Ba Huy 1        I. Tóm tắt lí thuyết Cho hai đồ thị (C): y = f(x) và (C’): y = g(x). Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*). Khi đó, ta có kết luận quan trọng sau đây: Số nghiệm của phương trình (*) (lĩnh vực giải tích) đúng bằng số điểm chung giữa (C) và (C’) (lĩnh vực hình học). Trong thực hành giải toán, hai lĩnh vực này thường bổ sung cho nhau. Cụ thể: để giải quyết lĩnh vực giải tích, ta sử dụng công cụ hình học; còn để giải quyết lĩnh vực hình học, ta sử dụng công cụ giải tích. II. Bài tập Phần I. Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị Phương pháp giải - B1. Viết phương trình hoành độ giao điểm. - B2. Dựa vào giả thiết để đặt điều kiện cho pt hđgđ. - B3. Giải điều kiện ở B2. Bài 1. Cho (C): y = x 3 – 3x + 2. Gọi d là đường thẳng qua A(3;20) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Bài 2. Cho (C): y = x 3 – 3x 2 + 4. Cmr mọi đường thẳng qua I(1;2) có hệ số góc k (k > -3) đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB. Bài 3. Cho (C m ): y = x 4 – (3m + 2)x 2 + 3m. Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng d: y = -1 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2. Ba Huy 2 Bài 4. Cho 1 ( ): 21 x Cy x    . Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2m – 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh của (C). Bài 5. Cho 2x+1 ( ): 1 Cy x   . Tìm m để đường thẳng d: y = -2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho S3 OAB  . Bài 6. Cho hàm số (C): 32 3y x mx mx   và đường thẳng d: y = x + 2. Tìm m để (C) cắt đường thẳng d: a. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. b. Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 – 3mx 2 + 2x – 12 cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau. Bài 8. Cho (C m ): y = x 4 + 2mx 2 – 2m – 1 . Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng. Bài 9. Cho (C m ):   42 2 1 2 1y x m x m     a. Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. b. Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3. Bài 10. Cho (C m ): y = x 3 – 2x 2 + (1 – m)x + m. Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 thỏa x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 < 4. Ba Huy 3 Phần II. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Bài 11. Cho (C): y = x 3 – 6x 2 + 9x. Biện luận số nghiệm của pt: x 3 – 6x 2 + 9x + m = 0. Bài 12. Cho (C): 32 13 5 42 y x x   . Tìm m để phương trình x 3 – 6x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt Bài 13. Cho hàm số y = – x 3 +3x 2 . Tìm m để phường trình – x 3 +3x 2 + m 3 –3m 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. III. Bài giải Phần I. Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị Bài 1. Cho (C): y = x 3 – 3x + 2. Gọi d là đường thẳng qua A(3;20) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Bài giải  d có dạng: y = m(x – 3) + 20  y = mx – 3m + 20  Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và d: x 3 – 3x + 2 = mx – 3m + 20  x 3 – (3 + m)x + 3m – 18 = 0  (x – 3)(x 2 + 3x – m + 6) = 0  2 3 ( ) 3x 6 0 (*) x f x x m           d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt  pt(*) có 2 nghiệm phân biệt khác 3 15 9 4( 6) 0 4 (3) 9 9 6 0 25 m m fm m                      Kết luận: 15 25 4 m Bài 2. Cho (C): y = x 3 – 3x 2 + 4. Cmr mọi đường thẳng qua I(1;2) có Ba Huy 4 hệ số góc k (k > -3) đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB. Bài giải  Gọi d là đường thẳng qua I và có hệ số góc k  d: y = k(x – 1) + 2  y = kx – k + 2.  Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C) x 3 – 3x 2 + 4 = kx – k + 2 (1)  x 3 – 3x 2 – kx + k + 2 = 0  (x – 1)(x 2 – 2x – 2 – k) = 0 2 1 2x 2 0 (2) x xk           Xét f(x) = x 2 – 2x – 2 – k với k > -3, có: f(1) = - 3 – k  0 ’ = 1 + 2 + k = 3 + k > 0 Suy ra pt(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1  (1) có 3 nghiệm phân biệt. Do đó d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.  Ta có A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ) với x 1 , x 2 là các nghiệm của (2). y 1 = kx 1 – k + 2 y 2 = kx 2 – k + 2 12 12 1 22 ( ) 2 4 .2 2 4 2 2 2 2 AB I AB I x x x x x y y k x x k k k y               Vậy I là trung điểm AB. Bài 3. Cho (C m ): y = x 4 – (3m + 2)x 2 + 3m. Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng d: y = -1 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2. Bài giải  Phương trình hoành độ giao điểm: x 4 – (3m + 2)x 2 + 3m = -1 (1) Đặt t = m 2 , (1) trở thành: Ba Huy 5 t 2 – (3m + 2)t + 3m + 1 = 0 (2) 1 31 t tm        (C m ) cắt d tại 4 điểm có hoành độ < 2  (1) có 4 nghiệm < 2  (2) có 2 nghiệm phân biệt dương, và < 4. 1 3 1 0 1 3 1 3 1 1 0 3 0 3 1 4 1 m m m mm m mm                                Kết luận: Giá trị m cần tìm: 1 1 3 0 m m          Bài 4. Cho 1 ( ): 21 x Cy x    . Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2m – 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh của (C). Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 2 2(2 1) x 2 1 1 x 2 1 1 2x 1 2 x mx m x m m x mm x                     2 ( ) 2 (5 1) 2 2 0 (*) 1 2 f x mx m x m x              Yêu cầu bài toán tương đương pt(*) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn 1 2 1 2 1 1 1 0 2 2 2 x x x x                 Ba Huy 6 1 2 1 2 11 ( ) 0 24 x x x x     22 00 (5 1) 8 (2 2) 0 9 6 1 0 2 2 1 1 5 1 4 4 1 5 . 0 0 2 2 2 4 4 mm m m m m m m m m m m m m m                              0 1 0 3 0 m mm m               Bài 5. Cho 2x+1 ( ): 1 Cy x   . Tìm m để đường thẳng d: y = -2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho S3 OAB  . Bài giải Phương trình đường thẳng d được viết lại: 2x + y – m = 0. || ( , ) 5 m d O d Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C): 2 ( ) 2 (4 ) 1 0 2x 1 2x 1 1 f x x m x m m x x                 Điều kiện để A, B tồn tại là tam thức f(x) có 2 nghiệm phân biệt khác -1 Ba Huy 7 22 (4 ) 8(1 ) 0 18 0 ( 1) 2 4 1 0 1 0 m m m mR f m m                          Khi đó A(x 1 ;-2x 1 + m), B(x 2 ;-2x 2 + m) (x 1 , x 2 là các nghiệm của f(x)). AB 2 = (x 2 – x 1 ) 2 + 4(x 2 – x 1 ) 2 = 5[(x 1 + x 2 ) 2 – 4x 1 x 2 ] 2 2 4 1 5 5 4 ( 8) 2 2 4 mm m             Theo giả thiết 1 2 2 2 3 3 ( , ). 3 4 S S d O d AB OAB OAB      2 2 4 2 2 15 ( 8) 3 8 48 0 4 2 4 5 4 m m m m m m            Bài 6. Cho hàm số (C): 32 3y x mx mx   và đường thẳng d: y = x + 2. Tìm m để (C) cắt đường thẳng d: a. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. b. Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C): x 3 – 3mx 2 – mx = x + 2  f(x) = x 3 – 3mx 2 – (m + 1)x – 2 = 0 (1) a. Theo giả thiết suy ra B là trung điểm của AC. Gọi x B = x 0 thì x A = x 0 – a, x C = x 0 + a (a  0) (Chú ý: x A , x B , x C lập thành cấp số cộng). Do x A , x B , x C là các nghiệm của (1) nên: Ba Huy 8 32 0 0 0 32 0 0 0 32 0 0 0 ( ) 3 ( ) ( 1)( ) 2 0 (1) 3 ( 1) 2 0 (2) ( ) 3 ( ) ( 1)( ) 2 0 (3) x a m x a m x a x mx m x x a m x a m x a                           Lấy (1) + (3) và chú ý (2), ta được 3 2 2 2 0 0 0 0 22 00 2 6a 6 6 2( 1) 4 0 6a 6 0 ( 0) x x mx ma m x x ma x m do a              Thay vào (2) ta được 3 2 2 2 2 0 ( 1)(2 2) 0 1m m m m m m m            Thử lại với m = -1, pt(1) trở thành x 3 + 3x 2 – 2 = 0  (x + 1)(x 2 + 2x – 2) = 0 1 1 3 1 3, 1, 1 3 13 A B C x x x x x x                       thỏa mãn. Kết luận: m = -1 Cách 2. Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C): x 3 – 3mx 2 – mx = x + 2  f(x) = x 3 – 3mx 2 – (m + 1)x – 2 = 0 (1) Theo giả thiết suy ra B là trung điểm của AC. Gọi x A = x 1 , x B = x 2 , x C = x 3 thì 2x 2 = x 1 + x 3 . Do x A , x B , x C là các nghiệm của (1) nên: f(x) = (x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ) = x 3 – (x 1 + x 2 + x 3 )x 2 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 )x – x 1 x 2 x 3 . (2) Ba Huy 9 Đồng nhất thức (1) và (2) ta được 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 (*) 1 (**) 2 (***) x x x m x x x x x x m x x x               (*)  3x 2 = 3m  x 2 = m. Thay vào (1), giải tìm được m = -1. b. Gọi 3 hoành độ lập thành CSN theo thứ tự là x 1 , x 2 , x 3 thì x 2 2 = x 1 x 3 . Do x 1 , x 2 , x 3 là các nghiệm của (1) nên: f(x) = (x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ) = x 3 – (x 1 + x 2 + x 3 )x 2 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 )x – x 1 x 2 x 3 . (2) Đồng nhất thức (1) và (2) ta được 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 (*) 1 (**) 2 (***) x x x m x x x x x x m x x x               (***)  x 2 3 = 2  3 2 2x  (**)  x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 2 2 = - m – 1  x 2 (x 1 + x 2 + x 3 ) = - m – 1 3 3 1 3 2 1 3 2 1 m m m        Thử lại, thay giá trị m vào (1) tính nghiệm thấy thỏa mãn. Vậy 3 1 3 2 1 m   Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 – 3mx 2 + 2x – 12 cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau. Ba Huy 10 Bài giải Giải tương tự câu a) bài 6. Bài 8. Cho (C m ): y = x 4 + 2mx 2 – 2m – 1 . Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng. Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm x 4 + 2mx 2 – 2m – 1 = 0 (1) Đặt t = x 2 , (1) trở thành: t 2 + 2mt – 2m – 1 = 0 (2) (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm pb  pt (1) có 4 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm thỏa mãn 0 < t 1 < t 2 2 ' 2 1 0 1 1 2 0 0 1 2 2 1 0 1 2 m m m m m m m m                                (*) Khi đó, (1) có 4 nghiệm là 12 ,tt . 4 nghiệm này lập thành CSC  1 1 2 1 1 2 2 1 39t t t t t t t t       Ta có 1 12 2 11 2 12 1 10 2 2 9 10 1 21 9 2 1 tm t t m tt t t m tm                    1 2 11 2 15 9 10 1 0 15 99 tm tt tm                  [...]... hoành độ giao điểm giữa (Cm) và Ox: x3 – 2x2 + (1 – m)x + m = 0 (1) (x – 1)(x2 – x – m) = 0 x 1  2  f ( x)  x  x  m  0 (2) Điều kiện x1, x2, x3 tồn tại là (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 1     1  4m  0  m   1   4    m  0 (*) 4  f (1)  m  0 m  0  Kí hiệu x1 = 1 thì x2, x3 là các nghiệm của (2) Suy ra x 12 + x 22 + x 32 < 4 x 22 + x 32 < 3 (x2 + x3 )2 – 2x2x3 < 3 1 + 2m . biệt.  Ta có A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ) với x 1 , x 2 là các nghiệm của (2) . y 1 = kx 1 – k + 2 y 2 = kx 2 – k + 2 12 12 1 22 ( ) 2 4 .2 2 4 2 2 2 2 AB I AB I x x x x x y y k x x k. x 2 thỏa mãn 1 2 1 2 1 1 1 0 2 2 2 x x x x                 Ba Huy 6 1 2 1 2 11 ( ) 0 24 x x x x     22 00 (5 1) 8 (2 2) 0 9 6 1 0 2 2 1 1 5 1 4 4 1 5 . 0 0 2 2. độ giao điểm giữa d và (C) x 3 – 3x 2 + 4 = kx – k + 2 (1)  x 3 – 3x 2 – kx + k + 2 = 0  (x – 1)(x 2 – 2x – 2 – k) = 0 2 1 2x 2 0 (2) x xk           Xét f(x) = x 2 – 2x