Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2000 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I M tập hợp ma trận cấp n (n 1), thực, khả nghịch Chứng minh M nhóm phép nhân ma trận C M cố định Chứng minh ánh x¹ f : M → M , f (A) = C AC đồng cấu nhóm Tìm Im f , Ker f (hay chøng minh r»ng f lµ đẳng cấu) Chứng minh ràng ánh xạ f1 : M R , f1 (A) = |A| đồng cấu nhóm Tìm Im f1 , Ker f1 Câu II Chứng minh C nhóm phép nhân thông th-ờng Xét ánh xạ f : C → C , f (α) = α, g : C C , g() = đồng cấu nhóm, đơn cấu, toàn cấu hay không? Tìm Im f , Ker f Câu III Chứng minh phép biến đổi trực giao không gian Euclid E làm thành nhóm phép nhân (phép hợp thành), ký hiệu G Giả sử g G Đặt ánh x¹ ϕ : G → G, ϕ(f ) = g f g Chứng minh đẳng cấu nhóm Câu IV C[x] vành Đặt ánh xạ : C [x] → C [x] , f (x) → f (x) (đ-ợc hiểu a + a1 x + + anxn) Chøng minh r»ng ϕ lµ ®ång cÊu nhãm Chøng minh r»ng R[x] lµ vµnh mà không idean Câu V Chứng minh ma trận đối xứng cấp n lập thành nhóm aben phép cộng, ký hiệu nhóm M Chứng minh ánh xạ f : M → M , f (A) = A (chun vÞ A) đồng cấu nhóm Tìm Im f , Ker f Chøng minh r»ng tËp M c¸c ma trận đối xứng thực cấp n lập thành R-không gian véc tơ (hay R-không gian véc tơ không gian ma trận vuông cấp n) T ma trận khả nghịch (không thiết đối xứng) Chứng minh ánh xạ f : M M , f (A) = T AT đồng cấu (tức ánh xạ tuyến tính) Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2000 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Tìm hạng hệ véc t¬ a1 , a2 , a3 ∈ R3 theo tham sè a a1 = (1, a, 1) , a2 = (1, 1, a) , a3 = (a, 1, 1) Tìm phần bù trực tiếp L = {a1, a2 , a3 } a = −2 hc a = Câu II Biết R5 [x] không gian ®a thøc cã bËc nhá h¬n Cho f (x) = + x + x3 + x4 Chứng minh (1) (2) sở cña nã 1, x, x2 , x3 , x4 f (4) (x), f (3) (x), f (x), f (x), f (x) Tìm ma trận chuyển sở (1) sang (2) Tìm toạ độ f (x) = 34+33x+16x 2+5x3 +x4 sở (2) Câu III Phép biến đổi tuyến tính f không  A= −1 gian phøc cã ma trận có chéo hoá đ-ợc không? Có tồn phép biến đổi tuyến tính nghịch đảo f ? Tìm véc tơ riêng giá trị riêng f Câu IV Chứng minh tập hợp ma trận thực có dạng A= a b 2b a víi a, b ∈ R lËp thµnh vµnh cđa vµnh Mat(2, R), hái có idean không? Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2001 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 C©u I Chøng minh r»ng TËp S1 số phức có mô đun nhóm nhóm nhân số phức khác ánh xạ f : R S1 cho f (x) = cos(x) + i sin(x) đồng cấu từ nhóm cộng số thực R vào S Câu II Chứng minh không gian L không gian véc tơ hữu hạn chiều V có bù tuyến tính Phần bù tuyến tính L có không? Tìm số chiều, sở phần bù tuyến tính kh«ng gian cđa kh«ng gian R4 sinh bëi hƯ vÐc t¬ {u1 = (1, −2, −1, 1), u2 = (−1, 3, 0, 2), u3 = (2, −5, −1, −1), u4 = (2, −4, −2, 2)} C©u III XÐt ma trËn thùc   a d A =  d b d  −d c NÕu ϕ phép biến đổi tuyến tính không gian R có ma trận sở tắc A có chéo hoá đ-ợc không? V× sao? Víi a = 3, b = 4, c = d = hÃy tìm ma trËn trùc giao Q cho B = QT AQ ma trận đ-ờng chéo Câu IV Phép biến đổi tuyÕn tÝnh ϕ gäi lµ luü linh bËc p nÕu p số nguyên d-ơng cho p1 = p = Giả sử phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh l linh bËc p không gian véc tơ n-chiều V Chứng minh Nếu x véc tơ cho p1 (x) = hệ véc tơ x, (x) , ϕ2 (x) , , ϕp−1 (x) ®éc lËp tuyÕn tÝnh p ≤ n ϕ chØ cã mét giá trị riêng = Nếu E A ma trận phép biến đổi sở ma trận A khả nghịch (E ma trận đơn vị) Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2001 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Chứng minh tập O(n) ma trận trực giao cấp n nhóm phép nhân ma trận Cho Q O(n), xét ánh xạ f : O(n) O(n) cho bëi f (A) = QT AQ ®ã QT chuyển vị Q Chứng minh f đẳng cấu nhóm Câu II Xét phép biến ®æi tuyÕn tÝnh ϕ : R3 → R3 cho bëi ϕ (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 3x2 + 4x3 , 4x1 − 7x2 + 8x3 , 6x1 7x2 + 7x3 ) Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng Trong không gian véc tơ R3 có tồn hay không sở cho sở ma trận có dạng đ-ờng chéo Câu III Trong kh«ng gian Euclid R4 xÐt kh«ng gian L sinh bëi hƯ vÐc t¬ {(1, 1, 1, 1) , (1, 2, 2, −1) , (1, 0, 0, 3)} Tìm sở trực chuẩn không gian L sở trực chuẩn phần bù trực giao L⊥ Gi¶ sư x = (4, −1, −3, 4) Tìm véc tơ y L véc tơ z ∈ L⊥ cho x = y+z C©u IV Chøng minh r»ng hä 1, x − a, (x − a)2 , , (x − a)n−1 víi a ∈ R sở không gian Rn [x] ®a thøc hƯ sè thùc cã bËc nhá h¬n n Tìm toạ độ f (x) Rn [x] sở Câu V Giả sử f1 , f2 dạng tuyến tính K-không gian véc tơ V Chứng minh ánh xạ ϕ : V × V → K cho bëi ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) dạng song tuyến tính V Tìm điều kiện cần đủ để dạng song tuyến tính đối xứng Giả sử V K-không gian véc tơ hữu hạn chiều Chứng minh dạng song tuyến tính có hạng = có hai dạng tuyến tính f , f2 cho ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) víi mäi x, y ∈ V Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2002 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Giả sử h đồng cấu vành từ vành K vµo vµnh K , vµ A lµ vµnh cđa vµnh G Chøng minh r»ng h(A) lµ mét vµnh vành K Trên tập số nguyên Z xét hai phép toán xác định ab =a+b1 a ◦ b = a + b − ab Chøng minh (Z, , ) vành giao hoán có đơn vị Câu II Trong không gian véc tơ R3 xét phép biến đổi tuyến tính g xác định bëi g(u) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) víi u = (x, y, z) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng g Tìm sở không gian R cho sở ma trận B phép biến đổi g có phần tử phía đ-ờng chéo chÝnh b»ng ViÕt ma trËn B C©u III Trong không gian véc tơ Euclide E xét hệ véc tơ {u1 , , un}, vµ ma trËn G = ((ui, uj ))n×n Chøng minh r»ng hƯ vÐc tơ {u1 , , un} độc lập tuyÕn tÝnh vµ chØ det G = Câu IV Giả sử f dạng song tuyến tính hạng r K-không gian véc tơ V n-chiều XÐt c¸c tËp Vr = y thuéc V : f (x, y) = ®èi víi mäi x thc V , Vl = y thuéc V : f (y, x) = ®èi víi mäi x thc V Chứng minh V r , Vl không gian vµ dim V r = dim Vl = n − r Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2002 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Giả sử h đồng cấu tõ nhãm G vµo nhãm G , vµ H lµ nhãm cđa nhãm G Chøng minh r»ng h(H) lµ mét nhãm cđa nhãm G XÐt ¸nh xạ f từ nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, R) vào nhóm nhân R số thực khác xác ®Þnh bëi f (A) = det A Chøng minh r»ng f toàn cấu Xác định nhóm f (O(n)), với O(n) nhóm ma trận trực giao Câu II Giả sử L không gian p-chiều không gian véc tơ Euclide E n-chiều Chøng minh r»ng tËp L∗ = {x ∈ E : (x, y) = 0, y L}, không gian (n − p)-chiỊu vµ E = L L XÐt kh«ng gian L cđa kh«ng gian vÐc t¬ Euclide R sinh bëi hƯ vÐc t¬ u1 = (1, 0, 2, 1), u2 = (2, 1, 2, 3), u3 = (0, 1, 2, 1) Xác định sở trực chuẩn không gian L ∗ C©u III VÕt cđa ma trËn A cÊp n tr-ờng K tổng phần tử đ-ờng chéo chính, đ-ợc ký hiệu Tr(A) Chứng minh Tr(AB) = Tr(BA) VÕt cña ma trËn cña phép biến đổi tuyến tính không phụ thuộc vào việc chọn sở không gian Câu IV Hạng ma trận A = (aij )mìn đ-ợc ký hiƯu lµ r(A) Chøng minh r»ng r(A + B) ≤ r(A) + r(B) TÝnh r(A) víi A = (min{i, j})m×n Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2003 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Chứng minh tích đồng cấu vành đồng cấu vành Xét đồng cấu nhóm f : G → G Chøng tá r»ng nÕu G nhóm giao hoán Im(f ) mét nhãm giao ho¸n Cho mét vÝ dơ chøng tá điều ng-ợc lại nói chung không Câu II Giả sử L không gian không gian vÐc t¬ R sinh bëi hƯ vÐc t¬ {u1 = (2, 3, 5) , u2 = (3, 7, 8) , u3 = (1, 6, 1)} Với giá trị tham số a véc tơ u = (7, −1, a) thuéc kh«ng gian L Chøng minh không gian hàm số thực liên tơc C (a, b) hƯ vÐc t¬ {1, cos x, cos2 x, , cosn x} độc lập tuyến tính Câu III XÐt ma trËn thùc ®èi xøng   A =  −2  −2 T×m ma trËn trùc giao Q cho Q T AQ ma trận đ-ờng chéo Viết ma trận đ-ờng chéo Câu IV Giả sử u véc tơ không gian Euclid E Chứng minh với véc tơ x thuộc E cã thĨ biĨu diƠn nhÊt d-íi d¹ng x = au + v véc tơ v trực giao víi vÐc t¬ u Cho E = R4 , u = (2, −1, 0, 2), x = (1, 1, 1, −1) TÝnh a vµ v Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2003 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Trong nhóm G xét ánh xạ h : G G xác định h(a) = a −1, ∀a ∈ G Chøng minh r»ng ¸nh xạ h tự đẳng cấu G nhóm Aben Câu II Trong không gian véc tơ Euclide R4 xét không gian L cho hệ ph-ơng trình 2x1 + x2 + x3 + 3x4 =  3x + 2x2 + 2x3 + x4 =   x1 + 2x2 + 2x3 − 9x4 = T×m sè chiều sở phần bù trực giao L không gian L Cho véc tơ x = (7, 4, 1, 2) Tìm véc tơ y ∈ L, z ∈ L cho x = y + z Câu III Xét ánh xạ tuyến tính g : R4 R3 đ-ợc cho g((x1 , x2 , x3 , x4 )) = (x1 − 2x2 + x4 , x1 + x3 − x4 , 2x2 + x3 − 2x4 ) T×m dim Ker g, dim Im g Với giá trị tham số a véc tơ y = (1, 2, a) thuộc không gian Im g Câu IV Giả sử f phép biến đổi tuyến tính luỹ linh bậc n (tøc lµ f n−1 = 0, f n = 0) K-không gian véc tơ V Chứng minh r»ng NÕu x ∈ V : f k(x) = hệ véc tơ {x, f (x), , f k(x)} ®éc lËp tuyÕn tÝnh n ≤ dim V NÕu n = dim V đa thức đặc tr-ng phép biển đổi f cã d¹ng p(λ) = (−1)nλn Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2004 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Giả sử (G, ) nhóm có hữu hạn phần tử, đơn vị e Chứng minh Đối với phần tử a G tồn số nguyên k cho a k = e (số nguyên d-ơng nhỏ có tính chất gọi cấp phần tử a) Nếu a phần tử cấp n A = {a, a2 , , an} lµ mét nhãm cđa nhãm (G, ◦) C©u II XÐt ma trËn thùc   a b+c A =  b a + c  c a+b Chứng tỏ ma trận A không khả nghịch Tính hạng ma trận A theo giá trị tham số a, b, c Câu III Phép biến đổi tuyến tính f không gian véc tơ R3 ®-ỵc cho bëi f (x, y, z) = (4x − 5y + 2z, 5x − 7y + 3z, 6x − 9y + 4z) Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng f Phép biến đổi f có chéo hoá đ-ợc không? Vì sao? Tìm së cđa kh«ng gian R3 cho ma trËn cđa f sở ma trận tam giác Câu IV Chứng minh tập khác rỗng L không gian véc tơ R n khôn gian L tập nghiệm hệ ph-ơng trình tuyến tính trªn R Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2004 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Giả sử X vành Chứng minh Đối với số nguyên n 0, tập nX = a = nx = x + x + + x : x X n lần mét idean cđa vµnh X (víi quy -íc 0x = 0) Các tập dạng nZ với n = 0, 1, 2, tất idean vành số nguyên Z Câu II Trong không gian R4 xét không gian L sinh hệ véc tơ {u1 = (1, a, −1, −2) , u2 = (2, −1, a, 5) , u3 = (1, 10, −6, 1)} TÝnh dim L theo tham sè a Gi¶ sư hƯ vÐc t¬ {u1 , u2 , , un} sở K-không gian véc tơ V Đặt vk = uk + + un với k = 1, 2, , n Chøng minh r»ng hÖ {v1 , v2 , , vn} sở không gian V Câu III Phép biến đổi tuyến tính g không gian Euclid R đ-ợc cho bëi g((x1 , x2 , x3 )) = (x1 − 3x2 − x3 , −3x1 + x2 + x3 , −x1 + x2 + 5x3 ) Chøng tá g phép biến đổi đối xứng Tìm sở trực chuẩn không gian véc tơ Euclid R véc tơ riêng g Câu IV Giả sử f dạng song tuyến tính hạng k K-không gian véc tơ K n XÐt c¸c tËp Vr = y ∈ Kn : f (x, y) = ®èi víi mäi x ∈ K n , Vl = y ∈ Kn : f (y, x) = ®èi víi mäi x ∈ K n Chøng minh r»ng V r , Vl không gian dim V r = dim Vl = n − k Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2005 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Trong nhóm G xét ánh x¹ f : G → G cho bëi f (x) = x víi mäi x ∈ G Chøng minh f tự đồng cấu nhóm G vµ chØ G lµ nhãm aben Cho ví dụ cho f tự đẳng cÊu vµ mét vÝ dơ cho f lµ mét từ đồng cấu tự đẳng cấu Câu II Xét ánh xạ tuyến tính h : R4 R3 xác định bởi: với u = (x , x2 , x3 , x4 ) th× h (u) = (x1 + ax2 − x3 + 2x4 , 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 , x1 + 10x2 6x3 + x4 ) Xác định dim Im h, dim Ker h theo tham sè a Víi a = 3, với giá trị b vÐc t¬ u = (1, −2, b) thuéc Im h C©u III XÐt ma trËn thùc   2 A =  2  2 1 Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng cđa A T×m ma trËn trùc giao Q cho B = Q T AQ ma trận đ-ờng chéo Viết ma trận B Câu IV Giả sử F không gian K-không gian véc t¬ n-chiỊu V Chøng minh r»ng nÕu dim F < n không gian V có sở {u1 , u2 , , un} cho ui ∈ F , i = 1, 2, , n Chøng minh dạng tuyến tính không gian véc tơ Euclid hữu hạn chiều E tồn véc tơ u E cho ϕ (x) = (u x) víi mäi x ∈ E Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2005 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Xét đồng cấu vành f : K K Chøng minh r»ng NÕu A lµ mét vµnh vành K f (A) vành cđa K NÕu B lµ mét idean cđa vành K f (B) idean vành K Câu II Xác định số chiều không gian nghiệm N hệ ph-ơng trình tuyến tính sau theo tham số a x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0, 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0, x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = Víi a = 3, tìm sở trực giao phần bù trực giao N N không gain véc tơ Euclid R4 C©u III XÐt ma trËn thùc   −1 −5  A =  −2 1 Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng A Tìm một ma trận tam giác đồng dạng với ma trận A Câu IV Xét dạng toàn ph-ơng không gian véc tơ Euclid Rn cho bëi n ω (x) = aij xixj , x = (x1 , x2 , , xn) i,j=1 Chứng minh Nếu dạng xác định d-ơng th× aii > víi mäi i = 1, 2, , n Dạng xác định d-ơng tồn ma trận khả nghịch S cho (aij )n×n = S T S Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 đợt Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Chứng minh giao idean vành idean Giả sử S tập khác rỗng vành K giao hoán có đơn vị Chứng minh r»ng tËp n (S) = x= aisi : si ∈ S, ∈ K, i = 1, 2, , n i=1 idean nhỏ chứa tập S Câu II XÐt phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh f : R3 → R3 cho bëi f ((x1 , x2 , x3 )) = (x1 + ax2 + x3 , 2x1 + ax2 + bx3 , −x1 + (b − 1) x3 ) Với giá trị tham số a, b f tự đẳng cấu Tìm dim Im f , dim Ker f víi a = b = Câu III Xét ma trận đối xứng thùc   2 A =  2 2 1 Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng A Dạng toàn ph-ơng không gian véc tơ Euclid R cho bëi ω (x) = x1 x2 x3 A x1 x2 x3 T , x= x1 x2 x3 T×m sở trực chuẩn không gian R sở tắc Viết dạng tắc t-ơng ứng với sở Câu IV Giả sử E không gian véc tơ Euclid n-chiÒu Chøng minh r»ng nÕu {u1 , u2 , , un} sở trực chuẩn E véc tơ x thuộc E biĨu diƠn d-íi d¹ng n x= (x.ui) ui i=1 Giả sử L, M không gian E vµ dim L < dim M Ch-ng minh tồn véc tơ u M , u = cho (u.y) = víi mäi y ∈ L Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 đợt Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Xét vành đa thức R[x] ẩn x hệ số thực Chứng minh Đối với ®a thøc f (x) thuéc R[x] tËp f (x) R [x] = {g (x) = f (x) h (x) : h (x) ∈ R [x]} lµ mét idean cđa vµnh R[x] Đối với idean I = {0} vành R [x] tồn đa thức dạng chuÈn p (x) cho I = p (x) R [x] Câu II Trong không gian Euclid R xét hƯ vÐc t¬ u1 = (1, a, 2, 1) , u2 = (1, 1, b, 0) , u3 = (1, b, 2, 1) Với giá trị tham số a, b hệ {u , u2 , u3 } ®éc lËp tun tÝnh, phơ thuộc tuyến tính Tìm sở phần bï trùc giao L cđa kh«ng gian L sinh bëi hƯ {u1 , u2 , u3 } víi a = b = Câu III Xét phép biến đổi tuyến tính f không gian véc tơ R3 xác ®Þnh bëi f ((x, y, z)) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y z) Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng f , f n, n > Tìm sở không gian R cho ma trËn B cđa f ®èi víi sở ma trận tam giác Viết ma trận B Câu IV Xét dạng song tuyến tính g K-không gian véc tơ n-chiều V thoả mÃn điều kiƯn g(x, x) = víi mäi x thc V Chøng minh r»ng g(x, y) = −g(y, x) víi mäi x, y thuéc V NÕu g kh«ng suy biến véc tơ u thuộc V , v = {0}, luôn tồn véc tơ v thuéc V cho g(u, v) = Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 đợt Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Phần tư a thc nhãm (G, ◦, e) gäi lµ cã cấp hữu hạn p p số nguyên d-ơng nhá nhÊt cho a p = e Gi¶ sư G tập hợp hữu hạn có n phần tử Chứng minh q Mỗi phần tử a thuộc nhóm (G, , e) có cấp hữu hạn Víi mäi a, b thuéc nhãm (G, ◦, e) phần tử a b b a có cấp Câu II g Xác định sè chiỊu cđa kh«ng gian nghiƯm N cđa hƯ ph-ơng trình tuyến tính sau theo tham sè thùc a n x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0, 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0, x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = Cho a = 3, tìm phần bù trực tiếp N0 không gian véc tơ R4 Câu III Trong không gian véc tơ Euclid R3 xét phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh f cho bëi h f ((x1 , x2 , x3 )) = (3x1 + 2x2 , 2x1 + 4x2 − 2x3 , −2x2 + 5x3 ) Chøng minh r»ng f lµ phÐp biÕn đổi đối xứng Tìm sở trực chuẩn không gian véc tơ Eucild R véc tơ riêng f cho biết ma trận f sở n Câu IV Xét dạng song tuyến tính không suy biến g K-không gian véc tơ n-chiều V Giả sử dạng song tuyến tính g1 không gian véc tơ r-chiÒu F cho bëi g1 (x, y) = g(x, ) với x, y thuộc F dạng không suy biÕn XÐt tËp F = {x ∈ V : g (x, y) = víi mäi y ∈ F } a Chøng minh r»ng F lµ mét không gian F F = {0} V = F ⊕ F Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com ... Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 đợt Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Phần tử a thuộc nhóm (G, , e) gọi có cấp hữu hạn p p số nguyên d-ơng nhỏ cho a... nghiƯm cđa mét hệ ph-ơng trình tuyến tính R Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2004 Môn thi bản: Đại số...Shared by www.webcaohoc.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2000 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Tìm hạng hệ véc tơ a1 ,