BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN ðỀ CHÍNH THỨC ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2011 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề. Câu 1. Chứng minh rằng hàm số 2 :f → ℝ ℝ xác ñịnh bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 sin khi , 0,0 , 0 khi , 0 ,0 x y x y x y f x y x y  + ≠  + =   ≠  liên tục, có các ñạo hàm riêng ' ' , x y f f gián ñoạn nhưng f khả vi tại ( ) 0,0 . Câu 2. a) Cho dãy số { } n a và hàm số [ ] : 0,1f → ℝ xác ñịnh bởi ( ) 0 0 f = và ( ) n f x a = nếu 1 1 , 1 x n n   ∈   +   v ớ i m ọ i 1 n ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u { } n a b ị ch ặ n thì f kh ả tích trên [ ] 0,1 ; và n ế u n a n ≥ v ớ i m ọ i n thì f không kh ả tích trên [ ] 0,1 ; . b) Xét tính kh ả tích Lebesgue c ủ a f và tính ( ) 1 0 L fd µ ∫ (n ế u có) v ớ i ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 2011 2 8 , 0;1 , \ 0;1/ 2 ln , \ 1/ 2;1 x x f x x x x x x  ∈ ∩   = ∈ ∩   ∈ ∩   ℚ ℝ ℚ ℝ ℚ Câu 3. a) Xét không gian ñịnh chuẩn c các dãy số hội tụ với chuẩn cho bởi sup n n x x = với mọi { } n x x c = ∈ . Chứng minh rằng tập hợp 0 c các dãy số hội tụ về 0 là không gian con ñóng và không ñâu trù mật trong c. b) Cho X là không gian mê-tric ñầy ñủ và { } : n n f X ∈ → ℕ ℝ là các dãy hàm liên tục sao cho với mọi x X ∈ tồn tại ( ) lim n n f x →∞ . Chứng minh rằng tồn tại tập V X ⊂ mở, khác rỗng và tồn tại 0 M > sao cho ( ) n f x M ≤ với mọi x V ∈ và mọi n ∈ ℕ . Câu 4. Cho X là không gian Banach trên trường số ℂ . Xét dãy { } * * 0 n n x X ≥ ⊂ và không gian vectơ ( ) { } { } 1 0 : n n n l X x x X x ≥ = = ⊂ < ∞ ∑ 1) Chứng minh rằng ( ) 1 l X là không gian Banach với chuẩn 0 0 n n x x ≥ = ∑ . 2) a) Giả sử dãy { } * n x bị chặn. Với mỗi 0 n ≥ ñặt ( ) 1 , : n A A l X → ℂ cho bởi ( ) ( ) { } ( ) * * 1 0 0 0 ; k k n k k k k k k n Ax x x A x x x x x l X ≥ ≥ ≤ ≤ = = ∀ = ∈ ∑ ∑ Ch ứ ng minh r ằ ng , n A A xác ñị nh các ánh x ạ tuy ế n tính liên t ụ c. Tính các chu ẩ n , n A A . Ch ứ ng minh r ằ ng { } n A b ị ch ặ n và h ộ i t ụ theo ñ i ể m v ề A. b) Gi ả s ử ánh x ạ A cho trong câu a) hoàn toàn xác ñị nh. Ch ứ ng minh r ằ ng dãy { } * n x b ị ch ặ n. 3) Cho dãy { } n a ⊂ ℂ . S ử d ụ ng câu 2) ch ứ ng minh r ằ ng các ñ i ề u ki ệ n sau là t ươ ng ñươ ng: a) { } 1 0 n k k k n a x l ∞ = ≥ ∈ ∑ v ớ i m ỗ i 1 n x l ∈ ; b) { } n a l ∞ ∈ . HẾT Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. . BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN ðỀ CHÍNH THỨC ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2011 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể. kh ả tích Lebesgue c ủ a f và tính ( ) 1 0 L fd µ ∫ (n ế u có) v ớ i ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 2011 2 8 , 0;1 , 0;1/ 2 ln , 1/ 2;1 x x f x x x x x x  ∈ ∩   = ∈ ∩   ∈ ∩   ℚ ℝ ℚ ℝ ℚ . m ỗ i 1 n x l ∈ ; b) { } n a l ∞ ∈ . HẾT Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.