Trần Só Tùng Khối tròn xoay I. Mặt cầu – Khối cầu: 1. Đònh nghóa • Mặt cầu: { } S O R M OM R   = = • Khối cầu: { } V O R M OM R   = ≤ 2. Vò trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng  • !d < R"# $ !%&'()*) +,-+. /-01 2 2 r R d= −  • !d = R" !2-(- !& 3.(P) đgl tiếp diện của (S) • !d > R"0+-& 3 Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn. 3. Vò trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng &'(∆∆ • !d < R"∆#& 3+/ 4 • !d = R"∆ !2-(- ∆ đgl tiếp tuyến của (S) • !d > R"∆0+-& 3 4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện 5!6-&76"& 4 & *) + 5!6-6"& 4 &  !2-(- Hình trụ .&'()&-$6") *) + 8 !2-(--&-$ &'(96") Hình nón 8&:&7&'() &-$6"- 8 !2-(-&-$ &'(96"- 5. Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện •-;< !(n – 2)&76& 4"&7%'(-4-+" +6%)& 36&!&7&- •-=<> 32-&?+6 !"- @A-&?)∆6&-$( ∆ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy). @A-&?))'64/ + @& 36∆%+6 !"- BBC 41@5 31 Cầu Trụ Nón C 41 2 4S R π = 2 xq S Rh π = 2 tp xq đáy S S S= + xq S Rl π = tp xq đáy S S S= + 5 31 3 4 3 V R π = 2 V R h π = 2 1 3 V R h π = Trang 15 CHƯƠNG II KHỐI TRÒN XOAY CHƯƠNG II KHỐI TRÒN XOAY Khối tròn xoay Trần Só Tùng VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu Bài 1. "-DE-&-$DE%-+E )(ABCSA ⊥  %)& 36'-<DE$)/!& 3 D,E,,*) ++/-01 2 SC R =  /DE 2aAB = 51/-01-) + Bài 2. 5),&'(4& 3D84-2D$ &4:D,#E5) +&'(:D+-(-%!$& 3 .F%-" !+-6D) +E '-D,E,,.,F44 /51/-01) +,/ !DE=,DG, · 0 0BAC 6=  Bài 3. "-DEC-&-$DEC%"+, )(ABCDSA ⊥  3aSA = %+"+DECF%" !6E) + -/& 3,D,F"&E'(-4-+$)H & 3,C,D,FE*) +&'(01E /A-&?+/-01-) + Bài 4. 4& 3D,/ !D=ID0 64 !$ ! ! 2-(-EJ:D0 64-$ !#C,/ ! 3aCD =  51DE /5106-'& !&'(C Bài 5. "--& DE,-&-$/*-(/(6/ + &-$/*KL L %+6-DE5)-D'&'( ))'6D,#F 51,D /'- SMK SOA ∆ ∆: (-8%)& 36D$)F '-"-FDE%"-& 9$)<FDFEMF A-&?+/-01 !"-DE Bài 6. "-DE/ !)*-4/-01 !2-(-- 6"-+B6*) +&'(.6"- '-)*DE%"-&  /51 6"-,/ !)* 3RIS = Bài 7. '- 4& DEC-% A-&?+/-01 !'- 4 /51 41 310!&- Bài 8. 4"-'--& -&-$%,/ +((-&-$4 -KL L  A-&?+/-01 !"- /51 41 310!&- Bài 9. "-'--& DEC-!6-& /*A-&?+ /-016&:H& 3,D,E,,C Trang 16 Trần Só Tùng Khối tròn xoay Bài 10. -DE-&4/%;G,;N,;O84+,/-01 O !2-(-/6-DE- !& 3*) +/&- 5106-'+(-'-- Bài 11. ."-DE-&'(D,&-$DE%-& 51 /-01 !"- Bài 12. "-'-& DEC-&-$/*-(/(6/ + &-$/*KL L A-&?+/-01 !"- Bài 13. ."-'--& DEC-&-$&'(%+6 DEC.%)& 36E>'(+-)6-.#B '-)*B%+4 !"-51/-01$ Bài 14. "-DE-D⊥DE-DE+ED.,DF %%'(%-&'(6--DED '-)*H& 3D,E,,.,F(6) +4 /DE;L,E=NA-&?+1/-01&- Bài 15. "-DEC-DEC%"+/*,D 7a D⊥ DEC84:D+-(-,#E,,C%%'( .,8,F '-)*/6$& 3D,E,,C,.,8,F(6) +4 /A-&?+1/-01&- VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ Bài 1. ")--&-$%")+′,/-01&-$/*= 5) +&'()&-$+%!$& 3D,E9DE=E !)* 31 '- 4′DE/*P G 51 ") 310!) Bài 2. ")--&-$%")+′,/-01&-$/*= 5) +&'()&-$+%!$& 3D9D′((-&-$4- 0 60 51 ") 310!) Bài 3. ")--&-$%")+′,/-01&-$/*  /*5) +&'()&-$+%!$& 3D,) +&'()&-$+′%!$ & 3E9DE=51 3160!'- 4′DE Bài 4. 840!)- /*=L-/-01&-$/*;L'(0 6 /-01DQEQ%%'() +&-$9-((-4- GL L #0!)/(64'-&'(DEQ99(-)Q 60!)&-.J$1 416 ! 4 Bài 5. 84")-/-01&-$OG,06-'J&-$OK84  ! 499(-)%"+5106-')& !  ! 4 Bài 6. ")/-01&-$, ′,DE%& 3$&3) + &'()&-$9&4DE0+&3 ( ) 2 2 4h a h R> < +  '--'J&'(DEQ0+&3 /'-06-'J&'(DEQ0+&3 Trang 17 Khối tròn xoay Trần Só Tùng Bài 7. 5)0+"+DECB.%%'(%)& 3 6-DECF:$"+&-2:)B.&'(4" ))2$ 51 412:6"))2$&'( + /51 3160!))2$&'( +/(6"))2$&- Bài 8. 84")-/-01&-$- ! 4:)%4"+ 51 412: 416") /51 3160!%H)'--& 4 !)0!)&J Bài 9. 84")-/-01&-$&'(/* 3R DE%& 3) + &'()&-$9-(/(6DE)6")%GL L  51 412: 416") /5106-'JDE)6") Bài 10. ")/-01&-$, DE%& 3%%'(* ) +&'()&-$,′,9D′E((-4- /*x&'(DE,′((-4-/*y 51/-01 ,2,$ /51 2: ,   31R6") h, x, y Bài 11. ")/-01&-$/*)Q=DEQ%/-01 6&'()&-$,Q9-6DEQ/*GL L  51&4&DEQ /516-'JDEQQ 5106-'JDEQQ Bài 12. 840!)--&-$%")+Q,/-01-&'( 2Rh = D%4& 3) +&'()+E%4& 3) +&'() +Q9D+-(-QE '-)*-/ +6'- 4DEQ%'J-+517 9! 3160!'- 4DEQ0!) / ( ) α %:DE99(-Q5106-'J) Q ( ) α  '-)* ( ) α % ! 46)-)Q-/-01&-$/* 2 2 R  VẤN ĐỀ 1: Mặt nón – Hình nón – Khối nón Bài 1. "%H)'--& DECD′E′′C′-&-$/*, = E !)*′%+6D′E′′C′%&'()4 !&-$DEC51 3 10!--&7′&-$ Bài 2. "%H)-& DED′E′′-&-$/* = E !)*′%+6D′E′′%&'()4 !&-$DE51 31 0!--&7′&-$ Trang 18 Tran Sú Tuứng Khoỏi troứn xoay Baứi 3. "-'--& DEC-&-$/*,/ +((-&-$ 4- 0 60 %&'() !&-$DEC51 310!-- &7&-$ Baứi 4. 5)0+-B8+B,-B8/*GL L B8 F:$-B8:-+B"&'(!0-8B 4"-)2$ 51 412:6"-)2$ /51 3160!-)2$ Baứi 5. 5 ! 4:)64"-%4-++-- +/* 51 412: 416"- /51 3160!-'('- 84 ! 4:&7(-&-$4-KL L 51 416 ! 4 $ Baứi 6. "-&7,&'(,DE%& 34&'()&-$9 06-'& 3& !DE/* ã 0 0SAO 3S= , ã 0 0SAB=6 51&4 &'(96"- Baứi 7. 5 ! 4:)640!-%4-++-$ /*51 310!- 412:6"-&J Baứi 8. "%4'(DECDQEQQCQ51 412:6 "--&7%+6"+DEC&-$%")4 !" +DQEQQCQ Baứi 9. #4"-/*4&:)6-,&'( ! 4% 4-& =51 412:, 416" 3160!- Baứi 10. "--& DE-/ +/*-'J-/ + &-$% 84"-&7-&'()&-$4 !-& DE, .J$1 412:6"-$ Baứi 11. "-'--& DEC- ã SAB = TNO L 51 412:6"-&7-&'()&-$ !" +DEC Baứi 12. 84"--&4&'(9/*;-'J&'(9&-$% 5" 412: 3160!- /B%& 3) +&'(6"-9 ( ) 10 <<= kk SO SI 51 416 ! 4:B+-(-) Trang 19 Khoỏi troứn xoay Tran Sú Tuứng Baứi 1. 4'- 4& -% A-&?+/-01 !'- 4 /51 41 310!'('- Baứi 2. 4"-'--& -&-$%,/ +((-&-$4 - 0 60 A-&?+/-01 !"- /51 41 310!'('- Baứi 3. ."-'--& DEC-&-$,-'J/ +&-$% 51/-01- !4 !"- /51-)?6 & 3-$-+) Baứi 4. '- 4DEC,/ !DEEDEC,DC/.DC EC+-(- '--DC+ /51 41 !'- 4DEC Baứi 5. "+/-01&'(0184+-(- #" 4&'()+.DE%-& 4 !) &'()$>.x (0 < x < 2R). 51-6'- 4DE R, x. /A-&?x& 3DE%'- 4& ,0&-1 316'- 4'- )*-&'(D,E,&+4+-(- Baứi 6. 5),"+DEC(-DE=,ECCD 5) +'6&'(D2+-(-%!$4& +&484 :D+-(-E,#E,,C%%'(,I, '-)*/6$& 3D,E,,C,,I,%+44!&? 1 416&- /D 3a 51 416'--DI Baứi 7. 4&BU- 5) +&'(+-(-BUB %!$& 3D,D&!2'-:BBDBD5) +&'(+-(-BU U0+99(-DD%!$& 3E,E&!2'-:UUEUE/ '-)*+6 !'- 4DDEE*) +&'( BU /A-&?+1/-016 !'- 4DDEE ,/, Baứi 8. '- 4DEC(-DED,E/.ECDE +-(- ã 0 90BDC = A-&?+/-01 !'- 4DEC Baứi 9. "/-015'4& 3/!0$) +,'/-$ ! /*,#D,E,9< ã ã ã ASB ASC =BSC = = 51 31R 6'- 4DE Baứi 10. '- 4DE-DDE,D,DE/,DA-&?+1 /-01 !'- 4)-)'((9< Trang 20 ễN TP KHI TRềN XOAY ễN TP KHI TRềN XOAY Tran Sú Tuứng Khoỏi troứn xoay ã 0 90BAC = / ã 0 60BAC = ,/ ã 0 120BAC = ,/ Baứi 11. "%H)-& DEDQEQQ-!6-& /*A- &?+,/-011 41 !"%H)&J Baứi 12. 84")-/-01&-$- ! 4:)%4"+ 51 2: 6") /51R0!%H)'--& 4 !)0!)&J Baứi 13. 84")-/-01&-$&'( 3R DE%=& 3) += &'()&-$9-(/(6DE)6")% 0 30 51 416 ! 4:DE99(-)6") /51 2: 6") 51 310!)'('- Baứi 14. E +)"))2$-4"+DEC4 !=&7 % + !D,E*) +&'()&-$'-;6"),=&7%*) + &'()&-$'-=6")8'-"+(-&-$") 4- 0 45 51 412: 316")&- Baứi 15. 5 ! 4:)64"-%4-++-- +/* 51 412: 416"- /51 310!-'('- Baứi 16. "--&'(h/-01&-$R8%& 3) +& ,&8x (0 < x < h). 51 41 ! 4+-(-)8 /51 31R60!-&7&-$ R, h vaứ xA-&?x9R &-)?%(-! Baứi 17. 84"-&7- .h&'(9/*&'(01&-$ 84"-+%)& 36&'(. !2-(-&-$"- A-&?$ !6- /51 416-*) 5199-(- 416- Baứi 18. "-)2$&75)&-$6"-&--"+DEC 4 !,/*E !)* ã 0 0 2 0 45ASB , = < < 51 310!- 412:6"- Baứi 19. "--/-01&-$/*-(6&7%= 5)"-- 4")4 !51/-01&-$ 6"),/ !)* ! 4 :)6")%4"+ Baứi 20. "--/-01&-$,-'J&'(9&-$6"-% 8499(-&-$6"-,-&-$"-406, #"- &'()51/-01&'() , Trang 21 Khối tròn xoay Trần Só Tùng Bài 1. "--DE-&-$DE%-& ,D⊥DE D8%4& 3$&3) +DE> · D8 α,.+- (-&'(8 5":$J1& 3.$)-)?%(-!6 31'- 4D. /.DB⊥,DF⊥.51&4F,DF 31'- 4DFB HD: a) Q tích điểm H là một cung tròn. MaxV SAHC = 3 12 a b) AK = 2 1 a9 9 α α + ,  SK = 2 1 a 9 α + , V = 3 2 2 24 1 a 9  9  α α + Bài 2. ∆DE+D-DED- · ED =α5) +&'(: D+-(-DE,%!$& 39D=B%) & 36E.D.⊥B '-D.⊥E51&4D. ,α /F%4& 3$&3) +&DB,& DF DB 28:F+ -(-DB#-DE,D,,E%%'(8,,,I5'--8I% ""V51 41'--$ HD: a) AH = 2 2 4 a9 9 α α + b) S MNPQ = ( ) 2 4 1a x x a@ 9 Bài 3. '- 4DEC-DEC=2         = LW2W = DDCEEC; BU%%'(%)& 36-DEC '-DE⊥CBU%&+-6&'(DE C /51 31'- 4DEC 25"2& 3 31$%(-!1-)?%(- !&- HD: b) V = 2 2 2 1 2 3 x x− ; MaxV = 2 9 3 khi x = 3 3 Bài 4. 5),"+DEC,-+%5) +-'6 &'(D2,$+-(-(6 41&!(-%!$%%'( & 38,>D82,$ 51&485'&-'-)*& 0 4&6& 3∆8+ %< 2 2xy a=  /69'68,$&39∆8+51 31'- 4EC8 A-&?2,$& 3 31'- 4$/* G  N  Trang 22 ƠN TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ƠN TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Trần Só Tùng Khối tròn xoay HD: a) MN = 2 2 2a x y + − b) V = 3 6 a x y + , (x, y) = 2 a a    ÷   hoặc 2 a a    ÷   . Bài 5. 5),"+DEC%& 36= &'( -6"+DEC5) +&'(2+-%!$& 3 α%-/(6/ +&-$6"-DEC 51 31 416"-DEC α /A-&?&'(+-6DC51&4&'(+- &- α HD: a) V = 3 6 a  α , S tp = 2 1 1a 9 α   +  ÷   b) d = a  9 α α Bài 6. 5) +'6&'()&'(01DE=%!$4& 3$$-C'.+ -(-DE.4&DEB%)& 36.5) +'6&'( B+-(-DEB%!$& 39- · DE XL   '--.%-&  />D.51 31R6'- 4DE  HD: b) V = ( ) 3 2 Rh 2R h@  Bài 7. "+DEC=5) +&'(:)& 3B6 DE+-(-DEC%!$& 3Y9BY8%& 3$ &3) +DE,Y.⊥8>E82 '-& 3.&4) +4&'()51&4B. /U%)& 36&Y51&4U8"-)?6!6U8 HD: a) IH = 2 2 2 4 a x a a x − + b) JM = 2 2 5 2 4 a a x   − +  ÷   , MinJM = 5 2 a khi x = 2 a Bài 8. "4'J4DECDZEZZCZ& 38) +DC8 DZE8#&'( -DZ6"4& 3. '-)*08$&3) +DC"&'(8.#&'( DZE4& 3!&? /51$69! 3160!& 4/(6DZE8#"4) )'((8%)& 36DC 69'6DDZDE8E+-(-D'-)*DZE8 +-(-DZ& 3.%)'+6-DZE8 HD: a) MH cắt A ′ B tại trung điểm I của A ′ B. b) 1 2 1 11 V V = Bài 9. "+DEC/*B%)& 3DEIB'&'(+ -(-DEC) +&-%!$& 39=B G  '-)*-DC%-+ /51 310!-DC)9$)06-'& !DC HD: b) V = 3 3 12 a , d = 3 2 a Bài 10. "4'J4DECDQEQQCQ-DE,DC=,DDQ 5106-'J&'(DCQEQ Trang 23 Khối tròn xoay Trần Só Tùng /8%& 3)&DC $69! 3 AM MD = .J$106-' & 38& !DEQ 51 31'- 4DEQCQ HD: a) d(AD ′ , B ′ C) = a b) d(M, (AB ′ C)) = 2 a c) V = 3 2 3 a Bài 11. 5),4"+DEC-/*%4& 3 /!0$*) +&'(D+-(-D 51  310! !-DEC0D= /8,%%'(%& 3&4) +-E,C8∈E,∈C& 8,5"4/ 3'-% + 4'J& 3-8D D(-4-NO° HD: a) V = G  Kπ b) ( ) 0 2 2a 2 m n a mn@ + + = Bài 12. "- DEC -&-$ DEC %"+,  ( )SA ABCD⊥  2SA a= 5) +DC%!$& 38$&3>- · α =ACM . SN CM ⊥  '-%+44&'()!&?1 31'- 4D   a  α  /. AH SC ⊥ , AK SN ⊥ '-)* ( )SC AHK⊥ 1&4&.F HD: a) N thuộc đường tròn đường kính AC cố đònh, V = 3 2 2 6 a 9 α b) HK = cos 2 1 sin α α + a Bài 13. "-DE--/ +D,E,&+4+->D ,E/,%)+6-DE 51&4& ,/, /84$$-&:#&DE8#&D '-)* 3 AB AC AM AN + =  '-)*&:-& 3,D,E,-+4 51 310!& 4D8 ,/,09 9(-E HD: a) SG = 1 2 2 2 3 + +a b c b) V = 1 9 abc Bài 14. "+DEC%& 3&'( -5) +'6 &'(2+-(-'-"+,%!$& 39- · 60= °SCB  5106-'J&'(EC / α %'-E+-(-DC51 41  ! 4/(6 α "-DEC HD: a) d(BC, SD) = 6 3 a b) S = 2 6 4 a Bài 15. "+DEC-/*5) +DC%!$& 389D8 x (0 ≤ x ≤ a)5) +'6&'(D2+-(-DEC& 3D, Trang 24 [...]... (SBC) b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x d) Biết rằng x2 + y2 = a2 Tìm giá trò lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM 1 2x HD: b) d(M, (SAC)) = c) V = ya( a + x) 6 2 a a3 3 d) MaxV = khi x = 2 8 Bài 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; ·ABC = 300 ; SBC là tam giác đều cạnh a Mặt bên SAB vuông góc với đáy ABC M là trung... AC Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC) b) Tính thể tích của hình chóp S.ABC 1 a3 2 HD: a) cos·SAB = b) V = 3 24 Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc µ = 120 0 , BD = a > 0 A Cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60 0 Một mặt phẳng (P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (P) tạo ra khi... chóp HD: V1 1 = V2 12 a 3 và 2 góc ·BAD = 600 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Bài 18 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ = 3a3 16 Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một... tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 o Trên cạnh a 3 SA lấy điểm M sao cho AM = Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N Tính 3 thể tích khối chóp S.BCNM HD: V= HD: V= 10 3a 3 27 Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ·BAD = 600 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi C’ là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp... qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’ Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’ HD: a3 3 V= 18 Trang 25 Khối tròn xoay Trần Só Tùng Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này Trang 26 . Tùng Khối tròn xoay I. Mặt cầu – Khối cầu: 1. Đònh nghóa • Mặt cầu: { } S O R M OM R   = = • Khối cầu: { } V O R M OM R   = ≤ 2. Vò trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng  •. 36&Y51&4U8"-)?6!6U8 HD: a) IH = 2 2 2 4 a x a a x − + b) JM = 2 2 5 2 4 a a x   − +  ÷   , MinJM = 5 2 a khi x = 2 a Bài 8. "4'J4DECDZEZZCZ&. tích điểm H là một cung tròn. MaxV SAHC = 3 12 a b) AK = 2 1 a9 9 α α + ,  SK = 2 1 a 9 α + , V = 3 2 2 24 1 a 9  9  α α + Bài 2. ∆DE+D-DED- · ED =α5)