BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN ðỀ CHÍNH THỨC ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2010 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề. HUỲNH ĐỨC KHÁNH - CAO HỌC TOÁN QUY NHƠN KHÓA 14 – 0975.120.189 Câu 1. Cho hàm hai biến số 2 : f → ℝ ℝ xác ñịnh bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 sin khi , 0,0 , 0 khi , 0,0 . x y x y f x y x y x y  +  ≠ = +   =  a) Xét tính liên tục của f , sự tồn tại và tính liên tục của các ñạo hàm riêng cấp một của f . b) Xét tính khả vi của f . Câu 2. a) Cho hàm ño ñược không âm ( ) f x trên tập hợp A có ñộ ño hữu hạn. Với mỗi 0 n ≥ ta ký hi ệ u ( ) { } : 1 n A x A n f x n = ∈ ≤ < + . Ch ứ ng minh r ằ ng ñ i ề u ki ệ n c ầ n và ñủ ñể ( ) f x kh ả tích Lebesgue là chu ỗ i 0 n n n A µ ≥ ∑ h ộ i t ụ . b) Xét tính kh ả tích và tính tích phân Lebesgue (n ế u có) c ủ a ( ) 3 1 1 f x x = − trên [ ] 1,2 . Câu 3. a) Cho hàm s ố ) ) : 0, 0,f +∞ → +∞     ñơ n ñ i ệ u t ă ng th ỏ a mãn ( ) ( ) 0 0, 0 f f t = > khi 0 t > và ( ) ( ) ( ) f u v f u f v + ≤ + v ớ i m ọ i ) , 0,u v ∈ +∞   . Xét không gian mêtric ( ) , X d và v ớ i m ỗ i , x y X ∈ ta ñặt ( ) ( ) ( ) , , . x y f d x y δ = i) Chứng tỏ rằng δ là một không gian mêtric trên X . ii) Chứng tỏ rằng nếu f là một hàm liên tục tại 0 thì ánh xạ ( ) ( ) : , , id X d X δ → và cả ánh xạ ngược của nó cũng liên tục ñều. Từ ñó suy ra các dãy Cauchy trong ( ) , X d và ( ) , X δ trùng nhau. b) Trong không gian mêtric [ ] , C a b các hàm số liên tục trên [ ] , a b với mêtric ''max'' xét tập con M thỏa mãn: [ ] 0 , 0, , m L x a b ∃ > ∃ ∈ sao cho ( ) 0 , ; f x m f M ≤ ∀ ∈ và ( ) ( ) [ ] , , , , . f x f y L x y f M x y a b − ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈ Chứng minh rằng M là compact tương ñối trong [ ] , C a b . Câu 4. Cho không gian vec–tơ { } { } { } 1 1 1 : day hôi tu n c n k n k n S x x x ∞ ∞ = = = = = ⊂ ∑ ℝ . Xét ánh x ạ . : c S → ℝ cho b ở i { } 1 :sup , n k n c n k x x x x S = = ∀ = ∈ ∑ . a) Ch ứ ng minh r ằ ng . là m ộ t chu ẩ n trên c S và ( ) , . c S là m ộ t không gian Banach. b) Ch ứ ng minh r ằ ng không gian ñị nh chu ẩ n 1 l trù m ậ t trong c S . c) Xét t ươ ng ứ ng 0 : c A S c → cho b ở i ( ) { } 1 k k n n A x x ∞ ∞ = = = ∑ v ớ i m ọ i { } n c x x S = ∈ . Ch ứ ng minh r ằ ng A là m ộ t ñồ ng phôi tuy ế n tính. Tính A và 1 A − . HẾT Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. . HỌC QUY NHƠN ðỀ CHÍNH THỨC ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2010 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề. HUỲNH ĐỨC KHÁNH - CAO HỌC TOÁN. TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề. HUỲNH ĐỨC KHÁNH - CAO HỌC TOÁN QUY NHƠN KHÓA 14 – 0975.120.189 Câu 1. Cho hàm hai biến số 2 : f → ℝ ℝ xác ñịnh bởi ( ) ( ) (. phôi tuy ế n tính. Tính A và 1 A − . HẾT Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.