ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2 Môn: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (4,0 ñiểm) 1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 1 2010 cosx dx, ( 0). x x 1 ∞ α + α > + ∫ 2) Chứng minh rằng nếu chuỗi lỹu thừa n n n 0 a x ∞ = ∑ hội tụ tại một ñiểm x = α ( 0)α ≠ thì nó sẽ hội tụ tuyệt ñối tại mọi ñiểm x 0 thoả mãn 0 x .< α 3) Xác ñịnh cận lấy tích phân khi tính tích phân bội f(x, y,z)dxdydz Ω ∫∫∫ trong ñó Ω là miền giới hạn bởi các mặt x + 3y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0 với thứ tự cho trong hai trường hợp sau: dx dy f(x, y,z)dz ∫ ∫ ∫ và dz dx f(x, y,z)dy. ∫ ∫ ∫ Câu II (3,0 ñiểm) Cho Q là tập các số hữu tỉ. Xét sự khả tích Riemann và khả tích Lebesgue của hàm số sau trên ñoạn [0; e] và tính các tích phân tương ứng (nếu có): x 1, khi x A [0;e] f(x) . xln x, khi x B [0;e]\ A + ∈ = ∩  =  ∈ =  Câu III (3,0 ñiểm) Cho [ ] C a;b là không gian các hàm liên tục trên ñoạn [ ] a;b với chuẩn [ ] [ ] t a;b x max x(t) , x C a;b . ∈ = ∈ Với [ ] (t) C a;b ,α ∈ toán tử A xác ñịnh trên [ ] C a;b bởi công thức [ ] b a Ax(s) (s).x(t)dt, x(t) C a;b , a s b.= α ∈ ≤ ≤ ∫ Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục. Tìm chuẩn của A. Q www.VNMATH.com ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2 Môn: ðại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (3,0 ñiểm) Cho V là một không gian vecto n – chiều trên trường K và f :V V→ là một tự ñồng cấu có tính chất 2 f f.= Chứng minh rằng: 1) 2 V V (Id f) (Id f),− = − trong ñó V Id là tự ñồng cấu ñồng nhất của V. 2) V Imf Kerf.= ⊕ 3) f là một tự ñồng cấu chéo hoá ñược. Câu II (2,0 ñiểm) Cho f :R 3 → R 3 là một tự ñồng cấu có ma trận ñối với cơ sở chính tắc là 3 2 0 A 2 3 0 . 0 0 5 −     = −       1) Hãy xác ñịnh các giá trị riêng, các không gian con riêng của f. 2) Tự ñồng cấu f có phải là tự ñẳng cấu không? Vì sao? Câu III (3,0 ñiểm) 1) Cho G là một nhóm, A là nhóm con của G, B là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh rằng AB = BA, AB là nhóm con của G và nếu A là nhóm con chuẩn tắc của G thì AB là nhóm con chuẩn tắc của G. 2) Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G, G = AB và { } A B e .∩ = Chứng minh rằng ab = ba với mọi a A,b B∈ ∈ và mọi phần tử g G∈ ñều biểu diễn ñược duy nhất dưới dạng g = ab, với a A,b B∈ ∈ . 3) Nhóm cộng các số nguyên có biểu diễn ñược dưới dạng { } A B, A B 0 ,= + ∩ = với A, B là các nhóm con chuẩn tắc khác { } 0 của không? Câu IV (2,0 ñiểm) Cho I là iñêan của vành các số nguyên { } , I 0 ,≠ chứng minh rằng: 1) I là iñêan nguyên tố khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố. 2 ) Vành thương I là một trường khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố. Z Z Z Z Z www.VNMATH.com . ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 20 11 ðHSP HÀ NỘI 2 Môn: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (4,0 ñiểm) 1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 1 20 10 cosx dx, ( 0). x. A là toán tử tuyến tính liên tục. Tìm chuẩn của A. Q www.VNMATH.com ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 20 11 ðHSP HÀ NỘI 2 Môn: ðại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (3,0 ñiểm) Cho V là. tính chất 2 f f.= Chứng minh rằng: 1) 2 V V (Id f) (Id f),− = − trong ñó V Id là tự ñồng cấu ñồng nhất của V. 2) V Imf Kerf.= ⊕ 3) f là một tự ñồng cấu chéo hoá ñược. Câu II (2, 0 ñiểm)