Đang tải... (xem toàn văn)
Cuốn sách gồm phần mở đ ầu, 9 chư ơn g và p hụ lục.Chương 1. Bất đẳng thức CauchyChương 2. Hàm đơn điệu và tựa đơn điệuChương 3. Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhânChương 4. Hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõmChương 5. Bất đẳng thức KaramataChương 6. Sắp thứ tự một số bộ số có trọngChương 7. Bất đẳng thức hàmChương 8. Bất đẳng thức trong dãy sốChương 9. Bất đẳng thức tích phânPhụ l ục. Bảng các bất đẳng thức liên quan
Lời nói đầu Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức là một bộ phận quan trọng của giải tích và đại số. Nhiều dạng toán của hình học, lượng giác và nhiều môn học khác cũng đòi hỏi giải quyết các vấn đề về ước lượng, cực trị và tối ưu, Các học sinh và sinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề này. Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó. Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lư ợng (bất đẳng thức) tương ứng. Lý thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và cực kỳ đa dạng. Hiện có hàng trăm giáo trình cơ bản và sách chuyên đề, tham khảo về đại số, giải tích, số học và hình học trình bày lý thuyết và bài tập về bất đẳng thức. Gần đây, số lượng các sách tham khảo và chuyên đề về bất đẳng thức được rất nhiều tác giả viết và khai thác theo những chủ đề và các quan điểm phân loại khác nhau. Tuy vậy, các tài liệu về bất đẳng thức như là một chuyên đề chọn lọc cho giáo viên và học sinh hệ Chuyên Toán bậc trung học phổ thông thì chưa có nhiều, còn chưa thể hiện đư ợc đầy đủ hệ thống các ý tưởng cơ bản, c ách thức tiếp cận và một số hướng ứng dụng theo các dạng toán cũng như phương pháp giải điển hình. Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi và nhằm đáp ứng yêu cầu sáng tạo các dạng bài tập mới về chuyên đề bất đẳng thức và các bài toán cực trị, chúng tôi viết cuốn sách nhỏ này nhằm cung cấp một số cơ sở dữ liệu cơ bản về bất đẳng thức và một số vấn đề đại số liên quan đến bất đẳng thức. Đồng thời, cũng cho phân loại một số dạng toán về bất đẳng thức theo nhận dạng cũng như thuật toán để giải chúng. Đây cũng là bài giảng mà tác giả đã bồi dưỡng cho các giáo viên giảng dạy chuyên toán và cho học sinh, sinh viên các đội tuyển thi Olympic Toán quốc gia, khu vực và qu ốc tế. Một số dạng bài tập được chọn lọc là các đề ra của các 3 4 kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và Olympic Toán quốc tế. Một số các bài toán minh hoạ khác được trích từ các tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, Toán học trong n hà trường, Kvant, Mathematica, các sách giáo khoa và sách giáo trình cơ bản, các đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế cũng như một số đề thi Olympic Toán sinh viên trong những năm gần đây (xem [1]-[19]). Cuốn sách gồm phần mở đầu, 9 chương và phụ lục. Chương 1. Bất đẳng thức Cauchy Chương 2. Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu Chương 3. Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân Chương 4. Hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm Chương 5. Bất đẳng thức Karamata Chương 6. Sắp thứ tự một số bộ số có trọng Chương 7. Bất đẳng thức hàm Chương 8. Bất đẳng thức trong dãy số Chương 9. Bất đẳng thức tích phân Phụ lục. Bảng các bất đẳng thức liên quan Trong tài liệu này, chúng tôi sử dụng một số kỹ thuật và bài tập trích từ các báo cáo đăng trong Kỷ yếu Hội nghị khoa học về chuyên đề Bất đẳng thức ([17]- [30]). Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa vào xét một số vấn đề liên quan đến hệ thống ứng dụng như là một cách tiếp cận của phương pháp nhằm giúp các độc giả hiểu sâu sắc hơn cơ sở và cấu trúc của lý thuyết bất đẳng thức. Tuy nhiên, trong tài liệu này không đề cập nhiều và sâu đến các bài toán có nội dung liên quan đến kiến thức hiện đại của giải tích cũng như không đề cập đến những bất đẳng thức và các bài toán cực trị trên các tập rời rạc có ràng buộc phức tạp của lý thuyết quy hoạch và tối ưu. Các dạng bất đẳng th ức số học và hình học cũng không có mặt trong tài liệu này. Cuốn sách dành cho học sinh năng khiếu Toán học bậc trung học phổ thông, các sinh viên và học viên cao học, một số đề mục được viết dành riêng cho các thầy giáo và cô giáo trực tiếp b ồi dưỡng học sinh giỏi Toán. Trong cuốn sách này, có trình bày một số kết qủa mới chưa có trong các sách hiện hành, chủ yếu trích từ kết quả của tác giả và đồng nghiệp tại các seminar khoa học của Hệ THPT Chuyên Toán - Tin, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội và một số báo cáo đăng trong Kỷ yếu Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề Toán chọn lọc của Hệ THPT Chuyên", nên đòi hỏi độc giả cũng phải giành khá nhiều thời gian tìm hiểu thì mới lĩnh hội được đầy đủ ý tứ và cách thức tiếp c ận của ph ương pháp. Tuy nhiên, bạn đọc cũng có thể bỏ qua các đề mục mới để tập trung đọc các phần có nội dung quen thuộc trước rồi sau đó hãy quay lại phần kiến thức nâng cao. Trong cuốn sách này, tên gọi của các bất đẳng thức cổ điển được viết theo cách gọi truyền thống lấy từ các sách chuyên khảo và chuyên đề hiện hành và không phiên âm tên riêng ra tiếng Việt. 5 Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Trần Huy Hổ, PGS TS Nguyễn Thuỷ Thanh và các thành viên Seminar Giải tích - Đại số cũng như seminar Các chuyên đề Toán phổ thông, đã cho nhiều ý kiến đóng góp để cuốn sách được hoàn chỉnh. Tác giả đặc biệt cảm ơn anh Nguyễn Xuân Bình và chị Phan Thị Minh Nguyệt đã đọc kỹ bản thảo và có nhiều ý kiến quý báu để giúp tác giả chỉnh lý và hiệu đính cuốn sách. Tác giả sẽ vô cùng biết ơn các bạn đọc có ý kiến đóng góp về nội dung cũng như cách thức trình bày của cuốn sách. Mọi góp ý xin gửi về địa chỉ: Nhà xuất bản Giáo dục, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội. Hà Nội, ngày 1 tháng 1 năm 2006 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Bất đẳng thức Cauchy 9 1.1 Tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Dạng phức và dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Tam thức bậc (α) và tam thức bậc (α, β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Nhận xét về một số bất đẳng thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6.1 Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6.2 Kỹ thuật tách và ghép bộ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.6.3 Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.6.4 Điều chỉnh và lựa chọn tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2 Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 56 2.1 Hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2 Hàm tựa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3 Hàm đơn điệu từng khúc và phép đơn điệu hoá hàm số . . . . . . . . . . . 65 2.4 Hàm đơn điệu tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5 Hàm đơn điệu có tính tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.6 Một số ứng dụng của hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3 Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân 85 3.1 Định lí về các giá trị trung bình cộng và nhân . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1.1 Quy nạp kiểu Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.1.2 Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.1.3 Quy nạp kiểu Ehlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1.4 Đồng nhất thức Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.5 Đẳng thức (phương trình) hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6 MỤC LỤC 7 3.1.6 Đồng nhất thức Jacobsthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.1.7 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.1.8 Hàm exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.1.9 Hoán vị bộ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2 Bất đẳng thức AG suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3 Hàm phân thức chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.4 Một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức AG . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4.1 Điều chỉnh và lựa chọn tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4.2 Kỹ thuật tách, ghép và phân nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4 Hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm 121 4.1 Các tính chất cơ bản của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.2 Thứ tự sắp được của dãy số sinh bởi hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.3 Hàm lồi, lõm bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.4 Biểu diễn hàm lồi và lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.5 Một số lớp hàm số biểu diễn được dưới dạng tuyến tính . . . . . . . . . . 134 4.6 Hàm tựa lồi và tựa lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5 Bất đẳng thức Karamata 149 5.1 Định lí Karamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.2 Bất đẳng thức đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.3 Độ gần đều và thứ tự sắp được của một dãy các tam giác . . . . . . . . . 154 5.4 Điều chỉnh từng phần bộ biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.5 Một số định lí mở rộng đối với hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.6 Các định lí dạng Karamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6 Sắp thứ tự một số bộ số có trọng 187 6.1 Bất đẳng thức Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.2 Một số quy luật sắp thứ tự bộ số có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.3 Sắp thứ tự và ước lư ợng phần tử trong bộ số . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.4 Sắp thứ tự các trung bình của bộ số với trọng . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.5 Sắp thứ tự các tổng của bộ số theo b ậc của chúng . . . . . . . . . . . . . 210 6.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7 Bất đẳng thức hàm 214 7.1 Hàm khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.1.1 Hàm khoảng cách một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.1.2 Hàm khoảng cách hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8 MỤC LỤC 7.1.3 Hàm khoảng cách nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 7.2 Bất đẳng thức hàm liên quan đến tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.2.1 Hàm tựa đồng biến dạng hàm số sin . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.2.2 Hàm tựa lõm dạng hàm số cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.3 Hàm số bảo toàn bất đẳng thức trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.3.1 Hàm số chuyển đổi các tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.3.2 Nhận xét về hàm liên quan đến diện tích đa giác . . . . . . . . . . 239 7.4 Bất phương trình hàm với cặp biến tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 8 Bất đẳng thức trong dãy số 251 8.1 Dãy sinh bởi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 8.2 Ước lượng tích và tổng của một số dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 8.3 Bất đẳng thức trong tập rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 8.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 9 Bất đẳng thức tích phân 279 9.1 Ước lượng một số biểu thức chứa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 9.2 Phương pháp tích phân trong bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 9.3 Phương pháp tích phân trong các bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . 303 9.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Phụ lục: Bảng các bất đẳng thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Chương 1 Bất đẳng thức Cauchy 1.1 Tam thức bậc hai Bất đẳng thức cơ bản và cũng là quan trọng nhất trong chương trình đại số bậc trung học phổ thông chính là bất đẳng thức dạng sau đây x 2 0, ∀x ∈ R. (1.1) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Gắn với bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức dạng sau (x 1 − x 2 ) 2 0, ∀x 1 , x 2 ∈ R, hay x 2 1 + x 2 2 2x 1 x 2 , ∀x 1 , x 2 ∈ R. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 . Bất đẳng thức (1.1) là dạng bậc hai đơn giản nhất của bất đẳng thức bậc hai mà học sinh đã làm quen ngay từ chương trình lớp 9. Định lí Viete đóng vai trò rất quan trọng trong việc tính toán và ước lượng giá trị của một số biểu thức dạng đối xứng theo các nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng. Đặc biệt, trong chương trình Đại số lớp 10, mảng bài tập về ứng dụng định lí (thuận và đảo) về dấu của tam thức bậc hai là công cụ hữu hiệu của nhiều dạng toán ở bậc trung họ c phổ thông. Xét tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c, a = 0. Khi đó af(x) = ax + b 2 2 − ∆ 4 , với ∆ = b 2 − 4ac. Từ đẳng thức này, ta có kết quả quen thuộc sau. 9 10 Chương 1. Bất đẳng thức Cauchy Định lí 1.1. Xét tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c, a = 0. i) Nếu ∆ < 0 thì af(x) > 0, ∀x ∈ R. ii) Nếu ∆ = 0 thì af(x) 0 ∀x ∈ R. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = − b 2a . iii) Nếu ∆ > 0 thì af(x) = a 2 (x − x 1 )(x − x 2 ) với x 1,2 = − b 2a ∓ √ ∆ 2|a| . (1.2) Trong trường hợp này, af(x) < 0 khi x ∈ (x 1 , x 2 ) và af(x) > 0 khi x < x 1 hoặc x > x 2 . Ta nhắc lại kết quả sau. Định lí 1.2 (Định lí đảo). Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α sao cho af(α) < 0 là ∆ > 0 và x 1 < α < x 2 , trong đó x 1,2 là các nghiệm của f(x) xác định theo (1.2). Nhận xét rằng, các định lí trên đ ều được mô tả thông qua bất đẳng thức (kết quả so sánh biệt thức ∆ với 0). Các định lí sau đây cho ta tiêu chuẩn nhận biết, thông qua biểu diễn hệ số, khi nào thì tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c, a = 0, có nghiệm. Định lí 1.3. Với mọi tam thức bậc hai f(x) có nghiệm thực đều tồn tại một nguyên hàm F (x), là đa thức bậc ba, có ba nghiệm đều thực. Chứng minh. Khi f(x) có nghiệm kép, tức f(x) = a(x−x 0 ) 2 , thì ta chỉ cần chọn nguyên hàm dưới dạng F (x) = a 3 (x − x 0 ) 3 . Khi f(x) có hai nghiệm phân biệt, tức f(x) = a(x − x 1 )(x − x 2 ), x 1 < x 2 , a = 0, ta chọn nguyên hàm F(x) thoả mãn điều kiện F x 1 + x 2 2 = 0. Khi đó, rõ ràng hàm F(x) có cực đại và cực tiểu lần lượt tại x 1 và x 2 và điểm uốn của đồ thị tương ứng là M x 1 +x 2 2 , 0 . Từ đây suy ra điều cần chứng minh. Định lí 1.4. Tam thức bậc hai f (x) = 3x 2 + 2bx + c có nghiệm (thực) khi và chỉ khi các hệ số b, c có dạng b = α + β + γ c = αβ + βγ + γα (1.3) 1.1. Tam thức bậc hai 11 Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên vì theo bất đẳng thức Cauchy, ta có ∆ =b 2 − 3c = (α + β + γ) 2 − 3(αβ + βγ + γα) =α 2 + β 2 + γ 2 − (αβ + βγ + γα) = 1 2 (α −β) 2 + 1 2 (β − γ) 2 + 1 2 (γ − α) 2 0. Điều kiện cần. Giả sử phư ơng trình bậc hai có nghiệm thực x 1 , x 2 . Khi đó, tồn tại đa thức bậc ba có ba nghiệm thực, là nguyên hàm của f(x), tức là: F (x) = (x + α)(x + β)(x + γ). Từ đây ta suy ra điều cần chứng minh. Tiếp theo, trong chương này, ta xét các dạng toán cơ bản về bất đẳng thức và cực trị có sử dụng tính chất của tam thức bậc hai. Xét đa thức thuần nhất bậc hai hai biến (xe m như tam thức bậc hai đối với x) F (x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 , a = 0, ∆ : = (b 2 − 4ac)y 2 . Khi đó, nếu ∆ 0 thì aF (x, y) 0, ∀x, y ∈ R. Vậy khi b 2 4ac và a < 0 thì hiển nhiên ax 2 + cy 2 |bxy|, ∀x, y ∈ R. Trường hợp riêng, khi a = c = 1, b = ±2 thì ta nhận lại được kết quả x 2 + y 2 2|xy| hay u + v 2 √ uv, u, v 0. Về sau, ta sử dụng các tính chất của dạng phân thức bậc hai y = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 a 2 x 2 + b 2 x + c 2 với điều kiện a 2 > 0, f 2 (x) = a 2 x 2 + b 2 x + c 2 > 0, ∀x ∈ R, để tìm cực trị của một số dạng toán bậc hai. 12 Chương 1. Bất đẳng thức Cauchy Bài toán 1.1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 a 2 x 2 + b 2 x + c 2 với điều kiện a 2 > 0, f 2 (x) = a 2 x 2 + b 2 x + c 2 > 0, ∀x ∈ R. Giải. Nhận xét rằn g khi x = 0 thì y(0) = c 1 c 2 và khi x → ∞ thì y → a 1 a 2 . Tiếp theo, ta xét các giá trị y = c 1 c 2 và y = a 1 a 2 . Giả sử y là một giá trị của biểu thức, y = c 1 c 2 và y = a 1 a 2 . Khi đó phương trình tương ứng a 1 x 2 + b 1 x + c 1 a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = y phải có nghiệm, hay phương trình (a 2 y − a 1 )x 2 + (b 2 y − b 1 )x + (c 2 y − c 1 ) = 0 (1.4) phải có nghiệm. Do (1.4) là phương trình bậc hai nên điều này tương đương với ∆ = (b 2 y − b 1 ) 2 − 4(a 2 y − a 1 )(c 2 y − c 1 ) 0 hay g(y) := (b 2 2 − 4a 2 c 2 )y 2 + 2(b 1 b 2 + 2a 2 c 1 + 2a 1 c 2 )y + b 2 1 − 4a 1 c 1 0 phải có nghiệm. Vì g(y) có b 2 2 − 4a 2 c 2 < 0 nên theo Định lí đảo của tam thức bậc hai, thì ∆ = (b 1 b 2 + 2a 1 c 2 + a 2 c 1 ) 2 − (4a 1 c 1 − b 2 1 )(4a 2 c 2 − b 2 2 ) 0. (1.5) và y 1 y y 2 , với y 1,2 = b 1 b 2 + 2a 2 c 1 + 2a 1 c 2 ± √ ∆ b 2 2 − 4a 2 c 2 , và ∆ được tính theo công thức (1.5). Suy ra max y = y 2 và min y = y 1 , đạt được khi ứng với mỗi j (j = 1, 2), xảy ra đồng thời ∆ = (b 2 y j − b 1 ) 2 − 4(a 2 y j − a 1 )(c 2 y j − c 1 ) = 0, x j = − 1 2 b 2 y j − b 1 a 2 y j − a 1 . Xét một vài ví dụ minh hoạ sau đây. [...]... đồng nhất thức này ta thu được bất đẳng thức sau đây 2 Tại Việt Nam và một số nước Đông Âu, bất đẳng thức này được mang tên là "Bất đẳng thức Bunhiacovski", "Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski" hoặc "Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz" Còn bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình cộng và nhân thì được gọi là bất đẳng thức Cauchy Thực ra, theo cách gọi của các chuyên gia đầu ngành về bất đẳng thức (Hardy... a2 + b2 k k b2 ) k k=1 n a2 k k=1 b2 k k=1 Bất đẳng thức đầu xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a và b tỷ lệ và bất đẳng thức sau xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi các véctơ {|ak |}n và {|bk |}n trực giao k=1 k=1 Ta xét tiếp các bất đẳng thức Ostrowski và Fan-Todd Định lí 1.16 (A.M.Ostrowski) Cho hai dãy không tỷ lệ a = (a1 , , an ) và b = (b1 , , bn ) và dãy số thực x = (x1 , , xn ) thoả mãn... − 1 và (??) = γ Vậy nên tγ + γ − 1 γt, ∀t ∈ R+ , (1.16) 26 Chương 1 Bất đẳng thức Cauchy hay xα + α −1 β α β x , ∀x ∈ R+ , β (1.17) dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1 Ta nhận được bất đẳng thức Bernoulli đối với tam thức bậc (α, β) ứng với trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1 Để sử dụng bất đẳng thức Bernoulli cho trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ... Khi đó bất đẳng thức Cauchy trùng với bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Hệ quả 1.2 Với mọi cặp số dương (a, b), ta luôn có bất đẳng thức sau √ √ 2(a + b) ( a + b)2 , hay a+b 1.3 √ 2 ab Dạng phức và dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy Trước hết, ta có nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới... đẳng thức này và n n 2 zk = k=1 n 2 zk k=1 2 zk k=1 ta thu được điều cần chứng minh 1.4 Tam thức bậc (α) và tam thức bậc (α, β) Ta có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng x2 + 1 2x, ∀x ∈ R (1.10) có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1 Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc α (α > 1) để có bất đẳng thức tương tự như... trường hợp, nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = x0 > 0 cho trước, ta cần thay (1.12) bởi bất đẳng thức sau đây x x0 α +α−1 α x , ∀x ∈ R+ x0 (1.13) Tiếp theo, ta lại có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng x2 + 1 2x, ∀x ∈ R (1.14) có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ thừa 1 của x), trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1... i=1 2 yi (1.6) i=1 Dấu đẳng thức trong (1.6) xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số (xi ) và (yi ) tỷ lệ với nhau, tức tồn tại cặp số thực α, β, không đồng thời bằng 0, sao cho αxi + βyi = 0, ∀i = 1, 2, , n Bất đẳng thức (1.6) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy2 (đôi khi còn gọi là bất đẳng thức Bunhiacovski, Cauchy - Schwarz hoặc Cauchy-Bunhiacovski) Nhận xét rằng, bất đẳng thức Cauchy cũng có thể... , k=1 trong đó A= α+β , G= 2 αβ 23 1.3 Dạng phức và dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy Nhìn chung, rất nhiều bất đẳng thức nhận được từ các đồng nhất thức Vì vậy, việc thiết lập được các đồng nhất thức được coi như một phương pháp hữu hiệu để sáng tác và chứng minh bất đẳng thức Bài toán 1.7 Chứng minh rằng với mọi bộ ba số (x, y, z), ta luôn có đẳng thức sau (2x + 2y − z)2 + (2y + 2z − x)2 + (2z +... trên, ta có ngay điều cần chứng minh Tiếp theo, ta xét một dạng bất đẳng thức, thực chất là bất đẳng thức Cauchy, trong hình học gắn với tích trong trong không gian tuyến tính, thường được gọi là Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz3 3 Đôi khi được gọi là bất đẳng thức Schwarz ( Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921) 31 1.5 Nhận xét về một số bất đẳng thức liên quan Trước hết, ta nhắc lại tích vô hướng đối với... thì bất đẳng thức tích phân dạng (2.1) mới mang tên là bất đẳng thức Bunhiacovski 21 1.3 Dạng phức và dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy Hệ quả 1.1 Với mọi bộ số dương (xi , yi ), ta luôn có bất đẳng thức sau E2 (x + y) E1 (x + y) trong đó E2 (x) E2 (y) + , E1 (x) E1 (y) n n E1 (x) := xi , E2 (x) := i=1 xi xj i,j=1;i=j Về sau, ta đặc biệt quan tâm đến trường hợp tương ứng với hai cặp số (1, 1) và (a, . bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và cực kỳ đa dạng. Hiện có hàng trăm giáo trình cơ bản và sách chuyên đề, tham khảo về đại số, giải tích, số học và hình học trình bày lý thuyết và bài tập. 7. Bất đẳng thức hàm Chương 8. Bất đẳng thức trong dãy số Chương 9. Bất đẳng thức tích phân Phụ lục. Bảng các bất đẳng thức liên quan Trong tài liệu này, chúng tôi sử dụng một số kỹ thuật và bài. đồng nhất thức này ta thu được bất đẳng thức sau đây 2 Tại Việt Nam và một số nước Đông Âu, bất đẳng thức này được mang tên là " ;Bất đẳng thức Bunhiacovski"," ;Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacov