Hình Học 1. Cho Δ đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R), 1 điểm M trên  BC . CM: a. MB + MC = MA. b. CM Tổng MB + MC không lớn hơn đường kính c. Cho: MB = 20cm, MC = 50cm. Tính: MA? 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ 2 dây AC, BD nằm cùng phía của đường kính AB, 2 dây này cắt nhau tại E. CM: AC.AE + BD.BE = AB 2 3. Cho Δ ABC nội tiếp đường tròn, từ M trên  BC hạ các đường vuông góc xuống 3 cạnh tam giác. CM: Các chân đường vuông góc đó thằng hàng. 4. Cho (O), 2 dây AB và CD vuông góc tại O, vẽ dây DQ cắt OB tại M, DM = 6cm, MQ = 2cm. Tính: diện tích (O). 5. Cho ĐT (O; 6), A cách O một khoảng là 8, kẻ cát tuyến ANM sao cho N là trung điểm AM. Tính: MN? 6. Cho Δ ABC cân tại A có   = 45 0 , BC = 6cm nội tiếp đường tròn (O; R). Tính: R? 7. Cho Δ cân ABC cân tại A nội tiếp (O; 4cm),   = 45 0 . Tính: BC? 8. Cho Δ cân ABC,   = 120 0 , AC = 6cm. Tính: độ dài đường tròn ngoại tiếp Δ cân đó. 9. Cho Δ ABC cân tại A, AB = AC = a,   = 45 0 . Tính: BC theo a? 10. Cho Δ ABC cân AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Tính: r nội tiếp. 11. Cho Δ ABC vuông tại A, trung tuyến AM = AB. Tính: sin  12. CM: S ΔABC = ½ AB.AC.sin  13. Δ ABC nội tiếp (O; R). CM: S ΔABC = . . 4R AB AC BC 14. H là trực tâm Δ ABC. CM : AB.HC + BC.HA + AC.HB = 4. Tính: S ΔABC 15. r là bán kính đường tròn nội tiếp Δ ABC. CM: a. S ΔABC = ½ (AB + AC + BC).r b. Tam giác ABC có diện tích Δ = chu vi Δ. Tính: bán kính đường tròn nội tiếp Δ. 16. Cho Δ ABC vuông tại A; D là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với cạnh BC. CM: S ΔABC = DB.DC 17. CM: Bán kính R của đường tròn bàng tiếp của   vuông thì bằng ½ chu vi. 18. D, E, F là chân 3 đường cao của Δ ABC nhọn nội tiếp trong ĐT (O; R). CM: (DE + DF + FD).R = 2.S ΔABC 19. Cho Δ ABC,   = 60 0 , CM: BC 2 = AB 2 + AC 2 – AB.AC. 20. Δ ABC có   = 120 0 , BC = 12cm, AB = 6cm, đường phân giác   cắt AC tại D. Tính: BD? 21. 1 Δ có độ dài: 6, 7, 9, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất, Tính: độ dài của đường cao này? Và các đoạn thẳng định trên cạnh lớn nhất. 22. Cho Δ ABC,   = 20 0 ,   = 30 0 , AB =60cm, kẻ đường cao CP. a. Tính: AP, BP, CP? b. Tính: S ΔABC 23. Cho Δ ABC cân tại A, đường cao AH = 5cm, đường cao BE = 6cm. a. Tính: BC? b. Tính: S ΔABC ? 24. Δ ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, chu vi Δ ABH bằng 30cm, chu vi Δ ACH = 40cm. Tính: chu vi Δ ABC? 25. Cho Δ ABC vuông tại C, BC = a, trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN. Tính: BN theo a? 26. Cho Δ ABC vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD, AH = 24cm, HC – HB = 14cm. Tính: BD? 27. Cho Δ ABC có phân giác AD. CM: AD 2 – AB.AC – DB.DC 28. Δ ABC có   = 90 0 , kẻ phân giác AD. CM: 1 1 2 D AB AC A   29. Δ ABC có   = 90 0 . CM: AB + AC = 2 (2R + r) 30. Δ ABC đều nội tiếp (O), M thuộc  BC , D là giao điểm AM và BC. CM: 1 1 1 D MB MC M   31. Cho Δ ABC, AB = 5, AC = 12, BC = 13. Tính: bán kính của ĐT nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp góc   32. Cho Δ ABC vuông tại C. Rút gọn: Q = (CosA + CosB) 2 + (SinB – CosB) 2 33. Cho Δ ABC cân tại A, AH ┴ BC, BK ┴ AC. CM: 2 2 2 1 1 1 4A BC H BK   34. Δ ABC vuông tại A, D thuộc AC sao cho DC = 2DA, vẽ ED ┴ BC tại E. CM: 2 2 2 1 1 4 9 AB AC DE   35. Δ ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, kẻ HE ┴ AB, HF ┴ AC. CM: AB 3 .CF = AC 3 .BE 36. Tính: diện tích đường tròn nội tiếp Δ đều có chu vi 48π 37. Một hình nón có bán kính đáy bằng 2cm, đường sinh dài 6cm, cắt theo đường sinh trải phẳng ra ta được hình quạt. Tính: số đo cung hình quạt. 38. Cho hình nón có bán kính đáy = R. Biết diện tích xung quanh hình nón bằng diện tích đáy của nó. Tính: độ dài đường sinh. 39. Một hình cầu về số lượng có thể tích bằng diện tích mặt cầu. Tính: bán kính? 40. Cho đường tròn ngoại tiếp Δ đều ABC có cạnh bằng √ 3 cm. Tính: bán kính R và chu vi của đường tròn đó. 41. Cho Δ ABC vuông tại C, sinA =   . Tính: độ dài các cạnh biết diện tích Δ ABC = 120 (đvdt). 42. Hình viên phân có số đo cung 90 0 , diện tích 2π – 4. Tính: độ dài của dây? 43. Chu vi đường tròn tăng them 10cm thì bán kính tăng them bao nhiêu? (Tường tự chu vi tăng 4π) 44. Cho 2 ĐT đồng tâm O, dây AB của đường tròn lớn tiếp xúc với ĐT nhỏ. Diện tích hình vành khăn 12,5π (đvdt). Độ dài AB? 45. Cho (O; 8cm) và (O’; 2cm) tiếp xúc ngoài tại A. MN là tiếp tuyến chung ngoài. Tính: MN? S ΔAMN 46. Cho Δ đều ABC, M, N là trung điểm AB, AC, H là giao điểm CM, BN, bán kính đường tròn ngoại tiếp Δ HMN là 1(cm). Tính: cạnh Δ đều ABC, 47. Cho Δ ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC = a, I là trung điểm AC, BI cắt cung nhỏ AC tại M. Tính: MC theo a? 48. Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B, một đường thẳng qua A cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D. CM: ' D R B R BC  49. Hai đường tròn có cùng bán kính là 5cm, cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn độ dài dây chung bằng đoạn nối tâm. Tính: độ dài dây chung. 50. Cho ½ đường tròn tâm I, đường kính AB, Trên ½ đường tròn lấy 2 điểm C và D. Biết AC = CD = 2 √ 5 và DB = 6cm. Tính: bán kính của ĐT (HK I). 51. Cho 2 ĐT (O) và (O’) cắt nhau tại A, B, lấy C nằm giữa A, B, đường thẳng OC cắt (O’) tại E và D. Qua C kẻ Cx ┴ OD cắt (O) tại F. CM: Δ EDF là tam giác vuông. BÀI TOÁN VỀ 3 ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC NỘI TIẾP Cho ΔABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O;R), AB < AC. Kẻ 3 đườ ng cao AD, BE, CF, H là trực tâm của ΔABC. 1. Tìm 6 tứ giác nội tiếp có trong hình? Xác định tâm? 2. CM: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF. 3. CM:  OAC =  BAD 4. CM: OC ┴ DE (Tương tự: OA ┴ EF, OB ┴ FD) 5. CM: EH.EB = AE.EC 6. Cho AD = 5cm, BD = 3cm, DC = 4cm. Tính: Diện tích ΔBHC? AH cắt ĐT (O) tại N, AO cắt ĐT (O), BC, EF tại M, K, S 7. CM: BHCM là hình bình hành? 8. CM: BCMN là hình thang cân? 9. CM: BH.AC = AN.CK? 10. I là trung điểm BC: CM: H, I, M thẳng hàng? (Tương tự: H, M đối xứng qua I) 11. CM: AH = 2 OI 12. CM: diện tích ΔABC = . . 4 AB AC BC R 13. CM: ΔABC và ΔAHM có cùng trọng tâm 14. CM:   =   15. Nếu   = 60 0 . CM: ΔFEI đều 16. CF cắt (O) tại J. CM: JN // FD 17. CM IE là tiếp tuyến của ĐT ngoại tiếp ΔAFE 18. CM: ΔHCN cân (Tương tự: ΔHBN cân) 19. CM:   +   =   20. CM: DB 2 + DC 2 + DA 2 + DN 2 = 4R 2 21. AB.HC + BC.HA+AC.HB = 4 S ΔABC 22. CM: (EF + FD + DE).R = 2 S ΔABC 23. CM: BC AC AB SinA SinB SinC   24. CM: BH.BE + CH.CF = BC 2 25. CM: 1 HD DE HF AD BE CF    26. CM: HD.AD ≤ 2 4 BC 27. CM: 1 HD HE HF AD BE CF    28. Nếu AF = AE. CM ΔABC cân 29. ΔABC phải them đk gì để ΔEFI đều? 30. CM: BFSM nội tiếp. Lần lượt lấy trung điểm BC, EF, AH, HC là I, P, S, K 31. CM: Tứ giác FEKD nội tiếp. 32. CM: I, P, S thẳng hàng 33. CM: IP // OA 34. CM: R.AS = IO.SI (Tứ giác AOIS là hình gì?) 35. CM: EF cắt đường tròn (O) tại Q. CM: AQ 2 = AH.AD 36. CM: Phân giác   cũng là phân giác   37. CM: Tứ giác EFDI nội tiếp 38. G là giao điểm EF và AH. CM: GE.DF = GF.DE 39. CM: AG.HD = AD.HG 40. DF, DE cắt đường tròn (O) tại L và T. CM: LT // EF 41. DE.DF – GF.GE = GD 2 42. Qua A kẻ ĐT // EF cắt BC tại J. CM: JAOI nội tiếp. 43. CM: JA 2 = JB.JC 44. CM: DIES nội tiếp. 45. Đường kính AM cắt EF tại N. CM: IP // AH 46. HM cắt BC tại Q. CM: OQ ┴ BC 47. CM: AD + BC >   Chu vi ΔABC Đường tròn tâm N đường kính AB, đường tròn tâm M đường kính AC. Cắ t CF, BE lần lượt tại P và Q. S, I là trung điểm AH, BC. 48. CM: ΔAPQ cân 49. AF.AB = AH.AD = AE.AC 50. CM: Tứ giác NSMI nội tiếp 51. K là trung điểm HB. CM: K thuộc đường tròn trên (câu 50) 52. CM: ΔAHB đồng dạng với ΔIOM 53. CM: IE ┴ SE (CM: IE là tiếp tuyến của ĐT ngoại tiếp ΔAFE) Vẽ Bx ┴ BC, Bx cắt CA, CF tại L và G. I là trung điểm BC 54. CM: Tứ giác LGFE nội tiếp 55. CM: CE + CL + CF + CG > 4BC 56. Tính: bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔHBC (ΔHAC, AHB theo R) 57. O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔHBC. CM: BOCO’ là hình thoi 58. CM : tứ giác AOO’H là hình bình hành 59. CM: ΔABC đồng dạng với ΔHBG 60. CM: CF.HG = BH.BE 61. H’ là điểm đối xứng của H qua I. CM: H’ thuộc ĐT (O) 62. H’I cắt ĐT tại điểm P. CM: P, A, E, F, H thuộc 1 đường tròn. 63. Gọi G’ là trọng tâm ΔABC. CM: H, G’, O thẳng hàng 64. Vẽ IJ ┴ EF (J ∈ EF) CM: JE = JF M là 1 điểm thuộc cung nhỏ BC. K và I là điểm đối xứng của M qua AB và AC 65. CM: K, I, H thẳng hàng. 66. Tìm vị trí điểm J thuộc  BC nhỏ để BHCJ là hình bình hành. 67. Tứ giác AHCI nội tiếp 68. Tứ giác AHBK nội tiếp DE cắt đường tròn đường kính AH tại Q, I là trung điểm BC 69. CM: FQ // BC 70. CM: AH là trung trực FQ 71. Cho   = 60 0 . CM: AH = AO 72. P thuộc CH sao cho CP = 3 PH. So sánh S ΔPIH và S ΔBHC 73. CM: Đường trung trực HE qua trung điểm AH là S 74. Cho AB = HC, N là trung điểm AB, K là trung điểm HC. CM: DNEK là hình vuông. 75. Tính: số đo của   Hình nón: 1. Hình nón có bán kính đáy bằng 3cm, cao 4cm. Tính: diện tích toàn phần? 2. Tính:: thể tích hình phát sinh khi quay tam giác ABC vuông tại A quanh cạnh BC, AB = 6 cm,   = 30 0 3. Độ dài 3 cạnh Δ là 7 cm, 24 cm, 25 cm. Nếu quay Δ một vòng quanh cạnh 25 cm. Tính: Thể tích? 4. Hình nón có diện tích đáy 54π cm 2 . V = 180π cm 3 . Tính: chiều cao? 5. Hình nón có bán kính đáy 7cm, góc tại đỉnh tạo bởi đường cao và đường sinh của hình nón là 30 0 . Tính: diện tích xung quanh? 6. V nón = 432π, chiều cao là 9. Tính: diện tích toàn phần ? 7. Độ dài đường sinh là 10cm, bán kính đường tròn đáy là 6 cm. Tính: V nón ? 8. Quay tg vuông ABC tại A quanh AC, biết BC = 4cm.   = 30 0 . Tính: S xung quanh hình nón ? 9. Δ ABC vuông tại A, AB = 7cm, AC = 24cm. Tính: diện tích hình nón khi quay ΔABC quanh AC? 10. Một hình nón có thiết diện qua trục là Δ vuông cân có cạnh huyền a √ 2. Tính: diện tích xung quanh hình nón theo a? 11. Hình nón có bán kính đáy 5cm. Diện tích xung quanh = 65π cm 2 . Tính: thể tích? 12. Hình nón có bán kính đáy là R, diện tích xung quanh = diện tích đáy. Tính: độ dài đường sinh? 13. Hình nón có diện tích đáy 50,24cm 2 , độ dài đường sinh 25cm. Tính: diện tích xung quanh hình nón? Hình cầu: 1. Hình cầu có thể tích bằng 288π cm 3 . Tính: diện tích? 2. Hình cầu có diện tích mặt cầu 36π cm 2 . Tính: thể tích? 3. Cho hình cầu bán kính R = x 2 – 3x + 4 (x là số thực). Tính: x để thể tích hình cầu đạt giá trị nhỏ nhất? 4. Cho ½ đường tròn ĐK AB = 8 cm, quay quanh AB. Tính: diện tích mặt phát sinh do cung AB quét nên? 5. Tính: thể tích hình cầu biết hình cầu nội tiếp trong hình trụ có V = 28.26 cm 3 6. Cho mặt cầu O, bán kính R, một mặt phẳn (P) cách tâm O một khoảng ½ R cắt mặt cầu theo đường tròn, Tính: diện tích hình tròn? 7. Cho Δ đều ABC có cạnh 10 cm, đường cao AH, quay ½ ĐT ngoại tiếp Δ ABC một vòng quanh AH, Tính: diện tích mặt cầu tạo thành? 8. Cho Δ đều ABC đường cao AH, C 1 , C 2 là thể tích 2 hình cầu do ½ ĐT nội tiếp, ½ ngoại tiếp Δ ABC quay quanh AH. So sánh: C 2 với C 1 Hình nón cụt: 1. Một hình nón cụt có chiều cao 21cm, bán kính 2 đáy là 21cm và 1cm. Tính: diện tích xung quanh hình nón cụt? 2. Một hình nón cụt có chiều cao 8cm, đường sinh 10cm, bán kính đáy lớn 12cm. Tính: diện tích xung quanh? 3. Cho hình thang vuông ABCD,   =   = 90 0 . AD = 15cm, AB = 5cm, DC = 13cm. Tính: diện tích xung quanh khi hình thang quay quanh AD? 4. Hình nón cụt có bán kính 2 đáy 6cm, 11cm, độ dài đường sinh 13cm. Tính: thể tích? 5. Hình nón cụt có bán kính đáy lớn bằng 2 lần bán kính đáy nhỏ, đường sinh bằng bán kính đáy lớn, diện tích xung quanh = 8478 cm 2 . Tính: diện tích đáy nhỏ? Hình tròn: 1. Tính: diện tích hình tròn biết chu vi của nó bằng 10π cm. 2. Diện tích hình vành khăn tạo bởi (O; R) và (O; 6cm) bằng 45π cm 2 , nếu R > 6. Tính: R? 3. Tính: chu vi hình quạt ở hình: 4. Tính: Diện tích viên phân bán kính đường tròn là R, góc ở tâm 30 0 , 90 0 . 5. Cho (O; R) dây AB = R √ 3. Tính: diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và  A B nhỏ? 6. Cho (O; R)  A B có độ dài   . Tính: diện tích hình quạt ứng với  A B nhỏ? 7. Cho (O; 6cm) dây AB = R. Tính: diện tích hình viên phân ứng với  A B nhỏ? 8. 4 lần nghịch đảo chu vi của 1 đường tròn bằng đường kính của nó, Tính: diện tích của hình tròn? [...]... tích xung quanh = 108 π cm2, bán kính đáy 9cm Tính: thể tích? 6 Hình trụ có bán kính đáy 5cm, chiều cao 10cn Tính: diện tích toàn phần? 7 Hình trụ có V = 423.9 cm3, cao 15cm Tính: diện tích xung quanh? 8 Hình trụ có V = 602.88cm3, diện tích đáy 50.24cm2 Tính: chiều cao? 9 HCN ABCD quay quanh AB thì V = 45π cm3, quay quanh BC thì diện tích xung quanh = 50π cm2 Tính: kích thước HCN? 10 Chiều cao hình... 12cm Tính: diện tích hình thang 9 Cho hình thang ABCD có AB = 4cm, CD = 9cm, cạnh bên BC = 4cm, AD = 3cm Tính: diện tích hình thang 10. Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD, = 360 = 580, AB = 4cm Tính: diện tích ABCD 11.Cho hình thang cân (AB // CD) = 60 0, AB = 6cm, CD = 10cm Tính: diện tích ABCD 12.Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O; 5cm) Đáy AB = 6cm, CD = 8cm a Tính: chiều cao hình thang... 5cm, cao 7cm, cắt hình trụ bằng một mặt phẳng // với trục và cách trục 3cm, Tính: diện tích HCN mặt cắt? 17 Hình trụ có bán kính đáy băgnf a, chiều ca 2a Diện tích xung quanh = thể tích Tính: a? TỔNG HỢP BÀI TOÁN CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A Tam giác: Chứng minh tứ giác nội tiếp 1 Cho ∆ABC nhọn AB < AC Có 3 đường cao AD, BE, CF H là trực tâm I là trung điểm BC S là trung điểm HC CM: DIEF nội tiếp, DSEF... BCDE nội tiếp 8 Cho ∆ABC có B = 600, kẻ phân giác AA’, CC’ cắt nhau tại I CM BA’IC’ nội tiếp 9 Cho ∆ABC cân tại A, H là trung điểm BC, kẻ HI ┴ AC; O là trung điểm HI, AO cắt BI tại K CM: BHKA nội tiếp 10. Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp ĐT (O), lấy D thuộc AB nhỏ, E thuộc DB, F thuộc DC sao cho BE = CF CM: ADEF nội tiếp 11.Cho ∆ABC đều nội tiếp (O) AE là đường kính M thuộc AB, N trên đường kéo dài AC sao... nửa ĐT (O), đường kính BC, A nằm tron nửa đường tròn, dựng hình vuông ABED ϵ nửa mặt phẳng bờ là AB không chứa C, gọi F là giao điểm AC và nửa đường tròn (O), K là giao điểm CF và ED CM: EBFK nội tiếp 10. Lấy điểm A ϵ ĐT (O), qua trung điểm H của OA, kẻ dây BC ┴ OA, K là điểm đối xứng của O qua A CM: KBOC nội tiếp 11.Cho đường tròn (O) lấy 3 cung lien tiếp đều có số đo bằng 60 0, AC = CD = DB ,2 đường...9 Hình tròn có diện tích = 12,56cm2 Tính: chu vi đường tròn? 10 Tính: độ dài đường tròn ngoại tiếp Δ đều cạnh 6 cm? 11 Tính: độ dài đường tròn nội tiếp lục giác đều cạnh 4cm 12 Tính: độ dài đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh 6√2 cm? 13 Một đường tròn (O; R) và . bởi đường cao và đường sinh của hình nón là 30 0 . Tính: diện tích xung quanh? 6. V nón = 432π, chiều cao là 9. Tính: diện tích toàn phần ? 7. Độ dài đường sinh là 10cm, bán kính đường tròn. tròn nội tiếp Δ đều có chu vi 48π 37. Một hình nón có bán kính đáy bằng 2cm, đường sinh dài 6cm, cắt theo đường sinh trải phẳng ra ta được hình quạt. Tính: số đo cung hình quạt. 38. Cho hình. tiếp Δ cân đó. 9. Cho Δ ABC cân tại A, AB = AC = a,   = 45 0 . Tính: BC theo a? 10. Cho Δ ABC cân AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Tính: r nội tiếp. 11. Cho Δ ABC vuông tại A, trung tuyến AM = AB.