BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN ðỀ CHÍNH THỨC ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2009 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề. Câu 1. a) Tính giới hạn ( ) 2 2 2 2 0 0 lim x y x y x y → → + . b) Chứng minh rằng hàm số f xác ñịnh trên 2 ℝ cho dưới ñây liên tục nhưng không khả vi tại ( ) 0,0 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 khi , 0,0 , 0 khi , 0,0 xy x y x y f x y x y  ≠  + =   ≠  Câu 2. a) Cho dãy số { } n a và hàm số [ ] : 0,1f → ℝ xác ñịnh bởi 1 1 1 khi ( ) 0 khi 0 n n n a x f x x + < ≤   =   =  Chứng minh rằng nếu tồn tại ( ) 0,1 α ∈ sao cho n a n α       hội tụ thì f khả tích Lebesgue trên [ ] 0,1 . Từ ñó xét tính khả tích Lebesgue của f trên [ ] 0,1 trong trường hợp n a n = . b) Xét tính khả tích và tính tích phân Lebesgue (nếu có) của 1 ( ) 1 f x x = − trên [ ) 0,1 . Câu 3. a) Giả sử { } n f là một dãy các ánh xạ co từ không gian mê-tric ñầy ñủ X vào chính nó hội tụ ñều về ánh xạ f trên X , và các hệ số co n α của n f thỏa mãn sup 1 n n α < . Chứng minh rằng f cũng là ánh xạ co. b) Cho : f X X → là một ánh xạ liên tục từ không gian mê-tric compact ( ) , X d vào chính nó thỏa mãn ñiều kiện ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ), ( ) max , , , ( ) , , ( ) , , , . d f x f y d x y d x f x d y f y x y X x y < ∀ ∈ ≠ Chứng minh rằng f có duy nhất ñiểm bất ñộng. Câu 4. Cho không gian vec-tơ [ ] 1 1,1 C − các hàm số có ñạo hàm liên tục trên [ ] 1,1 − . Xét ánh xạ [ ] 1 . : 1,1C − → ℝ cho bởi ( ) [ ] ( ) [ ] 1 1,1 : 0 max ' , 1,1 . t x x x t x C ∈ − = + ∀ ∈ − a) Chứng minh rằng [ ] ( ) 1 1,1 , . C − là m ộ t không gian Banach. b) Xét các ánh x ạ [ ] 1 0 , : 1,1f f C ε − → ℝ , v ớ i 0 1 ε < < , cho b ở i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 ; ' 0 . 2 f x x x f x x ε ε ε ε = − − =    i) Ch ứ ng minh r ằ ng 0 , f f ε là các phi ế m hàm tuy ế n tính liên t ụ c trên [ ] 1 1,1 C − và tính 0 , . f f ε ii) Ch ứ ng minh f ε h ộ i t ụ ñơ n gi ả n nh ư ng không h ộ i t ụ theo chu ẩ n v ề 0 f khi 0. ε → HẾT Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. . BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN ðỀ CHÍNH THỨC ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2009 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể. t ụ theo chu ẩ n v ề 0 f khi 0. ε → HẾT Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.