Đang tải... (xem toàn văn)
giúp các bạn sinh viên chuyên ngành kỹ thuật bổ trợ,rèn luyện kỹ năng giải bài tập môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace. Bao gồm rất nhiều bài tập hay và sát nội dung chương trình học
BÀI TẬP HÀM SỐ PHỨC I.số phức và các phép toán 1,Tính các giá trị các căn số sau: 1. 3 A 1 i 3= + 2. 4 B 1 i= − 3. 3 D 1 i= − + 2, Chứng minh rằng: 1. zzzz arg11 +−≤− 2. nếu Rez 0> , Rea 0> thì a z a z − + < 1 3. Nếu 1 2 z z 1= = và 1,2 z 1≠± thì 1 2 1 2 z z 1 z z + ∈ + ¡ 4. Tìm ϕi Re(arctan e ) với ϕ nhọn. 3)Tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn a) R constω = = b) argz const= trong đó +) 2 x z 1ω = + − +) 1 z eω = 4)Tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn 2 Re ln(x z 1) const + − = II, Tích phân hàm biến phức: 1. C I z zdz= ∫Ñ trong đó C là đường z = 1 và Imz > 0 2. C z I dz z = ∫Ñ trong đó C là biên của đường 1< z <2 và Imz > 2 3. C dz I 1 z 2 = − ∫Ñ trong đó C là biên của đường 11 =−z 4. 2 C zdz I z 9 = + ∫Ñ trong đó C là đường 21 =− z ; z = 4 5. I = dz z zz C ∫ − ++ 2 3 )1( 12 trong đó C là đường z = 2 6. 3 2 C cosz I dz (z 1) (z 5) = − − ∫Ñ trong đó C là đường 24 =− z 7. 2 C (z 1) I dz z 2z 3 2i 3 − = − + − ∫ Ñ trong đó C là biên của đường 24 =+ z 8. 2 3 C dz I (z 1) = − ∫ Ñ với C trong các trường hợp sau: 1. Rz =−1 ,R<2 2. Rz =+1 , R<2 3. Rz = , R< 1 2.2 Tìm các không điểm và xác định cấp của chúng 1. ( ) ( ) 3 2 f z z +1 tanz= 2. ( ) 2 f z z sinz= 3. ( ) ( ) 8 z f z z sinz = − 4. 3 z z f (z) 1 z e = + − 5. sin z tan z f (z) e e= − III, Chuỗi Laurent 3.1.Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Laurent trong các miền đã chỉ ra: 1. 2 z 2 W z 5z 6 − = + + trong miền 1 z 1 2< − < 3 2. 1 W (z 2)(z 3) = − − trong miền 2 z 3 < < 3. 2z 1 W (z 1)(z 2) + = − + trong miền z 1< ; 1 z 3< < ; 2 z< < ∞ < ∞ 4. 2 2 z 2z 5 W (z 5)(z 2) − + = + − trong lân cận của z = 2 ; 1 z 2 < < 3.2.Tìm phần chính trong khai triển Laurent tại điểm z 0 của các hàm số sau: 1. 2 z 1 W sin z − = với z 0 = 0 2. z z e 1 W e 1 + = − với z 0 = 0 ; i π 2± IV, Thặng dư và ứng dụng Tìm và phân loại các điểm bất thường,qua đó tìm thặng dư tại đó của các hàm: 1. = 3 6 sin z W z 2. + = − + 2z 1 W (z 1)(z 2) 3. − + = + − 2 2 z 2z 5 W (z 5)(z 2) 4. − = + + 2 z 2 W z 5z 6 5. = − − 1 W (z 2)(z 3) 6. = 2 1 W sin 2z 4.2. Dùng thặng dư tính các tích phân sau: 1. = = ∫Ñ 2 z C 2 I e dz trong®ã C lµ® êng z 1 z 2. − = = ∫Ñ 6 C z sin z I dz trong®ã C lµ ® êng z 1 z 4 3. + = − + + = ∫Ñ 2 3 z 1 C I (z z 1)e dz trong®ã C lµ ® êng z 1 1 4. + = + = ∫Ñ 2 2 z 1 C I (z 2)e dz trong®ã C lµ ® êng z 2 5. = = ∫Ñ 2 Z C I ze dz trong®ã C lµ ® êng z 1 6. +∞ −∞ = − + ∫ 2 xcosxdx I x 2x 10 7. +∞ −∞ = − + ∫ 2 xsinxdx I x 2x 10 8. +∞ −∞ = + + ∫ 2 xsin xdx I x 4x 20 9. +∞ −∞ = − − ∫ 2 sin xdx I (x 4)(x 1) v, phép biến đổi z 5.1 Tìm các biến đổi z của các dãy sau 1. − + ≥ ÷ ÷ = < n n 1 n 1 1 víi n 0 x 4 4 0 víi n 0 2. ≥− ÷ = <− n n 3 víi n 2 x 4 0 víi n 2 3. ≥− ÷ = <− n n 3 n víi n 2 x 4 0 víi n 2 5 4. + ≥ ÷ = < n n 3 n n víi n 0 x 4 0 víi n 0 5. + ≥ = < 2 n n n 3 n víi n 0 x 0 víi n 0 6. + ≥ = < 2 n n n 1 víi n 0 x 3 0 víi n 0 7. + ≥ = < n n n4 n víi n 0 x 0 víi n 0 8. + ≥ ÷ = < n n 3 n víi n 0 x 4 0 víi n 0 5.2.Tìm biến đổi z ngược của các hàm số sau: 1. = > − + 2 z f(z) víi z 4 z 6z 8 2. = > − + 2 z f(z) víi z 4 z 5z 4 3. = > − + 2 z f(z) víi z 4 (z 1) (z 3) 4. = > + + 2 z f(z) víi z 4 (z 1) (z 3) 5. = > − + 2 z f(z) víi z 2 4z 2 3z 1 6. = > − 2 z f(z) víi z 2 (4z 3) 7. + = > + + 2 2 z 1 f(z) víi z 3 (z 1) (z 2) 8. + = > + − 2 z 1 f(z) víi z 3 (z 2) (z 1) 6 VI, phép biến đổi Laplace 6.1.Tìm ảnh của các hàm gốc sau 1. ( ) ( ) 2t f t t 1 e= + 2. f (t) sin t= 3. ( ) 2t f t te cos2t − = 4. ( ) ( ) f t 2t 1 cos2t.sint = + 5. ( ) ( ) 2t f t 2t 1 e cos2t = + 6. < < = − < < > t khi 0 t 1 f(t) 2 t khi 1 t 2 0 khi t 2 7. + < < = > 2 t 1 khi 1 t 2 f(t) 0 khi t 2 8. λ −α = − α η − α (t ) f(t) e sin(t ) (t ) 9. ≤ < = − ≤ < ≥ 2 t khi 0 t 1 f(t) 2t 1 khi 1 t 3 5 khi t 3 10. ≤ < = − ≤ < ≥ 2 3t khi 0 t 4 f(t) 2t 3 khi 4 t 6 4 khi t 6 11. − = − + ∫ t 2 u 0 x(t) (u u e )du 12. = − ∫ t 2u 0 x(t) cos(t u)e du 6.2. Tìm các hàm gốc của các hàm ảnh sau: 1. + = + + 3 2 2p 3 F(p) p 4p 5p 7 2. = − + 2 1 F(p) (p 1) (p 2) 3. = − 3 3 1 F(p) p (p 1) 4. − − = + − 2 2 5p 15p 11 F(p) (p 1)(p 2) 5. − = + p 3 2 e F(p) p(p 1) 6. − = + p 2 2 e F(p) p 9 7. + = + + 2 4p 12 F(p) p 8p 16 8. + = + + 2 3p 19 F(p) 2p 8p 19 9. − = − + + 2 p 1 F(p) (p 3)(p 2p 2) 10. − = 3p 2 2 e F(p) p 11. + = + − 4 2 p 1 F(p) p 2p 2 12. = + + 2 2 1 F(p) (p p 1) 6.3.ứng dung phép biến đổi Laplace,tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân sau: 1. − ′′ ′ + + = + t 2t x 3x 2x e e với ′ = = −x(0) 2;x (0) 3 2. ′′ ′ − + = t 2 4x 4x x e với ′ = =x(0) 1;x (0) 0 3. ′′ ′ + + =x 2x 3x t cost với ′ = − =x(0) 1 / 4;x (0) 0 4. − ′′ ′ − + = − 2t x 4x 4x (t 1)e với ′ = =x(0) 2;x (0) 0 8 5. ′′ ′ + = 2 x 2x 6t với ′ = = −x(0) 0;x (0) 3 / 2 6. ′′ ′ − = − +x 7x (14t 15) với ′ = =x(0) 1;x (0) 2 7. ′′ ′ + + = + + 2 x 2x 3x 3 7t 3t với ′ = − =x(0) 1 x (0) 8. ′′ ′ + + = + 2 x 3x 2x 2t 1 với ′ = = −x(0) 4;x (0) 3 6.4 Ứng dụng phép biến đổi Laplace,tính 1. +∞ − = ∫ 2 t 0 I t e sin2tdt 2. +∞ − = ∫ t 0 e sin3t I dt t 3. +∞ − = ∫ 0 cos6t cos4t I dt t 4. +∞ − − − = ∫ 3t 6t 0 e e I dt t VII,Phép biến đổi Fourier: 7.1.Tìm biến đổi Fourier của các dãy số và hàm số sau: 1. − + ≥ ÷ ÷ = < n n 1 n 1 1 khi n 0 x 4 4 0 khi n 0 2. ≥− ÷ = <− n n 3 khi n 2 x 4 0 khi n 2 3. ≥− ÷ = <− n n 3 n khi n 2 x 4 0 khi n 2 4. + ≥ ÷ = < n n n 3 n khi n 0 x 4 2 0 khi n 0 9 5. − − + ≥ = < 2 n n n n 3 2 khi n 0 x 0 khi n 0 6. + ≥ = < 2 n n n 1 khi n 0 x 3 0 khi n 0 7. ≥ ÷ = < n n 1 n khi n 0 x 4 0 khi n 0 8. + ≥ ÷ = < n n n 1 3 khi n 0 x 4 3 0 khi n 0 9. − − ≤ ≤ = ∉ 1 2t 1 khi 0 t 1 f(t) 0 khi t (0,1) 10. − − ≤ ≤ = ∉ 1 t 1 khi 0 t 2 f(t) 0 khi t (0,2) 11. ( ) − ≤ < − < ≤ = − − − ≤ < − > t khi 1 t 1 2 t khi 1 t 2 x t t 2 khi 2 t 1 0 khi t 2 12. ( ) + − ≤ < − < = − + ≤ < > t 1 khi 1 t 0,5 1 khi t 0,5 x t t 1 khi 0,5 t 1 0 khi t 1 13. Tìm hàm f(t) chẵn thỏa mãn +∞ − α ≤ α < α = α > ∫ 0 1 víi 0 1 f(u)cos udu 0 víi 1 qua đó tính +∞ ∫ 2 2 0 sin u du u 14. Chứng minh +∞ − π = + ∫ x 2 0 cosax da e 2 a 1 10