Chuyên đề hệ phương trình http://mathisthinking.tk/ 1 Hệ đối xứng I. Lý thuyết 1.Hệ đx loại 1: Khi ta đổi chỗ x,y thì hệ vẫn y nguyên VD: 22 4422 x + y + xy = 7 x + y + xy = 21 ì ï í ï î Phương pháp: Đặt S=x+y và P=xy rồi đưa hệ về ẩn S, P 2.Hệ đx loại 2: Khi ta đổi chỗ x,y thì phương trình trong hệ đổi chỗ VD: 3 3 5 5 xxy yyx ì =+ ï í =+ ï î Phương pháp: C/m x=y bằng cách trừ vế-vế hoặc dùng BĐT. Trong các bài toán biện luận nghiệm thì nhớ rằng mấy hệ này có nghiêm (x,y) sẽ có nghiệm (y,x), (-x,y),…(tuỳ từng bài) II. Bài tập Bài 1. a/ ( )( ) 33 19 82 xy xyxy ì += ï í ++= ï î b/ 22 4422 x + y + xy = 7 x + y + xy = 21 ì ï í ï î c/ 2 2 3 6 xyxy xyxy y x -+=- ì ï í +-++= ï î Bài 2. a/ 55 66 x+ y = 1 x+ y = 1 ì ï í ï î b/ 55 9944 x + y = 1 x+ y = x y ì ï í + ï î c/ 55 99 x + y = 1 x+ y = 1 ì ï í ï î d/ 33 44 x+ y = 27 x+ y = 81 ì ï í ï î Bài 3. a/ 3 114 xyxy xy ì +-= ï í +++= ï î b/ 22 282 4 xyxy xy ì ++= ï í += ï î Bài 4. a/ 33 (x + y)(xy + 8) = 2 x+ y = 19 ì í î b/ ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 3 15 xyxy xyxy ì = ï í ++= ï î Bài 5. a/ 2 x(x + 2)+(2x + y) = 9 x+ 4x + y = 6 ì í î b/ 22 22 (1)(1)80 1 114 xyxy xy xy ì +++= ï í +=- ï ++ î c/ ( ) 22 (1)(1)10 (1)3 xy xyxy ì ++= ï í +-= ï î Bài 6. a/ 22 112 12 1212 2 (12)(12) 9 xy xy xxyy ì += ï + ï ++ í ï -+-= ï î b/ ì +++++++++= ï í +++-++++-= ï î 22 22 1118 112 xxyxyxyy xxyxyxyy c/ 200820082005 8() xy xy yx xyxy ì += ï í ï += î d/ 33 20082008 33 1 xxyy xy ì -=- ï í += ï î Chuyên đề hệ phương trình http://mathisthinking.tk/ 2 HD và nhận xét -Ta có thể thay S=x^2+y^2 (bài 1b) hoặc P=căn xy (bài 3a) miễn là hệ mới biểu diễn dễ theo S, P -Cần kiên trì biến đổi và hệ SP thường giải bằng rút thế. Note 222 2 xySP +=- , 333 3 xySSP +=- -Bài 5 cần ẩn phụ tinh tế khi 2 x(x + 2)+(2x + y) = x+ 4x + y , ( ) 2 2 (1) xyxy ++-= , 22 11 xy xy = ++ -Bài 6 cho ta cái nhìn về hệ đx 1 có phương pháp giải không mẫu mực(dùng BĐT). 6a có pt1 dạng Jensen 6b nghĩ đến BĐT tổng căn bình phương(vectơ), 6c dùng cauchy c/m ?<xy<?, 6d thì dễ mà. -Câu 1c là hệ đối xứng với (-x,y) -Bài 2 là dạng đx bậc cao. PP giải chung là trừ vế về rồi thế VD: 665555 ()(1) (1)(1) (1)(1)( )0 xyxyxxyxxy +-+=-+= += = -Câu 2d hãy nghĩ xem 3^3=27 và 81=3^4 là sao ???? Bài 1. a/ 3 3 5 5 xxy yyx ì =+ ï í =+ ï î b/ 232 232 32 32 yxxx xyyy ì =-+ ï í =-+ ï î c/ 32 32 x2x2x12y y2y2y12x ì -++= ï í -++= ï î Bài 2. a/ 13 2 13 2 x yx y xy ì += ï ï í ï += ï î b/ 2 2 2 2 1 7 1 3 x x yy x y ì ++= ï ï í ï -= ï î Bài 3. a/ 22 22 912 912 yxx xyy ì +=-+ ï í +=-+ ï î b/ 11 22 11 22 y x x y ì ++= ï ï í ï ++= ï î c/ 30.420012121 200130.42121 xy xy ì ++-= ï í -++= ï î Bài 4. a/ 3 3 (23)8 (2)6 xy xy ì += ï í -= ï î b/ 2 22 1 22 22 xx y yyxy ì +-= ï í ï =- î Bài 5. a. ( ) 2 2 x1978119781x = b. 9x145x37x18 2 +=+- c. 2001x4004 2002 2001x8 3 3 -= ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + d. 3 3 2 x 2 2 x - = - e. 2 11 2 2 x x += - f. 22 61498356 xxxx +-= g. 222 (34)3(34)4 xxxxx +-++-=+ Chuyên đề hệ phương trình http://mathisthinking.tk/ 3 HD và nhận xét -Đx mà bậc 2 thì thôi khỏi cần làm. Với bậc 3 ngoài trừ vế vế để có x-y ta còn cộng vế vế để thu hệ mới đối xứng 1. VD 1a 33 33 4() 6() xyxy xyxy ì -=- ï Û í +=+ ï î -Bài 2a dễ nhưng khi 1/… chiếm đa số ta đặt 1/x=t sẽ có hệ mới chỉ còn 1 con 1/t (thuận lợi trong toán biện luận). 2b thì cộng rồi trừ 2 pt cho nhau ta được hệ ĐX2 -Bài 3 cho ta 1 cách nhìn BĐT cho bậc 2 này. Mục tiêu c/m x=y thì g/s x>y=> vô lý sẽ được x=y. Ngoài ra thì chỗ nào có căn cần nhân tử sẽ phải Liên hợp -Bài 4 là chút ít ẩn phụ thử 2/x=t xem ?? còn câu b chia pt2 cho y^2 rồi t=1/y xem Bài 5 tổng hợp 1 số phương trình quy về hệ đối xứng Cứ nhìn cho kĩ và tích cực nghĩ sẽ ra. . đề hệ phương trình http://mathisthinking.tk/ 1 Hệ đối xứng I. Lý thuyết 1 .Hệ đx loại 1: Khi ta đổi chỗ x,y thì hệ vẫn y nguyên VD: 22 4422 x + y + xy = 7 x + y + xy = 21 ì ï í ï î Phương. đề hệ phương trình http://mathisthinking.tk/ 2 HD và nhận xét -Ta có thể thay S=x^2+y^2 (bài 1b) hoặc P=căn xy (bài 3a) miễn là hệ mới biểu diễn dễ theo S, P -Cần kiên trì biến đổi và hệ. vế-vế hoặc dùng BĐT. Trong các bài toán biện luận nghiệm thì nhớ rằng mấy hệ này có nghiêm (x,y) sẽ có nghiệm (y,x), (-x,y),…(tuỳ từng bài) II. Bài tập Bài 1. a/ ( )( ) 33 19 82 xy xyxy ì += ï í ++= ï î