BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ  BÀI TẬP LỚN Đề tài: Sự liên tục của hàm số. Các sinh viên thực hiện: 1. Nguyễn Văn Toàn 2. Nguyễn ĐìnhThức 3. Lê VĩnhThuyên 4. Nguyễn Văn Tịnh 5. Cao Văn Tiến Lớp: 11CDCK02 A.Mở Đầu: -Vai trò của đề tài: sư liên tục của hàm số được chúng ta áp dụng vào để chứng minh một hàm số liên tục tại một điểm,hàm số liên tục trên nửa khoảng hoặc một đoạn, chứng minh phương trình có nghiệm và xét dấu một biểu thức phức tạp và xét dấu của hàm số trong khảo xác hàm số (bảng biến thiên và tìm đường các đường tiệm cận của hàm số). Ngoài ra nó cũng được dùng để tìm giá trị gần đúng nghiệm của phương trình,tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất. - Vị trí: Nó chiếm một vị trí quan trọng trong Giải Tích và trong các ngành Toán học khác. B.Nội dung: I.Các khái niệm cơ bản: 1.Các định nghĩa: 1.1 Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b), ),( 0 bax ∈ , Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại 0 x nếu. Trường hợp )()(lim 0 0 xfxf xx = − → thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm 0 x , )()(lim 0 0 xfxf xx = + → thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm 0 x . Vậy f liên tục tại 0 x ⇔ )()(lim)(lim 0 00 xfxfxf xxxx == −+ →→ Nếu hàm số không liên tục tại 0 x thì f được gọi là gián đoạn tại điểm 0 x Vậy f gián đoạn tại điểm 0 x khi không tồn tại )(lim 0 xf xx→ hoặc )()(lim 0 0 xfxf xx ≠ → 1.2 Định nghĩa 2: Hàm số f(x) liên tuc trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Hàm số f(x) liên tuc trên đoạn [a,b] nếu nó liên tục trên khoảng (a,b) và )()(lim),()(lim bfxfafxf bxax == −+ →→ 2. Tính chất của hàm số liên tục: 1: a. Hàm đa thưc liên tục trên R. b. Các phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên lục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. 2.Giả sử y=f(x) và y=g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó: a) Các hàm số y=f(x)+ g(x), y=f(x)- g(x), y=f(x).g(x) liên tục tại điểm x0. b) Hàm số y=- )( )( xg xf liên tục tại điểm x0 nếu 0)( ≠ xg . 3. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a,b]. Nếu )()( bfaf ≠ thì với mỗi số thực M nằm giữa )(af và )(bf , tồn tại ít nhất một điểm ),( bac ∈ sao cho .)( Mcf = 4.Định lí 1:Hàm f(x) liên tục trên [ a;b ] thì bị chặn trên đó. 5. Định lí 2:Hàm f(x) liên tục trên [ a; b] thì luôn đạt giá trị lớn nhất và bé nhất. 6.Định lí 3:( Cauchy) Hàm f(x) liên tục trên [ a;b] thì nó nhận mọi giá trị trung gian nằm giữa Max và Min. 7.Hàm f(x) được gọi là liên tục đều trên A nếu: 0,0 >∃>∀ δε :",', AxAx ∈∀∈∀ εδ <−⇒<− )"()'("' xfxfxx 8)Hàm f(x) liên tục đều trên A thì nó liên tục trên a. 9) Định lí 4:( Cantor) Hàm f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì liên tục đều trên đoạn đó. II.Ứng dụng: 1.Phương pháp:  Tính ).( 0 xf  Tìm .)(lim 0 xf xx→ Nếu )()(lim 0 0 xfxf xx = → thì hàm số f liên tục tai 0 x . 2.Ví dụ: Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) 2 16 nêu x 4 ( ) 4 4 nêu x 4 x f x x x  − ≠  = −   + =  tại x = 4 b) 2 2 4 4 nêu x 1 ( ) nêu x < 1 x x f x x  + − ≥ =   tại x= 1 Giải: a) 2 16 nêu x 4 ( ) 4 4 nêu x 4 x f x x x  − ≠  = −   + =  tại x = 4 Ta có: f(4) = 8 2 4 4 4 4 16 lim ( ) lim 4 ( 4)( 4) lim 4 lim( 4) 8 x x x x x f x x x x x x → → → → − = − − + = − = + = 4 lim ( ) (4) x f x f → ⇒ = Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 4. Vấn đề1: Chứng minh hàm số liên tục tại một điểm. b) 2 2 4 4 nêu x 1 ( ) nêu x < 1 x x f x x  + − ≥ =   tại x =1 Ta có f(1) = 1 (1) 2 1 1 lim ( ) lim( 4 4) 1 x x f x x x + + → → = + − = 2 2 1 1 lim ( ) lim 1 1 x x f x x − − → → = = = 1 1 1 lim ( ) lim ( ) 1 lim ( ) 1 x x x f x f x f x + − → → → ⇒ = = ⇒ = Từ (1) và (2) ta có 1 lim ( ) (1) x f x f → = Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1. 3.Bài tập: 3.1.Xét tính liên tục của các hàm số sau: 1)        =− ≠ − +− 1 2 1 1 1 23 )( 2 2 xkhi xkhi x xx xf tại điểm x = 1; 2)        −=− −≠ + −−+ = 2 4 1 2 2 4103 )( xkhi xkhi x xx xg tại điểm x= -2; 3)      −≥+ −< + +− = 194 1 1 12 )( 3 xkhix xkhi x xx xh tại điểm x= -1; Giải: 1) Ta có : )1)(1( )2)(1( lim 1 23 lim)(lim 1 2 2 11 +− −− = − +− = →→→ xx xx x xx xf xxx ).1( 2 1 1 2 lim 1 f x x x =−= + − → Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 1 2) Ta có: ; 4 1 )2( −=−g )4103)(2( )4()103( lim 2 4103 lim)(lim 2 222 ++++ +−+ = + −−+ = −→−→−→ xxx xx x xx xg xxx )4103)(2( )3)(2( lim )4103)(2( 165 lim 2 2 2 ++++ ++− = ++++ −−− = −→−→ xxx xx xxx xx xx )2( 4 1 4103 )3( lim 2 f xx x x =−= +++ +− = −→ Vậy hàm số g liên tục tại x = 2. 3) Ta có : ;5)1( =−h ;594lim)(lim 11 =+= ++ −→−→ xxh xx 1 )12)(1( lim 1 12 lim)(lim 2 1 3 11 + +−+ = + +− = −−− −→−→−→ x xxx x xx xh xxx .5)122(lim 2 1 =+−= − −→ xx x Vì 5)1()(lim)(lim 11 =−== −+ −→−→ hxhxh xx nên hàm số h liên tục tại x = -1. 3.3.Xác định a để hàm số      = ≠ − −++ = 3 3 62 9292 )( 3 2 xkhia xkhi x xx xf liên tục tại x =3; Giải: Ta có : f(3)=a ; 62 62392 lim 62 9292 )(lim 3 2 3 3 2 3 − −+−+ = − −++ = →→ x xx x xx xf xx 1)9923)92()(3(2 )9(2 lim1 )3(2 392 lim 3 2 3 22 2 3 3 2 3 +++++− − =+ − −+ = →→ xxx x x x xx 9 2 1)9923)92(( 3 lim 3 2 3 22 3 = +++++ + → xx x x f liên tục tại x = 3 ⇔ )3()(lim 3 fxf x = → ⇔ 9 2 =a . 3.4.Cho hàm số f định bởi      = ≠ − +−+ = 1 1 1 37 )( 2 3 xkhia xkhi x xx xf Xác định a để hàm số liên tục tại x = 1. Giải: Ta có : ;)1( af = x x x x xx xf xxx 2 32 1 )7(3 1 lim 1 37 lim)(lim 3 2 1 2 3 11 + − + = − +−+ = →→→ 12 1 2 312 1 )71(3 1 3 2 −= + − + = Vì f liên tục tại x = 1 nên . 12 1 12 1 )1()(lim 1 −=⇒−== → afxf x 3.5 Cho hàm        ≥ + − + <≤− +−− = 0 2 4 01 11 )( xkhi x x a xkhi x xx xf xác định a để hàm số liên tục tại x = 0; Giải: Ta có: f(0) = a+2 2) 2 4 (lim)(lim 00 += + − += ++ →→ a x x axf xx 1 11 2 lim 11 lim)(lim 000 −= ++− − = +−− = −−− →→→ xx x xx xf xxx ⇒ f(x) lien tục tại x = 0, khi và chỉ khi : 312)(lim)(lim)0( 00 −=⇒−=+⇔== −+ →→ aaxfxff xx Vậy với a = -3 thì hàm số liên tục tại x = 0. 1.Phương pháp: Chứng minh hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc tập hơp đó. 2.Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số: 1)      ≤ − >− = 1 2 3 112 )( xnêu x xnêux xf trên R. Vấn đề 2: Chứng minh hàm số liên tục trên một tập hợp Giải: Ta có: f(x) = 2x -1 là hàm đa thức có tập xác định là R nên f(x) liên tục trên R ⇒ f(x) = 2x - 1 liên tục trên (1; +∞) f(x) = 2 3 x− là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là R nên f(x) = 2 3 x− liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên (-∞; 1) Ta lại có: f(1) = 1 1)12(lim)(lim 11 =−= ++ →→ xxf xx 1 2 3 lim)(lim 11 = − = −− →→ x xf xx )1()(lim 1 fxf x =⇒ → ⇒f(x) liên tục tại x = 1. Vậy f(x) liên tục trên R. 2)          −<≤−−+ =− −> − + = 2353 23 2 4 8 )( 2 3 xkhix xkhi xkhi x x xf Tìm các khoảng, nửa khoảng mà trên đó hàm số f(x) liên tục. Giải: Với mọi );2( ∞+−∈x thì 4 8 )( 2 3 − + = x x xf . Vì 04 2 ≠−x với mọi x > -2 nên hàm số f xác định trên );2( ∞+− . Ta có : ),;2( 0 ∞+∈∀ x )( 4 8 4 8 lim)(lim 0 2 0 3 0 2 3 00 xf x x x x xf xxxx = − + = − + = →→ nên f liên tục trên );2( ∞+− . Với mọi )2;3[ −−∈x thì 03 ≥+ x nên 53)( −+= xxf vác định trên [-3;2). Ta có: )2;3[ 0 −∈∀ x , )(53)53(lim)(lim 00 00 xfxxxf xxxx =−+=−+= →→ nên f liên tục nửa khoảng [-3;-2]. Tại ,2 0 −= x ta có f(-2) = -3. Vì )2(453(lim)(lim 22 −≠−=−+= −− −→−→ fxxf xx nên hàm số f không liên tục tại x = -2 Vậy hàm số f liên tục trên );2( ∞+− và trên [-3;2). 3.Bài tập: 3.1 .Cho hàm số f xác định bởi      ≤− > −+ − = 2202 2 22 4 )( 2 xkhix xkhi x x xf Chứng minh rằng hàm số f liên tục trên xác định của nó. Giải: TXD: R. Với mọi ),;2( 0 −∞∈x ta có : ).( 22 4 22 4 lim)(lim 0 0 2 0 2 00 xf x x x x xf xxxx = −+ − = −+ − = →→ ⇒ hàm số liên tục trên khoảng );2( ∞+ . Với mọi ),2;( 0 −∞∈x ta có: )(202)202(lim)(lim 00 00 xfxxxf xxxx =−=−= →→ ⇒ hàm số liên tục trên khoảng )2;( ∞− . Tại ,2 0 =x ta có f(-2)=16; 4)2( )22)(2)(2( lim 22 4 lim)(lim 2 2 22 −+ +++− = −+ − = +++ →→→ x xxx x x xf xxx .16)202(lim)(lim 22 −=−== −− →→ xxf xx Vì )2()(lim)(lim 22 fxfxf xx == −+ →→ nên f liên tục tại x =2. Vậy hàm số f liên tục trên R . 3.2.Cho hàm số      = ≠ − +− = 2 2 2 65 )( 2 xkhia xkhi x xx xf tìm a để hàm số liên tục trên R. Giải Với x ≠ 2 thì 2 65 )( 2 − +− = x xx xf hàm số liên tục trên R Với x =2 thì ta có f(2) = a 1)3(lim )2( )2)(3( lim 2 65 lim)(lim 22 2 22 −=−= − −− = − +− = →→→→ x x xx x xx xf xxxx . Nếu a = -1 thì f(2) = )(lim 2 xf x→ nên f(x) liên tục tại x = 2. Nếu a ≠ -1 thì f(2) ≠ )(lim 2 xf x→ nên f(x) không liên tục tại x = 2. Vậy a = -1 thì f(x) liên tục trên R. 3.3 Xác định a để hàm số liên tục      =− ≠ − +− = 212 2 2 107 )( 2 xnêua xnêu x xx xf tại x = 2. Giải a)      =− ≠ − +− = 212 2 2 107 )( 2 xnêua xnêu x xx xf tại x= 2 Ta có: f(2) = -2a – 1 2 107 lim)(lim 2 22 − +− = →→ x xx xf xx 3)5(lim 2 )5)(2( lim 22 −=−= − −− = →→ x x xx xx Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 )2()(lim 2 fxf x =⇔ → 122123 =⇔−=−⇔−−=−⇔ aaa Vậy a = 1 thì f(x) liên tục tại x = 2. 3.3 Xác định a để hàm số liên tục    ≤+ >− = 21 25 )( 2 xNêux xNêuax xf trên R. Giải: Ta có: 2 5)( axxf −= là hàm đa thức có tập xác định là R nên hàm số 2 5)( axxf −= liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên (2; +∞) f(x) = x + 1 là hàm đa thức có tập xác định là R nên hàm số f(x) = x + 1 liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên (-∞; 2) (2) Ta lại có: f(2) = 2 + 1 = 3 aaxxf xx 45)5(lim)(lim 2 22 −=−= ++ →→ 312)1(lim)(lim 22 =+=+= −− →→ xxf xx Từ (1) và (2) ⇒ Hàm số f(x) liên tục trên R\{2} ⇒ (f(x) liên tục trên R ⇔ f(x) liên tục tại x = 2 2 2 lim ( ) lim ( ) (2) x x f x f x f + − → → ⇔ = = )2()(lim)(lim 22 fxfxf xx == −+ →→ 2 1 24345 −=⇔=⇔=−⇔ aaa Vậy a = 1 2 thì f(x) liên tục trên R. 3.4.Chứng tỏ rằng hàm      = ≠ = 00 0 1 sin. )( xnêu xnêu x x xf liên tục trên miền [ ] π ;0 . Giải: Hàm số f(x) xác định với mọi x ≠ 0. )0(0 1 sin.lim)(lim 00 f x xxf xx === →→ Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 0 ⇒ hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ 0; π ], do đó liên tục đều trên [ 0; π ] ( theo định lí Cantor ) 3.5. Cho hàm      = ≠ = 01 0 sin )( xnêu xnêu x x xf Xét hàm số liên tục của f(x). Giải: Tại 0 0 ≠x thì các hàm sinx,x đêu liên tục tại 0 x do đó x xsin cũng liên tục tại 0 x Tại 0 0 =x ,khi đó )0(1 sin lim 0 f x x xx == → ,vậy f(x) cũng liên tục tại 0. Vậy hàm đã cho liên tục với mọi giái trị của x. 3.6.Cho hàm    ≥+ > = 0 0 )( xnêuax xnêue xf x Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên R. Giải: Với mọi x ≠ 0 thì hàm số f(x) liên tục . Ta có: 1lim 0 = → x x e aax x =+ → )(lim 0 f(0) = a Để f(x) liên tục tại x = 0 thì : ⇔=+= →→ )0()(limlim 00 faxe x x x a = 1. Vậy với a = 1 thì hàm số f(x) liên tục trên R. f(x) gián đoạn tại 0 x khi và chỉ khi f(x) không liên tục tại 0 x . Vấn dề 3: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) [...]... các phương trình sau có nghiệm với mọi tham số m: 7 a) m ( x − 7) ( x − 3) + 2 x − 5 = 0 (1) 2 b) ( m + m + 3)( x − 2) + 4 = 0 (2) Giải: 7 a.)Đặt f ( x) = m( x − 1) ( x − 3) + 2 x − 5 Phương trình (1) trở thành : f(x) = 0 Vì f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên f liên tục trên R Ta có: f(1).f(3) = (-3).(1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi tham số m 2 b.) Đặt g ( x) = (m + m + 3)(... − 2 = −2(m 2 + m + 1) = −2[(m + ) 2 + ] < 0 2 4 Ta có : g(2) =4 > 0 ; ⇒ g(2).g(0) < 0 Vì vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi tham số m 2 2 3 2 2 2 3.3 Chứng minh rằng phương trình : (m + 1) x − 2m x − 4 x + m + 1 = 0 (3) có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m Giải: 2 2 3 2 2 2 Đặt f ( x) = (m + 1) x − 2m x − 4 x + m + 1 Phương trình (3) trở thành f(x)=0 Vì f(x) là hàm đa thức xác... (1;+∞) • Mặc khác vì f(x) là hàm bậc ba nên phương trình f(x) = 0 có tối đa ba nghiệm Vậy phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt với mọi giá tri của tham số m 3 2 3.4.Chứng minh phương trình a cos 2 x + b sin x + cos x = 0 (1) luôn có nghiệm với mọi tham số a, b Giải: Đặt f ( x) = a cos 2 x + b sin x + cos x ⇒ f(x) xác định trên R và phương trình (1) trở thành f(x) = 0 x ∈ R, xlim0 f ( x) = a cos 2... 2 2 Ta lại có: π 3π π 3π f (0) + f (π ) + f ( ) + f ( ) = 0 f (0), f (π ), f ( ), f ( ) 2 2 2 2 Vì nên trong bốn số phải có hai số mà tích của chúng bé hơn hay bằng không Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi giá trị của tham số a,b 4 2 3.5 Chứng minh phương trình : x + 2 x − x − 3 = 0 ít nhất hai nghiệm thuộc (-1;1) Giải: 4 2 Đặt x + 2 x − x − 3 = 0 Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục... x = 0 Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm 1 Phương pháp: Biến đổi phương trình thành dạng f ( x) = 0 ;  Tìm hai số a,b sao cho f(a).f(b) < 0;  Chứng minh hàm số f liên tục trên [a;b] Từ đó suy ra phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b); Chú ý: Nếu f (a) f (b) ≤ 0 thì phương trình có nghiệm thuộc [a;b] • f (a ) lim f ( x) < 0 x→ −∞ Nếu hàm số f liên tục trên [ a; + ∞ ) và có thì phương... (a;b) và dấu của f(x) là dấu của f(c) với c là một số thuộc (a;b)″ 2.Ví dụ:Xét biểu thức sau: f ( x) = x 3 + x 2 − 4 x − 4 ; Giải: f ( x) = x 3 + x 2 − 4 x − 4 là hàm đa thức xác định trên R nên f liên tuc trên R Ta có : f(x) = 0 ⇔ x = 2, x = -1, x = -2 Trên khoảng (−∞ ; − 2) , hàm f(x) liên tục và phương trình f(x) = 0 vô nghiệm nên f(x) có dấu khômg đổi trên khoảng này Vì f(-3) = -10 < 0 do đó f(x) . )()(lim 0 0 xfxf xx ≠ → 1.2 Định nghĩa 2: Hàm số f(x) liên tuc trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Hàm số f(x) liên tuc trên đoạn [a,b] nếu nó liên tục trên khoảng (a,b). phương trình đã cho có nghiệm với mọi tham số m. 3.3 Chứng minh rằng phương trình : 0142)1( 222322 =++−−+ mxxmxm (3) có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. Giải: Đặt 142)1()( 222322 ++−−+=. f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt với mọi giá tri của tham số m. 3.4.Chứng minh phương trình 0cossin2cos =++ xxbxa (1) luôn có nghiệm với mọi tham số a, b. Giải: Đặt ⇒++= xxbxaxf cossin2cos)( f(x)