M ð U Lý ch n ñ tài khóa lu n H phương trình vi phân m t khái ni m quan tr ng c a chuyên ngành phương trình vi phân ðây m t chuyên ngành quan tr ng c a toán h c v i nhi u ng d ng khoa h c cơng ngh Do chương trình đào t o c a trư ng ñ i h c, cao ñ ng thu c kh i ngành kinh t , kĩ thu t h phương trình vi phân thư ng ñư c ñưa vào m t n i dung b t bu c thu c môn h c toán cao c p ð i v i s đào t o v ngành tốn, h phương trình vi phân đư c đ c p h c ph n phương trình vi phân Nhìn chung vi c gi i m t h phương trình vi phân ph c t p tr m t vài d ng quen thu c Vì v y bên c nh vi c tìm cơng th c nghi m ngư i ta cịn sâu nghiên c u toán v s t n t i nh t nghi m, tốn v tính n đ nh, tính trơn c a nghi m… Lý thuy t h phương trình vi phân n tính m t lý thuy t khó, b i nghi m c a h ñã cho bao g m n hàm s c n tìm, ta ph i tìm đư c n nghi m th ñ c l p n tính m i tìm đư c nghi m t ng quát c a phương trình Trong h phương trình vi phân, h phương trình vi phân n tính c p v i h s h ng ñơn gi n nh t V m t lí thuy t ngư i ta đưa cơng th c nghi m c a dư i d ng hàm mũ c a ma tr n Khái ni m hàm mũ c a ma tr n gi vai trò quan tr ng vi c nghiên c u h n tính đ i v i h s h ng Thông qua hàm s ma tr n s bi u di n ñư c nghi m c a h n tính Tuy nhiên, t cơng th c d ng lí thuy t đ tính đư c tư ng minh nghi m t ng quát nhi u trư ng h p khơng h đơn gi n Trong nhi u tài li u vi t v phương trình vi phân cho kh i ngành kinh t , kĩ thu t, nông, lâm, y h c, … có th xu t phát t m c đích sư ph m ngư i ta thư ng khơng trình bày cách gi i h b ng ma tr n mà bi n đ i h v phương trình vi phân n tính đ gi i ð i v i nhi u sinh viên ngành toán, nghiên c u v h phương trình vi phân n tính c p v i h s h ng v n thư ng ch t p trung theo cách nói Tuy nhiên,cách ch h n ch đ i v i vi c gi i m t tốn c th , khơng th phát huy mu n ñi sâu vào b n ch t ñ nghiên c u toán t ng quát Do vai trị quan tr ng c a h phương trình vi phân chương trình đào t o c a nhi u ngành, ñ c bi t v i ngành đ i h c sư ph m tốn, tơi ch n đ tài: “Gi i h phương trình vi phân n tính c p h s h ng b ng phương pháp ma tr n” cho khóa lu n t t nghi p M c tiêu khóa lu n • Trình bày chi ti t t ng bư c gi i m t h phương trình vi phân n tính c p h s h ng b ng phương pháp ma tr n • ðưa h th ng ví d minh h a nh m c th hóa cơng th c nghi m c a h phương trình vi phân n tính c p h s h ng nhi u trư ng h p • Liên h cơng th c nghi m c a h phương trình vi phân n tính c p h s h ng v i v n ñ v nghi m c a phương trình vi phân n tính h s h ng Nhi m v nghiên c u • ðưa ma tr n vuông v d ng chu n t c Jordan • M i liên h gi a phương trình vi phân h phương trình vi phân • Cách gi i h phương trình vi phân n tính c p h s h ng • Gi i h phương trình vi phân n tính c p h s h ng b ng phương pháp s d ng ma tr n Phương pháp nghiên c u Như ñã bi t, h phương trình vi phân n tính c p h s h ng thư ng ñư c gi i b ng cách bi n ñ i h v phương trình vi phân n tính đ gi i Tuy nhiên cách ch y u rèn luy n kĩ tính tốn mà khơng gi i thích c th có cơng th c nghi m Vi c nghiên c u gi i h phương trình vi phân n tính c p h s h ng s giúp ta gi i thích đư c công th c nghi m m t s trư ng h p c Công c mà s d ng đ gi i h phương trình vi phân n tính c p h s h ng ma tr n Do đó, đ u tiên nghiên c u giáo trình, tài li u tìm cách đưa m t ma tr n vng v d ng chu n t c Jordan Ti p đó, v m t lí thuy t ngư i ta có th đưa cơng th c nghi m c a h phương trình vi phân n tính c p m t dư i d ng hàm mũ ma tr n Nên s tìm hi u hàm mũ ma tr n, cách tính hàm mũ ma tr n T m i liên h gi a phương trình h phương trình, bi t cách chuy n phương trình vi phân n tính c p h s h ng dư i d ng ma tr n Cu i s công th c nghi m ñã bi t d ng Jordan c a ma tr n h s , chúng tơi tính tốn nghi m c th nghi m c a h phương trình vi phân m t s trư ng h p c th Bên c nh đó, ta xây d ng h th ng ví d minh h a nh m c th hóa công th c nghi m nhi u trư ng h p c th Sau nghiên c u ma tr n nghi m c a h phương trình vi phân n tính c p h s h ng, ta rút ñư c m i liên h công th c nghi m c a h phương trình vi phân n tính c p h s h ng v i v n ñ v nghi m c a phương trình vi phân n tính h s h ng ð i tư ng ph m vi nghiên c u • ð i tư ng: H phương trình vi phân n tính c p h s h ng • Ph m vi: Khóa lu n nghiên c u cách gi i h phương trình vi phân n tính h s h ng b ng phương pháp s d ng ma tr n Ý nghĩa khoa h c K t qu nghiên c u c a khóa lu n góp ph n làm rõ cách gi i h phương trình vi phân n tính c p h s h ng b ng cách s d ng ma tr n thông qua h th ng ví d minh h a Qua n i dung khóa lu n, m t l n n a th y đư c vai trị quan tr ng c a ma tr n lĩnh v c toán h c Khóa lu n tài li u tham kh o h u ích đ i v i sinh viên ngành toán h c t p nghiên c u v h phương trình vi phân n tính C u trúc c a khóa lu n Ngồi ph n m đ u, k t lu n, tài li u tham kh o, khóa lu n ñư c chia thành ba chương: Chương Phép thu g n Jordan Chương H phương trình vi phân n tính c p Chương H phương trình vi phân n tính c p h s h ng Chương 1: Phép thu g n Jordan Trong tồn b khóa lu n này, chúng tơi gi i h n xét ma tr n trư ng s th c ℝ trư ng s ph c ℂ chương 1, s ñi nghiên c u ma tr n lũy linh, d ng chu n t c Jordan c a m t ma tr n vuông d ng chu n t c Jordan c a m t t ñ ng c u 1.1 Ma tr n lũy linh 1.1.1 Ma tr n lũy linh ð nh nghĩa 1.1 Cho A ma tr n vng c p n th a mãn u ki n Ak = v i m t s ngun dương k A đư c g i m t ma tr n lũy linh ða th c ñ c trưng c a ma tr n A ñ nh nghĩa b i χ A ( λ ) = det ( λ I − A ) ð ki m tra tính lũy linh c a ma tr n A c p ( n × n ) ta xét ñ n lũy th a th n N u ñ n lũy th a th n mà chưa nh n đư c ma tr n ch ng t ma tr n A không lũy linh 0 0 Ví d : Cho A =  0  Ch ng minh A ma tr n lũy linh   0 0   Gi i     0  Ta có A =  0  0  =  0        0  0   0         0  A3 = AA2 =  0  0  =     0  0     Vì A ma tr n vuông c p 3, A ≠ nên A ma tr n lũy linh c p  −1  −1 Ví d 2: Cho A =   −1   −1 0 1  Ch ng minh A ma tr n lũy linh −1  1 Gi i  −1  −1  Ta có A =  −1   −1 0  −1 1  −1  −1 −1   −1 0 1  = −1  1 V y A ma tr n lũy linh c p ð nh lý 1.1 Cho A ma tr n vuông c p n × n Th A ma tr n lũy linh n u ch n u χ A ( λ ) = λ n Ch ng minh (⇒ ) N u χ A ( λ ) = λ n A ma tr n lũy linh ð nh lý Caley – Hamilton : Cho A ma tr n vuông c p n ða th c ñ c trưng c a A b c n ñ nh th c χ A ( λ ) = λ E − A Khi χ A ( λ ) = V i χ A ( λ ) = λ n áp d ng ñ nh lý Caley – Hamilton ta có An = Do A ma tr n lũy linh ( ⇐) N u A ma tr n lũy linh χ A ( λ ) = λ n G i λ m t giá tr riêng c a ma tr n lũy linh A ng v i vectơ riêng v c a A Khi Av = λ v ( V i λ ∈ Κ : m t m r ng c a Κ ) Theo gi thi t A ma tr n lũy linh nên ∃ p > cho A p = Do A p v = λ p v = Nhưng v ≠ nên: λ p = ⇒ λ = V y ña th c ñ c trưng c a A có d ng λ n H qu 1.1: N u A ma tr n lũy linh c p ( n × n ) An = 1.1.2 Tính ch t ma tr n lũy linh  −1 2009 Ví d 3: Cho A =   , tính A 0  Gi i :  −1 −1  −2  Ta có A2 =   =        −1 −2   −3  A3 =   =        −n  ∗ ⇒ An =   , ∀ n ∈ ℕ (1) 0  Ch ng minh (1) ñúng v i ∀ n ∈ ℕ∗ Th t v y, (1) ñúng v i n = 2, n = ( ch ng minh trên)  −k  ∗ Gi s (1) ñúng v i n = k , nghĩa ta có Ak =  , ∀ k ∈ ℕ 0  Ta ñi ch ng minh (1) ñúng v i n = k +1 T c  −( k + 1)  ∗ Ak +1 =  , ∀ k ∈ ℕ  0 Th t v y, ta có:  −1 − k   −(k + 1)  ( ñúng ) Ak +1 = AAk =   =        −2009  V y A2009 =   0   0 2009 Ví d 4: Cho B =   Tính ( I − B ) 1 0 Gi i      −1  I2 − B =  − =     −1      ( I2 − B)  −1  −1    = = = I2 −1  −1         V y ( I2 − B) 2009 = ( I − B )( I − B ) 2008  −1   −1  =  I =  −1   −1    Chú ý: T ng, tích c a hai ma tr n lũy linh không nh t thi t lũy linh Th t v y, xét hai ma tr n lũy linh c p ( × ) sau: 0 1 0 0 A= B =    0 0 1 0 Ta có A2 = B = A, B ma tr n lũy linh c p 0 1 1 0 Nhưng A + B =   AB =  0  không ma tr n lũy linh vì: 1 0   (A 2 + B ) = I , ( AB ) = AB M t khác n u hai ma tr n lũy linh A B t a giao hoán v i ( AB = λ BA) rõ ràng t ng tích c a chúng lũy linh ð o l i ta có hai m nh ñ quan tr ng sau: M nh ñ 1.1 N u A, B A + B ma tr n lũy linh c p ( × ) ta có AB = − BA T suy AB BA ma tr n lũy linh Ch ng minh Theo ñ nh lí 1.1 ta có A2 = B = ( A + B ) = Vì v y ta có AB + BA = ⇒ AB = − BA ⇒ ( AB ) = − AABB = Do AB ma tr n lũy linh Ch ng minh tương t có BA ma tr n lũy linh M nh ñ 1.2 N u A, B AB , BA ma tr n lũy linh c p ( × ) ta có A + B ma tr n lũy linh AB = − BA Ch ng minh Ta có ( A + B ) = A2 + AB + BA + B 2 T ( A + B ) = ( AB ) + ABBA + BAAB + ( BA ) = ði u ch ng t A + B ma tr n lũy linh ta thu ñư c AB = − BA Nh n xét: ð i v i ma tr n lũy linh l n c p ( × ) hai m nh đ khơng cịn 0 0  −2  Ví d 5: Cho A =  0  B =  0       2 0 0 0     0 0 D ki m tra A, B A + B ma tr n lũy linh AB =  −4     −4    khơng lũy linh ( AB ) ≠ 1.2 Bi n ñ i m t ma tr n vuông v d ng chu n t c Jordan 1.2.1 T ñ ng c u lũy linh ð nh nghĩa 1.2.(Xem [3]) Gi s f : V → V m t t ñ ng c u c a m t không gian vectơ trư ng K, U m t không gian vectơ c a V Khi U g i khơng gian vectơ b t bi n ñ i v i f (hay f – b t bi n) n u f (U ) ⊂ U ð i v i t ñ ng c u f : V → V b t kỳ, khơng gian sau ñ u b t bi n {0} ,V , Ker f , Im f N u có không gian U1 U f – b t bi n cho V = U1 ⊕ U f U1 , f U đ u t ñ ng c u M i v ∈ V cho vi t ñư c nh t dư i d ng v = u1 + u2 v i u1 ∈ U1 , u2 ∈ U f ( v ) = f ( u1 ) + f ( u2 ) Khi vi c nghiên c u t ñ ng c u f V có th quy v nghiên c u t ñ ng c u f i c a U i ( i = 1, ) Nói rõ n u f1 có ma tr n A s ( e1 , e2 , , em ) c a U1 , f có ma tr n B s ( em+1, , en ) c a U , f có ma tr n: A 0  B   Trong s ( e1 , e2 , , em , em+1 , , en ) c a V Như th det f = det f1.det f ð nh nghĩa 1.3 (Xem [3]) (i) T ñ ng c u f c a K – không gian vectơ V trư ng K g i lũy linh n u có s nguyên dương q ñ ( fq= f f q = f f , q l n) N u f q −1 ≠ q g i b c lũy linh c a f (ii) Cơ s ( e1 , , en ) c a V ñư c g i m t s xyclic ñ i v i f n u f ( e1 ) = e2 , f ( e2 ) = e3 , , f ( en ) = (iii) Khơng gian vectơ U c a V đư c g i m t khơng gian xyclic đ i v i f n u U có m t s xyclic ñ i v i f      e3t cos2t e3t sin 2t φ1 ( t ) =  3t  + i  3t    e ( cos2t + 2sin 2t )   e ( sin t − 2cos 2t )  Hay      e3t cos2t e3t sin 2t  − i  3t φ2 ( t ) =  3t     e ( cos2t + 2sin 2t )   e ( sin 2t − 2cos 2t )   V y h có nghi m t ng quát là: ( )  x (t )  e 3t c1cos2t + c2 sin 2t    =   3t        y (t )  e c1 − 2c2 cos2t + 2c1 + c2 sin 2t  (( ) ( )          ) Ví d 17: Gi i h phương trình sau  x′ = x − y   y′ = − x + y Gi i Xét phương trình đ c trưng : 2− λ = −1 − λ ( )( ) ⇔ 2−λ 4−λ +1= ⇔ λ − 6λ + = ( ) ⇔ λ−3 =0 ⇔ λ1 = λ2 = Ta c n tìm vectơ đ c trưng N u có ñ hai vectơ ñ c trưng ñ c l p n tính rõ ràng ma tr n h s A ñưa ñư c v d ng ñư ng chéo Khi ti n hành gi i ví d 16 Tuy nhiên gi i phương trình tìm vectơ riêng ta có : Ax = λx  1x  x       =      ⇔       −1 4y        y  60  2x + y = 3x  ⇔ ⇔x =y  −x + 4y = 3y   T suy ch có th có nhi u nh t m t vectơ riêng ñ c l p n tính, 1   ch ng h n ta ch n P1 =   ði u cho th y A có d ng chu n t c Jordan 1   v i m t Jordan kích c l n ð tìm s riêng A có d ng Jordan ta ph i tìm thêm m t vectơ n a P2 , ñ c l p n tính v i P1 t phương trình AP2 = λ1P2 + P1 0    Gi i phương trình ta đư c P2 =   Vì s P1 , P2 ma tr n A có 1     d ng Jordan nên ta ñư c m t h nghi m b n :  1   3t    φ1 (t ) = e        1       φ t = te 3t 1 + e 3t 0     2( ) 1 1             V y h có nghi m t ng quát là: x (t )   c1e 3t + c2te 3t       =  y t  c e 3t + c te 3t + c e 3t     ( ) 1       2  3.4 Ma tr n nghi m t ng quát c a h phương trình vi phân n tính c p h s h ng Bây gi ta xét h vi phân n tính khơng thu n nh t: x ′ = Ax + b (t ) (t ∈ I ) (3.6) Trong A ma tr n h ng 61 Áp d ng công th c bi n thiên h ng s (2.5) nghi m ϕ c a h (3.6) th a mãn ñi u ki n ban ñ u ϕ (T ) = có d ng: ϕ (t ) = e t tA ∫e b (s ) = ds −sA T T t ∫e (t −s )A b (s )ds (t ∈ I ) (3.7) T có nghi m c a (3.6) th a mãn ñi u ki n ban ñ u ϕ (T ) = ξ ( T ∈ I , ξ < ∞ ) có d ng: ϕ (t ) = e (t − T )A t ξ+ ∫e (t −s )A b (s )ds (3.8) T ð i v i phương trình vi phân có d ng y ′′ + ay ′ + by = f (x ) (3.9) Trong a , b h ng s Ta s tìm nghi m riêng c a (3.9) hai trư ng h p sau: (xem [5]) TH1: f ( x ) = eα x Pn ( x ) , Pn ( x ) m t ña th c b c n, α m t h ng s Có phương trình đ c trưng k + ak + b = (∗) Có ba kh x y V i m i trư ng h p (*) l i có m t d ng nghi m riêng +) N u α không nghi m c a phương trình đ c trưng ( ∗) , ta s tìm m t nghi m riêng c a (3.9) có d ng : Y = eα x Qn ( x ) , v i Qn ( x ) m t ña th c b c n, (n+1) h s c a s đư c xác đ nh sau Ta có Y ′ = α Qn ( x ) eα x + Qn′ ( x ) eα x ′′ Y ′′ = α 2Qn ( x ) + 2α Qn′ ( x ) eα x + Qn ( x ) eα x Th vào phương trình y ′′ + ay ′ + by = e αx Pn (x ) ta ñư c :   ′ eα x Q′′ ( x ) + ( 2α + p ) Qn ( x ) + (α + pα + q ) Qn ( x )  = eα x Pn ( x ) 62 ′ Suy Q′′ ( x ) + ( 2α + p ) Qn ( x ) + (α + pα + q ) Qn ( x ) = Pn ( x ) (3.10) Vì α khơng nghi m c a phương trình đ c trưng ( ∗) nên α + pα + q ≠ , ñó v trái c a ñ ng th c (3.10) m t ña th c b c n, b c v i v ph i B ng cách ñ ng nh t th c h s c a s h ng b c hai v c a ñ ng th c (3.10), ta ñư c (n+1) phương trình b c nh t c a (n+1) n h s c a Qn ( x ) +) N u α nghi m ñơn c a phương trình đ c trưng α + pα + q = , ( 2α + p ) ≠ Khi v trái c a (3.10) m t ña th c b c (n – 1) Ta nâng b c c a lên m t đơn v mà khơng tăng s h s c a nó, mu n v y ta ch c n thay Qn ( x ) b i xQn ( x ) Do trư ng h p này, ta s tìm m t nghi m riêng c a (3.10) có d ng Y = xeα xQn ( x ) (3.11) +) N u α nghi m kép c a phương trình đ c trưng α + pα + q = , ( 2α + p ) = V trái c a (3.10) m t ña th c b c (n – 2) L p lu n tương t , ta th y r ng ph i tìm m t nghi m riêng c a (3.9) có d ng Y = x 2eα xQn ( x ) (3.12) TH2: N u f ( x ) = Pm ( x ) cosβ x + Pn ( x ) sin β x , Pm ( x ) , Rn ( x ) nh ng ña th c b c m, n ; β h ng s +) N u ± iβ không nghi m c a phương trình đ c trưng có th tìm m t nghi m riêng c a phương trình (3.9) có d ng sau : Y = Ql ( x ) cosβ x + Pl ( x ) sin β x (3.13) Ql ( x ) , Rl ( x ) nh ng ña th c b c l = max ( m , n ) +) N u ± i β nghi m c a phương trình đ c trưng có th tìm m t nghi m riêng c a phương Y = x Ql ( x ) cosβ x + Pl ( x ) sin β x    trình (3.14) 63 (3.9) có d ng Bây gi s d ng m i liên h gi a phương trình h phương trình s d ng cơng th c tính nghi m (3.7), (3.8) ta đ n công th c d ng nghi m riêng trư ng h p α không nghi m c a phương trình đ c trưng k + ak + b = T ng quát : y ′′ + ay ′ + by = e αx Pn (x ) ð t y0 = y ′ y1 = y ′ = y ′ y ′′ = y1 = − y ′ Khi : y ′   y   0 =       −b −a  y    y1      ⇔ Y ′ = AY y  Nghi m thu n nh t :   = e sA y1  Nghi m không thu n nh t :   y ′  0  y     0  −b −a  y  + e αx P (x ) = y ′      n     ⇔ AY + b (s ) = Y ′ x Khi nghi m khơng thu n nh t có d ng: Y = e xA ∫e b (s )ds −sA (3.15) T Trong trư ng h p α không nghi m c a phương trình đ c trưng k + ak + b = 64 Gi p P =  11  p21 Ta có e xA s chéo hóa ñư c, ñó A λ  A = P −1  P  λ2  v i p12  p22   eλ1x =P   −1 − λ1s  − sA −1  e P, e = P  eλ2 x       P , b ( s ) = eα s P s  e − λ2s  n ( )  Thay vào cơng th c (3.15) ta đư c: eλ1x Y=P   −1 eλ1x =P   −1 eλ1x =P   −1  x e− λ1s    ∫ P  α s  ds eλ2 x   e− λ2 s  e Pn ( s )  (α − λ ) s  x  e p12 Pn ( s )  ds   eλ2 x  ∫ e(α −λ1 )s p22 Pn ( s )  0  x  (α −λ1 )s  e Q n (s)   0 λ2 x   x e   (α −λ1 )s e Q n (s)  0  V i Q1 n ( x ) , Q n ( x ) ña th c b c nh n ( deg Qn ( x ) ,deg Qn ( x ) ≤ n ) eλ1x V yY =P   −1  p′ = e  11 ′  p21 αx (α −λ ) s  αx    e Qn ( x )  −1 e Qn ( x )  = P  αx    (α −λ1 )s eλ2 x  e Qn ( x )  e Qn ( x )    ∗ ′ p12   Qn ( x )   eα xQn ( x )   =  ∗∗ p′  Qn ( x )  eα xQn ( x )  22  ∗ ∗∗ ( deg Qn ( x ) ,deg Qn ( x ) ≤ n ) ∗ Suy y0 = y = eα xQn ( x ) 65 3.5 Các ví d minh h a Ví d 18: Gi i h phương trình sau b ng phương pháp s d ng ma tr n  x′ = x − y + z   y′ = x − y + z   z′ = x − y + z Gi i Xét phương trình đ c trưng : 1− λ −3 −7 − λ −7 = 7−λ ⇔ ( − λ )(1+ λ ) = λ1 = ⇔ λ2 = − Áp d ng ví d ( trang 29 ) ta có: +) ng v i λ1 = ta có vectơ riêng tương ng P = (1 ,2 , ) +) ng v i λ2 = − ( nghi m b i ) ta có hai vectơ riêng tương ng là: P2 = ( −1 , − , − 1) P3 = (1 , , ) Khi nghi m b n c a h d ng ϕ ( t ) = P.etJ Do ta có:   e3t 0       3t  2 ϕ1 ( t ) =  e     0 e 3t          −1    −t  ϕ ( t ) = e  −2    −1       −1  1       − t  ϕ3 ( t ) = e  −2  t + 1      −1         66  1   3t   ϕ1 ( t ) = e    2      −1    −t  ⇔ ϕ2 ( t ) = e  −2     −1       −1  1    −t  −t   ϕ3 ( t ) = e  −2  + e 1   −1  0       V y nghi m t ng quát c a h ñã cho :  c1e3t − ( c2 + c3 ) e −t + c3e −t   x (t )      y ( t )  =  2c1e3t − ( c2 + c3 ) e − t         2c1 − ( c2 + c3 ) e −t  z (t )    Ví d 19: Gi i h phương trình  x1 ′  a −b   x1   sin t  v i ϕ ( 0) = α x  =    + b a   x2   cost       2 Gi i Xét phương trình đ c trưng : a−λ −b b a−λ =0 ⇔ λ1,2 = a ± bi V i e s  a −b    b a  ph c a + bi ta có e a +bi = e a ( cos b + i sin b )  cosb − sin b  = ea    sin b cosb   cosb − sin b  Khi etA = eta    sin b cosb  67  cosb − sin b   α  Do etAξ = eta     sin b cosb  α  V y nghi m t ng quát c a h phương trình :  x1 ( t )  − sin b   α1  t (t −s )a  cosb ( t − s ) − sin ( t − s )   sins  ta  cosb   = e      + ∫ e  ds  sin b cosb   α   x2 ( t )   sin b ( t − s ) + cosb ( t − s )   coss   t (t − s )a  cosb ( t − s ) sin s − sin ( t − s ) coss  ds   ∫e    eta (α1cosbt − α 2cost )    =  ta  +t   e (α1sinbt + α 2cost )   e(t − s )a sinb t − s sin s + cosb t − s coss  ds  ( ) ( )    ∫ 0  Ví d 20: Gi i h phương trình  y1 ′    y1  0   y  =  −1 0  y  +  t    2    2 V i ϕ (0) = Gi i Gi i h phương trình n tính thu n nh t:  y1 ′    y1   y  =  −1   y    2  2 Xét phương trình đ c trưng: −λ = −1 −λ ⇔ λ2 + = λ1 = i ⇔ λ2 = − i Khi t n t i m t s c a ℂ g m toàn vectơ riêng P , P2 ñ ma tr n h s d ng Jordan 68  eit Nghi m b n c a h s có d ng ϕ ( t ) = P.e =  0 tJ  P e −it  Trong P ma tr n có c t p1 , p2 +) ng v i λ1 = i ta có: −ip1 + p2 =  − p1 + ip2 = Ch n p1 = i ⇒ p2 = −  i  V y P =    −1 +) Tương t i  ng v i λ2 = − i ta s tìm đư c vectơ riêng P2 =   1 Khi nghi m b n c a h phương trình thu n nh t có d ng:  i  it  ϕ1 ( y ) = e     −1  ϕ y = e− it  i   1  2( )    V y nghi m t ng quát c a h phương trình n tính thu n nh t là:  cos y − sin y  Hay ϕ ( y ) =    − sin y −cos y  Ta có ϕ ( ) = nên áp d ng cơng th c (3.8) ta có: t ϕ ( y ) = e ξ + ∫ e(t −s ) Ab ( s )ds tA Ta có:  cos t − sin t 1  cost − sin t  etAξ =  = − sin t −cos t 1  − sin t − cost      Khi nghi m t ng qt c a h phương trình là: 69  y1 ( t )   cost − sin t  t  cos ( t − s ) − sin ( t − s )    +    =   ds y2 ( t )   − sin t − cost  ∫  − sin ( t − s ) − cos ( t − s )   s       cost − sin t  =   − sin t − cost  t   ∫ − s sin ( t − s ) ds   +t    ∫ − scos ( t − s ) ds    0   cost − sin t   t − sin t   cos t + t  =  +  cos t + 1 =  − sin t + 1  − sin t − cost       y ( t )   cos t + t  V y nghi m t ng quát c a h phương trình là:   =    y2 ( t )   − sin t + 1 Ví d 21: Gi i h n tính thu n nh t :  y1 ′    y1    =   v i y1 ( ) = 2, y2 ( ) = y2   0   y2    Gi i Nh n th y r ng v i m i k ≥ ta th y Ak ñ ng nh t v i ma tr n Nên ta có 1 0 t 0 1 1 t  e At =   +   =    1!  0     y   t    + 3t  Do nghi m c n tìm :   =    =    y2   1    70 K T LU N Trong khóa lu n “Gi i h phương trình vi phân n tính c p h s h ng b ng phương pháp ma tr n” chúng tơi thu đư c k t qu sau : +) Trình bày chi ti t t ng bư c gi i m t h phương trình vi phân n tính c p h s h ng b ng phương pháp ma tr n B ng vi c nghiên c u phép thu g n Jordan hàm mũ ma tr n, chúng tơi s đưa ma tr n h s c a h phương trình vi phân n tính c p h s h ng v d ng Jordan ñ gi i T ñó rút ma tr n nghi m b n c a h phương trình vi phân n tính thu n nh t c p h s h ng +) Áp d ng công th c bi n thiên h ng s nghi m th a mãn ñi u ki n ban ñ u, ta thu ñư c công th c nghi m t ng quát c a h phương trình vi phân c p h s h ng S d ng m i liên h gi a h phương trình phương trình cơng th c nghi m thu ñư c dư i d ng ma tr n, ta đ n cơng th c nghi m c a phương trình vi phân y′′ + ay′ + b = eα x Pn ( x ) trư ng h p α không nghi m c a phương trình đ c trưng k + ak + b = T rút s liên h cơng th c nghi m c a h phương trình vi phân n tính c p h s h ng v i v n ñ v nghi m c a phương trình vi phân n tính h s h ng Ngồi khóa lu n cịn đưa đư c h th ng ví d minh h a nh m c th hóa cơng th c nghi m c a h phương trình vi phân n tính c p h s h ng nhi u trư ng h p c th 71 TÀI LI U THAM KH O [1] Hoàng H u ðư ng, Võ ð c Tôn, Nguy n Th Hồn (1970), Phương trình vi phân (t p I), NXB ð i h c Trung h c chuyên nghi p [2] Hoàng H u ðư ng, Võ ð c Tơn, Nguy n Th Hồn (1970), Phương trình vi phân (t p II), NXB ð i h c Trung h c chuyên nghi p [3] Tr n Tr ng Hu (2007), Giáo trình đ i s n tính hình h c gi i tích (t p II), NXB ðHQG Hà N i [4] ðinh Th L c, Ph m Huy ði n, T Duy Phư ng (2002), Gi i tích hàm nhi u bi n nh ng ngun lý b n tính tốn th c hành, NXB ðHQG Hà N i [5] Nguy n ðình Trí (2009), Tốn h c cao c p (t p ba), NXB Giáo d c [6] Vũ Tu n, ðồn Văn Ng c (1992), Phương trình vi phân, NXB Giáo d c [7] Jean – Marie (2006), ð i s 2, NXB Giáo d c 72 M CL C M ð U .0 Lý ch n đ tài khóa lu n .0 M c tiêu khóa lu n Nhi m v nghiên c u .1 Phương pháp nghiên c u ð i tư ng ph m vi nghiên c u Ý nghĩa khoa h c C u trúc c a khóa lu n .3 Chương 1: Phép thu g n Jordan 1.1 Ma tr n lũy linh 1.1.1 Ma tr n lũy linh 1.1.2 Tính ch t ma tr n lũy linh : 1.2 Bi n ñ i m t ma tr n vuông v d ng chu n t c Jordan 1.2.1 T ñ ng c u lũy linh 1.2.2 Ma tr n lũy linh Jordan 13 1.2.3 D ng chu n t c Jordan c a m t t ñ ng c u 22 1.3 Hàm mũ c a ma tr n 31 1.3.1 Hàm mũ ma tr n 31 1.3.2 ð o hàm c a hàm mũ 33 Chương 2: H phương trình vi phân n tính c p 35 2.1 H phương trình vi phân n tính thu n nh t c p 35 2.1.1 H phương trình vi phân n tính c p t ng quát 35 2.1.2 S t n t i nh t nghi m c a h phương trình vi phân 37 2.1.3 H phương trình vi phân n tính thu n nh t c p m t 38 2.2 M i quan h gi a h phương trình vi phân n tính c p thu n nh t v i phương trình vi phân n tính thu n nh t 39 73 2.2.1 M i liên h gi a phương trình vi phân n tính thu n nh t c p h phương trình n tính c p 39 2.2.2 M i liên h gi a h phương trình vi phân n tính thu n nh t phương trình vi phân n tính thu n nh t 41 2.3 Nghi m c a h phương trình vi phân n tính c p 44 2.3.1 Nghi m c a h phương trình vi phân n tính c p thu n nh t 44 2.3.2 Nghi m c a h phương trình vi phân n tính c p không thu n nh t 46 Chương 3: H phương trình vi phân n tính c p h s h ng 51 3.1 H phương trình vi phân n tính c p h s h ng cách gi i 51 3.1.1 ð nh nghĩa h phương trình n tính c p h s h ng 51 3.1.2 Cách gi i h phương trình vi phân n tính c p h s h ng 52 3.2 Ma tr n nghi m b n c a h phương trình vi phân n tính thu n nh t c p h s h ng 55 3.3 Các ví d minh h a : 58 3.4 Ma tr n nghi m t ng quát c a h phương trình vi phân n tính c p h s h ng 61 3.5 Các ví d minh h a 66 K T LU N 71 TÀI LI U THAM KH O 74 74 ... phương trình vi phân h phương trình vi phân • Cách gi i h phương trình vi phân n tính c p h s h ng • Gi i h phương trình vi phân n tính c p h s h ng b ng phương pháp s d ng ma tr n Phương pháp nghiên... m c a h phương trình vi phân n tính c p 2.1 H phương trình vi phân n tính thu n nh t c p 2.1.1 H phương trình vi phân n tính c p t ng qt H phương trình vi phân t ng quát h g m phương trình ch... ) Cách gi i h phương trình vi phân n tính c p khơng thu n nh t: Cách 1: Phương pháp đưa v phương trình vi phân c p cao (phương pháp kh ) Là phương pháp đưa v m t phương trình vi phân c p cao ñ