ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THÁI SƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1, 2 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn: TS. Đào Thị Liên Thái Nguyên - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.3. Phân rã phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Các phép chiếu chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.5. Cách giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . .14 1.6. Phương trình liên hợp của phương trình chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7. Tính giải được duy nhất của phương trình liên hợp . . . . . . . . . . . .18 1.8. Định nghĩa chỉ số cho phương trình liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.9. Hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.10. Mối quan hệ giữa các hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 2 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 2.2. Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3. Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình chỉ số 2 . . . . . . . . . . . . 50 2.4. Các phép chiếu chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 2.5. Ma trận cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 2.6. Phương trình liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS Đào Thị Liên. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính nhất đến Cô. Cô không chỉ hướng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Cô còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè tôi đã hết sức quan tâm và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo viện Toán học Việt Nam, các thầy cô giáo trong khoa sau Đại học và khoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường. Bản luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010 Học viên Phạm Thái Sơn 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Trong vài thập kỷ gần đây, một vấn đề thời sự đang được nhiều nhà toán học quan tâm thuộc lĩnh vực phương trình vi phân, kể cả phương diện lý thuyết cũng như áp dụng, đó là phương trình vi phân đại số. Phương trình vi phân đại số được xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế kỹ thuật và là sự mở rộng của phương trình vi phân thường. Luận văn này tập hợp các kết quả về phương trình vi phân đại số chỉ số 1, chỉ số 2 và phương trình liên hợp của chúng. Trong lý thuyết phương trình vi phân thường, xét phương trình: Ax  + Bx = 0 (1) với hệ số liên tục A,B: I ⊆ R −→ L(C m ), A không suy biến, có một phương trình liên hợp là −(A ∗ y)  + B ∗ y = 0 (2) Để có được phương trình (2), ta thực hiện phép biến đổi phương trình (1) về dạng x  + A −1 Bx = 0. Phương trình liên hợp của nó là −z  + B ∗ A −1∗ z = 0. Cuối cùng ta đặt A −1∗ z = y. Mỗi cặp nghiệm của phương trình gốc và phương trình liên hợp có đồng nhất thức Lagrange z ∗ (t)x(t) = z ∗ (t 0 )x(t 0 ) Hoặc ta xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất dx dt = A(t)x (3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với A ∈ C(I,L(C m ,C m )), trong đó I = [t 0 ,+∞). Phương trình dạng dy dt = −A ∗ (t)y (4) với A ∗ (t) = A −T (t) được gọi là phương trình vi phân liên hợp của phương trình (3). Trong trường hợp A suy biến ta có phương trình vi phân đại số. Khi đó người ta đã đạt được nhiều kết quả quan trọng về sự tồn tại duy nhất của nghiệm của phương trình liên hợp cũng như các mối quan hệ giữa các nghiệm cơ bản, trong đó đặc biệt đáng chú ý là đồng nhất thức Lagrange. Trong các bài báo [2] và [3], K.Balla đã chứng minh được rằng: mỗi phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chỉ số 1 với các hệ số khả vi, tồn tại một phương trình vi phân đại số mà ta gọi là phương trình vi phân đại số liên hợp của nó, sao cho với bất kỳ cặp nghiệm nào của phương trình vi phân đại số gốc và phương trình vi phân đại số liên hợp đều thỏa mãn một đồng nhất thức mà nó có thể xem như một tương tự hóa của đồng nhất thức Lagrange. Bài báo [1] của K.Balla và R.Marz đã phát triển tiếp các kết quả đã đạt được của hai bài báo trên. Bằng cách giảm nhẹ tính khả vi của các hệ số, các tác giả đã chỉ ra rằng phương trình liên hợp của phương trình vi phân đại số chỉ số 1 giải được chỉ khi tính trơn xuất hiện trong định nghĩa - điều kiện này yếu hơn tính khả vi của các hệ số. Đồng thời các tác giả cũng chứng minh được một đồng nhất thức tương tự đồng nhất thức Lagrange, với các phép chiếu khả vi tùy ý, kết quả được trình bày trong không gian phức. Thay cho một ma trận duy nhất xảy ra trong thiết lập tiêu chuẩn, thuật ngữ đầu tiên của phương trình vi phân tuyến tính là sự xuất hiện của cặp ma trận. Khi đó khái niệm chỉ số được đưa ra cho các hệ phương trình. Các hệ số được giả thiết là liên tục và chỉ một vài không gian con có cùng số chiều là phải khả vi liên tục. Cách giải của bài toán có chỉ số cao hơn được 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chứng minh nhờ vào phương tr ình có chỉ số thấp hơn. Nghiệm đại diện phải dựa trên nghiệm của một số phương trình vi phân thường chính qui được xác định duy nhất bởi các dữ kiện của bài toán. Các giả thiết cho cách giải phải thống nhất cả phương trình gốc và phương trình liên hợp của nó. Cả hai phương trình có các chỉ số giống nhau và đồng thời triệt tiêu. Ma trận nghiệm cơ bản thỏa mãn mối ràng buộc là tổng quát hóa đồng nhất thức Lagrange. Bản luận văn này được chia làm 2 chương: Chương 1: Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình liên hợp của nó. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở, khái niệm về phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình liên hợp của nó; chứng minh các tính chất quan trọng của các phép chiếu chính tắc, chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình liên hợp. Chương 2: Phương trình vi phân đại số chỉ số 2 và phương trình liên hợp của nó. Chương này nêu ra các khái niệm về phương trình vi phân đại số chỉ số 2 và phương trình liên hợp của nó; đưa ra cách giải của bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân đại số chỉ số 2; trình bày mối quan hệ giữa các hệ nghiệm cơ bản của phương trình chỉ số 2 và phương trình liên hợp của nó. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ 1.1. Một số khái niệm cơ bản. 1.1.1 Định nghĩa. Phương trình A(t)x  (t)+B(t)x(t) = q(t) (1.1.1) trong đó + A,B ∈ C(I,L(C m ,C m )), detA(t) = 0, ∀t ∈ I. + x = colon(x 1 ,. ,x m ), q(t) = colon(q 1 (t), ,q m (t)), được gọi là phương trình vi phân đại số tuyến tính. Phương trình vi phân đại số tuyến tính được gọi là có dạng chuẩn nếu nó có dạng như (1.1.1). 1.1.2 Định nghĩa. Ma trận hàm Q ∈ C(I, L(C m ,C m )) được gọi là phép chiếu nếu Q 2 = Q, ∀t ∈ I Kí hiệu P = I − Q với I là ma trận đơn vị cấp m, khi đó P cũng là một phép chiếu, PQ = 0. Nếu Q là phép chiếu thì imQ ⊕ kerQ = C m . 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Định nghĩa. Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận hằng A nếu nó là số bé nhất thỏa mãn kerA k = kerA k+1 . Kí hiệu chỉ số của ma trận A là ind(A), thế thì ind(A) = min  k : kerA k = k erA k+1  . 1.1.4 Định nghĩa. Cặp ma trận hằng { A,B } được gọi là chính quy nếu det(zA + B) không đồng thời triệt tiêu với mọi z, tức là tồn tại z 0 ∈ C sao cho det(z 0 A + B) = 0. 1.1.5 Định nghĩa. Nếu cặp { A,B } chính quy và det(cA + B) = 0 với mọi c ∈ C thì ind  (cA + B) −1 A  được gọi là chỉ số của cặp { A,B } . Như vậy ind { A,B } = ind  (cA + B) −1 A  với c ∈ C. 1.2. Phương trình vi phân đại số chỉ số 1. 1.2.1 Định nghĩa. Phương trình A(Px)  + (B −AP  )x = q (1.2.1) trong đó A,B : I −→ L(C m ,C m ), f : I −→ C m là những ma trận hàm thỏa mãn các giả thiết sau: (T 1 ) dimimA(t) = r < m,∀t ∈ I. (T 2 ) Cặp ma trận (A(t), B(t)) là chính quy chỉ số 1 với ∀t ∈ I. (T 3 ) Tồn tại một phép chiếu Q ∈ C 1 (I,L (C m ,C m )) lên kerA, được gọi là phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 chuyển được (index-1 tractable). 1.2.2 Ví dụ. Xét phương trình A(Px)  + (B −AP  )x = q (1.2.2) trong đó A(t) =  1 t 1 t  ; B(t) =  0 1 1 0  ; q =  t t + 1  7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn m = 2, Q là phép chiếu bất kỳ lên kerA, P = I − Q. Ta có (T 1 ) dimimA(t) = 1 < 2, ∀t. (T 2 ) { A(t),B(t) } là chính quy, vì tồn tại 0 ∈ C thỏa mãn det(0A(t) + B(t)) = −1 = 0, ∀t. Khi đó, kerA(t) =  x ∈ C 2 : A(t)x = 0  =  (−tx 2 ,x 2 ) T : x 2 ∈ C  , imA(t) =  z ∈ C 2 : z = A(t)x  =  (z 1 ,z 1 ) T : z 1 ∈ C  . Giả sử x ∈ S(t) ∩ kerA(t),S(t) = { z ∈ C m : B(t)z ∈ imA(t) } , ∀t ∈ I ⇒ x ∈ kerA(t) : Bx ∈ imA(t), ∀t ∈ I ⇔ x = (−tx 2 ,x 2 ) T và x = (z 1 ,z 1 ) T ⇔ −tx 2 = x 2 , ∀t ∈ I ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0 ⇒ S(t)⊕kerA(t) = C 2 ⇔ ind(A(t),B(t)) = 1 ∀t ∈ I. (T 3 ) Tồn tại Q =  −t −t(t + 1) −1 1 −t  ∈ C 1 (I,L (C 2 ,C 2 )) là phép chiếu lên kerA. Thậy vậy, rõ ràng Q ∈ C 1 (I,L (C 2 ,C 2 )) và ∀x ∈ kerA : x = (−tz, z) T thì Qx =  −t −t(t + 1) −1 1 −t  −tz z  =  −tz z  = x, ∀t ∈ I. Vậy (1.2.2) là phương tr ình vi phân đại số chỉ số 1. 1.2.3 Định nghĩa. Giả sử A,B ∈ C(I,L(C m ,C m )), q ∈ C(I,C m ). Một hàm x ∈ C 1 A (I,C m ) được gọi là một nghiệm của phương trình (1.2.1) nếu nó biến (1.2.1) thành đồng nhất thức. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3. Phân rã phương trình. i. Xét phương trình (1.2.1) A(Px)  + (B −AP  )x = q. Đặt B 0 = B −AP  ,A 1 = A +B 0 Q. Theo [8] Định lý 13 phụ lục A ta có A 1 khả nghịch. Nhân hai vế của (1.2.1) lần lượt với PA −1 1 và QA −1 1 ta được    L s Px = PA −1 1 q Q s x = QA −1 1 q (1.3.1) với L s z = z  + (PA −1 1 B 0 − P  )z, Q s z = Qz +QA −1 1 BPz. (1.3.2) Khi đó ta nói, phương trình (1.2.1) đã được phân rã thành hai phương trình của hệ (1.3.1) trong đó phương trình thứ nhất là một phương trình vi phân thường, phương trình thứ hai là một phương trình đại số. ii. Ta có L s z = z  + (PA −1 1 B 0 − P  )z với z ∈ C 1 (I,C m ) là hoàn toàn xác định và bài toán giá trị ban đầu    L s z = g g ∈ C(I, C m ) z(t 0 ) = z 0 t 0 ∈ I, z 0 ∈ C m (1.3.3) có nghiệm duy nhất trong C 1 (I,C m ). Hơn nữa, nghiệm z ∈ imP(t) nếu z 0 ∈ imP(t 0 ) và g(t) ∈ imP(t). Thật vậy, do phương trình (1.2.1) không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P nên L s cũng không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P. Với g ∈ imP(t),∃h : I → C m sao cho g = Ph. Xét q = A 1 h ⇒ h = A −1 1 q ⇒ g = PA −1 1 q. Ta có bài toán giá trị ban đầu    L s z = PA −1 1 q z(t 0 ) = z 0 có nghiệm duy nhất z ∈ C 1 (I,C m ). Lại theo phương trình thứ nhất của hệ (1.3.1), bài toán giá trị ban đầu    L s Px = PA −1 1 q Px(t 0 ) = z 0 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... cho phương trình liên hợp Với các giả thiết (T1)-(T3), phương trình L∗ φ = s chưa là phương trình vi phân đại số dạng chuẩn, do đó ta chưa nói đến chỉ số của nó Để định 26 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nghĩa chỉ số cho phương trình liên hợp, ta mở rộng định nghĩa phương trình vi phân đại số chỉ số 1 bao gồm cả phương trình dạng L∗ φ = s Xét phương trình. .. 1 .2. 2 ta có (1 .2. 2) là phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Khi đó phương trình (A∗ φ ) − B∗ φ = s (1.6 .2) 1 t 1 0 ; B∗ = ; s : I → Cm liên tục bất kỳ, là phương t 1 0 1 trình liên hợp của phương trình (1 .2. 2) với A∗ = 1.6.3 Định nghĩa Một hàm φ ∈ C1 (I, Cm ) được gọi là một nghiệm của ∗A (1.5.1) nếu nó biến (1.5.1) thành đồng nhất thức 1.6.4 Chú ý + Trường hợp đặc biệt A = I, ta xét các phương trình. .. giả thiết (T1 ), (T2 ), (T3 ) được gọi là phương trình liên hợp của phương trình vi phân đại số( 1 .2. 1) chỉ số 1 Không gian hàm C1 (I, Cm ) = φ ∈ C(I, Cm ) : A∗ φ ∈ C1 (I, Cm ) là ∗A hoàn toàn xác định và không phụ thuộc vào P, P∗ với A, B ∈ C1 (I, L(Cm , Cm )), s ∈ C(I, Cm ) 1.6 .2 Ví dụ Xét phương trình (1 .2. 2) A(Px) + (B − AP )x = q trong đó A= t 1 t 1 0 ; B= ; q= t 1 0 1 t +1 và P = I − Q trong đó... b1 b2 b3  1 0 1 = 1 0 1 c1 c2 c3 0 0 1 0 0 1 0 0 1  a + a = 0, a + a = 0 1 2 2 3 ⇒ c1 + c2 = 0, c2 + c3 = 1  a = 2/ 3, a = 1/3, a = −1/3 1 2 3 Kết hợp ta được c1 = −1/3, c2 = 1/3, c3 = 2/ 3     + A+ AA+ = A     2/ 3 1/3 −1/3 1 0 0 2/ 3 1/3 −1/3     ⇔  b1 b2 b3  1 0 1  b1 b2 b3  = −1/3 1/3 2/ 3 0 0 1 −1/3 1/3 2/ 3   2/ 3 1/3 −1/3   =  b1 b2 b3  −1/3 1/3 2/ 3 25 Số hóa... không phụ thuộc vào phép chiếu P, P∗ trong khi đó công thức (1.4.5) cho ta thấy sự phụ thuộc của chúng vào P và P∗ 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.5 Cách giải phương trình vi phân đại số gốc chỉ số 1 Ta vi t lại phương trình (1 .2. 1) chỉ số 1 dưới dạng (AP + (B − AP )Q0 ) P− (Px) + Q0 x + (B − AP )P0 x = q G1 Nghịch đảo của G1 là tồn tại và gộp với G−1... (0)[φ (0) − φ 0 ] = 0 (1.7.11) với φ 0 = (2, 1, 0)T Ta có (1.7.10) là phương trình liên hợp của phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Ax + Bx = 0 Thật vậy, (T 1)rankA = 2 . hợp. Chương 2: Phương trình vi phân đại số chỉ số 2 và phương trình liên hợp của nó. Chương này nêu ra các khái niệm về phương trình vi phân đại số chỉ số 2 và phương trình liên hợp của nó; đưa ra. làm 2 chương: Chương 1: Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình liên hợp của nó. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở, khái niệm về phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương. quả về phương trình vi phân đại số chỉ số 1, chỉ số 2 và phương trình liên hợp của chúng. Trong lý thuyết phương trình vi phân thường, xét phương trình: Ax  + Bx = 0 (1) với hệ số liên tục A,B: