Đang tải... (xem toàn văn)
TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ÔN TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIOBài 1. Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị là (Cm).a) Với giá trị nào của m thì đồ thị đi qua điểm (1 ; 1)?b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm M trên đồ thị có tung độ y = 5 và phương trình tiếp tuyến tại M(x ; 5) với x < 0.
TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ÔN TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Bài 1. Cho hàm số y = f(x) = 2 2 5 4 2 x x x + + + có đồ thị là (C m ). a) Với giá trị nào của m thì đồ thị đi qua điểm (-1 ; 1)? b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm M trên đồ thị có tung độ y = 5 và phương trình tiếp tuyến tại M(x ; 5) với x < 0. 2 2 2 2 5 4 5 2 5 4 5 10 2 2 6 3 + + = ⇔ + + = + + ⇔ = ⇔ = ± x x x x x x x x PTTT y = ax + b Có a = f’(- 3 ) = -25,8564 b = 5- ax = 5 +a 3 =-39,7846 Bài 2: Bài 1. Cho hàm số y = 2 3 2x x x − + . 1) Tính gần đúng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đó. 2) Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số trên. Tính giá trị của a và b. 2 2 2 3 2 2 ' ; ' 0 2 2 2 3; 2 2 3; CD x x x y y y x x x y − + − = ⇒ = = ⇔ = ± ⇒ = − − ⇒ = − CT §iÓm cùc ®¹i A(- 2; -2 2-3) y §iÓm cùc tiÓu B( 2; 2 2-3) Bài 2. Gọi A và B là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x 3 - 4x 2 + x - 6. a) Tính gần đúng khoảng cách AB. b) Tính giá trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A và B. y’ = 3x 2 -8x + 1; y’ = 0 ⇔ 4 13 4 13 0.1315; 2,5352 3 3 x x − + = ≈ = ; y CD = -5,9354; y CT = -12,8794 Bài 4. Tìm gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số y = ax 3 + bx 2 - 5x + 2 nếu đồ thị của hàm số đó đi qua hai điểm A(1; 4) và B(- 5; 2). thay A và B vào phương trình của đồ thị ta được hệ phương trình: 7 125 25 25 a b a b + = − + = − Giải HPT ta được a = 4/3; b = 17/3. ⇒ y = 3 2 4 17 5 2 3 3 x x x+ − + 2 3.2214 34 ' 4 5; ' 0 0.3880 3 x y x x y x = − = + − = ⇔ = ⇒ y CT = f(0,3880) ≈ 0,9910 y CD = f(-3,2214) ≈ 32,3393 Bài 5. Tính gần đúng khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = 1 2 x 3 - 5 6 x 2 - 7 3 x + 1. 2 0,8098 3 5 7 ' ; ' 0 1,9209 2 3 3 x y x x y x ≈ − = − − = ⇔ ≈ y CD ≈ 2,0775 ⇒ A(-0,8098; 2,0775 ); y CT ≈ -3,0131 ⇒ B(1,9209; -3,0131) Bài 3: Bài 1. Tính gần đúng GTLN và GTNN của hàm số f(x) = 3x + 5cos 5x trên đoạn [0; π]. f’(x) = 3 – 25sin5x; f’(x)= 0 ⇔ sin5x = 3/25 ⇔ 2 0.0241 5 2 0.6043 5 k x k x π π ≈ + ≈ + . Trên đoạn [0; π] hàm số có các điểm tới hạn là: x ≈ 0.0241; x ≈ 0,6043; x ≈ 1,2807; x ≈ 1,8609; x ≈ 2,5374; x ≈ 3,1176. Bài 2. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : f(x) = 2sin x - 2cos x - 5 sin x cos x. Đặt t = sinx – cosx ĐK: - 2 ≤ t ≤ 2 . ⇒ sinx.cosx = 2 1 2 t− . ⇒ f(t) = 2t - 5 . 2 1 2 t− = ( ) 2 1 5 4 5 2 t t+ − . f’(t) = 5 t + 2; f’(t) = 0 ⇔ t = -2/ 5 . f(-2/ 5 ) ≈ -2.0125; f(- 2 ) ≈ -1,7104; f( 2 ) ≈ 3,9465. Bài 3. Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2cos 2x - 5cos x. f(x) = 2(2os 2 x - 1) – 5cosx = 4cos 2 x – 5cosx – 2. Đặt cosx = t đk:-1 ≤ t ≤ 1. f(t) = 4t 2 -5t - 2; f’(t) = 8t – 5; f’(t) = 0 ⇔ t = 5/8. f(5/8) = -57/16; f(-1) = 7; f(1) = - 3. Bài 4. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin 2x - 2 cos x. f’(x) = 2cos2x + 2 sinx; f’(x) = 0 ⇔ 2cos2x + 2 sinx = 0 ⇔ 2(1-2sin 2 x) + 2 sinx = 0. ⇔ 4sin 2 x - 2 sinx – 2 = 0 ⇔ sin 0.5521 sin 0.9056 x x = − = . +Với sinx = -0,5521 ⇒ cosx = ±0,8338. +Với sinx = 0.9056; cosx = ± 0,4241. Bài 5. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3 2 x 2− + 4 2 5 x− . 1 f(x) ≤ 2 2 2 2 (3 4 )( 2 5 ) 75x x+ − + − = . TXĐ: D = [ 5; 2] [ 2; 5]− − ∪ . f’(x) = 2 2 3 4 2 5 x x x x − − − ; f’(x) = 0 ⇔ 2 2 3 4 2 5 x x x x − − − = 0 ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 5 4 2 2 5 9 (5 ) 16 ( 2) = ⇔ − = − − − ⇔ − = − x x x x x x x x x x x x ⇔ 25x 4 – 77x 2 = 0 ⇔ x = 0 (loại) ; x = 77 25 ± . f(- 5 ) = 3 3 ; f( 5 ) = 3 3 ; f(- 2 ) = 4 3 ; f( 2 ) =4 3 f() Bài 7. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phân thức A = 2 2 2x 7x 1 x 4x 5 − + + + . Gọi y là một giá trị bất kì của A. Khi đó phương trình sau luôn có nghiệm: 2 2 2x 7x 1 x 4x 5 − + + + = y ⇔ 2x 2 -7x + 1 = y(x 2 + 4x + 5) ⇔ (2- y)x 2 – (7 + 4y)x + 1 – 5y = 0. + TH1: y = 2 ⇒ x = -3/5; +TH2: y ≠ 2 ; Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ (7 + 4y) 2 – 4(2 - y)(1 – 5y) ≥ 0 ⇔ -4y 2 +100y + 41 ≥ 0 ⇔ -0,4034≤ y ≤ 25,4035 Bài 8. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 1x − + 2 3 x− . TXĐ: D = [1 ; 3 ]. f’(x) = 2 1 2 1 3 x x x − − − ; f’(x) = 0 ⇔ 2 2 1 1 0 2 1 2 1 3 3 x x x x x x − = ⇔ = − − − − (3 – x 2 ) = 4x 2 (x - 1) ⇔ 4x 3 -3x 2 – 3 = 0 ⇔ x ≈ 1,2388; f(1) = 2 f( 3 ) = 0,8556 f(1,2388) = 1,6992 B i 9à . Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2sin 3cos sin cos 2 x x x x − + − . gọi y là một giá trị bất kì của hàm số, khi đó phương trình sau luôn có nghiệm: 2sin 3cos sin cos 2 x x x x − + − = y ⇔ 2sinx – 3cosx = y(sinx + cosx – 2) ⇔ (2-y)sinx – (3 + y)cosx = -2y. PT có nghiệm ⇔ (2 – y) 2 + (3 + y) 2 ≤ (-2y) 2 ⇔ 2y 2 – 2y -13 ≤0 ⇔ -2,0981≤ y ≤3,0981. Bài 10. Cho x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 4. Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của của biểu thức A = (x 2 + 3)(y 2 + 3). + Cách 1: x + y = 4 ⇒ y = 4 – x thế vào A ta được: A = (x 2 + 3)((4 - x) 2 + 3) = (x 2 + 3)(x 2 -8x + 19) = x 4 – 8x 3 + 22x 2 -24x + 57 Xét hàm số f(x) = x 4 – 8x 3 + 22x 2 -24x + 57 trên đoạn: [0 ; 4]. f’(x) = 4x 3 – 24x 2 + 44x – 24; f’(x) = 0 ⇔ x = 1; x = 2; x = 3. f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = + Cách 2: x + y = 4 ⇒ (x + y) 2 = 16 ⇒ x 2 + y 2 = 16 - 2xy. A = (x 2 + 3)(y 2 + 3) = (xy) 2 + 3(x 2 + y 2 ) + 9 = (xy) 2 + 3(16 – 2xy) + 9 = (xy) 2 – 6xy + 57. Có 0 ≤ xy ≤ 2 2 x y+ ÷ = 4. Khảo sát hàm số f(x) = t 2 -6t + 57 với t ∈ [0 ; 4]. f’(t) = 2t – 6; f’(x) = 0 ⇔ t = 3. f(0) = 57; f(3) = 48; f(4) = 49. Bài 4. Bài 1. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình 2 2 8 2 5 x y xy x y xy + + = + − = Đặt x y S xy P + = = đk S 2 ≥ 4P hpt ⇔ 2 2 2 2 2 8 8 8 2 5 2 5 2 11 0 P S x y xy S P x y xy S P S S = − + + = − = ⇔ ⇔ + − = − = − − = 2 2.608495283 2,608495283 2,108495283 2.108495283 1,195752359 3,554247642 8 S S S S hoac P P P S = = = − = − ⇔ = − = − = − Bài 2. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm M và N của đường tròn x 2 + y 2 + 10x - 5y = 30 và đường thẳng đi qua hai điểm A(- 4; 6), B(5; - 2). HD: Đường thẳng đi qua hai điểm A và B có phương trình: 4 6 8 9 22 0 9 8 x y x y + − = ⇔ + − = − Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 8 9 22 0 10 5 30 x y x y x y + − = + + − = 2 Bài 3. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng 2x - 5y + 6 = 0 và elip 2 16 x + 2 9 y = 1. HD: Bài 4. Cho hai đường tròn có các phương trình tương ứng: x 2 + y 2 - 10x + 6y +1 = 0 (*) và x 2 + y 2 - 6x + 8y - 12 = 0. 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của hai đường tròn đó. 2) Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng nói trên với đường tròn (*). HD: Bài 5. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng 2x - y - 3 = 0 và đường tròn x 2 + y 2 - 4x + 5y - 6 = 0. Bài 6. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng 3x - 2y - 1 = 0 và elip 2 16 x + 2 9 y = 1. HD: Bài 7. Cho hai đường tròn có phương trình x 2 + y 2 - 2x - 6y - 6 = 0 và x 2 + y 2 = 9. 1) Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của chúng. 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai giao điểm đó. HD: Đường thẳng đi qua hai giao điểm là trục đẳng phương của hai đường tròn. PT: 2x + 6y -3 = 0. Bài 8. Gọi x 1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 - 6x - 3 = 0. Tính giá trị của biểu thức S = 11 11 1 2 x x+ - 7x 1 x 2 . + 1 2 3 2 3 3 2 3 x x = − = + Bài 9. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình 2 2 2x 3xy 2y 8 5 5 13. x y + + = + = Bài 10. Tính gần đúng các nghiệm của phương trình 2x 5 = 5x 3 + 1. HD: Đặt f(x) = 2x 5 – 5 x 3 – 1. f(x) liên tục trên R. Khoảng nghiệm (1 ; 2), (- 1; 0),(-2; -1) x ≈ -1,5370; x ≈ 1.6180; x ≈ -0,6180 Bài 11. Tìm các nghiệm hữu tỉ và giá trị gần đúng các nghiệm vô tỉ của phương trình: 6x 5 + 19x 4 - 10x 3 - 60x 2 - 6x + 36 = 0. + Nghiệm hữu tỉ của phương trình nếu có sẽ có dạng p/q. Trong đó p là ước của 36, q là ước của 6. + Nhẩm nghiệm được x =- 2,. Hạ bậc bằng Sơ đồ Hoocne: 6 19 -10 -60 -6 36 -2 6 7 -24 -12 18 0 6x 5 + 19x 4 - 10x 3 - 60x 2 - 6x + 36 = 0 ⇔ ( x+2)(6x 4 +7x 3 -24x 2 -12x + 18) = 0. ⇒ Ta đi giải phương trình: 6x 4 +7x 3 -24x 2 -12x + 18 = 0 các khoảng nghiệm (-3 ; -2), (-2 ; -1), (0 ; 1), (1 ; 2) Bài 12. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 3x + 4 = e x . Các khoảng nghiệm (-2 ; -1), (2; 3) Bài 13. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của elip 2 2 25 9 x y + = 1 và đường tròn x 2 + y 2 - 12x - 5 = 0. Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 2 9 25 225 12 5 0 x y x y x + = + − − = đk: -5 ≤ x ≤ 5, -3 ≤ y ≤ 3 2 2 2 2 2 2 2 2 225 9 9 25 225 25 12 5 0 12 5 0 − + = = ⇔ + − − = + − − = x x y y x y x x y x 2 2 2 225 9 25 4 75 25 0 − = ⇔ − + = x y x x Bài 14. Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình : 2 2 6 6 x y x y xy x y + − = − + = HD: 2 2 2 2 3 6 12 2( ) ( ) 0 6 ( ) 12 2 ( )(2 ) 0 6 6 + − = + = ⇔ − + − = − + = = + = = − ⇔ ⇔ − + = + = − = x y x y x y y x x y xy x y xy x y x y xy x y xy hoac x y xy x y x Bài 15. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình : 3 3 2 2 5 7. x y xy x y x y + + = + + + = 3 3 3 2 2 2 5 ( ) 3 ( ) 5 7. ( ) 2 7 x y xy x y xy x y xy x y x y x y x y xy + + = + − + + = ⇔ + + + = + + + − = Đặt s x y p xy = + = ta được hệ phương trình: 2 3 2 2 2 3 7 3 5 2 2 7 7 7 3 ( ) 5 2 2 + − = − + = ⇔ + − = + − + − − + = s s p s sp p s s p s s s s s s 3 2 3 2 7 2 2 22 17 0 + − = ⇔ − − + − = s s p s s s s=3,2070 Bài 16. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình: 2 2 5 5. x y y x − = − = Bài 17. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình: + = − + = 2 2 2 2 2x 3y 7 x y 4xy 3 + = + = ⇔ − + = + = − = ⇔ − + = ÷ − = + − + = − = ⇔ − + = − = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 2 2 2 2x 3y 7 2x 3y 7 x y 4xy 3 5x 12xy 16 16 5x y 12x 16 5x 2x 3 7 12x 16 5x y 12x 288x 3(256 160x 25x ) 1008x 16 5x y 12x 363x 1488x 768 0 16 5x y 12x x 3,493575515 x − = ⇔ ≈ ± ≈ ± = 2 2 16 5x y 12x x 1,8691 x 0,7782 0,605598038 Bài 18. Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình : 2 9 15 4 3 15. x y x y + = + = Đặt 2 ( , 0) 3 x y u dk u v v = > = HPT ⇔ 2 2 2 2 2 2 15 ( ) 0 15 15 3,4051 4,4051( ) ( )( 1) 0 1 15 + = − − − = ⇔ + = + = = = = = − − + − = ⇔ ⇔ = − + = u v u v u v u v u v u v u v loai u v u v u v u v Bài 19. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 5 2 5 x xy x y xy y + + = + + = 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 5 5 ( )( ) 2( ) 0 2 2 2 2 5 5 0 2 5 2 0 ( )( ( ) 2) 0 ( ) 2 2 ( ) 2 5 2 5 2 5 + + = + + = − + − − = ⇔ ⇔ + + = + + = − + − = = = − + = − + − = + = ⇔ ⇔ ⇔ + = + + = + + = + + = x xy x xy xy x y x y x y x x x xy y xy x y x y x y x y x y x x x y xy x y xy x y xy x y x xy x x xy x x xy x 3 2 2 2 *) 2 5 2 0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 *) ( ) 5 2 5 5 = − + = + = + = + = ⇔ ⇔ + + + = + + = + = ± x y x x xy x y xy x y xy x y x xy y x y x xy y x y Bài 20. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình: 3 3 2 2 16 3 5 x y x y x y xy + + + = + + = Bài 21. Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình: 4 9 15 2 3 2 .3 2. x y x y x y + = + − = Bài 22. Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình: 2 2 3 6 3 6 x xy x y xy y + + = + + = Bài 23. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của parabol y = x 2 + 2x - 2 và đường tròn x 2 + y 2 - 12x + 4y - 5 = 0. Bài 24. Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình : 5 3 1 25 4 3 7. x y x y − = + × = Bài 25. Tính gần đúng toạ độ giao điểm có các toạ độ dương của đường tròn 2 2 x y + = 9 và hypebol 2 2 4 3 x y − = 1. Bài 5: Bài 1. Tính gần đúng diện tích tam giác ABC có cạnh AB = 6dm, = 113 0 31’ 28” và Ĉ = 36 0 40’16”. S = 1/2 absinC = 1/2ah = p.r =abc/4R = ( )( )( )p p a p b p c− − − 4 = 222 ).(. 2 1 ACABACAB − Bài 8. Tính gần đúng diện tích của tam giác ABC nếu đường tròn ngoại tiếp của nó có bán kính 5 dm, tâm O nằm trong tam giác, góc OAB = 65 0 và góc OAC = 19 0 . S ≈ 19,8702 dm 2 Bài 14. Hai đường tròn bán kính 5 dm và 4 dm tiếp xúc ngoài với nhau tại A. BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đó với các tiếp điểm là B và C. Tính gần đúng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn thẳng BC và hai cung nhỏ AB, AC. Đặt BOA = α OAB + BAC+CAO’ = 180 0 OAB + CAO’= 90 0 . OBA + ABC + BCA + ACO’ = 180 0 OAB + BAC+CAO’ Tam giác ABC vuông tại A. AB 2 = OB 2 + OA 2 – 2OA.OBcosα. = 50 - 50 cosα AC 2 = O’C 2 + O’A 2 – 2O’A.O’Ccos(180 0 - α). = 32 + 32cosα. BC 2 = AB 2 + AC 2 = 50(1 – cosα) + 32(1 + cosα) (1) Mặt khác, O’H 2 = BC 2 = OO’ 2 - OH 2 = 81 - 1 = 80 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 50(1 – cosα) + 32(1 + cosα) = 80 ⇒ 18cosα = 2 ⇒ cosα = 1/9 ⇒ α ≈ 1.45945531 ⇒ BC = 80 S OO’CB = (OB + O’C).BC/2 = 40.2492 S OBA = α.R 2 /2 = 18.2432 S O’AC = (π - α)R’ 2 /2 = 13.4571 Vậy S = S OO’CB - (S OBA + S O’AC ) = 8.5489 dm 2 . Cách 2 (khá hay): sinα = O’H/OO’ = 80 / 9 = 0.99380… ⇒ α ≈ 1.459455312 S OO’CB = (OB + O’C).BC/2 = 40.2492 S OBA = α.R 2 /2 = 18.2432 S O’AC = (π - α)R’ 2 /2 = 13.4571 Vậy S = S OO’CB - (S OBA + S O’AC ) = 8.5489 dm 2 . Bài 16. Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 3, AD = 5. Đường tròn tâm A bán kính 4 cắt BC tại E và cắt AD tại F. Tính gần đúng diện tích hình thang cong ABEF. Sin A = HE/AE = 3/4 S ABE = 1/2 7 .3 ≈ 3.9686 S AEF ≈ 6.7845 S = 3.9686 + 6.7845 ≈ 10.7531 Bài 17. Tính gần đúng diện tích phần chung của hai hình tròn có bán kính 5 dm và 6 dm nếu khoảng cách giữa hai tâm của chúng là 7 dm. OA = 6, O’A = 5 AB = S ≈ 23,4371 dm 2 cosAOO’ = 7.6.2 254936 −+ = 0,7144 ⇒ AOO’ = 0.7752 cosAO’O = 7.5.2 364925 −+ = 0.5429 ⇒ AO’O = 0.9970 ⇒ S OAB = 0.7752.36 = 27.9072 ⇒ S O’AB = 0.9970.25 = 24.9250 S ∆ OAB = 1/2.OA.OB.sinAOB = 17.9963 S ∆ O’AB = 1/2.O’A.O’B.sinAO’B = 11.3972 S = S OAB - S ∆ OAB + S O’AB - S ∆ O’AB = 5 O O’ B CC A H A B C D E FH O A O ’ B H Bài 22. Tính gần đúng diện tích và góc BAD (độ, phút, giây) của tứ giác ABCD có các cạnh AB = 3 dm, BC = 4 dm, CD = 6 dm, DA = 8 dm và góc ABC = 90 0 . AC = 5; sinBAC = 0.8 ⇒ BAC = 5307’48’’ cosCAD= 0.6625 ⇒ CAD= 48030’33’’ BAD = 101038’21’’. S A B C D = S ABC + S ACD = 6 + 14,9812 = 20,9812. Bài 23. Điểm E nằm trên cạnh CD của hình chữ nhật ABCD với AB = 8 dm, BC = 4 dm. Tính gần đúng độ dài DE nếu chu vi tam giác ADE bằng hai lần chu vi tam giác BCE. Đặt DE = x ⇒ CE = 8 – x; AE = 2 16 x+ ; BE= 2 )8(16 x−+ ; (4 + x + 2 16 x+ ) = 2(4 + 8 – x + 2 )8(16 x−+ ) ⇔ 2 16 x+ + 3x = 20 + 2 2 )8(16 x−+ ; x ≈ 6,8142; bài 9: Bài 1. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình tứ diện ABCD có góc CBD = 90 0 , góc BCD = 50 0 25’ 16” và AB = AC = AD = CD = 6 dm. Giải BD ≈ 4.624488328 BC ≈ 3.422840266 S ABC ≈ 10.87100319 S ABD ≈ 12.80188487 S ACD ≈ 15.58845727 S BCD ≈ 8.839340096 S tp ≈ 48,1007 Bài 2. Tính gần đúng thể tích khối tứ diện ABCD có BC = BD = 6 dm, AB = AC = AD = CD = 7dm. V ≈ 33,8082 dm 3 S BCD ≈ 5,2.5,3.5,3.5,9 ≈ 17,0568901 AM = 7 2 3 ; BM = 2 95 4 49 36 22 =−=− CMBC . S ABM ≈ 14.48922013 AH ≈ 5.946250477 V = 3 1 AH. S BCD ≈ 33.8082 Bài 3. Tính gần đúng thể tích của hình chóp S.ABCD có đường cao SA = 5 dm, đáy ABCD là hình thang với AD // BC, AD = 3 dm, AB = 4 dm, BC = 8 dm, CD = 6 dm. V ≈ 36,3791 dm 3 Đặt BE = x ⇒ CF = 5 – x; AE = 2 16 x− ; DF = 2 )5(36 x−− ; AE = DF ⇔ 2 16 x− = 2 )5(36 x−− ⇔ x = 1/2 Bài 4. Tính gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD biết rằng BC = 6 dm, BD = 9 dm, AB = AC = AD = CD = 7 dm. AM = 7 2 3 ; MD = 3,5; 2 2 2 81 49 36 cos 0.746031746 2 . 2.9.7 BD CD CB BDC BD CD + − + − = = = ⇒ D ≈ 41 0 45’8’’. MN = MD.tgD = 3,5.tg41 0 45’8’’ = 3.124111462; ND = MD/cosD = 7 94 : 4.691489362 2 126 = ; 2 2 2 2 2 2 2 2 . .cos 2 . . 2 . 5.365320883 = AN AD ND AD ND ADN AD BD AB AD ND AD ND AD BD = + − + − + − = S AMN = 8.36884292 AH = 2S AMN /MN = 5.357609287; S BCD = 440 ; V ABCD = 37.4607 . Bài 5. Hình tứ diện ABCD có các cạnh AB =7, BC = 6, CD = 5, DB = 4 và chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) là trọng tâm của tam giác BCD. Tính gần đúng thể tích của khối tứ diện đó. 2 2 2 79 2 4 4 BC BD CD BM + = − = ; 79 3 BH = ; 2 2 6.342099197AH AB BH = − = ; S BCD = 9.921567416; V ABCD = (1/3)xAH. S BCD = Bài 7. Tính gần đúng thể tích khối chóp S.ABCD có đường cao SA = 3 dm, đáy ABCD là hình thang với AD // BC, AD = 4 dm, AB = 5 dm, BC = 7 dm, CD = 6 dm. Đặt BE = x ⇒ CF = 3 – x; AE = 2 25 x− ; DF = 2 36 (3 )x− − ; 6 A B CD E C A B D H M B A D CE F C A B D H M N AE = DF ⇔ 2 25 x− = 2 36 (3 )x− − ⇔ x = 1/2 Bài 8. Tính gần đúng thể tích của khối chóp S.ABCD có các cạnh AB = 6 dm, BC = 7 dm, CD = 8 dm, AD = 9 dm, SA = SB = SC = SD = 10 dm. Bài 9. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình tứ diện ABCD nếu AB = 4 dm, BC = BD = 5 dm, CD = CA = 6 dm, DA = 7 dm. Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2dm; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2 6 . Tính gần đúng góc giữa: a) SC và (ABCD); = SCA b) SC và (SAB); = BSC c) SB và (SAC); = BSO d) AC và (SBC); = ACH Bài 15. Cho hình lăng trụ ACB.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 1dm, AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ hợp với (ABB’A’) một góc 30 0 . a) Tính gần đúng AA’; b) Tính gần đúng khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng (BA’C’). c) Gọi N là trung điểm cạnh BB’. Tính góc giữa MN và mặt phẳng (BA’C’). Giải: Gọi E là trung điểm của A’B’. Có CE ⊥ (AA’B’B). ⇒ EBC’ = 30 0 . EC’ = 3 2 ;BE = 0 ' 3 1 3 : 2 2 30 3 EC tg = = ; AA’ = BB’ = 2 ; d(M,(A’BC)) = 1 2 d(A,(A’BC)). ∆A’CB cân tại A’. Gọi H là trung điểm BC, có AH ⊥ BC và A’H ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (AA’H) Trong tamm giác AA’H kẻ đường cao AK . Có AK ⊥ (BCA’). ⇒ AK = d(A,(BCA;)) . có 2 2 2 1 1 1 4 1 11 3 2 6 'AK AH AA = + = + = ⇒ AK ≈ 0.738548945; ⇒ d(M, (BCA’)) ≈ 0.369274472; Bài 16. Cho hình chóp S.ACBD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2 dm, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 4dm. Mặt phẳng α qua BC, hợp với AC một góc 30 0 , cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính gần đúng diện tích thiết diện BCMN. Giải: Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AH ⊥ BM có AH ⊥ (BCMN). ⇒ ACH = 30 0 . AC = 2 2 . AH = AC.sin30 0 = 2 ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 1 2.4 4 . AH AB AM AM AH AB AB AH AH AB = + ⇒ = − = − − = = AM = 2 ⇒ M là trung điểm SA. MN = AD/2 = 1 BM = 2 2 4 4 2 2AB AM+ = + = . S BCMN = ( ) 2 2(1 2) 3 2 2 2 MB MN CB+ + = = Bài 17. Cho hình vuông ABCD cạnh 14dm. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng HS vuông góc với mặt phẳng (ABCD) sao nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ACBD có số đo bằng 60 0 . a) Tính gần đúng SH và khoảng cách từ H tới mặt phẳng (SCD). b) Gọi K là trung điểm cạnh AD. Chứng minh CK vuông góc với SD và tính gần đúng số đo nhị diện (A, SD, C) = ((SAD), AD, (ACD)). Giải: SAB = 60 0 . Tam giác SAB đều. SH = AH.tg60 0 = 7. 3 ≈12.1244. CD⊥ (SHE) ⇒ (SHE) ⊥ (SCD) . Kẻ HI ⊥ SE có: HI = d(H, (SCD)) 2 2 2 1 1 1 1 1 343 147 196 28812HI HS HE = + = + = ; HI = 28812 343 = 84 ≈ 9.1652; CK = 2 2 14 7 7 5+ = ; Từ K kẻ KM ⊥ SD ⇒ SD ⊥ (CKM) KM = KD.sinKDM = KD.sin45 0 = 7 2 2 . S SCD = 2 2 1 1 . . 2 2 SE CD SH HE CD= + = 7. 147 196+ =7 343 . SD = 14 2 . CM = 2S SCD :SD = 343 2 . cosCMK = 2 2 2 49 343 245 2 2 2 . 343 49 2. . 2 2 KM CM CK CM KM + − + − = = -0.377964473 CMK ≈ 112 0 12’27’’. Mặt phân giác của góc nhị diện: 7 - Mặt phân giác của nhị diện là nửa mặt phẳng xuất phát từ cạnh của nhị diện và chia nhị diện thành hai nhị diện bằng nhau. - Tập hợp các điểm ở bên trong nhị diện và cách đều hai mặt của nhị diện là mặt phân giác của nhị diện đó. Cách xác định mặt phân giác: * Cách 1: - Tìm một góc phẳng xOy của nhị diện. - Mặt phân giác của nhị diện là mặt phẳng qua cạnh c của nhị diện và phân giác Ot của góc xOy. * Cách 2: - Tìm một điểm A cách đều hai mặt của nhị diện. - Mặt phân giác của nhị diện là mặt qua A và cạnh c của nhị diện. Bài 18. Cho hình chóp S.ACB có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ACB vuông đỉnh B, AB = 3dm, AC = 6dm, mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 60 0 . a) Gọi M là giao điểm của mặt phân giác của nhị diện cạnh SA với BC. Tính gần đúng độ dài đoạn MB. b) Gọi N là giao điểm của mặt phân giác của nhị diện cạnh BC với SA. Tính gần đúng khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SBC). c) Gọi P là giao điểm của mặt phân giác của nhị diện cạnh SC với AB. Tính gần đúng độ dài đoạn AP. Giải: a) SBA = 60 0 . Góc phẳng nhị diện là góc BAC. AM là tia phân giác của góc BAC. cosA = 1 2 AB AC = ⇒ A = 60 0 . MB = AB.tg30 0 = 3 3 3 = ; b) Góc phẳng nhị diện cạnh BC là góc SBA. Kẻ phân giác BN của góc ABS. Kẻ NI ⊥ SB; NI = NA = AB.tg30 0 = 3 3 3 = . Bài 10: Dãy số - giới hạn Bài 1. Tính giá trị của a 15 nếu dãy số (a n ) được xác định như sau: a 1 = 2, a 2 = - 3, a n + 2 = 1 2 a n + 1 + 3a n với mọi n nguyên dương. a 15 = 4782969 8192 Bài 2. Tính tổng của 10 số hạng đầu của dãy số a n được xác định như sau: a 1 = 1, a 2 = 2, a n + 2 = 3a n + 1 + 2a n với mọi n nguyên dương. S 10 = 79647 Bài 3. Tính tổng của 20 số hạng đầu của dãy số (a n ) được xác định như sau: a 1 = 1, a 2 = 2, a n + 2 = a n + 1 - 2a n với mọi n nguyên dương. S 20 = - 913 Bài 4. Dãy số (a n ) được xác định như sau: a 1 = 1, a 2 = 2, a n + 2 = 3a n + 1 - a n với mọi n nguyên dương. Tính tổng của 20 số hạng đầu của dãy số đó. S = 102334155 Bài 5. Viết 10 số hạng đầu tiên rồi tính tổng S 10 và tích K 10 của 10 số hạng ấy của dãy số có số hạng tổng quát 3 3 n n u n = . ĐS: 10 59049 1000 u = ; 10 10 116,9492; 3650731,65S K= = ; Giải: Gán A = 1 (biến đếm); B = 3 (giá trị số hạng); C = 3 (tổng); D = 3 ( tích); Ghi vào máy biểu thức: A = A + 1 : B = 3^A/A 3 : C = C + B: D = DB và ấn = liên tiếp. Bài 6. Tìm số hạng thứ 29 và tính tổng 29 số hạng đầu tiên của dãy số Fibonaci. Dãy Fibonaci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … u 1 = 1, u 2 = 1; u n+2 = u n+1 + u n ; ĐS: 29 29 514229; 1346268u S= = Bài 7. Cho dãy số 1 2 1 1 3; 5; ; 3 2 2 n n n u u u u u + − = = = − − với mọi n ≥ 2. a) Tính u 9 , u 33 ; b) Tính tổng 33 số hạng đầu tiên và tích của 9 số hạng đầu tiên. Giải: Gán A = 3 (số hạng); B = 5 (số hạng) ; C = 8 (tổng 2 số hạng đầu); D = 2 (biến đếm); E = 15 (tích 2 số hạng đầu) Ghi vào màn hình : D = D + 1: A = 3B - 2A - 2: C = C + A: E = EA: D = D + 1: B = 3A - 2B - 2: C = C + B: E = EB. ĐS: 9 9 9 33 33 19; 99; 654729075 67; 1155 u S P u S = = = = = Bài 8. Đề thi số 2 Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc thì lấy đến giây. Bài 1. Cho hàm số y = 2 3 2x x x − + . 1) Tính gần đúng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đó. 8 2) Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số trên. Tính giá trị của a và b. Bài 2. Tam giác ABC có các cạnh AB = 4 dm, AC = 6 dm và  = 61 0 43’. 1) Tính giá trị gần đúng chu vi của tam giác đó. 2) Tính giá trị gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác trên. Giải: BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB.AC.cosA = = 16 + 36 – 48cos61 0 43’ BC = 5.408887197; S ABC = (1/2).4.6.sin61 0 43’ = 10.56738268; R = abc/4S = 3.071084315; S dt = 29.6301; Bài 3. Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2cos 2x - 5cos x. DS: f(x) = 7 ; min f(x) = - 3,5625 f(x) = 2cos 2x - 5cos x = 4cos 2 x – 2 – 5cosx. Đặt cosx = t đk -1≤t≤1; f(t) = 4t 2 – 5t – 2; f’(t) = 8t – 5; f’(t) = 0 ⇔ t = 5/8; f(5/8) = -57/16 ; f(-1) = 7 ; f(1) = -3; Bài 4. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD biết rằng đáy ABCD là hình vuông có cạnh AB = 7 dm, cạnh bên SA = 8 dm và vuông góc với đáy. Bài 4. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD biết rằng đáy ABCD là hình vuông có cạnh AB = 7 dm, cạnh bên SA = 8 dm và vuông góc với đáy. Bài 5. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng 2x - 5y + 6 = 0 và elip 2 16 x + 2 9 y = 1. Bài 6. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 3cos 2x + 4sin 2x - 2 = 0. Bài 7. Cho hai đường tròn có các phương trình tương ứng x 2 + y 2 - 10x + 6y +1 = 0 (*) và x 2 + y 2 - 6x + 8y - 12 = 0. 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của hai đường tròn đó. 2) Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng nói trên với đường tròn (*). Bài 8. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của hypebol 2 9 x - 2 4 y = 1 và đường thẳng x - 8y + 4 = 0. Bài 9. Tính giá trị gần đúng nghiệm của phương trình 2 x + x = 4. Bài 10. Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1 ; 3), B(-5 ; 2), C(5 ; 5). 1) Tính gần đúng độ dài ba cạnh. 2) Tính giá trị gần đúng (độ, phút, giây) số đo của góc A. Lấy bán kính đường tròn ngoại tiếp làm đơn vị độ dài thì cạnh của hình đa giác đều 100 cạnh là a = 2 sin 100 π . k = 50sin 50 π π , m = 100sin 100 π π Đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn. Từ tâm đường tròn nối với các đỉnh ta được n tam giác cân bằng nhau. Góc ở đỉnh mỗi tam giác cân bằng góc ở tâm và bằng 2 n π . Gọi bán kính đường tròn có độ dài bằng đơn vị. + diện tích một tam giác có số đo là: S = 1 2 1 2 .1.1.sin sin 2 2n n π π = . Vậy diện tích đa giác đều là: S đg = 2 sin 2 n n π . + Độ dài một cạnh a 2 + 1 2 -2.1.1.cos 2 n π = 2 - 2 cos 2 n π = 2 2 2(1 cos ) 4sin n n π π − = ; a = 2sin n π . Chu vi của đa giác = 2 sinn n π . 50sin 50 k π π = ; 200sin 100 2 m π π = Đề số 6 (Thi Khu vực, Bộ GD & ĐT, 2002, lớp 12, đề chính thức) Bài 1. Cho hàm số 2 3sin 4 cos 7 ( ) 2 x x x f x + − + = . a) Tính gần đúng (chính xác đến 5 chữ số thập phân) giá trị của hàm số tại điểm 7 x π = . b) Tính gần đúng (chính xác đến 5 chữ số thập phân) giá trị của các hệ số a và b nếu đường thẳng y = ax + b là là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành độ 7 x π = . ĐS: a) ( ) 29,84042635 7 f π ≈ . b) Đường thẳng y ax b= + là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành độ 7 x π = thì '( ) 7 a f π = và ( ) . ( ) '( ). 7 7 7 7 7 b f a f f π π π π π = − = − . Ta có: '( ) 110,3696124 7 a f π = ≈ ; ( ) '( ) 19,69334 7 7 7 b f f π π π = − = − 9 Bài 2. Cho 3 2 ( ) 11 101 1001 10001f x x x x= − + − . Hãy cho biết phương trình ( ) 0f x = có nghiệm nguyên trên đoạn [-1000 ; 1000] hay không? HD : Vì 2 '( ) 33 202 1001 0f x x x= − + > với mọi x và ( )f x là một hàm bậc ba nên phương trình 3 2 ( ) 11 101 1001 10001 0f x x x x= − + − = có duy nhất nghiệm. Mặt khác, (9) 1154f = − và (10) 909f = nên phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng (9,10) . Phương trình không có nghiệm nguyên. Bài 3. Tìm ước số chung lớn nhất của hai số sau đây: a = 24614205, b = 10719433. ĐS: 21311; Bài 4. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình cos 2x x= với độ chính xác càng cao càng tốt. ĐS: 0.450183611; Bài 5. Đưa một khúc gỗ hình trụ có đường kính 48,7 cm vào máy bong gỗ, máy xoay 178 vòng thì được một dải băng gỗ mỏng (nhằm ép dính làm gỗ dán) và một khúc gỗ hình trụ mới có đường kính 7,8 cm. Giả thiết dải băng gỗ được máy bong ra lúc nào cũng có độ dày như nhau. Hãy tính gần đúng với hai chữ số thập phân chiều dài của dải băng gỗ mỏng này. HD: 5. Gọi bề dày của dải băng gỗ được máy bong ra là d. Vì mỗi vòng máy phải cắt qua đường kính 2 lần (hình vẽ) nên ta có: 48,7 7,8 : 2 178 d − = cm. Tính trên máy: 48.7 − 7.8 = ÷ 178 ÷ 2 = (0.114887640) gán vào biến A. Độ dài của mỗi vòng bong gỗ là: vòng một (48,7-2d)π, vòng hai (48,7-4d)π, vòng ba (48,7-6d)π, , vòng 178 là (48,7 -178 2 )d π × × . Tổng chiều dài của băng gỗ mỏng là cấp số cộng này cho chiều dài cần tìm là: 178 178 1 (48,7 2 ) (48,7 178.2. ) (48,7 2 ) .178 (97, 4 179.2 ).89 2 n d d S nd d π π = − + − = − = = − ∑ Tính trên máy: 97.4 − 179 × 2 × A = × 89 × π = Đáp số: 15733,25 cm. Bài 7. Tính gần đúng với không quá hai chữ số thập phân giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 2 sin ( ) 1 x f x x x = − + trên đoạn [-2; 2] . HD: 2 2 2 ( 1)cos sin (2 1) '( ) ( 1) x x x x x f x x x − + − − = − + 2 2 2 2 ( 1)cos sin (2 1) '( ) 0 ( 1)cos sin (2 1) 0 ( 1) x x x x x f x x x x x x x x − + − − = = ⇔ − + − − = − + ⇔ 2 1 2 1 x x tgx x − + = − = 0 ⇔ x ≈ -0.745881166; x ≈ 0.872847628; Maxf(x) = f(0.872847628) ≈ 0.861809707 ; minf(x) = f(- 0.745881166) ≈ -0.294767362 ; Bài 8. Cho hai đường tròn có các phương trình tương ứng 2 2 5 - 6 1 0 x y x y+ + + = và 2 2 - 2 3 -2 0x y x y+ + = . a) Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân toạ độ các giao điểm của hai đường tròn đó. b) Tìm a và b để đường tròn có phương trình 2 2 5 0x y ax by+ + + + = cũng đi qua hai giao điểm trên. ĐS: a) 1 (0,52472;0,74145)M và − − 2 ( 1,0555; 0,48761)M . b) 0,52472 0,74145 5,82508 1,0555 0,48761 6,35184 a b a b + = − + = ; 14,3333; 17,9999a b≈ = − Bài 9. Tam giác PQR có góc 45 o P = , góc 105 o R = ; , I J là hai điểm tương ứng trên hai cạnh PQ , PR sao cho đường thẳng IJ vừa tạo với cạnh PR một góc 75 o vừa chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính giá trị gần đúng của tỷ số PJ PR . HD: Bài 10. Gọi M là giao điểm có cả hai tọa độ dương của hypebol 2 2 1 4 9 x y − = và parabol 2 5y x= . a) Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân tọa độ của điểm M . b) Tiếp tuyến của hypebol tại M còn cắt parabol tại điểm N khác với M . Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân tọa độ của điểm N. ĐS: a) (3,39902;4,12251)M ; b) (0,40743; 1,42729)N − . Dạng toán tìm số các chữ số của 1 số : Bài toán : Tìm số các chữ số của m p . Giải Ta lấy log của số đó. Gọi n là số các chữ số của m p . Ta có : n = [p.logm]+1 Dạng toán tìm các chữ số đầu tiên (từ trái sang phải)của 1 số : Bài toán : Tìm các chữ số (từ trái sang phải)của m p . Giải Gọi a là số cần tìm 10 . TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ÔN TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Bài 1. Cho hàm số y = f(x) = 2 2 5 4 2 x x x + + + có đồ thị. 179.2 ).89 2 n d d S nd d π π = − + − = − = = − ∑ Tính trên máy: 97.4 − 179 × 2 × A = × 89 × π = Đáp số: 15733,25 cm. Bài 7. Tính gần đúng với không quá hai chữ số thập phân giá trị lớn nhất,. của đồ thị hàm số trên. Tính giá trị của a và b. Bài 2. Tam giác ABC có các cạnh AB = 4 dm, AC = 6 dm và  = 61 0 43’. 1) Tính giá trị gần đúng chu vi của tam giác đó. 2) Tính giá trị gần đúng