Đ Ề THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2011 -2012 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Th ời gian làm bài: 120 phút C©u 1. Cho a  Z. Chứng minh rằng a 5 - a chia h ết cho 30. C©u 2. Cho P = 31 8 5 3 1 8 15 3 5 x x x x x x x x            a) Rút g ọn P. b) Tìm x đ ể P < 1. c) Tìm s ố nguyên x đ ể P nhận giá trị nguyên. Câu 3. a) Giải phương trình: x 2 + 3x + 1 = (x + 3) 1 2 x b) Cho 3 s ố d ương a, b, c tho ả mãn: 2 1 1 1 1 1 1       cba . Tìm giá tr ị lớn nhất của tích : M = abc. Câu 4. Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ AH vuông góc với BC tại H, HM vuông góc v ới AB tại M và HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh rằng: a) 3 AB BM AC CN        b) AH 3 = BC.MB.CN Câu 5. Cho hình vuông ABCD có AB = a cố định, M là một điểm di động trên đư ờng chéo AC. Kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC. Xác định vị trí c ủa M tr ên AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Ghi chú: Cán b ộ coi thi không giải thích gì thêm. H ọ và tên: S ố báo danh: HƯ ỚNG D ẪN CH ẤM THI H ỌC SINH GI ỎI HUY ỆN NĂM H ỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN 9 C©u 1. (4 đi ểm) Phân tích được: a 5 – a = a(a 2 – 1)(a 2 + 1) = a(a - 1)(a + 1)(a 2 – 4 + 5) (1 đ) = a(a - 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) (1.5 đ) L ập luận được a(a - 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) chia h ết cho 30 và 5a(a - 1)(a + 1) chia h ết cho 30. Suy ra a 5 – a chia h ết cho 3 0. (1.5 đ) Câu 2. (6 điểm) Ta có 8 15 ( 3)( 5)x x x x     Điều kiện xác đ ị nh: x  0; 5 0x   ; 3 0x   0; 9; 25x x x    (1đ) a) (2 đi ểm) P = 31 8 5 3 1 8 15 3 5 x x x x x x x x                    31 8 5 3 1 3 5 15 3 5 31 8 5 3 1 ( 5)( 3) 3 5 31 8 5 5 3 1 3 ( 5)( 3) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                      = = 1 5 x x   b) (1,5 đi ểm) 1 6 1 1 0 5 0 0 25 5 5 x P x x x x               Đ ố i chiếu với điều kiện xác đ ị nh ta có P < 1 0 25x   và x 9 c) (1,5 đi ểm) Ta có P = 1 5 x x   = 1 + 6 5x  P nhận giá trị nguyên khi 5x  là ước của 6. (0,75đ) 5x  1 2 3 6 -1 -2 -3 -6 x 6 7 8 11 4 3 2 -1 x 36 49 64 121 16 9 4 KTM Đ ố i chiếu với điều kiện xác đ ị nh thì x = 9 không tho ả mãn Vậy x  4;16;36;49;64;121} thì P nhận các giá trị nguyên. (0,75đ) Câu 3: (4 điểm) a) (2,5 đi ểm) x 2 + 3x + 1 = (x + 3) 1 2 x  x 2 + 3x + 1 - (x + 3) 1 2 x = 0  x 2 + 1 - x 1 2 x - 3 1 2 x + 3x = 0  1 2 x ( 1 2 x - x) – 3( 1 2 x - x) = 0 (0,5đ)  ( 1 2 x - x)( 1 2 x - 3) = 0 (1đ) Giải phương trình tích, tìm được nghiệm x =  2 2 (1đ) b) (1,5 đi ểm) 2 1 1 1 1 1 1       cba Ta có: )1)(1( 2 111 1 1 1 1 1 1 1 cb bc c c b b cba            (0,5đ) Tương tự : )1)(1( 2 1 1 ac ca b    ; )1)(1( 2 1 1 ca ab c    Do đó: )1)(1( 2 1 1 . 1 1 . 1 1 cb bc cba    . )1)(1( 2 ac ca  . )1)(1( 2 ca ab  = 8 )1)(1)(1( cba abc  . Suy ra abc  8 1 . (0,5đ) D ấu đẳng thức xẩy ra khi a = b = c = 2 1 Vậy M nhận giá trị lớn nhất bằng 8 1 , khi a = b = c = 2 1 . (0,5đ) Câu 4. (4 điểm) Áp dụng hệ thức về cạnh và đư ờ ng cao trong tam giác vuông ta có: a) (2,5 đi ểm) AB 2 = BH.BC và AC 2 = CH.BC (0,5 đ) A 2 2 4 2 4 2 AB BH AC CH AB BH AC CH     (1 đi ểm) M N Mặt khác ta có BH 2 = BM.AB và CH 2 = CN.AC B H C  4 2 4 2 . . AB BH BM AB AC CH CN AC    3 AB BM AC CN        (đpcm) (1 đi ểm) b) (1,5 điểm) Ta có: AH 2 = BH.CH  AH 4 = BH 2 .CH 2 = BM.AB.CN.AC (0,75 đ)  AH 4 = BM.CN.AB.AC = BM.CN.AH.BC  AH 3 = BM.CN.BC (đpcm) (0,75 đ) Câu 5. (2 điểm) Đ ặ t AE = x, CF = y  MF = CF = BE = y A E B  x + y = a (0,25 đ) S DEF = S ABCD - S DAE - S DCF - S BEF = a 2 - 2 2 2 ax ay xy   M F = a 2 - 2 ( ) 2 2 2 2 a xy a xy x y    (0,5 đ) Ta có S DEF nh ỏ nhất  xy l ớn nhất (0,5 đ) D C Do xy  2 2 x y       = 2 4 a  Max (xy) = 2 4 a khi x = y = 2 a (0,5 đ) khi đó M là trung điểm của đoạn thẳng AC Vậy Min S DEF = 2 2 2 1 3 . 2 2 4 8 a a a   (0,25 đ) . Đ Ề THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2011 -2012 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Th ời gian làm bài: 120 phút C©u 1. Cho a  Z. Chứng minh. nhỏ nhất đó. Ghi chú: Cán b ộ coi thi không giải thích gì thêm. H ọ và tên: S ố báo danh: HƯ ỚNG D ẪN CH ẤM THI H ỌC SINH GI ỎI HUY ỆN NĂM H ỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN 9 C©u 1. (4 đi ểm) Phân