Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép thử biến cố 1.1.2 Quan hệ biến cố 1.1.3 Không gian biến cố sơ cấp 1.1.4 Các tính chất xác suất 10 Đại lượng ngẫu nhiên hàm phân phối xác suất 11 1.2.1 Đại lượng ngẫu nhiên 11 1.2.2 Hàm phân phối xác suất 12 1.2.3 1.3 1.1.1 1.2 Xác suất Hàm mật độ xác suất 13 Các tham số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 15 1.3.1 Kì vọng tốn 15 1.3.2 Phương sai 17 1.3.3 Mốt 20 1.3.4 Trung vị (Median) 20 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 22 2.1 Quy luật nhị thức B(n,p) 22 2.2 Quy luật phân phối chuẩn 24 2.2.1 Các tham số đặc trưng 27 Quy tắc 2σ 3σ 28 Quy luật bình phương (χ2 (n)) 29 2.3.1 Tính chất quy luật bình phương 30 2.3.2 Các tham số đặc trưng 30 Quy luật Student T (n) 31 2.2.2 2.3 2.4 Một số toán kiểm định giả thiết thống kê đơn giản 3.1 Thiết lập toán 3.2 Kiểm định giả thiết giá trị trung bình ĐLNN có phân phối chuẩn 34 34 37 3.2.1 Trường hợp σ biết 37 3.2.2 3.3 Trường hợp σ chưa biết 39 So sánh hai giá trị trung bình hai ĐLNN có phân phối chuẩn 3.3.1 2 Trường hợp σ1 , σ2 biết 42 3.3.2 3.4 41 2 2 Trường hợp σ1 , σ2 chưa biết (giả thiết σ1 = σ2 ) 44 Kiểm định xác suất đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức 3.5 Kiểm định giả thiết hai xác suất hai đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức 3.6 50 Kiểm định giả thiết tính độc lập hai dấu hiệu định tính 3.7 48 53 So sánh nhiều tỉ lệ đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức 56 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoa Toán −Lý −Tin, phịng khảo thí đảm bảo chất lượng, phịng đào tạo đại học, thầy tổ mơn Giải tích, đặc biệt giáo Phạm Thị Thái, người định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, động viên tơi có thêm nghị lực hồn thành khóa luận Nhân dịp tơi xin cảm ơn tới người thân bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Toán K51 ĐHSP Toán − Lý Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên thầy cô bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Sơn la, tháng năm 2014 Người thực Sinh viên: Vũ Thị Huệ MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Một số quy luật phân phối xác suất toán kiểm định giả thiết thống kê vấn đề có vị trí quan trọng xác suất nói riêng tốn học đại nói chung, vấn đề mở rộng lý thuyết xác suất Một số quy luật phân phối xác suất ứng dụng tốn kiểm định giả thiết thống kê có nhiều ứng dụng thực tế Để học tốt mảng kiến thức này, trước hết sinh viên phải tự trang bị cho kiến thức phương pháp chủ yếu tìm đọc tài liệu, tự nghiên cứu nội dung liên quan Trong chương trình Xác Suất Thống Kê bậc đại học thời gian học có hạn, số quy luật phân phối xác suất toán kiểm định giả thiết thống kê đề cập đến thông qua số khái niệm, công thức thơng qua số tính chất đơn giản mà chưa nêu mối liên hệ quy luật phân phối xác suất sử dụng tốn kiểm định giả thiết thống kê Cũng có nhiều sách trình bày vấn đề "Xác Suất Thống Kê" tác giả Đào Hữu Hồ, "Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán" tác giả Nguyễn Cao Văn Trong chương trình học tập sinh viên đại học, xác suất nghiên cứu chủ yếu sở xác suất cổ điển Để thấy rõ mối quan hệ Lý thuyết xác suất, cụ thể là: Một số quy luật phân phối xác suất, với thống kê toán, cụ thể là: Bài toán kiểm định giả thiết thống kê đơn giản Hơn cần làm rõ sở xây dựng để giải tốn kiểm định Xuất phát từ lí tơi mạnh dạn vào nghiên cứu "Một số quy luật phân phối xác suất ứng dụng tốn kiểm định giả thiết thống kê đơn giản" Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới hạn phạm vi nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số quy luật phân phối xác suất thông dụng toán kiểm định giả thiết thống kê liên quan đến quy luật phân phối Từ nghiên cứu việc ứng dụng quy luật phân phối xác suất số toán kiểm định giả thiết thống kê đơn giản 2.2 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu khóa luận số quy luật phân phối xác suất thông dụng toán kiểm định giả thiết thống kê đơn giản 2.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích trên, tơi đặt nhiệm vụ tìm hiểu trình bày lại vấn đề kiến thức có liên quan cách có hệ thống logic Từ xây dựng sở để giải toán kiểm định tương ứng Mỗi tốn có ví dụ áp dụng 2.4 Phương pháp nghiên cứu Do đặt nhiệm vụ đặc thù môn, chọn phương pháp sưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn, nhóm nghiên cứu Từ hệ thống lại kiến thức theo nội dung khóa luận 2.5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu nghiên cứu vấn đề quy luật phân phối xác suất thông dụng số toán kiểm định giả thiết thống kê theo cổ điển Bố cục Từ mục đích nhiệm vụ đặt bố cục đề tài xếp sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm ba chương: Chương 1: Trình bày kiến thức sở xác suất Chương đầu số nội dung kiến thức nên dẫn nội dung Một số kết không chứng minh Chương 2: Trình bày số quy luật phân phối xác suất thơng dụng Chương 3: Chương trình bày sở xây dựng tiêu chuẩn kiểm định số toán kiểm định giả thiết thống kê Đóng góp khóa luận Khóa luận trình bày cách có hệ thống kiến thức liên quan Xây dựng sở kiểm định cho số tốn kiểm định gỉa thiết, kèm theo ví dụ minh họa Khóa luận tài liệu tham khảo có giá trị cho bạn sinh viên quan tâm đến vấn đề số quy luật phân phối xác suất ứng dụng tốn kiểm định giả thiết thống kê đơn giản Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Xác suất Phép thử biến cố Trong tự nhiên xã hội, tượng gắn liền với nhóm điều kiện tượng xảy nhóm điều kiện gắn liền với thực Do muốn nghiên cứu tượng ta cần thực nhóm điều kiện ấy, chẳng hạn muốn quan sát việc xuất mặt sấp hay mặt ngửa đồng xu ta phải tung đồng xu, để xem viên đạn trúng bia hay trượt ta phải bắn viên đạn Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng xảy hay khơng gọi thực phép thử ngẫu nhiên (viết tắt phép thử) người ta thường kí hiệu phép thử G Gi , i = 1, n Cịn tượng xảy kết phép thử gọi biến cố kí hiệu A, B, C, Ví dụ 1.1 Phép thử gieo xúc xắc Ta kí hiệu biến cố: Bi = "Xuất mặt i chấm", i = 1, Bnt = "Xuất mặt có số chấm số nguyên tố" Bc = "Xuất mặt có số chấm số chẵn" Bl = "Xuất mặt có số chấm số lẻ" Ví dụ 1.2 Gieo hạt đậu tương xem phép thử " Gieo hạt đậu tương" Kết phép thử hạt nảy mầm khơng nảy mầm biến cố Như biến cố phép thử là: hạt nảy mầm, hạt không nảy mầm Như biến cố xảy phép thử gắn liền với thực Trong thực tế xảy loại biến cố sau: • Biến cố chắn biến cố định xảy thực phép thử, kí hiệu Ω • Biến cố biến cố định không xảy thực phép thử, kí hiệu • Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy không xảy thực phép thử Kí hiệu: A, B, C, Bi, i = 1, n 1.1.2 Quan hệ biến cố Định nghĩa 1.3 Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng đồng thời xảy phép thử Trường hợp ngược lại, hai biến cố xảy phép thử gọi khơng xung khắc Định nghĩa 1.4 Biến cố A gọi thuận lợi cho biến cố B biến cố A xảy kéo theo biến cố B xảy kí hiệu A ⊂ B Định nghĩa 1.5 Các biến cố A1 , A2 , , An gọi nhóm đầy đủ biến cố kết phép thử xảy biến cố Nói cách khác biến cố nói tạo nên nhóm đầy đủ biến cố chúng xung khắc đôi với tổng chúng biến cố chắn Ví dụ 1.6 Phép thử gieo xúc xắc Ta kí hiệu biến cố: Bi = "Xuất mặt i chấm", i = 1, Bnt = "Xuất mặt có số chấm số nguyên tố" Bc = "Xuất mặt có số chấm số chẵn" Bl = "Xuất mặt có số chấm số lẻ" Khi Bc Bl hai biến cố xung khắc với Biến cố B2 thuận lợi cho biến cố Bc , kí hiệu B2 ⊂ Bc Biến cố B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 tạo nên nhóm đầy đủ biến cố Định nghĩa 1.7 Hai biến cố A A gọi đối lập với chúng tạo nên nhóm đầy đủ biến cố Ví dụ 1.8 Bắn viên đạn vào bia Gọi A biến cố "Đạn bắn trúng bia", A biến cố " Đạn bắn trượt bia" Khi A A hai biến cố đối lập 1.1.3 Không gian biến cố sơ cấp Định nghĩa 1.9 Khi phép thử thực xuất nhiều biến cố khác Các biến cố chia thành biến cố khác gọi biến cố sơ cấp Tập hợp biến cố sơ cấp phép thử gọi không gian biến cố sơ cấp kí hiệu Ω Định nghĩa 1.10 Xác suất xuất biến cố A phép thử tỉ số số biến cố thuận lợi cho A tổng số biến cố đồng khả xảy thực phép thử Nếu kí hiệu P (A) xác suất biến cố A, m số kết cục thuận lợi cho biến cố A, n số kết cục đồng khả phép thử ta có m n Nhận xét 1.11 • Biến cố đồng khả xảy thực P (A) = phép thử biến cố sơ cấp phép thử đó, • Xác suất biến cố cho phép ta đánh giá khả xuất biến cố Ví dụ 1.12 25 hành khách lên ngẫu nhiên toa tàu Tìm xác suất để a) Toa thứ có hành khách b) Mỗi toa có hành khách Giải a) Số cách phân ngẫu nhiên 25 hành khách lên toa tàu 525 Gọi A biến cố "Toa thứ có hành khách" Số cách phân ngẫu nhiên 25 hành khách lên toa tàu mà toa thứ có 4 hành khách C25 421 C25 421 Do P (A) = 525 b) Gọi B biến cố "Mỗi toa có hành khách" Số cách phân ngẫu nhiên 25 hành khách lên toa tàu mà toa có 25! 5 5 hành khách C25 C20 C15 C10 C5 = (5!)5 25! 25! (5!)5 Do P (B) = 25 = (5!)5 525 1.1.4 Các tính chất xác suất • Xác suất biến cố ngẫu nhiên số thuộc đoạn [0; 1], tức ≤ P (A) ≤ • Xác suất biến cố chắn P (Ω) = • Xác suất biến cố khơng thể khơng P ( ) = • Nếu A ⊂ B P (A) P (B) • Nếu A, B hai biến cố P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A.B) 10 Trong trường hợp có mẫu n > 30 phân phối Student G có phân phối xấp xỉ chuẩn N (0, 1) Do trường hợp người ta thay phân phối Student phân phối chuẩn Ta tìm miền bác bỏ tương ứng Ví dụ 3.6 Để đánh giá xem kích thước trung bình sản phẩm hai nhà máy sản xuất loại sản phẩm, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 10 sản phẩm nhà máy 12 sản phẩm nhà máy Kết cho bảng sau: Nhà máy Kích thước (X) 3,4 3,5 3,7 3,9 Tần số ni Nhà máy Kích thước (Y) 3,2 3,4 3,6 Tần số mj 2 Giả sử X, Y có phân phối chuẩn dạng N (a1 ; σ ) N (a2 ; σ ) Hãy kiểm tra xem kích thước trung bình sản phẩm hai nhà máy có khơng với mức ý nghĩa α = 0, 05 Giải Bài toán kiểm định H : a1 = a2 , K : a1 = a2 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 tra bảng giá trị tới hạn phân phối Student (20) ta có t0,05 = 2, 09 Miền bác bỏ H mức α = 0, 05 Wα = (−∞; −2, 09) ∪ (2, 09; +∞) Ta có (3, 4.2 + 3, 5.3 + 3, 7.4 + 3, 9.1) = 3, 10 Y = (3, 2.2 + 3, 4.2 + 3, 6.8) = 3, 12 n m 2 Sp = (Xi − X) + (Yj − Y )2 n + m − i=1 j=1 X= 46 2.(3, − 3, 6)2 + 3.(3, − 3, 6)2 + + 8.(3, − 3, 5)2 10 + 12 − = 0, 026 √ =⇒ Sp = 0, 026 = 0, 16 = Tính giá trị G= X −Y 3, − 3, = = 1, 45 1 1 Sp + 0, 16 + n m 10 12 Ta thấy G = 1, 45 ∈ Wα , ta chấp nhận giả thiết H mức α = 0, 05, / tức kích thước trung bình sản phẩm hai nhà máy sản xuất Ví dụ 3.7 Người ta thí nghiệm hai phương pháp chăn ni gà khác Sau tháng kết tăng trọng sau: Theo phương pháp 1: Người ta lấy ngẫu nhiên 100 gà đem cân tính trọng lượng trung bình 1, 1kg S ∗2 (X) = 0, 04 Theo phương pháp 2: Người ta lấy ngẫu nhiên 150 gà đem cân tính trọng lượng trung bình 1, 2kg S ∗2 (Y ) = 0, 09 Giả thiết trọng lượng X, Y tương ứng với phương pháp 1, phương pháp gà sau tháng có phân phối chuẩn phương sai chúng Với mức ý nghĩa α = 0, 05 kết luận phương pháp hiệu phương pháp hay không? Giải Giả sử X N (a1 , σ1 ), Y 2 N (a2 , σ2 ), σ1 = σ2 Bài toán kiểm định H : a1 = a2 , K : a1 < a2 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 ta giá trị tới hạn phân phối chuẩn u0,05 = 1, 65 Miền bác bỏ giả thiết H mức α = 0, 05 Wα = (−∞; −1, 65) 47 Tính giá trị Sp = 99.0, 04 + 149.0, 09 ≈ 0, 265 100 + 150 − 1, − 1, −0, = = −2, 293 0, 265.0, 129 1 Sp + 100 150 Vì G ∈ Wα nên giả thiết H bị bác bỏ, ta tạm thời chấp nhận đối Do G = thiết K đúng, tức phương pháp hiệu phương pháp 3.4 Kiểm định xác suất đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Giả sử ĐLNN X B(n, p) Lập mẫu ngẫu nhiên (X1 , X2 , , Xn ) từ ĐLNN X, p0 số cho trước Với mức ý nghĩa α cho trước ta kiểm định giả thiết H : p = p0 Đặt f = X , f ĐLNN có n E(f ) = E( X np ) = E(X) = =p n n n D(f ) = D( X p(1 − p) ) = np.(1 − p) = n n n Do ĐLNN G= f − E(f ) D(f ) = f −p p.(1 − p) √ n N (0, 1) Nếu giả thiết H : p = p0 f − p0 √ G= n có phân phối chuẩn N (0, 1) (tức qui luật G p0 (1 − p0 ) hoàn toàn xác định) Ta xét  cặp giả thiết thống kê sau: H : p = p0 • Nếu K : p = p 48 với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm hai giá trị tới hạn u α u1− α = −u α phân phối chuẩn N (0, 1) cho 2 P [G ∈ Wα |H] = P [G < −u α ] + P [G > u α ] = 2 α α + = α 2 Do miền bác bỏ giả thiết H Wα = −∞; −u α ∪ u α ; +∞ 2 (3.13)  H : p = p0 • Nếu K : p > p với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm giá trị tới hạn uα phân phối chuẩn N (0, 1) cho P [G ∈ Wα |H] = P [G > uα ] = α Do miền bác bỏ phía giả thiết H Wα = (uα ; +∞) (3.14)  H : p = p0 • Nếu K : p < p lập luận tương tự ta có P [G ∈ Wα |H] = P [G < −uα ] = α Suy miền bác bỏ phía giả thiết H Wα = (−∞; −uα ) (3.15) Ví dụ 3.8 Một kho hạt giống có tỉ lệ nảy mầm 0, Ngẫu nhiên thiết bị hỏng làm thay đổi điều kiện bên kho Người ta lấy ngẫu nhiên 200 hạt thấy có 140 hạt nảy mầm Với mức ý nghĩa α = 0, 05, hỏi tỉ lệ hạt nảy mầm cịn giữ ngun hay khơng? Giải Giả sử X B(n, p) Gọi p tỉ lệ hạt nảy mầm kho, 49 f tỉ lệ hạt nảy mầm kho theo mẫu lấy ra, 140 ta có f = = 0, 200 Bài toán kiểm định giả thiết H : p = 0, 9; K : p < 0, Với mức ý nghĩa α = 0, 05 tra bảng phân phối chuẩn ta u0,05 = 1, 65 Miền bác bỏ giả thiết H mức α = 0, 05 Wα = (−∞; −1, 65) Tính giá trị G= 0, − 0, √ 0, 9(1 − 0, 9) 200 = −0, √ 200 = −9, 43 0, Nhận thấy G ∈ Wα nên ta bác bỏ giả thiết H chấp nhận đối thiết K, / tức thiết bị hỏng không làm thay đổi tỉ lệ hạt nảy mầm với mức ý nghĩa α = 0, 05 3.5 Kiểm định giả thiết hai xác suất hai đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Giả sử ĐLNN X B(n, p1 ), ĐLNN Y B(m, p2 ) Lập mẫu ngẫu nhiên (X1 , X2 , , Xn ) từ ĐLNN X (Y1 , Y2 , , Ym ) từ ĐLNN Y Với mức ý nghĩa α cho trước kiểm định giả thiết H : p1 = p2 Ta xét trường hợp n > 30, m > 30 X Gọi f1 = , f1 ĐLNN có n E(f1 ) = p1 , D(f1 ) = Gọi f2 = Y , f2 ĐLNN có m E(f2 ) = p2 , D(f2 ) = Do G = hay G = p1 (1 − p1 ) n f1 − f2 − (p1 − p2 ) p2 (1 − p2 ) m có phân phối chuẩn N (0, 1) D(f1 − f2 ) f1 − f2 − (p1 − p2 ) có phân phối chuẩn N (0, 1) p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 ) + n m 50 Nếu giả thiết H : p1 = p2 = p f1 − f2 G= có phân phối chuẩn N (0, 1) 1 + n m Vì p chưa biết nên dùng ước lượng cho p(1 − p) f= nf1 + mf2 n+m f1 − f2 Như G = có phân phối chuẩn N (0, 1) 1 + n m Ta xét cặp giả thiết thống kê sau:  H : p1 = p2 • Nếu K : p = p f (1 − f ) với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm hai giá trị tới hạn u α u1− α = −u α phân phối chuẩn N (0, 1) cho 2 P [G ∈ Wα |H] = P [G < −u α ] + P [G > u α ] = 2 α α + = α 2 Do miền bác bỏ giả thiết H Wα = −∞; −u α ∪ u α ; +∞ 2 (3.16)  H : p1 = p2 • Nếu K : p > p với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm giá trị tới hạn uα phân phối chuẩn N (0, 1) cho P [G ∈ Wα |H] = P [G > uα ] = α Do miền bác bỏ phía giả thiết H Wα = (uα ; +∞)  H : p1 = p2 • Nếu K : p < p 51 (3.17) lập luận tương tự ta có P [G ∈ Wα |H] = P [G < −uα ] = α Suy miền bác bỏ phía giả thiết H Wα = (−∞; −uα ) (3.18) Ví dụ 3.9 Có hai phương pháp gieo hạt: Theo phương pháp A gieo 100 hạt thấy có 80 hạt nảy mầm, theo phương pháp B gieo 150 hạt thấy có 90 hạt nảy mầm Hãy so sánh hiệu hai phương pháp mức α = 0, 05 Giải Gọi p1 , p2 tương ứng tỉ lệ hạt nảy mầm theo phương pháp A, phương pháp B Dẫn tới toán kiểm định  H : p1 = p2 K : P = p Với mức ý nghĩa α = 0, 05 tra bảng giá trị hàm phân phối chuẩn ta u0,0025 = 1, 96 Miền bác bỏ H mức α = 0, 05 Wα = (−∞; −1, 96) ∪ (1, 96; +∞) Tính giá trị G= 90 80 − 100 125 = 1, 378 1 80 + 90 80 + 90 + 1− 100 125 100 + 125 100 + 125 Nhận thấy G = 1, 378 ∈ Wα , ta chấp nhận giả thiết H, tức hiệu / hai phương pháp 52 3.6 Kiểm định giả thiết tính độc lập hai dấu hiệu định tính Giả sử cần nghiên cứu hai dấu hiệu định tính A, B tổng thể Dấu hiệu A có thành phần A1 , A2 , , As Dấu hiệu B có thành phần B1 , B2 , , Br Kiểm định giả thiết H : A B độc lập K : A B phụ thuộc với mức ý nghĩa α Lập bảng tương liên kích thước n B1 B B2 Br Tổng tần số A A1 n11 n12 n1r n1 A2 n21 n22 n2r n2 As ns1 ns2 nsr ns Tổng tần số m1 m2 mr n ni tổng tần số theo Ai , i = 1, s mj tổng tần số theo Bj , j = 1, r nij tổng tần số theo Ai Bj Khi n lớn ta có P (Ai Bj ) ≈ nij , i = 1, s, j = 1, r n ni mi , P (Bj ) ≈ n n Nếu H tức A B độc lập thành phần độc lập nên P (Ai ) ≈ P (Ai Bj ) = P (Ai ).P (Bj ) ⇔ ni mj ni mj = n n n Do s r G = χ2 = i=1 j=1 ni mj nij − n n ni mj n n 53 s r = i=1 j=1 ni mj nij − n ni mj n có phân phối bình phương với (s − 1)(r − 1) bậc tự Khi miền bác bỏ giả thiết H mức α Wα = (χ2 (s−1).(r−1) (α); +∞) Ví dụ 3.10 Làm thí nghiệm bón ba loại phân cho loại xem có ảnh hưởng tới việc hoa không ta kết sau: Chế độ phân bón Phân bón A Phân bón B Phân bón C Việc hoa Có hoa 40 75 63 Khơng hoa 15 12 12 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 xem chế độ phân bón việc hoa có phụ thuộc hay khơng? Giải Bài tốn kiểm định H : "Việc hoa độc lập với chế độ phân bón" K : "Chế độ phân bón ảnh hưởng đến việc hoa" Với mức ý nghĩa α = 0, 05 tra bảng bình phương ta χ2 (0, 05) = Miền bác bỏ H mức α = 0, 05 Wα = (6; +∞) ni mj Lập bảng tính tần số lí thuyết n Chế độ phân bón Phân bón A Phân bón B Phân bón C Tổng Việc hoa Có hoa 63 (71,36) (61,52) 15 12 12 (9,88) Tổng 75 (45,12) Không hoa 40 (15,64) (13,48) 55 87 75 54 178 39 217 Tính giá trị G (40 − 45, 12)2 (12 − 13, 48)2 G=χ = + + = 4, 46 45, 12 13, 48 Ta nhận thấy G ∈ Wα nên tạm thời chấp nhận giả thiết H, tức việc / hoa độc lập với chế độ phân bón Ví dụ 3.11 Kết áp dụng hai phương pháp giảng dạy khác cho hai nhóm học sinh có trình độ ban đầu sau: Kết Giỏi Khá Đạt Kém Phương pháp truyền thụ Phương pháp 24 123 35 18 Phương pháp 26 177 65 32 Với mức ý nghĩa α = 0, 05, hiệu hai phương pháp giảng dạy có khác hay khơng? Giải Bài tốn kiểm định H : "Chất lượng học tập học sinh độc lập với phương pháp truyền thụ" K : "Chất lượng học tập học sinh phụ thuộc với phương pháp truyền thụ" Với mức ý nghĩa α = 0, 05 tra bảng phân phối bình phương ta χ2 (0, 05) = 7, 815 Miền bác bỏ giả thiết H mức α = 0, 05 Wα = (7, 815; +∞) Lập bảng tính tần số lí thuyết ni mj n 55 Kết Giỏi Khá Đạt 24 123 35 Kém Tổng Phương pháp truyền thụ Phương pháp 18 200 (20) (120) (140) (20) Phương pháp 26 177 (30) (180) Tổng 50 300 65 32 (60) (30) 100 50 300 500 Tính giá trị (24 − 20)2 (123 − 120)2 (35 − 40)2 (18 − 20)2 G=χ = + + + 20 120 40 20 (26 − 30)2 (177 − 180)2 (65 − 60)2 (32 − 30)2 + + + + 30 180 60 30 = 2, 833 Ta thấy G ∈ Wα nên ta chấp nhận giả thiết H tức chất lượng học tập độc lập với việc truyền thụ (hay hai phương pháp chưa có hiệu khác rõ rệt) 3.7 So sánh nhiều tỉ lệ đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Giả sử có r tổng thể nghiên cứu X1 , X2 , , Xr có phân phối nhị thức với tham số p1 , p2 , , pr Kiểm định giả thiết H : p1 = p2 = = pr K : Có hai tỉ lệ khác Khi áp dụng tốn kiểm định tính độc lập hai dấu hiệu r đối tượng Nếu dấu hiệu độc lập với r đối tượng H Nếu dấu hiệu phụ thuộc r đối tượng K Do miền bác bỏ giả thiết H mức α Wα = (χ2 (α); +∞) r−1 56 Ví dụ 3.12 Điều tra theo nhóm lứa tuồi khác màu sắc sản phẩm mà doanh nghiệp A sản xuất thu kết sau: Ý kiến Thích Khơng thích Độ tuổi Dưới 25 tuổi 104 21 Từ 25 − 35 tuổi 122 28 Từ 36 − 40 tuổi 68 32 Từ 46 trở lên 41 34 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 nói tỉ lệ thích màu sắc lứa tuổi hay không? Giải Gọi p1 , p2 , p3 , p4 tương ứng tỉ lệ thích màu sắc theo độ tuổi 25 tuổi, từ 25 − 35 tuổi, từ 36 − 45 tuổi, từ 46 tuổi trở lên Khi ta có toán kiểm định sau H : p1 = p2 = p = p4 K : Có hai tỉ lệ khác Với mức ý nghĩa α = 0, 05 tra bảng phân phối bình phương ta χ2 (0, 05) = 7, 815 Vậy miền bác bỏ giả thiết H mức α = 0, 05 Wα = (7, 815; +∞) Lập bảng tính giá trị bình phương 57 Ý kiến Thích Khơng thích Tổng Độ tuổi Dưới 25 tuổi 28 (38,33) 68 32 (25,25) 41 34 (55,8) Tổng 122 (74,44) Trên 45 tuổi (39,14) (111,66) Từ 36 − 45 tuổi 21 (93,05) Từ 25 − 35 tuổi 104 (19,16) 335 115 125 150 100 75 450 Ta có χ2 = (104 − 93, 05)2 (21 − 39, 14)2 (34 − 19, 16)2 + + + = 30, 58 93, 05 39, 14 19, 16 Ta thấy G = 30, 58 ∈ Wα ta chấp nhận giả thiết H, tức tỉ lệ thích màu sắc lứa tuổi 58 KẾT LUẬN Trong khả điều kiện cho phép, bước đầu khóa luận giải vấn đề đặt ra: Trình bày số quy luật phân phối xác suất thông dụng sử dụng quy luật phân phối để xây dựng tiêu chuẩn kiểm định số tốn kiểm định giả thiết thống kê đơn giản Khóa luận đưa ví dụ có lời giải chi tiết sau toán kiểm định Do thời gian nghiên cứu có hạn kiến thức chuyên mơn chưa tích lũy nhiều nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp, giúp đỡ, góp ý kiến thầy, giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 59 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hộ (2001), Xác suất thống kê, Nxb Giáo dục [2] Đào Hữu Hồ (2007), Xác Suất Thống Kê, Nxb ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Văn Kiều (2008), Giáo trình xác suất thống kê, Nxb Giáo dục [4] Nguyễn Cao Văn (2005), Lý thuyết xác suất thống kê toán, Nxb Thống kê 60 ... hiểu số quy luật phân phối xác suất thông dụng toán kiểm định giả thiết thống kê liên quan đến quy luật phân phối Từ nghiên cứu việc ứng dụng quy luật phân phối xác suất số toán kiểm định giả thiết. .. tài Một số quy luật phân phối xác suất toán kiểm định giả thiết thống kê vấn đề có vị trí quan trọng xác suất nói riêng tốn học đại nói chung, vấn đề mở rộng lý thuyết xác suất Một số quy luật phân. .. suất, cụ thể là: Một số quy luật phân phối xác suất, với thống kê toán, cụ thể là: Bài toán kiểm định giả thiết thống kê đơn giản Hơn cần làm rõ sở xây dựng để giải tốn kiểm định Xuất phát từ