BÀI TẬP HÌNH HỌC SƠ CẤP sưu tầm: Huỳnh Văn Thơ Phần I GÓC ĐỊNH HƯỚNG Cho D, E, F nằm cạnh BC, CA, AB ABC (a) CMR: ba đường tròn (AEF ), (BF D), (CDE) có điểm chung gọi M (b) Tìm quỹ tích M D, E, F thẳng hàng Cho tứ giác ABCD nội tiếp Lấy điểm A , B , C , D cho tứ giác AA BB , BB CC , DD AA nội tiếp CMR: tứ giác A B C D nội tiếp Cho ABC điểm P CMR ba đường tròn đối xứng đường tròn (P CB), (P CA), (P AB) theo thứ tự qua BC, CA, AB có điểm chung Đường trịn Euler tam giác đường tròn qua trung điểm cạnh tam giác CMR tứ giác ABCD , đường tròn Euler tam giác ABC, BCD, CDA, DAB có điểm chung Cho tứ giác ABCD điểm M lưu động đường thẳng BC Các đường tròn (ABM ), (CDM ) cắt điểm thứ hai P Tìm quỹ tích điểm P Cho ba đường tròn cố định (DAB), (DAC), (DBC) điểm M thay đổi đường tròn (DBC) M B cắt (DAB) N M C cắt (DAC) P CMR: N P qua điểm cố định Cho M1 , M2 hai điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp hai đường thẳng Simson ứng với M1 , M2 (a) Tính góc 1, theo (b) Suy vị trí M1 , M2 để ABC 1, AM1 , AM2 vng góc với Cho điểm M nằm đường tròn ngoại tiếp ABC A , B , C điểm đối xứng M qua cạnh BC, CA, AB CMR: A , B , C nằm đường thẳng qua trực tâm ABC Phần II CÁT TUYẾN CMR chân ba đường phân giác tam giác thẳng hàng Cho ba điểm M, N, P cạnh BC, CA, AB ABC cho AM, BN, CP đồng quy Gọi M , N , P giao điểm thứ hai đường tròn (M N P ) với cạnh BC, CA, AB ABC CMR AM , BN , CP đồng quy Cho ABC hai cát tuyến M N P M N P cho M N //AB, M P//AC (M, M ∈ BC; N, N ∈ CA ; P, P ∈ AB) CMR: N P //BC Cho hình bình hành ABCD điểm M AC Gọi E điểm đối xứng B qua M Trên DC AD lấy P Q cho EP//AD, EQ//CD CMR: P, Q, M thẳng hàng Trên cạnh ABC vng A dựng hình vng ABDE ACF G phía ngồi CMR: CD BF cắt đường cao hạ từ A ABC Cho ABC ba điểm P, Q, R ba cạnh BC, CA, AB P O QO RO + + =1 cho AP, BQ, CR đồng quy O CMR: P A QB RC Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành Mặt phẳng α cắt SA, SB, NB QD MA PC + = + SC, SD M, N, P, Q CMR: MS PS NS QS Phần III HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA Cho A, B, C, D thẳng hàng M, N trung điểm AB, CD CMR (ABCD) = −1 ⇔ M N = M A2 + N C 2 Cho hình vng đường trịn nội tiếp hình vng Một tiếp tuyến đường tròn cắt cặp cạnh đối hình vng A, B C, D CMR: (ABCD) = −1 Cho đường trịn đường kính CD tâm O Trên CD lấy A1 , A2 cho (A1 A2 CD) = −1 Qua A1 , A2 kẻ đường thẳng d1 , d2 vuông góc với CD Một tiếp tuyến thay đổi đường tròn cắt d1 , d2 OM1 M1 , M2 CMR: = const OM2 Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố định A thay đổi EF đường kính vng góc BC AB, AC cắt EF G, H CMR: OH.OG = const Cho ABC cân A, d đường thẳng song song với BC cắt tam giác M điểm thay đổi d tam giác BM cắt AC 1 E, CM cắt AB F CMR: + = const BF CE Cho ABC Qua điểm M BC cho M B = kM C người ta kẻ đường thẳng song song với AC AB cắt AB P AC Q BC cắt P Q R đường thẳng Ax song song P Q N (a) CMR: RM = RB.RC (b) Tính RB theo k RC Cho hai đường thẳng cố định đồng quy Ox, Oy điểm A không nằm Ox, Oy phân giác góc xOy Hai đường thẳng di động qua A, đối xứng qua OA đường cắt Ox M đường cắt Oy N CMR: M N qua điểm cố định Cho ABC có trọng tâm G Một đường thẳng d thay đổi qua G cắt 1 BC, CA, AB theo thứ tự M, N, P CMR: + + =0 GM GN GP Phần IV PHƯƠNG TÍCH Cho đường trịn (O) điểm A cố định (K) đường tròn thay đổi qua A có tâm nằm đường tròn (C) đồng tâm với (O) CMR: trục đẳng phương (O) (K) tiếp xúc với đường tròn cố định Gọi R, r; O, I bán kính tâm đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác CMR: OI = R2 − 2Rr Cho ABC có trực tâm H CMR: đường trịn đướng kính AH BC trực giao Một cát tuyến thay đổi song song với BC ABC cắt AB AC D E Tìm trục đẳng phương đường trịn đường kính BE CD Qua điểm P cố định vẽ ba đường trịn đơi cắt A, B, C Đường tròn thứ tư qua P cắt (P AB), (P BC), (P CA) C , A , B Gọi E giao điểm AB P C’, F giao điểm BC P A , G giao điểm CA P B CMR: E, F, G thẳng hàng Cho tứ giác ABCD, AC cắt BD O Gọi I, J trung điểm AB, CD Gọi H, K trực tâm OAD OBC CMR: IJ⊥ HK Cho ba đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) thuộc chùm O2 trung điểm O1 O3 CMR: PM/(O2 ) = PM/(O1 ) + PM/(O3 ) Phần V CỰC VÀ ĐỐI CỰC CMR: điều kiện đủ để hai điểm M N liên hiệp với đường tròn (O) PM/(O) + PM/(O) = M N Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D D chân đường phân giác góc A, P giao điểm hai tiếp tuyến (O) B C CMR: cực AP (O) trung điểm DD Cho đường tròn (O) đường kính AB đường thẳng d vng góc với AB I Điểm M thay đổi (O), M A, M B cắt d P, Q.QA cắt (O) N CMR: M N qua điểm cố định Từ trung điểm I dây cung AB đường tròn (O) kẻ hai dây cung M N P Q.M P N Q cắt AB J K CMR: I trung điểm JK Ba cạnh BC, CA, AB ABC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp M, N, P Đường kính qua M cắt N P Q CMR: AQ qua trung điểm BC Hai cát tuyến thay đổi qua điểm M cố định cắt đường tròn cố định (O) A, A vB, B CMR: AB qua điểm cố định A B qua điểm cố định Từ điểm P nằm ngồi đường trịn ta vẽ cát tuyến P A P B với đường tròn Từ B hạ đường vng góc BD với đường kính AC CMR: P C qua trung điểm BD Cho ABC điểm O Các đường thẳng qua O vng góc với OA OB, OC theo thứ tự cắt BC, CA, AB M, N, P CMR: M, N, P thẳng hàng Phần VI TỊNH TIẾN VÀ ĐỐI XỨNG Dựng đường thẳng có phương cho trước bị hai đường tròn cho trước chắn thành hai dây cung Trên hai đường tròn (O) (O ) lấy hai cung AM A M khác hướng A, A cố định M, M thay đổi Tìm quỹ tích trung đoạn M M Hình vng ABCD, E điểm hình vng cho E góc đáy 150 Chứng mimh ABE CDE cân Cho tam giác ABC Gọi Bx, Cy tia đối tia BA, CA.D E điểm chuyển động hai tia Bx, Cy cho BD = CE Tìm quỹ tích trung điểm M DE Cho ABC cố định có trực tâm H Dựng hình thoi BCDE thay đổi Từ D E kẻ đường thẳng vng góc với AB, AC chúng cắt M Tìm quỹ tích M Dựng đường gấp khúc gồm năm đoạn khép kín Biết trung điểm năm đoạn Cho A, B phía đường thẳng xy Tìm M xy thỏa AM x = 2BM y Dựng hình vng ABCD biết A, C thuộc đường thẳng d1 cho trước B, C thuộc hai đường thẳng d2 d3 cho trước Cho ABC có góc nhọn Lấy điểm D, E, F nằm BC, CA, AB Tìm vị trí D, E, F để chu vi DEF nhỏ Phần VII PHÉP QUAY Từ điểm M cạnh BC ABC cân A kẻ đường thẳng song song với AB, AC cắt AC D AB E − → − − → (a) Xác định phép quay biến AC thành BA (b) CMR: trung trực DE qua điểm cố định đường tròn (ADE) qua điểm cố định khác A Cho ABC điểm M nằm cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác CMR: M A = M B + M C Cho ABC vẽ phía ngồi tam giác BCA1 , có tâm A , B , C CMR: A B C CAB1 , ABC1 Trên cạnh hình bình hành dựng phía ngồi hình vng Chứng minh tâm hình vng tạo thành hình vng Cho cung trịn AB điểm C lưu động Trên AC lấy đoạn AD = BC Tìm quỹ tích D Dựng phía ngồi ABC tam giác ABD ACE vuông B C M trung điểm DE Xác định dạng BM C Dựng cạnh AB, BC, CD, DA bên ngồi tứ giác ABCD hình vng có tâm O1 , O2 , O3 , O4 Gọi I, J, H, K trung điểm đoạn AC, BD, O1 O3 , O2 O4 (a) Chứng minh O1 O3 = O2 O4 O1 O3 ⊥O2 O4 , xét hình dạng tứ giác IKJH (b) Tìm điều kiện cần đủ để tứ giác O1 O2 O3 O4 hình vng Cho ABC nhọn Tìm điểm M bên tam giác cho: (M A + M B + M C)min Cho ABC, dựng phía ngồi tam giác hai tam giác ABD ACE vuông cân A GọiM, N, P, Q, I, J trung điểm BC, CE, ED, DB, CD, BE CMR: (a) Tứ giác M N P Q hình vng (b) CD = BE AIJ vuông cân 10 Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác hai hình vng ABEF ACGH có tâm M, N Gọi P, Q trung điểm BC, F H CMR: M P N Q hình vng 11 Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác ABP, BCM , CAN vuông cân B, M, C I trung điểm P N (a) Chứng minh IBM C hình vuông (b) Chứng minh P N ⊥AM P N = 2AM 12 Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABM N, BCEF , ACP Q có tâm K, G, H Gọi D trung điểm BC CMR: (a) N C = P Q N C⊥P Q (b) Tam giác KDH vuông cân (c) AG, BQ, CN đồng quy 13 Cho ABC vẽ theo chiều dương Dựng phía ngồi tam giác M AB N AC cân C với góc đỉnh 1200 Gọi I trung điểm M N J điểm đối xứng I qua BC (a) Tính góc BIC (b) Chứng minh M N = 2AJ 14 Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác ABM, BCN, CAP I trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABM CMR: (a) Tam giác GIP nửa tam giác √ (b) N P ⊥CG N P = 3CG 15 Cho ABC vẽ theo chiều dương Dựng phía tam giác ba tam giác M AB, N BC, P AC cân M, N, P với góc nhọn đỉnh tương ứng α, β, γ thỏa α + β + γ = π Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp ba tam giác I, J, K (a) Cho α = β = γ Chứng tỏ AN = BP = CM (b) Cho biết IJK đều, tính góc α, β, γ 16 Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác A BC, AB C, ABC có tâm A1 , B1 , C1 CMR: (a) Tam giác A1 B1 C1 (b) AA = BB = CC AA , BB , CC đồng quy 17 Cho hình vng ABCD E điểm đoạn BC Đường phân giác DAE cắt CD F CMR: BE + DF = AE Phần VIII PHÉP VỊ TỰ Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C cố định AB M N đường kính lưu động, AN cắt CM P Tìm quỹ tích điểm P Cho đường trịn (O) ba dây cung M A, M B, BC CMR: giao điểm BA đường trịn đường kính M A, M B, M C khác M lấy đôi thẳng hàng Cho ABC M, N, P trung điểm BC, CA, AB S điểm thay đổi đường tròn (ABC) Gọi I, J, K điêm đối xứng S qua M, N, P (a) CMR: AI, BJ, CK đồng quy điểm S (b) Tìm quỹ tích S’ Cho hai đường tròn (O) (O ) tiếp xúc A Đường kính qua A cắt (O) (O ) B C Từ A vẽ đường thẳng cắt (O) (O ) M N Tìm quỹ tích giao điểm I BN CM Dùng phép vị tự để chứng minh lại phần thuận định lý Menelayus Cho hai đường trịn (O) (O ) tiếp xúc ngồi A đường thẳng d M điểm thay đổi d Từ M kẻ hai tiếp tuyến M N M P đến đương tròn (O) AN AP cắt (O) (O ) N P CMR: N P qua điểm cố định Chứng minh tam giác ba trung điểm ba cạnh, ba chân đường cao ba trung điểm ba đoạn nối từ đỉnh đến trực tâm nằm đường tròn (đường trịn Ueler) Dựng hình vng nội tiếp tam giác cho (có hai đỉnh liên tiếp nằm cạnh tam giác hai đỉnh nằm hai cạnh lại) Cho hai đường trịn tiếp xúc A có đường kính AB AC Từ điểm A người ta vẽ cát tuyến cắt hai đường tròn B C Tìm quỹ tích giao điểm B C BC 10 Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt A, B Một đường thẳng thay đổi qua A cắt hai đường trịn P, Q Tìm quỹ tích −→ − − → − → điểm M thỏa AM = AP + AQ 11 Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; 2R) A điểm nằm hai đường tròn M điểm thay đổi (O; 2R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến M B M C đến (O; R) (B, C thuộc (O; R)) Chứng minh : √ (a) BC = 3R (b) Trọng tâm G tam giác ABC thuộc đường tròn cố định 12 Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt A, B C điểm cố định (O) Một đường thẳng thay đổi qua C cắt (O) M, N BM BN cắt (O ) M , N Chứng minh rằng: (a) Tam giác AM M cân (b) Trọng tâm tam giác AM M thuộc đường tròn cố định (c) Đường thẳng M N qua điểm cố định 13 Cho hai điểm M, A cố định nằm ngồi đường trịn (O) cố định Một đường thẳng thay đổi qua M cắt (O) B, C Chứng minh (a) Trung điểm I BC thuộc đường tròn cố định (b) Trọng tâm G ABC thuộc đường tròn cố định 14 Cho tứ giác ABCD với M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA I điểm thay đổi đường tròn (O) cố định M , N , P , Q đối xứng I qua M, N, P, Q Chứng minh (a) M P N Q có trung điểm (b) M P , N Q , P M QN đồng quy điểm J (c) J thuộc đường tròn cố định 15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) D điểm xuyên tâm A (O) H điểm đối xứng D qua trung điểm BC (a) CMR: H trực tâm tam giác ABC (b) Cho A, (O) cố định; B, C thay đổi (O) cho BAC = 600 Chứng minh H thuộc đường tròn cố định (c) CMR: HBDC hình bình hành (d) Cho (O), H cố định A, B, C thay đổi chứng minh trung điểm M BC chạy đường trịn cố định 16 Cho ABC có trực tâm H nội tiếp đường trịn (O) có tâm O D điểm xuyên tâm A (O) (a) Chứng minh HBDC hình bình hành (b) Cho A, (O) cố định; B, C thay đổi (O) cho BAC = 450 Chứng minh H thuộc đường tròn cố định 17 Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt A, B Một đường thẳng thay đổi qua B cắt (O) (O ) M, N Dựng hình bình hành AM CN Chứng minh rằng: (a) Góc M CN có số đo khơng đổi (b) C thuộc đường trịn cố định 18 Trong mặt phằng, góc nhọn xOy điểm P nằm góc Hãy tìm cạnh Ox điểm M cho khoảng cách M P khoảng cách từ M tới cạnh Oy 19 Cho đường tròn (O, R) (O , R ) cắt A, B thỏa OAO = 1350 M điểm thay đổi (O), M A M B cắt lại (O ) C, D CMR (a) Hai tamg giác M AD OAO đồng dạng CD = const (b) Trọng tâm G tam giác ACD thuộc đường tròn cố định 20 Cho O trọng tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi O1 , O2 , O3 điểm đối xứng O qua cạnh BC, CA, AB CMR: đường thẳng AO1 , BO2 , CO3 đồng quy 21 Gọi M, N, P điểm đối xứng tâm đường tròn nội tiếp ABC qua trung điểm cạnh BC, CA, AB CMR: AM, BN, CP đồng quy ABC = M N P Phần IX PHÉP ĐỒNG DẠNG Cho tứ giác ABCD Trên cạnh AB, CD phía ngồi tứ giác ta dựng tam giác M AB, N CD vuông cân M, N Trên cạnh BC, DA phía tứ giác ta dựng tam giác P BC, QAD vuông cân P, Q Chứng minh M P N Q hình bình hành Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt A, B Một đường thẳng thay đổi qua B cắt (O) (O ) M M Gọi I trung điểm M M Tìm quỹ tích I Cho hình thang ABCD vng cân A D có AB = 2AD = 2CD M điểm thay đổi cạnh CD Đường thẳng vng góc AM M cắt BC N Chứng minh trung điểm I M N thuộc đường thẳng cố định Trên ba cạnh ABC vẽ ba tam giác BCD, CAE ABF đồn dạng thuận với −→ −→ − − − → (a) Tính tổng BD + CE + AF (b) Suy hai tam giác ABC BEF có trọng tâm Cho bốn tam giác đồng dạng thuận ABM, CDN, ADP CBQ (a) Chứng minh tứ giác M P N Q hình bình hành (b) Dựng hai hình bình hành AM BR CN DS CMR: − → −→ − − → −→ − AR + BQ + CS + DP = Cho điểm A thay đổi nửa đường tròn đường kính BC Gọi H hình chiếu A lên BC I J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH ACH CMR: đường thẳng qua A vng góc với IJ qua điểm cố định Dựng tứ giác ABCD biết độ dài bốn cạnh tổng số đo hai góc B D Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác ABM CAN Gọi I, J trung điểm AM, CN Lấy K thuộc cạnh BC thỏa KB = 3KC Tính góc IJK Phần X PHÉP NGHỊCH ĐẢO Cho đường tròn (O) dây AB cố định P điểm thay đổi (O) gọi (C), (C ) hai đường tròn qua P , tiếp xúc với AB A B Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai hai đường tròn Cho đường tròn (O) điểm S nằm (O) Hai cát tuyến lưu động qua S cắt (O) A, A B, B Gọi M giao điểm thứ hai hai đường trịn (SAB ) (SBA ) Tìm quỹ tích M Cho đường tròn (O) điểm S nằm ngồi (O), AB đường kính thay đổi (a) CMR: đường tròn (SAB) qua điểm cố định khác S (b) SA, SB cắt (O) M, N CMR: M N qua điểm cố định Cho đường tròn (O) đường thẳng d tiếp xúc với A Gọi (ω) đường tròn thay đổi tiếp xúc với (O) d điểm khác A CMR: (ω) trực giao với đường tròn cố định Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai B hai đường tròn thay đổi (O) (O ) qua A cố định, tiếp xúc với đường tròn (C) cố định trực giao với (A nằm (C) khác tâm nó) Cho hai đường trịn (O) (O ) tiếp xúc ngồi A M chạy tiếp tuyến A Chứng minh thường có haid đường trịn qua M tiếp xúc với (O) (O ) Hãy tìm quỹ tích giao điểm thứ hai hai đường trịn Cho hai đường tròn (O) (O ) tiếp xúc A M chạy tiếp tuyến A CMR: thường có hai đường trịn qua M tiếp xúc với (O) (O ) Hãy tìm quỹ tích giao điểm thứ hai hai đường tròn Cho đường tròn (O) hai đường thằng Ox, Oy vng góc Tiếp tuyến M thay đổi (O) cắt Ox, Oy A, B Trục đẳng phương (O) (OAB) cắt Ox, Oy C, D Tìm quỹ tích trung điểm CD Cho hai đường tròn (O) (O ) tiếp xúc A Một tiếp tuyến chung (O) (O ) BC (B, C tiếp điểm) D điểm cố định (O), M điểm thay đổi (O ) tìm quỹ tích giao điểm thứ hai hai đường trịn (M BC) (M AD) 10 10 Dựng đường tròn qua hai điểm cho trước tiếp xúc với đường tròn cho trước 11 Cho hai đường tròn (ω) (ω ) tiếp xúc O Từ điểm A (ω) vẽ tiếp tuyến cắt (ω ) B, C CMR: OA phân giác BOC 12 Cho hai đường trịn (O) (O ) ngồi (ω) đường tròn thay đổi tiếp xúc (O) trực giao (O ) CMR: (ω) tiếp xúc với đường tròn thứ hai cố định khác (O) 13 Cho tứ giác ABCD CMR: ABCD nội tiếp ⇔ AB.CD + AD.BC = AC.BD 14 (O) đường tròn nội tiếp tam giác thường ABC tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB a, b, c (O) cắt aA, bB, cC α, β, γ Gọi m, n, p lân lượt trung điểm bc, ca, ab CMR: (a) Các đường tròn (aαm), (bβn), (cγp) qua O (b) Ba đường tròn cịn có điểm chung thứ hai 15 Gọi (O, R) (I, r) hai đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ABC với OI = d CMR: d2 = R2 − 2Rr 16 Cho đường tròn (O) hai dây cung AB, CD thay đổi qua điểm P Các đường tròn (P AD) (P BC) cắt điểm thứ hai M , đường tròn (P AC) (P BD) cắt điểm thứ hai N (a) Tìm quỹ tích M, N (b) CMR: M N qua điểm cố định 17 Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Một tiếp tuyến thay đổi (O) cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A B, C CMR: đường tròn (ABC) tiếp xúc với đường tròn cố định 18 Cho đường tròn (O) hai dây cung thay đổi AA , BB vng góc với P cố định đường trịn M chân đường vng góc kẻ từ P đến AB (a) CMR: P H qua trung điểm A B P H.P I = const (b) Đường tròn (ω) qua A, P tiếp xúc (O) cắt đường tròn (ω ) qua A , P tiếp xúc (O) điểm thứ hai M Tìm quỹ tích M 19 Cho tứ giác ABCD CMR: (ABC)⊥(ABD) ⇔ AB CD2 = BC AD2 + BD2 AC 20 Cho hai đường thẳng Ox, Oy vng góc Đường trịn (ω) tiếp xúc với Oy O cắt Ox A Đường tròn (ω ) tiếp xúc với Oy B, tiếp xúc (ω) C cắt Ox D, D CMR: tiếp tuyến (ω) A, BD, đường trịn đường kính OD Hai đường trịn (OBC) (ACD) có điểm chung 11 21 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự BA nửa đường trịn đường kính AB, AC, BC nằm phía đường thẳng AB Dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn 22 Cho đường tròn (O) đường thẳng cố định d cắt (O) A, B M điểm chạy d (ω) (ω ) hai đường tròn thay đổi qua M tiếp xúc với (O) A, B Hai đường tròn cắt điểm thứ hai P Tìm quỹ tích P 23 Cho đường thẳng d điểm O cố định không thuộc d Hai đường thẳng thay đổi tạo với góc α khơng đổi, quay quanh O cắt d A, B CMR: (OAB) tiếp xúc với đường tròn cố định 24 Cho phép nghịch đảo cực I, phương tích k biến đường (O) thành đường tròn (O ) CMR: điểm O biến thành chân đường đối cực I (O ) 25 Cho hai điểm A, B đường thẳng d Hai đường tròn (ω), (omega ) tiếp xúc với d A, B trực giao M, N Tìm quỹ tích M N 26 Cho hai đường tròn (O ) (O”) tiếp xúc với đường tròn (O) cắt A, B (ω) đường tròn thay đổi tiếp xúc với (O ), (O ) cắt (O) M, N CMR: tâm đường tròn (AM N ) chạy đường tròn cố định 27 Cho hai đường trịn (O) (O ) tiếp xúc ngồi A Một tiếp tuyến chung (O) (O ) BC (B, C tiếp điểm) D điểm cố định (O), M điểm thay đổi (O ) Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai hai đường tròn (M BC) (M AD) 28 Cho đường tròn (O; R) điểm A ngồi (O) Một tiếp tuyến thay đổi (O) (khơng qua A) cắt hai tiếp tuyến (O) kẻ từ A B, C (a) Tìm ảnh (O), A, B, C qua phép nghịch đảo cực O, phương tích nghịch đảo R2 (b) CMR: đường trịn (ABC) ln tiếp xúc với đường tròn cố định √ 29 Cho đường tròn (O; R) điểm S thỏa OS = 2R Hai đường tròn (α), (β) qua S, tiếp xúc với (O) B, C trực giao (α), (β) cắt S A CMR: (a) Đường tròn (ABC) qua điêm cố định (b) A chạy đường thẳng cố định (c) Đường tròn (SBC) tiếp xúc với đường tròn cố định 30 Cho đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm M chạy đường thẳng d vng góc với AB H M A M B cắt đường tròn P Q (a) CMR: P Q qua điểm cố định (b) Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai hai đường trịn (M AB) (M P Q) 12 31 Cho điểm S nằm ngồi đường trịn (O), khác điểm O đường thẳng không cắt (O) Từ điểm M thay đổi kẻ hai tiếp tuyến M P, M Q đến (O) với P, Q hai tiếp điểm P Q không qua S P S, QS cắt (O) P , Q Dựng hai đường tròn (α), (β) qua S tiếp xúc với (O) P Q (α), (β) cắt điểm thứ hai N CMR: (a) N chạy đường tròn cố định (b) Đường tròn (SP Q ) qua điểm cố định (c) Đường thẳng P Q qua điểm cố định 32 Cho đường tròn (O) điểm A cố định (O) điểm B thay đổi (O) Hai đường tròn (α), (β) trực giao A, B cắt (O) C, D CMR: (a) Đường tròn (ACD) (O) trực giao (b) Đường thẳng CD qua điểm cố định √ 33 Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định cho OA = R (ω), (ω ) hai đường tròn hay đổi trực giao A, B tiếp xúc với (O) C, D CMR: (a) Điểm B chạy đường thẳng cố định (b) Hai đường tròn (ACD) (BCD) trực giao (c) Đường tròn (ACD) tiếp xúc với đường tròn cố định 34 Cho đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) A B điểm thuộc khác A CMR: (a) Tồn đường tròn (ω) tiếp xúc với (O) B trực giao (b) (ω) cắt (O) M, N CMR: hai đường tròn (ABM ) (ABN ) trực giao có bán kính (c) Khi B thay đổi đinh CMR: (ω) tiếp xúc với đường trịn cố 35 Cho điểm S nằm ngồi đường tròn (O) M điểm thay đổi (O) Dựng hai đường tròn (α), (β) qua S, M trực giao cắt (O) A, B CMR: (a) Đường trịn (SAB) ln qua điểm cố định khác S (b) Đường thẳng AB qua điểm cố định 36 Cho đường thẳng d hai điểm A, B thuộc d Trong nửa mặt phẳng có bờ d cho hai đường tròn thay đổi (O), (O ) tiếp xúc với d A, B tiếp xúc C Đường tròn (ω) tiếp xúc với (O), (O ) d M, N, P CMR: (a) Hai đường tròn (AN P ) (AN M ) trực giao (b) M, N thuộc đường tròn cố định 13 37 Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) hai điểm A, B phân biệt (O) M điểm (O) M khác A, B (ω1 ) đường tròn qua M tiếp xúc với đường thẳng AB A, (ω2 ) đường tròn qua M tiếp xúc với đường thẳng AB B Gọi N giao điểm thứ hai (ω1 ) (ω2 ) CMR: M thay đổi (O) điểm N chạy đường trịn cố định Hãy dựng đường trịn 38 Cho đường tròn (O : R) điểm A cố định thỏa OA = 2R Một đường thẳng d thay đổi qua A Hai đường tròn (α), (β) tiếp xúc với d A tiếp xúc với (O) M, N CMR: (a) Đường tròn (AM N ) trực giao với (O) (b) Đường thẳng M N qua điểm cố định (c) (γ) đường tròn tiếp xúc với (α), (β) (O) CMR: (γ) tiếp xúc với đường tròn cố định khác (O) 39 Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính AB (ω) đường trịn đường kính AO (γ) đường trịn thay đổi tiếp xúc với (O) (ω) ( khơng qua A) CMR: đường trịn (γ) ln trực giao với đường tròn cố định (gợi ý: dùng PNĐ cực A, phương tích OA.OB) Mục lục I GĨC ĐỊNH HƯỚNG II CÁT TUYẾN III HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA IV PHƯƠNG TÍCH V CỰC VÀ ĐỐI CỰC VI TỊNH TIẾN VÀ ĐỐI XỨNG VII VIII PHÉP QUAY PHÉP VỊ TỰ 14 A IX PHÉP ĐỒNG DẠNG X PHÉP NGHỊCH ĐẢO 10 15 ... giác BCA1 , có tâm A , B , C CMR: A B C CAB1 , ABC1 Trên cạnh hình bình hành dựng phía ngồi hình vng Chứng minh tâm hình vng tạo thành hình vng Cho cung trịn AB điểm C lưu động Trên AC lấy đoạn... trung điểm AB, CD CMR (ABCD) = −1 ⇔ M N = M A2 + N C 2 Cho hình vng đường trịn nội tiếp hình vng Một tiếp tuyến đường tròn cắt cặp cạnh đối hình vng A, B C, D CMR: (ABCD) = −1 Cho đường tròn đường... CMR: (a) Tứ giác M N P Q hình vng (b) CD = BE AIJ vuông cân 10 Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác hai hình vng ABEF ACGH có tâm M, N Gọi P, Q trung điểm BC, F H CMR: M P N Q hình vng 11 Cho ABC Dựng