1 MỞ ðẦU 1. Lí do chọn ñề tài khóa luận Như chúng ta ñã biết một miền nguyên có nhiều tính chất số học tương tự như các tính chất số học trong vành các số nguyên [3]. ðối với tính chất số học của một miền nguyên, khái niệm phần tử bất khả quy ñóng một vai trò quan trọng tương tự vai trò của các số nguyên tố trong vành các số nguyên. Một trong những miền nguyên thường ñược ñề cập tới trong ñại số và hình học là các vành ña thức, trong ñó phần tử bất khả quy chính là khái niệm ña thức bất khả quy. Trong chương trình toán tại phổ thông, bài toán phân tích một ña thức thành nhân tử bất khả quy ñã ñược ñưa vào giảng dạy ngay từ THCS. Về mặt ñại số, việc phân tích nói trên cho phép ta chuyển việc nghiên cứu một phương trình ñại số về các phương trình ñại số bậc thấp hơn. Về mặt hình học bài toán này cho thấy người ta luôn biểu diễn một siêu mặt thành hợp của hữu hạn siêu mặt trong không gian n chiều (tập các không ñiểm của một ña thức n biến) bất khả quy (siêu mặt không phân tích ñược). Ngoài ra việc phân tích một ña thức thành tích các nhân tử bất khả quy còn ñược ứng dụng trong tính ñạo hàm cấp cao, nguyên hàm và tích phân của các hàm phân thức hữu tỉ. Trong ñại số hiện ñại, khái niệm ña thức bất khả quy ñược ñưa vào giảng dạy ngay từ những năm ñầu tiên thuộc nội dung ñại số cao cấp. Kèm theo ñó là nhiều tiêu chuẩn về tính bất khả quy của ña thức trên một trường. Qua ñó, chúng ta thấy rõ hơn vai trò của ña thức bất khả quy trong nhiều vấn ñề của ñại số như: Nghiệm của một phương trình ñại số, bài toán mở rộng trường, phần tử ñại số và siêu việt… Do ý nghĩa khoa học của ña thức bất khả quy và với mong muốn hiểu một cách toàn diện hơn về ñối tượng này, tôi chọn ñề tài: “Tính bất khả quy của ña thức trên miền nguyên” cho khóa luận tốt nghiệp ñại học của mình. 2 2. Mục tiêu khóa luận • Phân tích và trình bày một cách chi tiết và hệ thống các tính chất của ña thức bất khả quy trên một miền nguyên, cụ thể hóa và chỉ ra mối quan hệ của tính bất khả quy ñối với ña thức khi vành cơ sở là một vành chính, vành Gauss hoặc một trường. • Mở rộng một số tiêu chuẩn về tính bất khả quy ñối với ña thức hệ số nguyên sang ña thức có hệ tử trong một vành chính, vành Gauss. • Làm rõ hơn số ứng dụng về ña thức bất khả quy trên các trường số trong một số bài toán ñại số. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu tính chất số học của vành ña thức một biến khi vành cơ sở là một miền nguyên. • Nghiên cứu tính chất của ña thức bất khả quy trên một miền nguyên. • Nghiên cứu tính chất của ña thức bất khả quy trên một vành chính, vành Gauss. • Nghiên cứu tính chất của ña thức bất khả quy trên một trường. 4. Phương pháp nghiên cứu ðể hoàn thành khóa luận này, tôi ñã phối hợp sử dụng một số phương pháp nghiên cứu như: Phương pháp nghiên cứu lí luận, phương pháp tổng kết kinh nghiệm, phương pháp lấy ý kiến chuyên gia. Trước hết ñọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp tài liệu, giáo trình. Vận dụng các kiến thức về tính chất số học của vành ñể nghiên cứu về tính chất của các ña thức một biến trên một miền nguyên giao hoán. Trên cơ sở ñịnh nghĩa và những tính chất của phần tử bất khả quy của một vành, căn cứ vào những kết quả ñã có, chúng tôi tương tự hóa nghiên cứu ña thức bất khả quy trên một mền nguyên tổng quát, rồi cụ thể hóa các kết quả này vào nghiên cứu ña thức bất khả quy trên vành chính, vành Gauss. Chúng tôi dựa trên một số tiêu chuẩn về ñiều kiện bất khả quy của ña 3 thức hệ số nguyên ñể xem xét mở rộng chúng cho ña thức lấy hệ tử trong một vành chính, vành Gauss. Cuối cùng trên cơ sở các tính chất của ña thức bất khả quy ñã biết từ các phần trước, chúng tôi vận dụng ñể chuyển sang khảo sát về tính bất khả quy của ña thức trên một trường, mà cụ thể ñó là xét tính bất khả quy của ña thức trên trường số hữu tỉ, trường số thực và trường số phức và một số ứng dụng của nó trong một số bài toán ñại số. 5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu • •• • ðối tượng: ða thức bất khả quy. • •• • Phạm vi: Khóa luận chỉ giới hạn nghiên cứu về ña thức một biến bất khả quy trên một miền nguyên giao hoán. 6. Ý nghĩa khoa học Kết quả nghiên cứu của khóa luận góp phần giúp chúng ta thấy rõ hơn các tính chất của ña thức bất khả quy khi vành cơ sở là một miền nguyên. Ngoài ra, qua một số tiêu chuẩn mở rộng tính bất khả quy của ña thức từ vành số nguyên sang vành chính, vành Gauss, chúng ta một phần thấy ñược tính bất biến của các tính chất qua các lớp vành có những ñiểm tương tự về tính chất số học. Khóa luận là tài liệu tham khảo hữu ích ñối với các sinh viên ngành toán khi nghiên cứu về ña thức bất khả quy. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài các phần: mục lục, mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận ñược chia thành ba chương: Chương 1. ða thức bất khả quy trên miền nguyên Chương 2. ða thức bất khả quy trên một vành chính Chương 3. ða thức bất khả quy trên một trường 4 CHƯƠNG 1 ðA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN MIỀN NGUYÊN Chương này chúng tôi trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản tính chất nghiệm, tính chất số học và ñiều kiện bất khả quy của ña thức trên miền nguyên, từ ñó ñưa ra một số tính chất của ña thức bất khả quy trên vành Gauss. 1.1. Tính chất nghiệm của ña thức trên miền nguyên ðịnh nghĩa 1.1.1: Cho D là một miền nguyên, ta gọi một tổng hình thức 0 1 ( ) n n f x a a x a x = + + + hay viết gọn 0 ( ) n k k k f x a x = = ∑ là một ña thức trên vành [ ] x D . Trong ñó k a D ∈ , 0,1, , k n = là các hệ số hay còn gọi là hệ tử của ( ) f x ; 0 a ñược gọi là hệ số tự do; x là ẩn; k k a x ñược gọi là hạng tử, số hạng hay ñơn thức; Nếu 0 n a ≠ thì n a ñược gọi là hệ số cao nhất của ( ) f x ; số tự nhiên n ñược gọi là bậc của ( ) f x , kí hiệu là deg ( ) f x . ðịnh nghĩa 1.1.2: (xem [5]) Giả sử c là một phần tử tùy ý của miền nguyên , D 0 1 ( ) n n f x a a x a x = + + + là một ña thức tùy ý của vành [ ] D x ; phần tử 0 1 ( ) n n f c a a c a c A = + + + ∈ có ñược bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của ( ) f x tại c . Nếu ( ) 0 f c = thì c gọi là nghiệm của ( ) f x . Tìm nghiệm của ( ) f x trong D gọi là giải phương trình ñại số bậc n : 1 0 0 0) ( n n n a x a x a a + = ≠ + + trong D . ðịnh lí 1.1.3: (xem [5]) Giả sử D là một miền nguyên, c D ∈ , ( ) [ ] f x D x ∈ . Dư của phép chia ( ) f x cho x c − là ( ) f c . Chứng minh: 5 Nếu ta chia ( ) f x cho x c − , dư hoặc bằng 0 hoặc là một ña thức bậc 0 vì bậc ( ) x c − là bằng 1. Vậy dư là một phần tử r D ∈ . Ta có: ( ) ( ) ( ) f x x c q x r = − + Thay x bằng c ta ñược: ( ) 0. ( ) f x q x r = + Vậy ( ) r f c = . Ta ñược ñiều phải chứng minh. Hệ quả 1.1.4: (xem [5]) c là nghiệm của ( ) f x khi và chỉ khi ( ) f x chia hết cho x c − ( nghĩa là ( ) f x chia hết cho x c − khi và chỉ khi ( ) 0 f c = ). Chứng minh: +) ðiều kiện ñủ: Giả sử ( ) f x chia hết cho x c − , tức tồn tại ña thức [ ] ( ) g x D x ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) f x x c g x = − . Khi ñó rõ ràng ( ) 0 f c = . Hay c là nghiệm của ( ) f x . +) ðiều kiện cần: Giả sử ( ) f x có một nghiệm là c . Thực hiện phép chia ( ) f x cho x c − . Khi ñó tồn tại duy nhất một cặp ña thức [ ] ( ), ( ) q x r x D x ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) f x x c q x r x = − + , trong ñó deg ( ) 0 r x = . Thay x c = vào hai vế ta ñược ( ) ( ) 0 f c r c = = , do c là nghiệm của ( ) f x . Vậy ( ) f x chia hết cho x c − . Ta ñược ñiều phải chứng minh. Chú ý 1.1.5: (xem [5]) Khi thực hiện phép chia 1 0 1 ( ) n n n f x a x a x a − = + + + cho x c − ta ñược hệ tử của ña thức thương 1 1 1 0 ( ) n n q x b x b x b − − + + = + cho bởi công thức 0 0 b a = ; 1 . i i i b a c b − + = ; 1, , 1 i n = − và dư 1 . n n r a c b − + = . 6 Vì ( ) r f c = , ta suy ra một phương pháp (phương pháp Hoocne) ñể tính ( ) f c với cách tính như sau: 0 a 1 a … 1 n a − n a c 0 b 1 b … 1 n b − r 0 0 b a = ; 1 1 0 b a cb = + ; … ; 1 i i i b a cb − = + ; … ; 1 ( ) n n f c r a cb − = = + Trong ñó mỗi phần tử của dòng thứ hai ñược xác ñịnh bằng cách cộng vào phần tử tương ứng của dòng thứ nhất tích của c với phần tử ñứng trước dòng thứ hai (trừ phần tử ñầu tiên 0 0 b a = ). ðịnh nghĩa 1.1.6: Giả sử D là một miền nguyên, c D ∈ , ( ) [ ] f x D x ∈ và m 1 ≥ là một số tự nhiên, c là nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu ( ) f x chia hết cho ( ) m x c − và ( ) f x không chia hết cho 1 ( ) m x c + − . Trong trường hợp 1 m = người ta còn gọi c là nghiệm ñơn, 2 m = thì c là nghiệm kép. Người ta coi ña thức có một nghiệm bội cấp m như một ña thức có m nghiệm trùng với nhau. Mệnh ñề 1.1.7: Trong miền nguyên , D ña thức [ ] 1 0 1 ( ) n n n f x a x a x a D x − ∈ = + + + , 0 0 a ≠ , có r nghiệm trên D là 1 2 , , , r c c c , với bội tương ứng 1 2 , , , r s s s ; ; i s N ∈ 1,2, , i r = ; 1 r i i s n = = ∑ . Khi ñó 1 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) r s s s r f x a x c x c x c = − − − . Chứng minh: Thật vậy, vì 1 c là nghiệm bội 1 s của ( ) f x nên ta có: 1 1 1 ) ( ) ( ( ) s f x x c f x = − . Vì 2 1 c c ≠ , 2 c là nghiệm bội 2 s của ( ) f x nên từ 1 1 1 ) ( ) ( ( ) s f x x c f x = − ta có: 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s s f x x c x c f x = − − Tiếp tục như vậy sau r bước ta ñược 7 1 2 1 2 ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) r s s s r r f x x c x c x c f x = − − − Vì deg ( ) f x n = nên deg ( ) 0 r f x = . Mặt khác hệ số cao nhất của ( ) f x là 0 a nên 0 ( ) r f x a = .Vậy 1 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) r s s s r f x a x c x c x c = − − − Ta ñược ñiều phải chứng minh. Mệnh ñề 1.1.8: (xem [1]) Nếu D là một miền nguyên, thì mọi ña thức [ ] 0 ( ) f x D x ≠ ∈ bậc n có nhiều nhất n nghiệm trong D . Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp với deg ( ) n f x = . Nếu 0 n = , ña thức ( ) f x là một hằng số 0 0 a ≠ của D nên ( ) f x không có nghiệm trong D . Nếu 0 n > , Giả sử mọi ña thức khác 0 có bậc 1 n − có nhiều nhất 1 n − nghiệm trong D . Nếu c D ∈ là một nghiệm của ( ) f x thì theo hệ quả 1.1.3 ta có: ( ) ( ) ( ) f x x c q x = − với ña thức [ ] ( ) q x D x ∈ ðẳng thức trên ñã khẳng ñịnh ña thức ( ) 0 q x ≠ với deg ( ) 1 q x n = − . Vì [ ] D x là một miền nguyên, ngoài ra ta có hàm ña thức ( ) ( ) ( ) f x u c q x = − ɶ ɶ cho thấy một nghiệm của ( ) f x trong D hoặc là c hoặc là một nghiệm của ( ) q x . Nhưng theo giả thiết quy nạp ña thức ( ) q x có nhiều nhất 1 n − nghiệm trong D nên ( ) f x có nhiều nhất n nghiệm trong D . Vậy ta có ñiều cần chứng minh. ðịnh lí 1.1.9 (ðịnh lí Viet): Nếu [ ] 1 0 1 ( ) n n n f x a x a x a D x − ∈ = + + + , D là một miền nguyên, 0 0 ; i a D a ∈ ≠ , có n nghiệm trên D là 1 2 , , , n c c c . Khi ñó: 8 1 1 2 0 2 1 2 1 2 3 1 0 3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 1 2 1 0 ( 1) . r n n n n n n n n n n a c c c a a c c c c c c c c a a c c c c c c c c c a a c c c c a − − − −  + + + = −    + + + + + =     + + + + = −    = −   ( 0 ; , 1, , i i a D a a i n ∈ = ⋮ nên 0 , i a a với 1, , i n = không những thuộc K mà còn thuộc D , với K là trường các thương của D ) Chứng minh: Do 1 2 , , , n c c c là n nghiệm của ( ) f x trên D nên theo nhận xét 1.1.5 ta có: 0 1 2 ( ) ( )( ) ( ) n f x a x c x c x c = − − − 1 2 0 1 2 1 2 1 2 3 1 [( ( ) ( ) n n n n n n n a x c c c x c c c c c c c c x − − − = − + + + + + + + + 1 2 ( 1) ] n n c c c + + − Mặt khác [ ] 1 0 1 ( ) n n n f x a x a x a D x − ∈ = + + + So sánh các hệ số tương ứng của các lũy thừa trong hai ñẳng thức ta ñược 1 1 2 0 2 1 2 1 2 3 1 0 3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 1 2 1 0 ( 1) . r n n n n n n n n n n a c c c a a c c c c c c c c a a c c c c c c c c c a a c c c c a − − − −  + + + = −    + + + + + =     + + + + = −    = −   Vậy ta ñược ñiều phải chứng minh. 9 Mệnh ñề 1.1.10: (xem [1]) Nếu D là một miền nguyên vô hạn và f là một ña thức khác 0 của vành ña thức [ ] 1 , , r D x x thì tồn tại một bộ r phần tử ( ) 1 , , r s s s = của D không phải là nghiệm của f . Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp trên r . Với 1 r = , do D là một miền nguyên nên mọi ña thức [ ] 0 f D x ≠ ∈ bậc n có nhiều nhất n nghiệm trong D , vì vậy số nghiệm của f không vượt quá deg n f = . Vì D vô hạn , phải có ít nhất một c D ∈ ñể ( ) 0 f c ≠ , mệnh ñề ñúng với 1 r = . Giả sử mệnh ñề ñúng với 1 r − biến. Cho [ ] 1 , , r f D x x ∈ ta viết f dưới dạng: 0 1 m r m r f f f x f x + + + = là ña thức theo biến r x có các hệ tử 0 , , m f f ∈ [ ] 1 1 , , r D x x − và vì 0 f ≠ , ta có thể giả sử 0 m f ≠ . Kí hiệu , 0, , i f i m = ɶ , các hàm ña thức tương ứng với các ña thức [ ] 1 , , i r f D x x ∈ . Theo giả thiết quy nạp, tồn tại bộ 1 r − phần tử ( ) 1 1 , , ' r s s s − = của D sao cho ( ) ' 0 m f s ≠ ɶ và ta có: ( ) ( ) ( ) 0 1 ' ' ' ' m r r m f f s f s x f s x + + + = ɶ ɶ ɶ là một ña thức khác không của [ ] r D x . Do ñó r s D ∈ ñể ( ) 0 ' r f s ≠ ɶ và khi ñó bộ r phần tử ( ) 1 , , r s s s = của D không phải là nghiệm của [ ] 1 , , r f D x x ∈ . Vậy mệnh ñề ñược chứng minh. Hệ quả 1.1.11: (xem [1]) Nếu D là một miền nguyên vô hạn thì vành ña thức [ ] D x ñẳng cấu với vành [ ] D u các hàm ña thức. Chứng minh: 10 Vì ( ) ( ) f x f u ɶ ֏ là một toàn cấu từ vành [ ] D x lên vành [ ] D u , ta chỉ cần chứng minh sự tương ứng là ñơn ánh. Giả sử [ ] ( ), ( ) f x g x D x ∈ với ( ) ( ) f x g x ≠ Ta sẽ chứng minh ( ) ( ) f u g u ≠ ɶ ɶ . Mặt khác ta có: ( ) ( ) f x g x ≠ kéo theo ( )( ) 0 f g x − ≠ ðặt deg( )( ) n f g x = − Theo mệnh ñề 1.1.8 thì ( )( ) f g x − có nhiều nhất n nghiệm trong D . Ta lại có:  ( ) ( ) ( ) f g u f u g u − = − ɶ ɶ nên nếu ( ) ( ) f u g u = ɶ ɶ thì  [ ] ( )( ) 0 f g u D u − = ∈ , nghĩa là mọi phần tử của miền nguyên vô hạn ñều là nghiệm của ña thức ( )( ) f g x − , trái với giả thiết ( )( ) f g x − có nhiều nhất n nghiệm. Vậy ta phải có ( ) ( ) f u g u ≠ ɶ ɶ . Ta ñược ñiều phải chứng minh. Nhận xét 1.1.12: (xem [1]) Nếu D là một miền nguyên vô hạn, nhờ ñẳng cấu này người ta thường ñồng nhất mỗi ña thức [ ] ( ) f x D x ∈ với hàm ña thức [ ] ( ) f u D u ∈ ɶ . 1.2. Tính chất số học của vành ña thức trên miền nguyên ðịnh nghĩa 1.2.1: Hai ña thức [ ] ( ), ( ) f x g x D x ∈ ñược gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu các hệ số tương ứng là bằng nhau. Nghĩa là nếu cho 0 1 ( ) n n f x a a x a x = + + + và 0 1 ( ) m m g x b b x b x = + + + là hai ña thức khác 0 thì ( ) ( ) f x g x = khi và chỉ khi m n = và k k a b = với mọi 0,1, , k n = . ðịnh nghĩa 1.2.2: ða thức không là ña thức mà tất cả các hệ số của nó ñều bằng 0 và ta kí hiệu là 0. Một ña thức bằng ña thức 0 nếu và chỉ nếu mọi hệ số của nó ñều bằng 0. ðịnh nghĩa 1.2.3: Mỗi ña thức [ ] 0 1 ( ) n n f x a a x a x D x ∈ = + + + tồn tại một phần tử ñối duy nhất ñược gọi là ña thức ñối ñó là [ ] 0 1 ( ) n n f x a a x a x D x ∈ − = + + + sao cho ( ) ( ( )) 0 f x f x + − = . [...]... ñương: a) f ( x) là b t kh quy b) f ( x) | g ( x)h( x) thì f ( x) | g ( x) ho c f ( x) | h( x ) 25 CHƯƠNG 2 ðA TH C B T KH QUY TRÊN M T VÀNH CHÍNH Chương này chúng tôi trình bày tính ch t nghi m, tính ch t s h c và ñi u ki n b t kh quy c a c a ña th c khi vành cơ s là vành chính 2.1 Tính ch t nghi m c a ña th c trên vành chính Ta th y r ng các tính ch t nghi m c a ña th c trên mi n nguyên D v n ñúng khi... th c có x q − x trên có ℤ p H qu 3.2.4: (xem [3]) N u T = H q là m t trư ng h u h n, có ñ c s p thì m i ña th c f ( x) b t kh quy trên T ñ u là tách ñư c 34 3.3 ða th c b t kh quy trên các trư ng s 3.3.1 ða th c b t kh quy trên trư ng s h u t Vì trư ng các s h u t ℚ là trư ng các thương c a mi n nguyên ℤ các s nguyên nên m t ña th c 0 ≠ g ∈ℤ [ x ] v i deg g > 0 , n u là ña th c b t kh quy trong ℤ [... m t mi n nguyên thì D [ x ] là m t mi n nguyên H qu 1.2.18: (xem [1]) N u D là m t mi n nguyên thì D [ x1 , , xr ] là m t mi n nguyên 1.3 ði u ki n b t kh quy c a ña th c trên mi n nguyên ð nh nghĩa 1.3.1: ( xem [5]) Gi s x là m t ph n t khác 0 và không kh ngh ch c a A ; x ñư c g i là m t ph n t b t kh quy c a A n u x không có ư c th c s ( A là m t vành) Nh n xét 1.3.2: Ph n t p là b t kh quy, p =... ar bs và ñi u này do ph n t b t kh quy p là nguyên t kéo theo p | ar hay p | bs trái v i các tính ch t p không chia h t ar và p không chia h t bs f ( x) g ( x) ph i là ña th c nguyên b n c a D [ x ] 17 trên V y B ñ Gauss cũng có nghĩa r ng b ph n các ña th c nguyên b n c a mi n nguyên D [ x ] là n ñ nh ñ i v i phép nhân Bây gi g i FD là trư ng các thương c a mi n nguyên Gauss D Vì phép nhúng D → FD... ch T h qu 1.3.19 ta cũng suy ra r ng, n u A vành chính, f ( x) là ña th c nguyên b n trong A[ x ] , deg f ( x) > 0 Khi ñó f ( x) là ña th c b t kh quy trong A [ x ] khi và ch khi f ( x) là ña th c b t kh quy trong K [ x ] v i K là trư ng các thương c a A (Như v y tính b t kh quy c a các ña th c nguyên b n trên m t vành chính và trên trư ng các thương c a nó là như nhau) Không nh ng th mà tiêu chu n... c ñi u ph i ch ng minh H qu 1.3.19: Cho A vành Gauss, f ( x) là ña th c nguyên b n trong A[ x ] , deg f ( x) > 0 Khi ñó f ( x) là ña th c b t kh quy trong A [ x ] khi và ch khi f ( x) là ña th c b t kh quy trong K [ x ] v i K là trư ng các thương c a A (Như v y tính b t kh quy c a các ña th c nguyên b n trên m t vành Gauss và trên trư ng các thương c a nó là như nhau) M nh ñ 1.3.20: (xem [2]) Cho... f ( x) là s nguyên khác ±1 , ta s luôn phân tích ñư c s nguyên ñó thành tích c a các th a s nguyên t +) Trư ng h p 2: N u deg f ( x) > 0 , áp d ng b ñ 1.3.17 thì f ( x) s ñư c vi t dư i d ng: f ( x) = p1 ( x) p2 ( x) pk ( x) (*) Trong ñó nh ng pi ( x) có th có b c 0 là nh ng s nguyên t , còn v i các pi ( x) có b c khác 0 thì chúng là nh ng ña th c v i h s nguyên, nguyên b n và b t kh quy trong ℚ... tách ñư c M nh ñ 3.1.4: (xem [3]) M t ña th c f ( x) trên trư ng T ñư c g i là tách ñư c n u và ch n u f ( x) và f '( x) nguyên t cùng nhau H qu 3.1.5: (xem [3]) M t ña th c f ( x) b t kh quy trên T không tách ñư c n u và ch n u f '( x) = 0 H qu 3.1.6: (xem [3]) N u trư ng T có ñ c s 0 thì m i ña th c b t kh quy trên T ñ u tách ñư c 33 Ví d 3.1.7: Trên m t trư ng T có ñ c s 0, m i m r ng ñ i s S c a... ξϕ ( n ) là ϕ (n) căn nguyên th y b c n c a ñơn v ða th c Fn ( x) = ( x − ξ1 )( x − ξ2 ) ( x − ξϕ ( n ) ) g i là ña th c chia ñư ng tròn b c n M nh ñ 3.1.9: (xem [3]) N u ñ c s b ng 0 thì ña th c chia ñư ng tròn b c n, Fn ( x) , b t kh quy trên ℚ [ x ] 3.2 ða th c b t kh quy trên m t trư ng có ñ c s khác 0 H qu 3.2.1: (xem [3]) N u trư ng T có ñ c s p thì m t ña th c b t kh quy trên T không tách ñư... x) và r ( x) Ta ñư c ñi u ph i ch ng minh 2.3 ði u ki n b t kh quy c a ña th c trên vành chính Vì m i vành chính D ñ u là vành Gauss, nên ña th c b t kh quy trên vành D [ x ] chính là ña th c b t kh quy trên vành Gauss V y n u cho D là m t vành chính (vành Gauss), xét vành ña th c D [ x ] , ña th c f ( x) ∈ D [ x ] là ña th c b t kh quy thì: 1) N u deg f ( x) = 0 thì f ( x) = a; a ∈ D , a ≠ 0 , không . cứu tính chất số học của vành ña thức một biến khi vành cơ sở là một miền nguyên. • Nghiên cứu tính chất của ña thức bất khả quy trên một miền nguyên. • Nghiên cứu tính chất của ña thức bất khả. kiến thức cơ bản tính chất nghiệm, tính chất số học và ñiều kiện bất khả quy của ña thức trên miền nguyên, từ ñó ñưa ra một số tính chất của ña thức bất khả quy trên vành Gauss. 1.1. Tính. bất khả quy trên miền nguyên Chương 2. ða thức bất khả quy trên một vành chính Chương 3. ða thức bất khả quy trên một trường 4 CHƯƠNG 1 ðA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN MIỀN NGUYÊN Chương này chúng