1 CHUYÊN ĐỀ : PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT I. CÁC CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1.Công thức cộng 1) cos( ) cos cos sin sina b a b a b   2) cos( ) cos cos sin sina b a b a b   3) sin( ) sin cos cos sina b a b a b   4) sin( ) sin cos cos sina b a b a b   5) tan tan tan( ) 1 tan tan ab ab ab    6) tan tan tan( ) 1 tan tan ab ab ab    2. Công thức nhân 2.1. Công thức nhân đôi 1) 22 cos2 cos sina a a 2) sin2 2sin cosa a a 3) 2 2tan tan2 1 tan a a a   2.1.1.Công thức hạ bậc: 1) 2 1 cos2 cos 2 a a   2) 2 1 cos2 sin 2 a a   3) 2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a    2.1.3 Công thức tính theo tan 2 a t 1) 2 2 1 cos 1 t a t    2) 2 2 sin 1 t a t   3) 2 2 tan 1 t a t   2.2. Công thức nhân ba 1) 3 cos3 4cos 3cosa a a 2) 3 sin3 3sin 4sina a a 3) 3 2 3tan tan tan3 1 3tan aa a a    3. Công thức biến đổi tích thành tổng 1) 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 a b a b a b    2) 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2 a b a b a b     3) 1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 a b a b a b    4. Công thức biến đổi tổng thành tích 1) cos cos 2cos cos 22 a b a b ab   2) cos cos 2sin sin 22 a b a b ab     2 3) sin sin 2sin cos 22 a b a b ab   4) sin sin 2cos sin 22 a b a b ab    Một số công thức cơ bản 1) cos sin 2 cos( ) 4 a a a     2) cos sin 2 sin( ) 4 a a a     3) cos sin 2 cos( ) 4 a a a     4) cos sin 2sin( ) 4 a a a      5) 4 4 2 2 cos sin 1 2sin cosa a a a   6) 6 6 2 2 cos sin 1 3sin cosa a a a   II PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình 2 sin sin ,( ) 2 x a k x a k x a k             a là góc tính bằng radian, chẳng hạn , 64 aa   ; 1 sin 1a   2. Phương trình 2 cos cos ,( ) 2 x a k x a k x a k             3. Phương trình tan tanxa Điều kiện ,( ) 2 x k k      tan tan ,( )x a x a k k       4. Phương trình cot cotxa Điều kiện ,( )x k k     cot cot ,( )x a x a k k       III. MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP 1. Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lƣợng giác Cách giải. + Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta biến đổi về dạng phương trình lượng giác cơ bản. + Đối với phương trình bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác ta đặt ẩn phụ, sau đó giải phương trình theo ẩn phụ. Lưu ý: Nếu đặt costx hay sintx thì điều kiện 1.t  2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là Phương trình có dạng sin cos ,a x b x c với ,,abc (1) Cách giải. Cách 1. Chia hai vế của (1) cho 22 ab ta được 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c xx a b a b a b     (2) Đặt 2 2 2 2 cos ,sin . ab a b a b    Khi đó (2) trở thành 2 2 2 2 cos sin sin cos sin( ) cc x x x a b a b          (3) (3) có nghiệm 2 2 2 22 1 c a b c ab       3 Cách 2. Chia hai vế của (1) cho a rồi đặt tan b a   Ta được sin tan cos sin cos sin cos cos cc x x x x aa          sin( ) cos c x a     . Phương trình này có nghiệm khi cos 1 c a   3. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x Đó là Phương trình dạng 22 sin sin cos cos 0; , ,a x b x x c x a b c    (2) Cách giải. Nếu cos 0 ,( ) 2 x x k k        thì thay vào (2) để xét 2 xk    có là nghiệm của Phương trình (2) hay không. Nếu cos 0 ,( ) 2 x x k k        thì chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos 0x  ta được 2 tan tan 0a x b x c   Lƣu ý: Nếu Phương trình có vế phải khác 0 như 22 sin sin cos cosa x b x x c x d   thì ta biến đổi như sau 2 2 2 2 sin sin cos cos (sin cos )a x b x x c x d x x    rồi chuyển vế phải sang trái Ngoài ra ta cũng có thể giải được Phương trình (2) nhờ các công thức sau 2 1 cos2 cos 2 a a   ; 2 1 c os2 sin 2 a a   ; s in2 2s in co sa a a Đối với Phương trình bậc ba chỉ có sin x và cos x 3 2 2 3 cos cos sin sin cos sin 0a x b x x c x x d x    Ta cũng biến đổi đưa về dạng bậc ba đối với tan x 4. Phƣơng trình đối xứng đối với sin x và cos x Phương trình đối xứng với sin x và cos x là Phương trình có dạng (sin cos ) sin cos 0; , ,a x x b x x c a b c     (3) Cách giải: Đặt sin cos 2 sin , 4 t x x x         điều kiện 2t  Khi đó 2 2 1 1 2sin cos sin cos . 2 t t x x x x      Thay vào Phương trình (3) ta được 2 2 ( 1) 0 2 (2 ) 0. 2 bt at c bt at c b          (*) Giải Phương trình (*) tìm t và chọn nghiệm thỏa 2t  Lƣu ý. Cách này cũng áp dụng được cho Phương trình (sin cos ) sin cos 0a x x b x x c    Bằng cách đặt sin cos 2sin( ) 4 t x x x      ;điều kiện 2t  . Khí đó 2 1 sin cos . 2 t xx   IV. CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÁC Để giải các Phương trình này ta cần biến đổi về các Phương trình lượng giác đã biết cách giải 1. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 2. Dạng phân thức, ta phải đặt điều kiện cho mẫu thức khác 0 3. Dạng chứa tan x và cot x , ta cần phải đặt điều kiện cho tan x và cot x xác định. 4 B. BÀI TẬP Câu 1: (Khối A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng   0;2  của phương trình: cos3 sin 5 sin cos2 3 1 2sin2 xx xx x         Câu 2: (Khối B-2002) Giải PT: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   Câu 3: (Khối D-2002) Tìm x thuộc đoạn   0;14 nghiệm đúng phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0x x x    Câu 4: (Khối B-2004) Giải PT:   2 5sin 2 3 1 sin tanx x x   Câu 5: (Khối D-2004) Giải PT:    2cos 1 2sin cos sin2 sinx x x x x    Câu 6: (Khối A-2005) Giải PT: 22 cos 3 .cos2 cos 0x x x Câu 7: (Khối B-2005) Giải PT: 1 sin cos sin2 cos2 0x x x x     Câu 8: (Khối D-2005) Giải PT: 44 3 cos sin cos sin 3 0 2 4 2 x x x x                    Câu 9: (Khối A-2006) Giải PT:   66 2 cos sin sin .cos 0 2 2sin x x x x x    Câu 10: (Khối B-2006) Giải PT: cot sin 1 tan .tan 4 2 x x x x       Câu 11: (Khối D-2006) Giải PT: cos3 cos2 cos 1 0x x x    Câu 12: (Khối A-2007) Giải PT:     22 1 sin cos 1 cos sin 1 sin2x x x x x     Câu 13: (Khối B-2007) Giải PT: 2 2sin 2 sin7 1 sinx x x   Câu 14: (Khối D-2007) Giải PT: 2 sin cos 3cos 2 22 xx x       Câu 15: (CĐ-2008) Giải PT: sin3 3cos3 2sin2x x x Câu 16: (Khối A-2008) Giải PT: 1 1 7 4sin 3 sin 4 2 x x six x             Câu 17: (Khối B-2008) Giải PT: 3 3 2 2 sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x   Câu 18: (Khối D-2008) Giải PT:   2sin 1 cos2 sin2 1 2cosx x x x    Câu 19: (CĐ-2009) Giải PT:   2 1 2sin cos 1 sin cosx x x x    Câu 20: (Khối A-2009) Giải PT:      1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin xx xx    Câu 21: (Khối B-2009) Giải PT:   3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x    Câu 22: (Khối D-2009) Giải PT: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x   Câu 23: (Khối A-2010) Giải PT:   1 sin cos2 sin 1 4 cos 1 tan 2 x x x x x          Câu 24: (Khối B-2010) Giải PT:   sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x    Câu 25: (Khối D-2010) Giải PT: sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x     Câu 26: (Khối A-2011) Giải PT: 2 1 sin2 cos2 2sin sin2 1 cot xx xx x    Câu 27: (Khối B-2011) Giải PT: sin2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x    Câu 28: (Khối D-2011) Giải PT: sin2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x     