MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài khóa luận Hiến pháp nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam năm 1992 đã ghi ở điều 35: "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu". Báo cáo chính trị của Ban chấp hành Trung ương khoá VII tại Đại hội Đại biểu Toàn quốc lần thứ VIII của Đảng lại khẳng định "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài". Trong cách mạng khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí nổi bật. Đây là môn HS tư duy toán học cùng những phẩm chất của con người lao động mới để các em vững vàng trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước. Ở trường phổ thông, dạy học Toán là dạy hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào cuộc sống. Dạy học giải toán mang trong mình các chức năng: giáo dưỡng, giáo dục, phát triển và kiểm tra. Vì vậy hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán có vai trò quan trọng đối với chất lượng dạy học toán. Trong chương trình toán phổ thông, hình học là một mảng kiến thức lớn và quan trọng. Ngay từ tiểu học, HS đã làm quen với hình học dưới hình thức đơn giản. Các khái niệm về điểm, đường thẳng, mặt phẳng đã được định nghĩa tường minh trong chương trình Toán ở THCS. Nhưng có một thực tế là trong các kì thi như khảo sát chất lượng, thi cuối học kì, thi chọn HS giỏi thì nếu chỉ dừng lại ở việc học thuộc và làm các bài tập ở SGK và SBT thôi thì vẫn có những câu, những ý không làm được. Sở dĩ như vậy là vì trong các kì thi đó, các đề toán luôn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, sự uyển chuyển trong các phương pháp giải, sự kết hợp giữa các bài toán tương tự. Thực tế cho thấy có nhiều em học thuộc lòng lí thuyết (định nghĩa, định lý, tính chất, quy tắc) nhưng vẫn không giải được bài tập, đặc biệt là phần chứng minh trong hình học các em thường không tìm được hướng giải quyết. Trong toán học bao gồm nhiều nội dung, dạng toán khác nhau. Các dạng toán có thể không liên quan, ít liên quan, cũng có thể liên quan mật thiết với nhau. Song HS rất khó nhận ra điều này. Đặc biệt là các bài toán hình học. Để góp phần giải quyết vấn đề này, tôi chọn đề tài: Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán chứng minh trong hình học phẳng. 2. Mục tiêu khóa luận Nghiên cứu việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thông qua các bài toán chứng minh trong hình học phẳng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu  Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn về rèn luyện năng lực giải toán phổ thông.  Đề xuất một số biện pháp để rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS.  Thử nghiệm tính khả thi của việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS. 4. Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lý luận.  Phương pháp điều tra.  Phương pháp thử nghiệm sư phạm. 5. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu  Đối tượng: Quá trình dạy học các bài toán chứng minh hình học cho học sinh THCS.  Phạm vi: Chương trình hình học phẳng ở THCS. 6. Ý nghĩa khóa luận - Góp phần làm rõ cơ sở lý luận của năng lực, năng lực toán học, năng lực giải toán và thực trạng của việc rèn luyện năng lực giải toán của học sinh THCS. - Đưa ra một số định hướng để rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS. - Đề xuất một số biện pháp để rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS. 7. Bố cục khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học sơ sở Chương 3: Thử nghiệm sư phạm CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lý luận 1.1.1. Năng lực 1.1.1.1. Khái niệm năng lực Theo nhà tâm lý học người Nga nổi tiếng V.A.Kơ-ru-tec-xki thì năng lực được hiểu như là: “một phức hợp của đặc điểm tâm lí cá nhân của con người, đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động đó”. [18, tr.15] Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương. Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra. 1.1.1.2. Các mức độ của năng lực Người ta thường chia năng lực thành ba mức độ khác nhau: năng lực, tài năng, thiên tài. Năng lực là một mức độ nhất định của khả năng con người, biểu thị khả năng hoàn thành có kết quả một hoạt động nào đó. Tài năng là mức độ năng lực cao hơn, biểu thị hoàn thành một cách sáng tạo một hoạt động nào đó. Thiên tài là mức độ cao nhất của năng lực, biểu thị ở mức độ kiệt xuất, hoàn chỉnh nhất của những vĩ nhân trong lịch sử nhân loại. 1.1.1.3. Phân loại năng lực Năng lực có thể chia thành hai loại: năng lực chung và năng lực chuyên biệt. Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều lĩnh vực hoạt động khác nhau, chẳng hạn những thuộc tính về thể lực, về trí tuệ (quan sát, trí nhớ, tư duy, tưởng tượng, ngôn ngữ,…) là những điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnh vực hoạt động có kết quả. Năng lực riêng biệt (năng lực chuyên biệt, chuyên môn) là sự thể hiện độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn, nhằm đáp ứng yêu cầu của một lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao, chẳng hạn: năng lực toán học, năng lực thơ văn, năng lực thể dục, thể thao,… Hai loại năng lực chung và riêng luôn bổ sung, hỗ trợ nhau. 1.1.2. Năng lực toán học Theo V.A.Kơ-ru-tec-xki thì khái niệm năng lực toán học sẽ được giải thích trên hai bình diện: - Như là các năng lực sáng tạo (khoa học) - các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá. - Như là các năng lực học tập giáo trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanh chúng và có kết quả cao các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng. Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau. [18] 1.1.3. Năng lực giải toán 1.1.3.1. Khái niệm năng lực giải toán Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó. Từ góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, ta có thể hiểu năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện. [20] Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành hoạt động giải toán trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương. 1.1.3.2. Một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán Từ các khái niệm về năng lực, năng lực toán học, năng lực giải toán chúng ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán như sau:  Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một lời giải, biết trình bày rõ ràng, đẹp đẽ.  Sự phát triển mạnh của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán.  Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí hiệu, ngôn ngữ toán học, khả năng chuyển đổi điều kiện của bài toán sang ngôn ngữ, kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết và ngược lại.  Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề.  Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động nhiều kiến thức cùng lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn được lời giải tối ưu.  Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành được một số kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫn trong quá trình giải toán.  Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng cách giải (có thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật giải, hoặc thuật toán để giải bài toán đó).  Có khả năng khái quát hoá từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, từ bài toán có yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát. 1.1.3.3. Một số biểu hiện của học sinh THCS có năng lực giải toán Năng lực giải toán của HS THCS được biểu hiện ở những khả năng sau:  Vận dụng thành thục những kiến thức, kĩ năng đã biết vào hoàn cảnh mới. Khả năng này thường được biểu hiện nhiều nhất trong quá trình dạy học, GV cần quan tâm phát hiện và bồi dưỡng khả năng này. Việc vận dụng trực tiếp các kiến thức đã có trong một bài toán tương tự hoặc đã biết là khả năng mà tất cả HS đều phải cố gắng đạt được trong học toán. Biểu hiện năng lực giải toán của HS ở khả năng này được thể hiện là: với nội dung kiến thức và kĩ năng đã được học, HS biết biến đổi những bài toán trong một tình huống cụ thể hoàn toàn mới nào đó về những cái quen thuộc, những cái đã biết để áp dụng vào giải một cách dễ dàng, từ đó HS thể hiện được năng lực giải toán của bản thân khi giải những bài toán đó. Ví dụ 1.1. Cho ∆ ABC, trung tuyến AM, đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D. Đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. CMR: ED // BC. Lời giải: (Hình 1.1) Hình 1.1 Trong ABM∆ có MD là phân giác của · AMB nên AD DB = MA MB (1) Trong ∆ AMC có ME là phân giác của · AMC nên AE EC = MA MC (2) Vì MB = MC (gt) nên từ (1) và (2) suy ra AD DB = AE EC M B C A D E Trong ∆ ABC có DE định ra 2 cạnh AB, AC những đoạn thẳng tỉ lệ nên theo Talet đảo ta có DE // BC.  Nhìn nhận đối tượng dưới những khía cạnh khác nhau. Mỗi khi HS cố gắng làm những bài toán mà lại thất bại, thông thường HS sẽ có cảm giác chán nản chứ không chuyển sang làm theo một hướng suy nghĩ hay cách nhìn khác. Tuy nhiên, một thất bại mà HS đã nếm trải sẽ chỉ có ý nghĩa nếu như HS không quá coi trọng phần kém hiệu quả của nó. Thay vào đó nếu HS biết phân tích lại toàn bộ quá trình cũng như các yếu tố liên quan, và cân nhắc xem liệu sẽ thay đổi những yếu tố đó như thế nào để đạt được hiệu quả mới. Đừng đặt câu hỏi cho bản thân “Tại sao mình lại thất bại?” mà hãy nói “Mình đã làm được những gì rồi?”. Nhìn nhận và đánh giá vấn đề từ các khía cạnh khác nhau, từ đó phát hiện được những tầm nhìn, cách nhận định mới phù hợp với bài toán. Việc nhìn nhận đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau được thể hiện thông qua việc phát hiện, đề xuất được cái mới từ một vấn đề quen thuộc hoặc tìm được nhiều cách giải khác nhau đối với bài toán đã cho trong đó có những cách giải độc đáo. Ví dụ 1.2. Trong hình vuông ABCD và nửa đường tròn đường kính AD và vẽ cung AC mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính AD ở K. CMR: PK bằng khoảng cách từ P đến AB. Cách giải 1: (Hình 1.2) Kẻ PI AB ⊥ Xét APK∆ và API∆ APK∆ vuông tại K (vì · 90AKD ο = góc nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính AD) ADP∆ cân tại D nên AD = DP và µ · 2 P DAP= D Hình 1.2 Mặt khác µ · 1 P DAP= (so le trong vì AD // PI) Do đó: µ µ 1 2 P P= APK API⇒ ∆ = ∆ (có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) ⇒ PK = PI. * Gợi ý: Để chứng minh hai tam giác APK∆ và API∆ bằng nhau ngoài cách chứng minh µ µ 1 2 P P= , ta có thể chứng minh µ ¶ 2 1 A A= . Cách giải 2: (Hình 1.3) Gọi F là giao điểm của AP với đường tròn đường kính AD Ta có · AFD = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ADP∆ cân tại D có DF là đường cao nên DF cũng là phân giác suy ra: ¶ ¶ 1 2 D D= D Hình 1.3 Mà µ ¶ 1 2 A D= ; ¶ ¶ 1 2 D A= (vì đều là góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc) Suy ra: µ ¶ 2 1 A A= APK API⇒ ∆ = ∆ (có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) ⇒ PK = PI. Cách giải 3: (Hình 1.3) * Gợi ý: - Cách giải này chúng ta cũng đi chứng minh µ ¶ 2 1 A A= nhưng việc chứng minh được áp dụng bằng kiến thức khác. - Với chú ý AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm D ta có cách giải sau: Ta có · · IAK ADK= (có số đo bằng 1 2 sđ » AK ) Mặt khác · IAP là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AP của đường tròn tâm D nên · IAP bằng 1 2 số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung là · ADP tức là: · · · 1 1 2 2 IAP ADP IAK= = . Suy ra: µ ¶ 2 1 A A= APK API ⇒ ∆ = ∆ (cạnh huyền - góc nhọn). Từ đó ta có: PK = PI. Ví dụ 1.3. CMR: Nếu một tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó cân. Cách giải 1: (Hình 1.4) Trên tia đối của tia AM lấy điểm O: MA = OM Khi đó ABOC là hình bình hành Mặt khác, AO là đường phân giác của · BAC Nên ABOC là hình thoi. Suy ra AB AC= ABC⇒ ∆ cân. Hình 1.4 Cách giải 2: (Hình 1.5) Vẽ MI ⊥ AB, MK ⊥ AC Xét ABM∆ và ACM ∆ có : Chung đường cao AM Có 2 đáy bằng nhau (BM = CM) ⇒ ABM ACM S S= Hình 1.5 Mà 1 . 2 ABM S AB MI= (1) 1 . 2 ACM S AC MK= (2) Từ (1) và (2), ta có: 1 1 . . 2 2 AB MI AC MK= hay . .AB MI AC MK= (3) Mặt khác, MI = MK (tính chất tia phân giác của một góc) Do đó từ (3) suy ra AB = AC hay ABC ∆ cân.  Biết phối hợp nhiều công cụ, phương pháp khác nhau để giải quyết một vấn đề. [...]... MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ 2.1 Các định hướng cơ bản của việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trug học cơ sở Trước hết, trong khóa luận chúng tôi chọn việc rèn luyện năng lực giải toán cho HS THCS thông qua các bài toán CM trong hình học phẳng Bởi vì hình học phẳng là một mẳng khó trong chương trình toán THCS, đặc biệt là các bài toán CM Từ nhận... 3: Rèn luyện năng lực giải toán cho HS tại mọi tình huống dạy học - Trong các bài CM định lý - Trong các tiết luyện tập - Trong các buổi ngoại khóa, hoạt động ngoài giờ lên lớp 2.2 Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở Việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS được chúng tôi thực hiện thông qua các bài toán CM trong hình học phẳng Việc rèn luyện năng lực. .. Lý luận về năng lực, năng lực toán học, năng lực giải toán - Bước đầu tìm hiểu thực trạng rèn luyện năng lực giải toán của HS THCS Qua việc tìm hiểu chúng tôi nhận thấy năng lực giải toán của HS còn yếu Điều này xuất phát từ việc GV và HS trong khi giải một bài toán còn chưa quan tâm tới việc rèn luyện năng lực giải toán cũng chính là chưa thực hiện giải theo bốn bước trong phương pháp giải toán của... hiện đặc trưng nhất trong hoạt động của con người ” [21, tr.25] Vì vậy trong quá trình dạy học người GV phải chú trọng rèn luyện năng lực giải toán cho HS Năng lực giải toán là khả năng thực hiện bốn bước trong phương pháp tìm lời giải bài toán của G.polya Rèn luyện năng lực giải toán cho HS chính là rèn luyện cho họ khả năng thực hiện bốn bước theo phương pháp tìm lời giải bài toán của G.polya Điều... kinh nghiệm giải toán của bản thân thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Từ phương pháp chung để giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường dài đòi hỏi lao động tích cực của người HS, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo” [22, tr.423] 1.2 Thực trạng rèn luyện năng lực giải toán của học sinh trung học cơ sở Để tìm hiểu thực trạng rèn luyện năng lực giải toán của HS... với bài toán trên là một bài toán khó yêu cầu HS phải huy động nhiều kiến thức có liên quan như: - Để chứng minh ba điểm thẳng hàng có thể chứng minh hai góc kề có tổng số đo bằng 1800 - Tứ giác nội tiếp đường tròn - Góc nội tiếp trong đường tròn Nên rất hiệu quả trong việc rèn luyện năng lực giải toán cho HS 1.1.3.4 Rèn luyện năng lực giải toán Do tính đặc thù của môn toán nên hoạt động giải toán. .. nữa là: "Trong quá trình giải bài tập toán, cần khuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực giải toán Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay... thể mà dần dần truyền thụ cho HS cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV cung cấp cho HS lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán, vì vậy cần trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là cần thiết Dựa trên những tư... cụ thể hóa bằng các định hướng như sau: Định hướng 1: Rèn luyện năng lực giải một bài toán theo bốn bước trong phương pháp giải toán của Polya - Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài Trong bước này chúng tôi đã cụ thể hóa bằng các nhiệm vụ cơ bản sau: + Xác định cái mà đề bài cho (gt), cái đề bài yêu cầu chứng minh (kl) + Vẽ hình cho bài toán + Chuyển từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ toán học và ngược lại... hướng cho HS tìm tòi lời giải - Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Trong bước này chúng tôi sẽ định hướng cho HS nghiên cứu sâu lời giải bằng cách: + Tìm ra nhiều lời giải mới + Xây dựng bài toán mới từ bài toán ban đầu Định hướng 2: Rèn luyện năng lực giải toán theo đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán Việc đưa ra định hướng này xuất phát từ việc phân tích đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán . biệt là các bài toán hình học. Để góp phần giải quyết vấn đề này, tôi chọn đề tài: Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán chứng minh trong hình học phẳng. 2 rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thông qua các bài toán chứng minh trong hình học phẳng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu  Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn về rèn luyện năng lực giải toán phổ. dạy học các bài toán chứng minh hình học cho học sinh THCS.  Phạm vi: Chương trình hình học phẳng ở THCS. 6. Ý nghĩa khóa luận - Góp phần làm rõ cơ sở lý luận của năng lực, năng lực toán học, năng