TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC LỚP NGƯỜI HƯỚNG DẪN: NGƯỜI THỰC HIỆN: Tiến sĩ Nguyễn Văn Khải Phạm Anh Tuấn LỚP ĐHSP TỐN KHĨA HẢI DƯƠNG NĂM 2006 PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Qua năm trực tiếp giảng dạy, thân thấy thực tế hầu hết em học sinh sau giải xong toán tỏ thoả mãn yêu cầu Thậm chí số học sinh giỏi, có lực học tốn Điều thật đáng tiếc cuối làm tơi suy nghĩ tìm tịi biện pháp để hướng em dành lượng thời gian vừa đủ để suy xét tiếp tốn mà vừa giải xong Sau suy nghĩ hướng dẫn em học sinh theo hướng khai thác, phát triển toán để trỏ thành “họ” tốn dó hay ta có “chùm” tốn hay làm tâm đắc em phát huy trí sáng tạo mình, tìm tịi góc độ xung qunh tốn ban đầu , qua em khắc sâu kiến thức Và điều quan trọng thông qua cách hướng dẫn phù hợp với phương pháp dạy học cải cách nay, em học sinh người chủ động sáng tạo việc tiếp thu kiến thức, làm chủ tình huống, từ u thích mơn tốn Chính tơi chọn: " Khai thác phát triển toán" kinh nghiệm thân mạnh dạn đưa đồng nghiệp trao đổi nhằm nâng cao chất lượng dạy học MỤC ĐÍCH: Xuất phát từ thực tế đáng tiếc học sinh nên việc chọn: " Khai thác phát triển tốn" nhằm giải thực tế Nghĩa làm để người thầy người tổ chức đạo dạy học sinh cách tư để thực Dạy học sinh biết cách từ vốn có học sinh phải biết tự phát triển thành Bên cạnh nhằm tạo cho học sinh biết việc suy xét tiếp toán sau giải có tác dụng - Tìm hướng giải khác (Và từ có phương pháp hay hơn) - Tìm tốn "họ hàng" tốn giải - Tìm tốn "hay hơn" khó từ tốn giải v.v Với giáo viên chắn ngồi việc tìm "họ" tốn cịn có phương pháp "thiết kế" tốn từ toán quen thuộc Việc làm chẳng tạo cho giáo viên "ngân hàng" tập ? Đó mục đích kinh nghiệm Ngồi để có thêm mối quan hệ tốn với tốn A ta làm phép: + Đặc biệt hoá số điều kiện để từ tốn A có tốn + Thay đổi số điều kiện giả thiết để có tốn Tóm lại: Nếu sau giải toán, dành lượng thời gian đủ để suy xét nhìn nhận lại làm thực theo hướng nghĩ "Khai thác phát triển " "họ" tốn hay có giá trị PHẦN II : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ - CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Chúng ta biết việc, tượng số nguyên nhân sinh Nên điều kiện nguyên nhân thay đổi kết thay đổi theo Và từ nguyên nhân tạo kết Điều tốn học dễ xảy Từ số điều kiện (giả thiết - gt) biết ta phải kết thu (kết luận - kl) Nhưng việc kết vấn đề yêu cầu trước mắt toán Mà rèn luyện cho học sinh có thói quen suy xét thêm sau giải tập quan trọng Chẳng hạn: * Giải xong tập em cịn chứng minh thêm ? ** Hãy thay đổi số điều kiện giả thiết thu toán ? *** Hãy đặc biệt hoá vài điều kiện (gt) (kl) ? **** Nếu đảo lại tốn có thay đổi vân vân vân vân Cứ sau tập rèn cho học sinh có thói quen làm số cơng việc Tơi nghĩ phương pháp tự học quan trọng NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: BÀI TOÁN BAN ĐẦU Ta toán quen thuộc Cho xOy = 900 Trên Ox lấy điểm A cố định cho OA = a Điểm B di động Oy Vẽ góc xOy hình vng ABCD a) Tính khoảng cách từ D đến Ox b) Tìm tập hợp (qũy tích) điểm D B di động Oy Hướng dẫn: a) Kẻ DH ⊥ Ox ≡ H Có ∆AHD vuông H nên D1 + A1 = 1v Mà A2 = 1v ⇒ A1 + A3 = 1v Suy ra: A3 = D1 Xét ∆DHA ∆AOB y C D C' D' Có: H = O = 1v, A3 = D1, DA = AB (cạnh hình vuông) Vậy ∆DHA = ∆AOB = (T/h Bằng đặc biệt thứ tam giác vuông) B O A H x Vậy: DH = OA = a b) Theo chứng minh DH = a (const) Hình Khi B di động Oy D di động theo cách Ox khoảng DH = a Vậy quỹ tích D thuộc đường thẳng song song với Ox cách Ox khoảng a Giới hạn: Khi B ≡ O H ≡ A D ≡ D' D' điểm thuộc đường thẳng song song với Ox cách Ox khoảng a, A cố định suy D' cố định Kết luận: Khi B di động Oy quỹ tích D tia D'z // Ox, D' cách A khoảng a Khai thác 1: Từ lời giải ta thấy hình vng OAD'C' nhỏ tập hình vng ABCD B di động Oy Và đương nhiên tập hình vng diện tích hình vng OAD'C' có giá trị nhỏ Từ suy xét ta có tốn Bài tốn 1: Trong góc xOy vng O lấy A thuộc tia Ox cho OA = a Một điểm B di động Oy Vẽ góc xOy hình vng ABCD Xác định vị trí điểm D để SABCD nhỏ Chứng minh y Thật SABCD = AB2 Trong ∆OAB có O = 1v ⇒ AB > OA C Do A cố định, B di động nên AB ≥ OA = a D D' C' I I' ⇒ SABCD ≥ a Do SABCD = a2 nhỏ B ≡ O B O A H x Hình Khai thác 2: Từ kết ta suy hình vng OAD'C' cố định cạnh a Thế OD' cố định nên trung điểm I' cố định Vấn đề đặt là: Nếu B chuyển động Oy D chuyển động tia D'D Khi trung điểm I OD chuyển động đường ta có tốn Bài tốn 2: Cho góc xOy 900 Lấy A Ox cho OA = a, điểm B di động Oy Trong góc xOy vẽ hình vng ABCD Gọi I trung điểm OD Tìm tập hợp (qũy tích) điểm I Hướng dẫn: (Hình 2) Theo kết D' giới hạn D D' cố định Gọi I' trung điểm OD' ⇒ I' cố định Trong ∆OD'D có I'I đường trung bình ⇒ I'I // D'D Nên quỹ tích I tia I'I // Ox cách Ox khoảng = a Khai thác 3: y Suy xét: (hình 3) Qua C kẻ đường thẳng // Ox cắt Oy Q cắt DH P C Q P Theo ta chứng minh D ∆AOB = ∆DHA (Cạnh huyền góc nhọn) ⇒ OA = DH = a I OB = AH Nhưng CQ // Ox ⇒ CQB = 1v ⇒ B CP = OA O A PD = OB y Hình H x C P OHPQ hình vng D Vậy OA + AH = DH + PD = CPQ+ CQ = BQ + OB hay OH = HP = PQ = QO Mà QOA = 1v ⇒ C' Ta có tốn I Bài tốn 3: Cho góc xOy, tia Ox lấy ABsao cho OA = a, Oy điểm B di động Dựng góc xOy hình vng ABCD; qua C kẻ đường thẳng // Ox, qua d kẻ O A x đường thẳng // Oy Hai đường thẳng cắt P lần lượtHcắt Oy Q, cắt Ox H a) Chứng minh OHPQ hình vuông b) Gọi I trung điểm AC, chứng minh O, I, P thẳng hàng Từ suy xét dễ dàng suy điều chứng minh Khai thác 4: Suy xét tiếp ta thấy Ta chuyển hướng tốn dạng khác Nếu ta coi hình vng OHPQ cố định cạnh = a Trên cạnh HO, OB, PQ, PH lấy A, B, C, D cho OA = QB = PC = DH Tiếp tục: Nếu cho A di động OH chưa thoả mãn ABCD hình vng chu vi ∆AOB có giá trị thay đổi Cụ thể có quan hệ với a cạnh hình vng OHPQ y Q C P D I B O A H x Hình Thật dễ chứng minh ∆AOB = ∆DHA = ∆CPD = ∆BQC Từ ⇒ ABCD hình vng ∆AOB ln có: AB < OA + OB Nhưng OB = AH ⇒ AB < OA + AH = OH = a Do A, B chuyển động thoả mãn ABCD hình vuông Nên A ≡ H, B ≡ O ⇒ AB = OH = a Do đó: OA + OB + AB ≤ OH + OH = 2a Vậy CAOB ≤ 2a (CAOB : chu vi ∆AOB) (Chu vi ∆AOB có giá trị lớn 2a) Ta có tốn Bài tốn 4: Cho hình vng OHPQ cạnh a Trên cạnh HO, OQ, QP, PH lấy A, B, C, D cho OA = QB = PC = HD a) Chứng minh: ABCD hình vng b) Khi A chuyển động OH thoả mãn ABCD hình vng (A ≠ O, A ≠ H) Chứng minh CAOB < 2a Từ suy xét ta dễ chứng minh điều Khai thác 5: Tiếp tục không dừng lại ta suy xét tiếp Ta ln có OB + OA = OH = a không đổi (vẫn nội dung tập 4) Như OA + OB = a (const) Suy OA.OB lớn OA = OB (Tổng số dương khơng đổi tích chúng lớn hai số nhau) Để ý thấy rằng: OA OB = 2SAOB (SAOB diện tích ∆AOB) Mà hình vng OHPQ có SOHPQ = a2 (SOHPQ diện tích OHPQ) Và SOHPQ = SABCD + 4SAOB Hay SABCD = a2 - SAOB Nếu SAOB lớn SABCD nhỏ SAOB nhỏ SABCD lớn Mà SAOB lớn OA.OB lớn lý luận OA.OB lớn OA = OB Từ ⇒ OA = OB = OH a = Hay A trung điểm OH, B trung điểm OQ ? 2 Ta có tốn Bài tốn 5: Cho hình vng OHPQ cạnh a Trên OH, OQ, QP, PH lấy A, B, C, D cho OA = QB = PC = HD a) Chứng minh ABCD hình vng b) A chuyển động OH (vẫn thoả mãn ABCD hình vng) Xác định vị trí A để SABCD nhỏ Tìm giá trị Hướng dẫn: a) Dễ chứng minh được: ∆AOB = ∆DHA (c.g.c) ⇒ AB = AD Hình Tương tự CB = CD = AB Vậy ABCD hình thoi (1) Lại có: A1 = D1 mà D1 + A2 = 1v ⇒ A + A2 = 1v (2) Từ (1) (2) ⇒ ABCD hình vng b) Ta có SOHPQ = a2 Theo kết ∆AOB = ∆BQC = ∆CPD = ∆DHA (c.g.c) ⇒ SABCD = a2 - SAOB = a2 - 2.OA.OB Do OA + OB = OA + AH (vì OB = AH) ⇒ OA + AH = OH = a Không đổi nên tích OA.OB lớn OA = OB = a a a a2 Nghĩa OA.OB ≤ = 2 a2 a2 a2 Vậy SABCD ≥ a - =a = 2 Do SABCD = OH a2 giá trị nhỏ đó: OA = OB = 2 Chứng tỏ A trung điểm OH Khai thác 6: (Hình 6) Tiếp theo suy xét ta có CAOB ≤ 2a Vậy CAOB = 2a điều xảy ? Thật vậy: Nếu cạnh hình vuông OHPQ a A, B chuyển động OH, OQ cho CAOB = 2a Thì: OA + OB + AB = 2a (1) Nhưng OQ + OH = 2a Hay OB + BQ + OA + AH = 2a(2) Từ (1) (2) ⇒ AB = BQ + AH Trên tia đối QB lấy E cho QE = AH ⇒ BQ + QE = BQ + AH hay BE = BA Lại có ∆PQE = ∆PHA (c.g.c) Ê Suy ra: PE = PA C Q Do ∆PBE = ∆PBA (c.c.c) Nên B1 = B2 Trên AB lấy K cho BK = BQ (Vì BA > BQ) ⇒ KA = AH Suy ∆PBQ = ∆PBK (c.g.c) (1) B P D Nên PQB = PKB (= 1v) K O A H Hình ⇒ PQB = PHA = 1v PK = PQ (∆PBQ = ∆PBK) Nên PK = PH ⇒ ∆PAK = ∆PAH (c.c.c) (2) Từ (1) ⇒ P1 =P2 (2) ⇒ P3 = P4 ⇒ P2 + P3 = P1 + P4 = QPH = 450 Như thì: Khơng cần yếu tố mà cần hình vng OHPQ cạnh a Một xPy quay quanh P, Px cắt OH A; Py cắt OQ B Sao cho CAOB = 2a xPy = 450 Ta có tốn Bài tốn 6: Cho hình vng OHPQ cạnh a, góc xPy quay quanh P Tia Px, Py cắt OH, OQ A, B thoả mãn chu vi ∆AOB 2a Chứng minh xPy = 450 (Từ suy xét dễ chứng minh này) Đặc biệt hoá tốn ta có tốn sau: 10 Cho hình vuông ABCD, cạnh cho chu vi ∆AOB 1 , tia Px cắt OH A, tia Py cắt OQ B, Chứng minh APB = 450 Khai thác 7: (Hình 7) P Q Suy xét tiếp ta đặt vấn đề ngược lại tốn ? B 450 2 y K O A H F x Hình Nghĩa là: Cho hình vng OHPQ cạnh a, góc xPy quay quanh P cho xPy = 450 Px cắt OH A, Py cắt OQ B, chu vi ∆AOB có thay đổi hay 2a Suy luận: Trên tia đối tia HA lấy F cho HF = QB ⇒ ∆PQB = ∆PHE (c.g.c) (Hình vẽ 7) Vậy PB = PF P1 = P Mà P1 + BPH = 1v ⇒ P2 + BPH = 1v hay BPF = 1v BPA = 450 ⇒ APF = 450 ⇒ ∆PAB = ∆PAF (c.g.c) ⇒ A1= A2 Từ P kẻ PK ⊥ AB ≡ K ⇒ ∆PAH = ∆PAK (cạnh huyền góc nhọn) Suy AK = AH Lại có B1 = F1 (∆PHF = ∆PQB) B2 = F1 (∆PAB = ∆PAF) Suy B1 = B2 Vậy ∆PBQ = ∆PBK (cạnh huyền góc nhọn) 11 Vậy BQ = BK Mà CAOB = OA + OB + AB = OA + OB + BK + KA = OA + OB + BQ + AH = OA + AH + OB + BQ = OH + BQ = a+a = 2a Như vấn đề ngược lại toán Từ suy xét dễ chứng minh toán Hơn ta lại khoảng cách từ P đến AB (độ dài PK ln cạnh hình vng PQ khơng đổi) Từ ta cịn có tốn Bài tốn 7: Cho hình vng OHPQ cạnh a Một góc xPy = 45 quay quanh P cho tia Px, Py cắt OH, OQ A, B a) Chứng minh ∆AOB có chu vi khơng đổi b) Cạnh AB tiếp tuyến đường tròn cố định Từ suy xét dễ chứng minh tập Khai thác 8: Từ kết ta đến kết luận Trong hình vng OHPQ cạnh a Một góc xPy quay quanh P Gọi Px cắt OH A, gọi Py cắt OQ B Nếu: AB = AH + BQ (hay chu vi ∆AOB khơng đổi) xPy = 450 Và ngược lại Nếu xPy = 450 Thì: AB = AH + BQ ( hay chu vi ∆AOB không đổi ) 12 Và hai trường hợp ta chứng minh khoảng cách P đến AB khơng đổi Ta thay cách phát biểu tốn Bài tốn 8: Cho hình vng OHPQ cạnh a Một đường thẳng xy thay đổi cắt OH A, cắt OQ B a) Chứng minh rằng: APB = 450 CAOB = 2a b) Tìm quỹ tích điểm K hình chiếu P AB AB thay đổi APB = 450 Hướng dẫn: a) Xem hướng dẫn tốn tốn b) • Thuận: chứng minh có PK = PH = a (const) Vậy APB quay quanh P K chuyển động cách P khoảng không đổi a Vậy K ∈ (P, a) Giới hạn: Khi A ≡ O B ≡ Q ⇒ K ≡ Q A ≡ H B ≡ O ⇒ K ≡ H Vậy quỹ tích K phần tư đường trịn (P, a) nằm hình vng OHPQ • Đảo lại: Trên phần tư đường tròn (P, a) nằm hình vng OHPQ lấy điểm K' Kẻ x'y' ⊥ PK' K', x'y' cắt OH A' cắt OQ B' ta phải chứng minh OB' + OA' + A'B' = 2a Thật vậy: Có COA'B' = OA' + A'B' + OB' Nhưng A'B' = A'K' + K'B' (K ∈ A'B') Và A'K' = A'H K'B' = B'Q (tính chất hai tiếp tuyến) 13 ⇒ CA'OB' = OA' + A'H + OB' + B'Q = OH + OQ = 2a Khai thác 9: (Hình 8) Tiếp tục suy xét thấy A, B chuyển động cạnh OH, OQ hình vng OHPQ cạnh a thoả mãn chu vi ∆AOB = 2a Thì điều xảy rằng: Khi A ≡ H, B ≡ O SOAB = O Khi A ≡ O, B ≡ Q SAOB = O Tóm lại xPy quay quanh P đỉnh hình vng OHPQ có cạnh a thoả mãn CAOB = 2a O ≤ SAOB < SOHPQ (1) Như ta dự đốn P Q SAPB có giá trị lớn khơng ? hay giá trị cực trị SAPB có quan hệ B với giá trị cực trị SAOB ? K Thật Theo kết ta chứng minh ∆PBQ = ∆PBK O ∆PAK = ∆PAH A Hình Do đó: SAPB = SABQPH Mà SABQPH + SAOB = SOHPQ = a2 ⇒ 2SAPB + SAOB = a2 ⇒ 2SAPB = a2 - SAOB (*) Từ (*) ta có: SAPB lớn ⇔ SAOB nhỏ (2) Từ (1) (2) ⇒ SAOB nhỏ = O Vậy 2SAPB lớn = a2 - O Hay SAPB lớn a2 = 14 H Khi A ≡ H B ≡ Q Ta có tốn Bài tốn 9: Cho hình vng OHPQ Một góc xPy quay quanh P gọi Px cắt OH A Py cắt OQ B Sao cho AB = BQ + AH Xác định vị trí A, B để SAPB đạt giá trị lớn Hướng dẫn: (Chứng minh theo hướng suy xét trên) Khai thác 10: Suy xét tiếp từ giá trị ta thấy P Q Gọi đường chéo QH cắt PA M N cắt PB N Ta phát triển tốn cho B M thành toán cho học sinh lớp K học tứ giác nội tiếp O Bài tốn 10: A Hình H Cho hình vng OHPQ cạnh 1, góc xPy quay quanh P cho CAOB = Gọi QH cắt PA M, PB N Lấy K thuộc AB cho BK = BQ Chứng minh: BM, AN, PK đồng qui Hướng dẫn: (Hình 9) Từ tốn ta có kết luận (và chứng minh được) Nếu CAOB = 2.OH ⇒ APB = 450 Mà BQM = 450 ⇒ BQPM nội tiếp (Q1= P1 P, Q thuộc nửa mặt phẳng nhìn BM góc nhau) Vậy BQP + BMP = 2v 15 (tính chất tứ giác nội tiếp) ⇒ BMP = 1v hay BM ⊥ PA (1) Chứng minh tương tự: AHPN nội tiếp E ⇒ ANP = 1v hay AN ⊥ PB (2) P Q Do BK = BQ ⇒ OB + BK = Mà CAOB = ⇒ OA + KA = B Chứng tỏ AK = AH N Trên tia đối tia QB lấy E cho QE = AH ⇒ ∆AHP = ∆EQP (c.g.c) ⇒ P1 = P2 M K Nên APE = 1v ⇒ BPE = 450 Vậy ∆PBE = ∆PBA (c.g.c) O ⇒ B1 = B2 Vậy ∆PBQ = ∆PBK A H Hình 10 ⇒ BQP = BKP mà BQP = 1v Nên BKP = 1v hay PK ⊥ AB (3) Từ (1) (2) (3) ⇒ BM, AN, PJ ba đường cao ∆ABP nên đồng quy (Hình 10) Khai thác 11: Từ kết khai thác 10 ta suy xét tiếp thấy ∆BMP vuông cân M ⇒ BP = MP ∆AMP vuông cân A ⇒ Suy AP = NP PA.PB =2 PM PN Ta có tập Bài tốn 11: 16 Cho hình vng OHPQ cạnh Trên OH, OQ lấy A,B chuyển động cho chu vi ∆AOB = Gọi QH cắt PA, PB M, N Chứng minh rằng: PA.PB = 2PM.PN Hướng dẫn: Từ suy xét ta suy cách chứng minh tập Khai thác 12: Để khó thêm chút ta phát triển thêm vấn đề tam giác A Cho ∆ABC kẻ AH ⊥ BC = H Nên SABC = AH BC Nhưng ∆AHB AH = AB SinB Vậy SABC = B AB.BC SinB (*) H C Hình 11 Do giả thiết (bài tập 11) Ta áp dụng cơng thức (*) có: SABP = PA.PB SinP SMPN = PM.PN SinP S PA.PB ABP = =2 Lập tỷ số có S PM PN MPN Ta có tập Bài tốn 12: Cho hình vng OHPQ cạnh Trên OH, QO lấy A, B chuyển động thoả mãn chu vi ∆AOB Gọi QH cắt PA, PB M, N Chứng minh SPAB = 2SPMN Khai thác 13: (Hình 12) P Q Cứ tiếp tục ta suy xét tiếp Chẳng hạn ta cho A chuyển động cạnh hình vng OHPQ đến vị trí trung điểm OH Thì B chuyển động đến I điểm ? Cách Q Khi APB = 45 B 17 O A H E Thật vậy: Kẻ tia Px ⊥PB cắt OH E ⇒ P1 = P ⇒ ∆PHE = ∆PQB (g.c.g) ⇒ PB = PE Hình 12 Lại có BPE = 900 APB = 450 ⇒ APE = 450 ⇒ ∆PAB = ∆PAE ⇒ SPAB = SPAE Kẻ AI ⊥ PB ≡ I Hay PB AI = PH AE ⇒ AI2 PB2 = PH2 AE2 Gọi BQ = x ⇒ HE = x (Do ∆PHE = ∆PQB) PA Trong ∆API vông cân I ⇒ AI = 2 Trong ∆PHA vuông H ⇒ PA2 = a2 + (1) a 5a = 4 (Vì giả sử A → trung điểm OH) ⇒ AH = Từ (1) (2) ⇒ AI2 = (2) a 5a Trong ∆PQB vuông Q ⇒ PB2 = a2 + x2 Vậy AI2 PB2 = Do 5a (a + x x ) 5a (a + x x ) a  = a2  + x 2  Mà AE = AH + HE = (a + x) 5a (a + x ) = 8a = 2a2(a + 2x)2 2 2 5(a2 + x2) = 2(a2 + 4x2 + 4ax) 5a2 + 5x2 = 2a2 + 8x2 + 8ax 3x2 + 8ax - 3a2 = Có A = ; B' = 4a, C = -3a2 ∆' = 16a2 + 9a2 = 25a2 a > (độ dài cạnh hình vng) 18 a +x Nên x1 = x2 = − 4a + 5a = a (thoả mãn) 3 − 4a − 5a = −3a (Loại) Điều chứng tỏ QB = 1 OQ = a 3 Bằng suy xét ta đến tốn mới: Bài tốn 13: Trong hình vng OHPQ cạnh a Trên OH lấy trung điểm A, góc APx = 450 Tia Px cắt OQ B Chứng minh: OQ = a Hướng dẫn: Bằng suy luận ta dễ chứng minh điều Cứ tiếp tục suy xét ta phát triển thêm tốn từ toán quen thuộc.Vậy với toán sau bạn suy xét phát triển mà xuất phát từ tốn ban đầu Bài tốn: Cho hình vng OHPQ cạnh a Trên OH lấy A trung điểm OQ lấy B cho QB = a Chứng minh APB = 450 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Kết chung: Sau học sinh thực hành giải tập theo hướng tích cực “Khai thác phát triển” toán, đa số em học sinh khá, giỏi nắm vững cách giải tốn mà cịn biết khai thác theo nhiều hướng khác Bên cạnh nhằm tạo cho học sinh biết việc suy xét tiếp tốn sau giải có tác dụng: - Tìm hướng giải khác (Và từ có phương pháp hay hơn) - Tìm toán "họ hàng" toán giải - Tìm tốn "hay hơn" khó từ toán giải v.v 19 Kết cụ thể, đối chứng Trên số hướng giải khai thác phát triển toán Qua thực tế giảng dạy, kiểm tra 10 em học sinh khá, giỏi lớp đội tuyển học sinh giỏi trường so sánh kết trước sau áp dụng kinh nghiệm trên, thấy có kết rõ rệt Kết cụ thể sau: Trước Sau áp dụng áp dụng 30% 70% 30% 82% 35% 75% 40% 85% Nhận dạng giải toán chứng minh đẳng thức mà vế tích đoạn thẳng, hay vế diện tích hình 45% 80% Tìm lời giải tốn có nội dung đặc biệt, có nội dung phức hợp, vận dụng cách giải linh hoạt 20% 60% Kỹ Nhận dạng giải tốn tìm tập hợp điểm (quỹ tích) Nhận dạng giải tốn tìm điều kiện để tứ giác đặc biệt có diện tích lớn hay nhỏ nhất, tam giác có chu vi khơng đổi, chứng minh góc góc cho trước, đoạn thẳng Nhận dạng giải toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy, Nhận dạng giải toán chứng minh tứ giác hình vng, chứng minh điểm trung điểm đoạn thẳng 20 BÀI HỌC KINH NGHIỆM: Sau thu kết tơi thấy phương pháp giải tốn nói khơng qua khó học sinh khá, giỏi mà điều quan trọng rèn cho em thói quen tìm tịi khoa học, có thái độ hào hứng, say mê phát triển khai thác triệt để mội tốn Ngồi để có thêm mối quan hệ tốn với tốn A ta làm phép: + Đặc biệt hoá số điều kiện để từ toán A có tốn + Thay đổi số điều kiện giả thiết để có tốn Sau giải toán, dành lượng thời gian đủ để suy xét nhìn nhận lại làm thực để tìm tốn hay có giá trị PHẠM VI ÁP DỤNG Trọng tâm đề tài tập trung vào đối tượng học sinh giỏi lớp 8, em phải nắm vững kiến thức bản, cần có niềm say mê mơn hình học Với giáo viên người đem lại niềm say mê , hứng thú cho em, dẫn dắt em biết cách khai thác, nâng cao, tổng hợp khái quát hóa vấn đề Để đảm bảo tính hệ thống liên tục, lơ-gíc theo hướng khai triển tốn, đề tài có đơi chỗ mở rộng cho học sinh lớp Vậy xem, áp dụng xin lưu ý tới trình độ em học sinh để vận dụng cho phù hợp NHỮNG Ý KIẾN ĐỀ XUẤT, HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU: Trên hướng khai thác phát triển tốn mà tơi làm Vấn đề muốn đề xuất rèn luyện phương pháp tư đào sâu suy nghĩ sau toán giải dành lượng thời gian định để suy xét theo hướng mà tơi đưa Thiết nghĩ phương pháp học tốn làm tốn bổ ích, lý thú Làm điều với học sinh tạo hiểu sâu hơn, có nhiều phương pháp giải đương nhiên tìm phương pháp hay Với người dạy ngồi việc tìm nhiều lời giải tốn cịn tạo cách thiết kế loạt tốn có "họ hàng" với toán ban đầu Với tư tưởng hướng tiếp tục nghiên cứu mảng kiến thức khác mà thông qua khinh nghiệm nhỏ chưa thể đề cập hết 21 22 PHẦN III: KẾT LUẬN Trong trình học tập khoa Toán-Tin Trường ĐHSP Hà Nội, suy nghĩ, băn khoăn, vướng mắc thày cô giúp đỡ nhiệt tình Đặc biệt góp ý, bảo tận tâm thày giáo – Tiến sĩ Nguyễn Văn Khải tơi mạnh dạn hồn thành đề tài Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi khối - đưa để thực nghiệm Ban đầu em bỡ ngỡ sau tỏ thích thú, say mê Từ chỗ hiểu say mê em tìm tịi nhiều phương pháp giải, qua chọn phương pháp giải hay, đặc biệt số em tự thiết kế toán dựa hướng khai thác Với khả cịn có hạn, chắn khơng tránh khỏi hạn chế định Song mạnh dạn đưa kinh nghiệm thân mà tâm đắc Tơi hy vọng đề tài đóng góp phần vào áp dụng giảng dạy nhà trường Rất trơng đợi đánh giá góp ý, bổ sung đồng nghiệp xa gần để kinh nghiệm hoàn thiện có tác dụng thiết thực nghiệp trồng người Cuối em xin chân thành cám ơn bảo tận tình thày khoa tốn – tin Trường ĐHSP Hà Nội Xin chân thành cảm ơn Thày giáo – Tiến sĩ Nguyễn Văn Khải giúp em hoàn thành đề tài Xin trân trọng cảm ơn! Hải Dương ngày tháng năm 2006 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG NGƯỜI VIẾT …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 23 Phạm Anh Tuấn MỤC LỤC Trang 02 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Mục đích 02 02 PHẦN II: GIẢI QUYÊT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận, thực trạng phương pháp nghiên cứu Nội dung Biện pháp thực hiện: Kết đạt Bài học kinh nghiệm: Phạm vi áp dụng: Những ý kiến đề xuất, hướng tiếp tục nghiên cứu: 03 03 03 19 20 21 21 22 PHẦN III: KẾT LUẬN 24 ... " Khai thác phát triển toán" kinh nghiệm thân mạnh dạn đưa đồng nghiệp trao đổi nhằm nâng cao chất lượng dạy học MỤC ĐÍCH: Xuất phát từ thực tế đáng tiếc học sinh nên việc chọn: " Khai thác phát... chứng minh điều Cứ tiếp tục suy xét ta cịn phát triển thêm toán từ toán quen thuộc.Vậy với toán sau bạn suy xét phát triển mà xuất phát từ toán ban đầu Bài tốn: Cho hình vng OHPQ cạnh a Trên OH... phù hợp NHỮNG Ý KIẾN ĐỀ XUẤT, HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU: Trên hướng khai thác phát triển tốn mà tơi làm Vấn đề muốn đề xuất rèn luyện phương pháp tư đào sâu suy nghĩ sau toán giải dành lượng