn đờng bao nhiêu? Biết v = ds dt Bài giải Vì v = ds nên thay vào phơng trình ®· cho ta cã: dt v = v0 + a t ⇔ ds = v0 + at ⇔ ds = (v0 + at ) dt dt  at  T aT aT ⇔ s = ∫ (v0 + at ) dt =  v0 t + = v0 T + VËy s = v0 T +  0 2  T KÕt luËn chơng 3: Chơng gồm phần chính, phần 3.1 bớc để tính đại lợng A ứng với khoảng biến thiên x từ a đến b Trong phần 3.2 trớc đa công thức ứng dụng tích phân để tính moment tĩnh, moment quán tính, tọa độ trọng tâm hình phẳng đờng cong phẳng đặc biệt đờng cong cho dới dạng tham số, đà nêu lại khái niệm moment tĩnh, moment quán tính, tọa độ trọng tâm Với khối lợng 15 tập phần 3.3 chơng đà giải đợc vấn đề Thứ nhất, dựa vào kiến thức vừa nhắc lại tính đợc moment tĩnh, moment quán tính, tọa độ trọng tâm Thứ 2, tập tính công lực, áp lực chất lỏng, tính áp suất, công suất có bớc giải theo bớc đà nêu phần 3.1 theo công thức mà đề đa 43 Kết luận Khoá luận kết bớc đầu tập dợt nghiên cứu, tìm tòi sinh viên s phạm với mong muốn đóng góp phần nhỏ bé vào việc dạy học tích phân theo hớng tăng cờng tính ứng dụng Toán học góp phần nâng cao hiệu dạy học phần tích phân (nói riêng) hiệu dạy học Toán (nói chung) Những kết đà đạt đợc đề tài: Thứ mặt kiến thức: - Tóm tắt kiến thức cần nhớ tích phân định nghĩa tích phân, tính chất tích phân, phơng pháp tính tích phân, ý nghĩa hình học tích phân Bên cạnh hệ thống lại công thức tính diện tích hình phẳng, độ dài cung đờng cong, thể tích vật thể diện tích mặt tròn xoay, công thức tính moment tĩnh, moment quán tính, toạ độ trọng tâm đờng cong phẳng hình phẳng, đặc biệt đờng cong cho dới dạng tham số đờng cong cho tọa độ cực - Xây dựng chọn lọc hệ thống tập có ứng dụng tích phân Toán học - Xây dựng chọn lọc hệ thống tập có ứng dơng cđa tÝch ph©n VËt lý Thø hai vỊ mặt ý nghĩa: Đề tài tài liệu tham khảo cần thiết cho việc dạy- học phần tích phân giáo viên học sinh trờng THPT Bên cạnh tài liệu tham khảo cho sinh viên Toán trờng Đại học Hùng Vơng nói riêng sinh viên Toán trờng s phạm nói chung 44 Tài liệu tham khảo [1] Trần Bình, giải tích 1, NXB khoa học kỹ thuật, 2003 [2].Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hơng, Nguyễn Tiến T i, Cấn Văn Tuấn, Giải tích 12, sách giáo khoa thí điểm ban KHTN, NXB Giáo Dục, 2005 [3] Ngô Thúc Lanh, Tìm hiểu giải tích phổ thông, NXB Giáo Dục, 1995 [4] Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn, Giải tích 12, sách chỉnh lý hợp năm 2000, NXB Giáo Dục, 1995 [5] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Toán học cao cấp phần 1, NXB Giáo Dục, 1994 [6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Toán học cao cấp tập (dùng cho sinh viên trờng đại học kỹ thuật), NXB Giáo Dục, 1995 [7] A.C.BOIATUC- IA.G.GAI, Giải tích Toán học ví dụ toán, phần I (tập II), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1979 [8] P.E.DANKO.A.G.POPOP, Bài tập toán cao cấp phần I, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1983 45 ... học nội dung tích phân trờng phổ thông trình bày đề tài: Nghiên cứu số ứng dụng tích phân chơng trình trung học phổ thông cách đa kiến thức cần nhớ sở xây dựng hệ thống tập có ứng dụng tích phân. .. liệu để học tốt phần tích phân 28 Chơng ứng dụng tích phân vật lý Trong chơng ta xét vài ứng dụng tích phân ngành khác nh Vật lý Đây mối liên hệ liên môn Toán học ngành khác, Toán học đời sống thực... là: Định nghĩa tích phân, tính chất tích phân, phơng pháp tính tích phân ý nghĩa hình học tích phân Chơng gồm ví dụ minh họa phơng pháp tính tích phân Trớc tóm tắt kiến thức tích phân, tác giả