1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Đinh Văn Trường. Tổ Toán – Trường THPT Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh. SĐT: 01677.10.19.15 Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a)   3 4 1 3 3 3 log x log x log 3x 3    b) 3 4 1 8 16 log x log x log x 5    c)   2 2 4 2 x 3 log log x 4x 4 log 3 x 2       d)       8 4 2 2 1 1 log x 3 log x 1 log 4x 2 4     Bài giải: a) Điều kiện: x 0  3 3 3 3 log x 3log x 1 4log x 3 log x 1        Vậy PT có nghiệm x 3  . c) Điều kiện: x 3   hoặc x 2    2 2 2 x 3 log log x 2 log 3 x 2               2 2 x 3 x 2 x 3 x 2 log log 3 3 x 2 x 2           2 x 2x 12 0 x 1 13         Vậy PT có nghiệm x 1 13    . b) Điều kiện: x 0  2 2 2 2 1 log x 4log x log x 5 log x 2 2        Vậy PT có nghiệm 1 x 4  . d) Điều kiện: x 1        2 2 2 log x 3 log x 1 log 4x                2 2 log x 3 x 1 log 4x x 3 x 1 4x           2 x 1 L x 2x 3 0 x 3            Vậy PT có nghiệm x 3  . Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a)   2 x 3 1 log 3 1 2x x 2      b)   2 2 x log 2 log 4x 3   c) 2 3 x 4x 2x 2 4log x 2log x 3log x   d) 2 3 x 4x 16x 2 log x 40log x 14log x 0    Bài giải: a) Điều kiện: 3 x 2     2 3 1 2x x x 3 3 x 1 x 3            Xét hai trường hợp: *   2 x 1 1 x 4 VN x 9x 13 0 4 x x 3                   * 2 x 1 2 x 1 3 5 x 2 x 3x 1 0 x 2 x 3                        b) Điều kiện: 0 x 2   2 2 2 2 1 1 2 log x 3 log x 1 2 1 log x log x         2 2 2 2 2 2 2 1 log x log x 1 log x log x 2log x 0         2 2 log x 0 x 1 log x 2 x 4             Vậy PT có hai nghiệm x 1  hoặc x 4  . c) Điều kiện: 0 x 2   và 1 1 x ,x 2 4   + x 1  là một nghiệm của PT. + Với x 1  2 3 x 4x 2x 2 4log x 2log x 3log x    x x x 2 4 9 1 log 2 1 2log 2 1 log 2       2 2 x x 2 x 4 log x 2 6log 2 log 2 1 0 1 log x 3 x 8                   Vậy PT có ba nghiệm x 1  , x 4  , 1 x 8  . d) Điều kiện: 0 x 2   và 1 1 x ,x 16 4   Giải tương tự câu c). Kết quả: x 1  , 1 x 2  . 2 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a)     x x 1 2 1 2 log 4 4 x log 2 3      b)     x x 1 5 25 log 5 1 .log 5 5 1     Bài giải: a) Điều kiện: x 1 2 3 0        x x 1 2 2 log 4 4 log 2 3 x       x x x 2 x 1 x 1 4 4 4 4 log x 2 2 3 2 3           x x x 4 3.2 4 0 2 4 x 2         Vậy PT có nghiệm x 2  . b) Điều kiện: x 0      x x 5 5 1 log 5 1 . log 5 5 1 1 2         x x 5 5 log 5 1 . 1 log 5 1 2                  x 5 x 2 x 5 5 x 5 log 5 1 2 log 5 1 log 5 1 2 0 log 5 1 1                 Giải ra ta được nghiệm 5 26 x log 25  , 5 x log 6  Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a)   3 3 2 3 2 x 1 log 3x .log x log log x 2 3    b)   2 9 3 3 2log x log x.log 2x 1 1    c)   2 2 2 2 6 1 6 x log 5x 2x 3 x log 5x 2x 3 x 2x        d)     2 2 7 7 2 1 log x log x 3 2log x 3 log x 2            Bài giải: a) Điều kiện: x 0    3 2 3 2 1 1 1 log x .log x 3log x log x 2 2       3 3 2 3 2 log x 0 x 1 log x.log x 3log x 0 x 8 log x 3                Vậy PT có nghiệm x 1  , x 8  . c) Điều kiện: 3 x 5   hoặc x 1      2 2 2 2 6 6 1 x log 5x 2x 3 x log 5x 2x 3 x 2x 2            2 2 2 6 1 x 2x log 5x 2x 3 x 2x 2         2 2 6 x 0;x 2 x 2x 0 17 x 3;x log 5x 2x 3 2 5                     Vậy PT có nghiệm 4 nghiệm: x 0;x 2    ; x 3;   17 x 5  b) Điều kiện: x 0    2 3 3 3 1 log x log x.log 2x 1 1 2       3 3 3 log x 0 x 1 x 4 log x log 2x 1 1                Vậy PT có nghiệm x 1  , x 4  . d) Điều kiện: x 0       2 2 7 2 1 log x 2log x 1 log x 3 2log x 1 0 2           2 2 7 1 2log x 1 log x log x 3 0 2                2 2 7 2 7 1 log x x 2 2 log x log x 3 log x 2log x 3                  Giải PT bằng cách đặt t 2 log x t x 4    , ta được: t t t t 4 1 4 3 7 3. 1 t 0 7 7                    x 1   Vậy PT có nghiệm 4 nghiệm: x 2;x 1   . 3 Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: a)     2 2 1 2x 1 3x log 6x 5x 1 log 4x 4x 1 2 0          b)     2 2 3x 7 2x 3 log 4x 12x 9 log 6x 23x 21 4         Bài giải: a) Điều kiện: 1 0 x 3        2 1 2x 1 3x log 1 2x 1 3x log 1 2x 2 0              1 2x 1 3x log 1 3x 2log 1 2x 1 0             1 2x 1 2x 2 log 1 3x 1 0 log 1 3x             2 1 2x 1 2x log 1 3x log 1 3x 2 0               1 2x 2 1 2x 1 1 3x log 1 3x 1 1 2x log 1 3x 2 1 3x 1 2x                         Giải ra ta thu được các nghiệm 1 x 4  . b) Giải tương tự câu a). Kết quả: 1 x 4   . Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: a)   2 2 2 log x x 1 log x 2x 6 0      b)         2 3 3 x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0        Bài giải: a) Điều kiện: x 0  Đặt 2 t log x  . PT trở thành:   2 t x 1 t 2x 6 0      . Xem là PT bậc hai theo ẩn t. Ta có:   2 2 2 2 1 log x 2 t 2 x x 5 4 t x 2 log x x 2 log x x 2                               Vậy PT có nghiệm x 1  , x 8  . b) Giải tương tự câu a). Kết quả: 1 x 4   . Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: a)   2 3 2 log log log x 1      b)   x x 3 log log 9 6 1       b)       3 log log x log log x 2 0    Bài giải: a)   3 2 2 log log x 2 log x 9 x 512       b)         3 3 2 log logx. log x 2 0 log x. log x 2 1 3log x 2log x 1 0               3 x 10 log x 1 1 1 x log x 10 3                c) Điều kiện: 0 x 1       x x x x 3 log 9 6 x 9 3 6 0 3 3 x 1 L            Vậy PT đã cho vô nghiệm. 4 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: a)   4 6 4 2log x x log x   b)       2 2 2 2 3 6 log x x 1 .log x x 1 log x x 1        Bài giải: a) Điều kiện: x 0  3 3 3 3 log x 3log x 1 4log x 3 log x 1        Vậy PT có nghiệm x 3  . c) Điều kiện: x 3   hoặc x 2    2 2 2 x 3 log log x 2 log 3 x 2               2 2 x 3 x 2 x 3 x 2 log log 3 3 x 2 x 2           2 x 2x 12 0 x 1 13         Vậy PT có nghiệm x 1 13    . b) Điều kiện: x 0  2 2 2 2 1 log x 4log x log x 5 log x 2 2        Vậy PT có nghiệm 1 x 4  . d) Điều kiện: x 1        2 2 2 log x 3 log x 1 log 4x                2 2 log x 3 x 1 log 4x x 3 x 1 4x           2 x 1 L x 2x 3 0 x 3            Vậy PT có nghiệm x 3  . Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: a) 2 log x 3 x   b)   2 2 2 x 4x 5 x 2 log 2 2x 3 2x 3        Bài giải: a) Điều kiện: x 0  3 3 3 3 log x 3log x 1 4log x 3 log x 1        Vậy PT có nghiệm x 3  . c) Điều kiện: x 3   hoặc x 2    2 2 2 x 3 log log x 2 log 3 x 2               2 2 x 3 x 2 x 3 x 2 log log 3 3 x 2 x 2           2 x 2x 12 0 x 1 13         Vậy PT có nghiệm x 1 13    . b) Điều kiện: x 0  2 2 2 2 1 log x 4log x log x 5 log x 2 2        Vậy PT có nghiệm 1 x 4  . d) Điều kiện: x 1        2 2 2 log x 3 log x 1 log 4x                2 2 log x 3 x 1 log 4x x 3 x 1 4x           2 x 1 L x 2x 3 0 x 3            Vậy PT có nghiệm x 3  . Ví dụ 10. Giải các phương trình sau: a) 5 5 log 3 log x x 4 x   b) 2 2 2 log 9 log x log 3 2 x x .3 x  c)     3 2 log x 1 2 2 2 2 3x 2 log x 1 log x      d) 2 2 1 3 log x log x 2 2 2x 2  Bài giải: a) Điều kiện: x 0  3 3 3 3 log x 3log x 1 4log x 3 log x 1        Vậy PT có nghiệm x 3  . b) Điều kiện: x 0  2 2 2 2 1 log x 4log x log x 5 log x 2 2        5 c) Điều kiện: x 3   hoặc x 2    2 2 2 x 3 log log x 2 log 3 x 2               2 2 x 3 x 2 x 3 x 2 log log 3 3 x 2 x 2           2 x 2x 12 0 x 1 13         Vậy PT có nghiệm x 1 13    . Vậy PT có nghiệm 1 x 4  . d) Điều kiện: x 1        2 2 2 log x 3 log x 1 log 4x                2 2 log x 3 x 1 log 4x x 3 x 1 4x           2 x 1 L x 2x 3 0 x 3            Vậy PT có nghiệm x 3  . MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1.     8log21log3log 444  xx 2.   2652log 2 5   xx x 3.       12lg2021lg110lg5lg  xxx 4.                      8 1 lg 2 1 2 1 lg 2 1 lg 2 1 lg xxxx 5. 4lglg3lg 22  xxx 6. 02log3log 3 1 3 1  xx 7.   8 8 log4log 2 2 2 2 1  x x 8.     222log64log 2 5 5  xx 9. 1log2log 2 33  x x 10.     212log1log 53  xx 11.     01106log3log 2 2 2  xx 12. 1log 2 2   x xx 13. 12log.4log 2 2 2 xx x 14.   05,4lg1log x x 15. 3 3 log 3 log 22                x x x x 26. 33loglog.4 9  x x 27.   13log6log 22  xx 28.     3log3127log23log 2 2 2 2 2  xxxx 29.     0log211 2 2  xxxx 30.     61log1log 2 32 2 2 32   xxxx 31. 0 6 7 4log2log  x x 32. 225log.3logloglog 9535  xx 33.     1log2 2log 1 13log 2 3 2   xx x 34. xxxx 7272 log.log2log2log  35.     2 2 4 5 log x x 1 .log x x 1       2 20 log x x 1    36.   43.59log 2  xx 37. x 1 x 3 log 9 4.3 2 3x 1          38.     1122log42log 22  xx x 39.   16log1log 12   x x 40.     2 loglog 12222 22 xx xx  6 16.     2lg46lg 2  xxxx 17.     01106log3log 2 2 2  xx 18. 633log33log.log 33  x x 19.     32log22log 2 32 2 322    xxxx 20. 013loglog.3 33  xx 21. x x xx x 2 4 2 44 2 log 2 log2log2log  22.   4lg2lg 2 1 10lg 2  xx 23.         162log242log3 3 2 3  xxxx 24. 154 22 2 2 2 3log81log 4log 36log   xx 25.   212log 2 1   x x 41.     1log1log 2 1 2 2  xx 42.         01lg.1241lg1 22222  xxxx 43.       0621log51log 3 2 3  xxxx 44. 225log.3logloglog 9535  xx 45.     0226log8log 39  xx 46.   944log2log 2 3 2 3  xxx 47.       2log22log5log1log 25 15 5 1 2 5  xxx 48.       3 4 1 3 4 1 2 4 1 6log4log32log 2 3  xxx 49. 3logloglog.log 2 3 332  xxxx 50.       2 2 1 2 1 2 3 .log 1 2log 2 3 .log 2 2log 1 x x x x x x          . 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Đinh Văn Trường. Tổ Toán – Trường THPT Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh. SĐT: 01677.10.19.15 Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a)   3.   2 x 1 L x 2x 3 0 x 3            Vậy PT có nghiệm x 3  . Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a)   2 x 3 1 log 3 1 2x x 2      b)   2 2 x log 2 log 4x 3   c). 1 x ,x 16 4   Giải tương tự câu c). Kết quả: x 1  , 1 x 2  . 2 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a)     x x 1 2 1 2 log 4 4 x log 2 3      b)     x x 1 5 25 log