Phạm Thị Thùy K6 - ĐHSP Toán Mục lục Mở đầu 3 Chương 1. Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực 6 1.1. Khái niệm phương trình. Phương trình không mẫu mực . 6 1.2. Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực . 7 1.2.1. Phương pháp đưa về phương trình tích . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Phương pháp chứng minh duy nhất nghiệm . . . . . . . . 18 1.2.4. Phương pháp đưa về hệ phương trình . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 29 2.1. Khái niệm hệ phương trình. Hệ phương trình không mẫu mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 30 2.2.1. Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3. Phương pháp tính các đại lượng chung . . . . . . . . . . 45 2.2.4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . 49 Bài tập tham khảo 56 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 2 Mở đầu 1. Đặt vấn đề Bắt nguồn từ nhu cầu tính toán trong đời sống thực tiễn của con người thời xa xưa mà phương trình và hệ phương trình được ra đời. Khái niệm phương trình là một trong những khái niệm quan trọng của toán học, nó thể hiện mối quan hệ bằng nhau, sự ràng buộc giữa các đại lượng số lượng. Lý thuyết phương trình cũng được nhiều nhà toán học nghiên cứu ( Điôphăng, Viét, Đêcac, ) và đã được phát triển thành lý thuyết đại số học cổ điển. Lý thuyết phương trình không phải chỉ là cơ sở để xây dựng đại số học mà còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ môn khác của toán học. Người ta nghiên cứu không chỉ phương trình đại số mà còn cả những phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình toán lí, phương trình hàm, Phương trình và hệ phương trình chiếm một vị trí vô cùng quan trọng trong chương trình toán học ở cấp nhà trường phổ thông cũng như đại học, cao đẳng. Cùng với sự phát triển của toán học, đặc biệt là sự mở rộng các trường số thì các dạng phương trình và hệ phương trình cũng ngày càng trở nên phức tạp, đồng thời việc giải phương trình và hệ phương trình cũng đòi hỏi mức độ tư duy, suy luận ngày càng cao. Các bài toán về phương trình, hệ phương trình không dừng lại ở những dạng cơ bản, thông thường, có phương pháp giải cụ thể, đặc trưng cho nó mà trong quá trình giải toán phương trình, hệ phương trình người học thường gặp phải những bài toán lạ, không bình thường và quan trọng là không thể giải trực tiếp bằng các quy tắc, các phương pháp quen thuộc như: Biến đổi tương đương, định lí Viet, đồ thị, Những bài toán như vậy thường được gọi là “Không mẫu mực”. Dạng toán “không mẫu mực” này có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học cho người học và thường là thử thách đối với các bạn học sinh, sinh viên trong các kỳ thi Olympic, thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán, các trường đại học, cao đẳng. Với mong muốn giúp các bạn sinh viên học toán, các em học sinh phổ 3 Phạm Thị Thùy K6 - ĐHSP Toán thông có thêm nhiều kiến thức về phương trình, hệ phương trình và quan trọng hơn nữa là giúp các bạn luyện tập, làm quen với phương trình, hệ phương trình “không mẫu mực”, phát triển tư duy, suy nghĩ trước những bài toán “không mẫu mực” khác, để từ đó thúc đẩy việc học môn toán và các môn học khác đạt kết quả tốt hơn. Ngoài ra, các bạn sinh viên sư phạm toán có thêm những kiến thức thú vị, bổ ích để giảng dạy môn toán ở trường phổ thông. Bên cạnh đó đem lại cho các em học sinh phổ thông yêu toán nhiều thuận lợi hơn trong việc học tập môn toán cũng như trong quá trình ôn tập cho các kỳ thi Olympic, thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán, các trường đại học, cao đẳng đạt kết quả cao nhất. Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp đại học của mình. 2. Mục tiêu của khóa luận - Mục tiêu khoa học công nghệ: Nghiên cứu về phương trình, hệ phương trình không mẫu mực và phương pháp giải. - Sản phẩm khoa học công nghệ: Xây dựng tài liệu về một số phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phương trình, hệ phương trình không mẫu mực. - Nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực. - Sưu tập, nghiên cứu tài liệu, chọn lọc và phân loại các bài tập về giải phương trình, giải hệ phương trình không mẫu mực. - Hệ thống, trình bày một số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình không mẫu mực và bài tập vận dụng có lời giải cụ thể. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các phương trình và hệ phương trình không mẫu mực. - Phạm vi nghiên cứu: Một số phương pháp giải phương trình và hệ 4 Phạm Thị Thùy K6 - ĐHSP Toán phương trình không mẫu mực. 6. Bố cục của khoá luận Ngoài phần mở đầu, phần phụ lục, kết luận, khoá luận bao gồm 2 chương: Chương 1. Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực 1.1. Khái niệm phương trình. Phương trình không mẫu mực 1.2. Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực 1.2.1. Phương pháp đưa về phương trình tích 1.2.2. Phương pháp áp dụng bất đẳng thức 1.2.3. Phương pháp chứng minh duy nhất nghiệm 1.2.4. Phương pháp đưa về hệ phương trình Chương 2. Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 2.1. Khái niệm hệ phương trình. Hệ phương trình không mẫu mực 2.2. Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 2.2.1. Phương pháp áp dụng bất đẳng thức 2.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ 2.2.3. Phương pháp tính các đại lượng chung 2.2.4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số 5 Chương 1 Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực 1.1 Khái niệm phương trình. Phương trình không mẫu mực Cho hai hàm số của n biến thực x 1 , x 2 , , x n là f(x 1 , x 2 , , x n ) và g(x 1 , x 2 , , x n ). Ta gọi tập hợp n số thực x =(x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n . Khi đó, các hàm số f (x 1 , x 2 , , x n ) và g(x 1 , x 2 , , x n ) được xem là các hàm một biến f(x), g(x) trong R n . Giả sử f(x) có miền xác định là D 1 ⊂ R n , g(x) có miền xác định D 2 ⊂ R n . Ta định nghĩa phương trình f(x) = g(x) (1) là ký hiệu hàm mệnh đề “giá trị của hai hàm số f(x) và g(x) là bằng nhau”. Ta gọi x là ẩn của phương trình (1); nếu coi f và g là hàm của n biến x 1 , x 2 , , x n trong không gian R thì (1) là phương trình của n ẩn x 1 , x 2 , , x n . Tập hợp các giá trị thừa nhận được của các đối số được gọi là miền xác định (tập xác định) của phương trình (1), đó là tập S = D 1 ∩ D 2 . Nếu x lấy giá trị a ∈ S mà f(a) = g(a) là một đẳng thức đúng thì a được gọi là một nghiệm của phương trình (1), hoặc a thỏa mãn phương trình (1), hoặc phương trình (1) được thỏa mãn với x = a. Có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau đây: 1) Phương trình vô nghiệm: Trong trường hợp này, không có giá trị a nào của S sao cho f(a) và g(a) bằng nhau, tức là f (a) = g(a) là một mệnh đề sai với mọi a ∈ S. Nói khác đi, tập nghiệm M của phương trình (1) là rỗng: M = ∅. 2) Bất kỳ giá trị a nào của S (a ∈ S ) cũng thỏa mãn phương trình, tức 6 Phạm Thị Thùy K6 - ĐHSP Toán là M = S. Trong trường hợp này phương trình là hằng đẳng trên S. 3) Có ít nhất một giá trị ( nhưng không phải mọi giá trị ) a ∈ S thỏa mãn phương trình (1) thì phương trình có nghiệm là a, a ∈ M, M ⊂ S. Trường hợp 2) và 3) ta nói rằng phương trình có nghiệm. Giải một phương trình là tìm tập hợp nghiệm M của nó. Nếu M được biểu thị bởi một hay nhiều công thức thì chúng được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình.M có thể là một tập hữu hạn hay vô hạn. Có nhiều phương pháp để giải một phương trình, chẳng hạn: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp dùng đồ thị hàm số, định lí Viét, đặt ẩn phụ,  Phương trình không mẫu mực Phương trình không mẫu mực là dạng phương trình đặc biệt, khó có thể giải bằng những phương pháp thông thường như: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp dùng đồ thị hàm số, định lí Viét, 1.2 Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực 1.2.1 Phương pháp đưa về phương trình tích a) Nhận xét chung Giải phương trình f(x) = 0. Phương pháp: - Thực hiện các phép biến đổi đại số, ta có: f(x) = 0 ⇔ f (x) = f 1 (x).f 2 (x) ···f n (x) = 0 (phương trình tích) ⇔  f 1 (x) = 0 (1) f 2 (x) = 0 (2) ··· f n (x) = 0 (n) Trong đó (1), (2), ··· , (n) là những phương trình quen thuộc mà ta đã biết cách giải. Khi đó nghiệm của phương trình ban đầu là tập hợp nghiệm của các phương trình (1), (2), ··· , (n) - Đôi khi ta sử dụng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn rồi 7 Phạm Thị Thùy K6 - ĐHSP Toán đưa phương trình về dạng tích (với ẩn phụ). Giải phương trình với ẩn phụ rồi tìm nghiệm của phương trình đã cho. - Dùng cách nhóm hoặc tách các số hạng hoặc nhân chia với lượng liên hợp, để đưa phương trình về dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải. b) Bài tập vận dụng Bài tập 1. Giải phương trình : (34 −x) 3 √ x −1 − (x + 1) 3 √ 34 −x 3 √ 34 −x − 3 √ x + 1 = 30 Lời giải: ĐK: 3 √ 34 −x − 3 √ x + 1 = 0 ⇔ x = 33 2 Ta có: (34 −x) 3 √ x −1 − (x + 1) 3 √ 34 −x 3 √ 34 −x − 3 √ x + 1 = 30 (1) ⇔ 3 √ 34 −x. 3 √ x + 1( 3  (34 −x) 2 − 3  (x + 1) 2 ) 3 √ 34 −x − 3 √ x + 1 = 30 ⇔ 3 √ 34 −x. 3 √ x + 1( 3 √ 34 −x + 3 √ x + 1) = 30 (2) ⇔ 3 3 √ 34 −x. 3 √ x + 1( 3 √ 34 −x + 3 √ x + 1) = 90 (3) Cộng (34 −x) + (x + 1) = 35 vào hai vế của phương trình (3) ta có: (34 −x) + (x + 1) + 3 3 √ 34 −x. 3 √ x + 1( 3 √ 34 −x + 3 √ x + 1) = 125 ⇔ ( 3 √ 34 −x + 3 √ x + 1) 3 = 125 ⇔ 3 √ 34 −x + 3 √ x + 1 = 5 (4) Từ (2) và (4) ta có: 5 3 √ 34 −x. 3 √ x + 1 = 30 ⇔ 3  (34 −x)(x + 1) = 6 ⇔ (34 − x)(x + 1) = 216 ⇔ x 2 − 33x + 182 = 0 ⇔  x = 7 x = 26 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 7 và x = 26 Bài tập 2. Giải phương trình: 5 3  x 5 √ x + 3 5  x 3 √ x = 8 Lời giải: TXĐ: x ∈ R 8 Phạm Thị Thùy K6 - ĐHSP Toán 5 3  x 5 √ x + 3 5  x 3 √ x = 8 ⇔ 5 3  5 √ x 6 + 3 5  3 √ x 4 = 8 ⇔ 5 15 √ x 6 + 3 15 √ x 4 = 8 (∗) Đặt y = 15 √ x 2 , (y ≥ 0) , ta có: (∗) ⇔ 5y 3 + 3y 2 − 8 = 0 ⇔ (y − 1)(5y 2 + 8y + 8) = 0 ⇔  y − 1 = 0 5y 2 + 8y + 8 = 0 (phương trình vô nghiệm) ⇔ y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ⇒ 15 √ x 2 = 1 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = −1 Bài tập 3. Giải phương trình:      x +     x + ··· +  x + √ 4x + 1 + 1 2    2011dấu căn = 1 (∗) Lời giải : ĐK: x ≥ − 1 4 Ta có: x + √ 4x + 1 + 1 2 = 4x + 1 + 2 √ 4x + 1 + 1 4 =  √ 4x + 1 + 1 2  2 Sau 2011 lần biến đổi như trên ta được: (∗) ⇔ √ 4x + 1 + 1 2 = 1 ⇔ √ 4x + 1 = 1 ⇔ 4x = 0 ⇔ x = 0 Vậy nghiệm của phương trình là x = 0. Bài tập 4. Giải phương trình: (x −2) 6 + (x −4) 6 = 64 Lời giải: Đặt t = x − 3 ⇒ x = t + 3 9 Phạm Thị Thùy K6 - ĐHSP Toán Phương trình đã cho ⇔ (t + 1) 6 + (t −1) 6 = 64 ⇔ t 6 + 15t 4 + 15t 2 − 31 = 0 (∗) Đặt y = t 2 (y ≥ 0), ta được: (∗) ⇔ y 3 + 15y 2 + 15y − 31 = 0 ⇔ (y −1)(y 2 + 16y + 31) = 0 ⇔  y − 1 = 0 (y 2 + 16y + 31) = 0 ⇔  y = 1 y = −8 ± √ 33 < 0 (loại) ⇒ y = 1 ⇒ t 2 = 1 ⇒ (x − 3) 2 = 1 ⇔  x = 4 x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 2; x = 4 Bài tập 5. Giải phương trình: (4x −1)  x 2 + 1 = 2(x 2 + 1) + 2x − 1 Lời giải: Đặt y = √ x 2 + 1, y ≥ 0 (4x −1) √ x 2 + 1 = 2(x 2 + 1) + 2x − 1 ⇔ (4x −1)y = 2y 2 + 2x −1 ⇔ 2y 2 − (4x −1)y + 2x − 1 = 0 ⇔ 2y 2 − 4xy + y + 2x − 1 = 0 ⇔ 2y 2 − 4xy + 2y − y + 2x −1 = 0 ⇔ (2y 2 − 4xy + 2y) −(y − 2x + 1) = 0 ⇔ 2y(y − 2x + 1) − (y −2x + 1) = 0 ⇔ (y − 2x + 1)(2y − 1) = 0 ⇔  y = 2x − 1 y = 1 2 • Với y = 2x −1 ⇔ 2x −1 = √ x 2 + 1 ⇔  4x 2 − 4x + 1 = x 2 + 1 2x −1 ≥ 0 ⇔    3x 2 − 4x = 0 x ≥ 1 2 10 Phạm Thị Thùy K6 - ĐHSP Toán ⇔           x = 0 x = 4 3 x ≥ 1 2 ⇔ x = 4 3 • Với y = 1 2 ⇔ 1 2 = √ x 2 + 1 ⇔ x 2 + 1 = 1 4 (Phương trình vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4 3 1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a) Nhận xét chung Giải phương trình f(x) = g(x) TXĐ: D Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng: h(x) = M (M là hằng số, M ∈ D), trong đó ta luôn có:  h(x) ≥ M h(x) ≤ M Khi đó nghiệm của phương trình là các giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy ra. Hoặc Biến đổi phương trình về dạng: h(x) = r(x), trong đó ta luôn có: r(x) ≤ M ≤ h(x) ( M là hằng số, M ∈ D). Khi đó nghiệm của phương trình là các giá trị x thỏa mãn:  h(x) = M r(x) = M Hoặc Biến đổi phương trình về dạng: h(x) + r(x) = M + N (M, N ∈ D), trong đó ta luôn có: 11 [...]... như: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp dùng đồ thị, định lí Viét, 2.2 2.2.1 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực Phương pháp dùng bất đẳng thức a) Nhận xét chung Đối với những hệ phương trình mà có số phương trình nhỏ hơn hoặc bằng số ẩn trong hệ thì ta sử dụng phương pháp bất đẳng thức để giải hệ Phương pháp: - Sử dụng các bất đẳng thức thông dụng đối với một phương trình. .. ĐHSP Toán phương trình fi (x) = gi (x) có tập hợp nghiệm là Mi , thì tập hợp nghiệm m của hệ là M = Mi ; do đó nếu có một phương trình của hệ là vô nghiệm i=1 thì hệ là vô nghiệm Các phương pháp giải hệ phương trình: Biến đổi tương đương, dùng đồ thị, định lí Viét, Hệ phương trình không mẫu mực Hệ phương trình không mẫu mực là hệ phương trình có dạng đặc biệt, khó có thể giải bằng những phương pháp thông... điều kiện)   z = 1890  x = 19  Vậy phương trình đã cho có một nghiệm y = 5   z = 1890 28 Chương 2 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 2.1 Khái niệm hệ phương trình Hệ phương trình không mẫu mực Cho m phương trình: f1 (x) = g1 (x) f2 (x) = g2 (x) ··· fm (x) = gm (x) có miền xác định lần lượt là S1 , S2 , , Sm Khi đó ta có hệ m phương trình :  f1 (x) = g1 (x)    f (x)... (1) và (2) ⇒ ⇒ |x − 2007|1956 + |x − 2008|1981 < 1 Vậy phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm x = 2007; x = 2008 1.2.4 Phương pháp đưa về hệ phương trình a) Nhận xét chung Phương pháp: - Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung (nếu cần) - Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc - Ta có thể biến đổi phương trình về dạng một vế là tổng bình phương. .. 0; x = 1 Khi đó phương trình đã cho có ngiệm ⇔ dấu " = " ở các bất đẳng thức (∗) và (∗∗) xảy ra x=0 ⇔ x=1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0; x = 1 1.2.3 Phương pháp chứng minh duy nhất nghiệm a) Nhận xét chung Tùy theo dạng và điều kiện của phương trình ta có thể tính nhẩm nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ phương trình chỉ có những nghiệm đó bằng một trong những phương pháp thông dụng:... trong hệ ta được nghiệm của phương trình là các giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy ra Kết hợp với các phương trình khác ta được nghiệm của hệ ban đầu - Ta có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải hệ - Ta có thể dự đoán, tìm nghiệm của hệ rồi sử dụng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm đó là duy nhất b) Bài tập vận dụng 30 Phạm Thị Thùy K6 - ĐHSP Toán Bài tập 1 Giải hệ phương trình: ... a, b là nghiệm của phương trình: X 2 + 4X + 7 = 0 trình vô nghiệm) (phương ⇒ vô nghiệm a, b • Xét a+b=2 ab = 1 Khi đó a, b là nghiệm của phương trình: X 2 − 2X + 1 = 0 ⇔ X = 1 ⇔a=b=1⇔ x=1 √ 2 − x2 = 1 ⇒x=1 Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình Bài tập 3 Giải phương trình: √ √ √ 4 x−2+ 46−x= 2 Lời giải: Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 6 √ a= 4x−2≥0 Đặt: √ b= 46−x≥0 ⇒ a4 = x − 2 4 b =6−x √ Phương trình đã cho ⇔ a +... ∀x : x > 1 không thể là nghiệm của phương trình (3) • Với 0 < x < 1 ta có: xx < 1x = 1 2 x2 < x ⇒ x − x2 > 0 ⇒ 10x−x > 100 = 1 2 ⇒ 10x−x > xx Do đó với ∀x : 0 < x < 1 không thể là nghiệm của phương trình (3) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Bài tập 4 Giải phương trình: x + xlog2 3 = xlog2 5 , x > 0 Lời giải: x > 0 ⇒ xlog2 5 = 0 20 Phạm Thị Thùy K6 - ĐHSP Toán Chia hai vế của phương trình x +... (x) m m (∗) (trong đó mỗi phương trình đều được xét trên miền xác định chung của m hệ S = Si ) là kí hiệu của hàm mệnh đề: “Giá trị tại x của hai hàm số i=1 trong từng phương trình là bằng nhau” Một giá trị a ∈ S của x làm cho từng phương trình đều trở thành đẳng thức đúng: fi (a) = gi (a), (i = 1, 2, , m), được gọi là một nghiệm của hệ (∗) Trong trường hợp này ta nói hệ phương trình có nghiệm Nếu mỗi... ⇒ 2x 2 +3 > 20+3 = 8 (3) 2 và 3x > 30 = 1 (4) Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: 2x 2 +3 2 + 3x > 20+3 + 30 = 9 ⇒ Với ∀x = 0 ta luôn có 2x 2 +3 2 + 3x > 9 ⇒ ∀x = 0 không là nghiệm của phương trình (2) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 2 Bài tập 3 Giải phương trình: xx = 10x−x , với x > 0 Lời giải: 2 xx = 10x−x , với x > 0 (3) Ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình Ta chứng minh nghiệm . mình. 2. Mục tiêu của khóa luận - Mục tiêu khoa học công nghệ: Nghiên cứu về phương trình, hệ phương trình không mẫu mực và phương pháp giải. - Sản phẩm khoa học công nghệ: Xây dựng tài liệu về