ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2 Môn: ðại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (3,0 ñiểm) Cho V là một không gian vecto n – chiều trên trường K và f : V V→ là một tự ñồng cấu có tính chất 2 f f.= Chứng minh rằng: 1) 2 V V (Id f) (Id f),− = − trong ñó V Id là tự ñồng cấu ñồng nhất của V. 2) V Imf Kerf.= ⊕ 3) f là một tự ñồng cấu chéo hoá ñược. Câu II (2,0 ñiểm) Cho f : R 3 → R 3 là một tự ñồng cấu có ma trận ñối với cơ sở chính tắc là 3 2 0 A 2 3 0 . 0 0 5 −     = −       1) Hãy xác ñịnh các giá trị riêng, các không gian con riêng của f. 2) Tự ñồng cấu f có phải là tự ñẳng cấu không? Vì sao? Câu III (3,0 ñiểm) 1) Cho G là một nhóm, A là nhóm con của G, B là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh rằng AB = BA, AB là nhóm con của G và nếu A là nhóm con chuẩn tắc của G thì AB là nhóm con chuẩn tắc của G. 2) Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G, G = AB và { } A B e .∩ = Chứng minh rằng ab = ba với mọi a A,b B∈ ∈ và mọi phần tử g G∈ ñều biểu diễn ñược duy nhất dưới dạng g = ab, với a A,b B∈ ∈ . 3) Nhóm cộng các số nguyên có biểu diễn ñược dưới dạng { } A B, A B 0 ,= + ∩ = với A, B là các nhóm con chuẩn tắc khác { } 0 của không? Câu IV (2,0 ñiểm) Cho I là iñêan của vành các số nguyên { } , I 0 ,≠ chứng minh rằng: 1) I là iñêan nguyên tố khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố. 2) Vành thương I là một trường khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố. Z Z Z Z Z . ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2 Môn: ðại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (3,0 ñiểm) Cho V là một không. các số nguyên có biểu diễn ñược dưới dạng { } A B, A B 0 ,= + ∩ = với A, B là các nhóm con chuẩn tắc khác { } 0 của không? Câu IV (2,0 ñiểm) Cho I là iñêan của vành các số nguyên. là iñêan nguyên tố khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố. 2) Vành thương I là một trường khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố. Z Z Z Z Z