TÀI LIỆU ƠN THI TNPHPT -MƠN TỐN LỚP 12-HKI PHẦN I : GIẢI TÍCH CHƯƠNG 0: ƠN TẬP CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM I) Bảng tóm tắt công thức đạo hàm : Hàm số sơ cấp cơ bản Hàm hợp ( Hàm mở rộng) 1) (C)’ = 0 ( C: hằng số ) 2) (x)’ = 1 3) ( ) )(; 1 / Rxx ∈= − αα αα 4) / 1 ( ) 2 x x = 5) / 2 1 1 x x −   =  ÷   6) (sinx)’ = cosx 7) ( cosx)’ = - sinx 7) (tanx)’ = 2 2 1 1 tan cos x x = + 8) ( ) 2 2 1 cot ' (1 cot ) sin x x x − = = − + 9) (e x )’ = e x 10) (a x )’ = a x lna ; (a: hằng số; a> 0) 11) ( ) )0(; 1 'ln >= x x x 12) ( ) ( ) 0;01; ln 1 'log >>≠= xa ax x a * Ghi Chú: Các hàm số đều xác định * ( ) ' 1 / uuu − = αα α * ( ) )0(;) 2 ' ('. 2 1 / >== u u u u u u * ( ) 0;) ' ('. 11 22 / ≠ − = − =       u u u u u u * ( sinu)’ = u’.cosu * ( cosu)’ = - u’.sinu * ( ) 2 1 tan ' . ' cos u u u = * ( ) / 2 1 cot . ' sin u u u − = * (e u )’= e u .u’ * ( a u )’ = a u lna.u’ * (lnu)’= ( ) 0;'. 1 >uu u * ( log a u)’ = '. ln 1 u au ( )0;01 >>≠ ua II) Qui tắc tính đạo hàm: 1) ( ) ' '' / wvuwvu ±±±=±±± 2) (u.v)’ = u’.v + u.v’ * (k.u)’ = k.u’ (k: hằng số) 3) ( ) uvzuzvvzuuvz ''' / ++= 4) 2 / '.'. v vuvu v u − =       ( 0v ≠ ) * / 2 . ' k k v v v   = −  ÷   ;(k: hằng số) 1 TÀI LIỆU ƠN THI TNPHPT -MƠN TỐN LỚP 12-HKI CHƯƠNG 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Ví du 1ï: Chứng minh rằng hàm số : a) f(x) = x 3 – 6x 2 + 5 nghòch biến trên đoạn [ 0 ; 4 ] b) f(x) = - x 3 + 3x + 10 Ví du 2: Xét chiều biến thiên của hàm số : a) y = x + x 4 b) c) y = 3 4 x 3 – 2x 2 + x – 3 c) y = 3 1 x 3 –x 2 + 2x – 3 d) y = 2x 5 + 5x 4 + 3 10 x 3 – 3 7 Bài tập : Bài 1: Chứng minh rằng : a) Hàm số y = x 3 + x – 11 đồng biến trên R b) Hàm số y = sin2x – 3 x + 11 nghòch biến trên R c) Hàm số y = 1 1 −x nghòch biến trên khoảng ( 1 ; + ∞ ) d) Hàm số y = 3x 3 – 6x 2 + 4x – 5 đồng biến trên R e) Hàm số y = 2 2 + − x x đồng biến trên mỗi khoảng xác đònh của nó f) Hàm số y = 1 32 2 + +−− x xx nghòch biến trên mỗi khoảng xác đònh của nó g) Hàm số y = 5 3 x 5 – 2 3 x 4 + x 3 – 7 đồng biến trên R h) Hàm số y = x 3 + x – cosx – 4 đồng biến trên R i) Hàm số y = x + sinx cosx - 10 đồng biến trên R j) Hàm số y = x – sinx đồng biến trên nữa khoảng [ 0 ; + ∞ ) Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số : 2 §1.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K a) Nếu f / (x) > 0 x K thì hàm số f đồng biến trên khoảng K b) Nếu f / (x) < 0 x K thì hàm số f nghòch biến trên khoảng K c) Nếu f / (x) = 0 x K thì hàm số f lấy giá trò không đổi trên khoảng K. TÀI LIỆU ƠN THI TNPHPT -MƠN TỐN LỚP 12-HKI a) y = x 2 + 3x + 2 b) y = x 3 – 2x 2 + x + 1 c) y = x + x 1 d) y = x - x 2 e) y = x 4 – 2x 2 – 5 f) y = x 4 + 3 8 x 3 – 11 g) y = 3x 3 – 3x 2 + x – 12 h) y = 2 1 x 4 – 3 5 x 3 + 2x 2 – x + 3 k) y = x x + − 2 1 m) y = 5 98 2 − +− x xx n) y = 2x – 3 1 −x i) y = x−2 1 * Xác đònh điểm cực đại và cực tiểu của hàm số . Cách 1: • Nếu f // (x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại • Nếu f // (x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu Cách 2: Lập bảng biến thiên , dựa vào bảng biến thiên để kết luận . Ví dụ 1: Tìm cực trò của các hàm số : a) f(x) = 3 1 x 3 – x 2 – 3x + 3 5 b) f(x) = x + x 4 - 5 c) f(x) = 4 1 x 4 – 2x 2 + 1 d) f(x) = x 2 4 x− Bài tập Bài 1: Tìm cực trò của các hàm số : a) f(x) = x 2 – 3x + 5 b) f(x) = 3 1 x 3 + 2x 2 + 3x – 1 c) f(x) = 3 1 x 3 – x 2 + 2x – 10 d) f(x) = x + x 1 e) f(x) = 5 1 x 5 – 3 1 x 3 f) f(x) = 1 33 2 − +− x xx g) f(x) = 2 8 x− h) f(x) = 1 2 +x x Bài 2: 3 Hàm số f có tập xác đònh D và x 0 D x 0 là điểm cực trò của hàm số f f / (x 0 ) = 0 §2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÀI LIỆU ƠN THI TNPHPT -MƠN TỐN LỚP 12-HKI 1/Chứng minh : ( ) 3 2 1 2 3 9 3 y x mx m x= − − + + ln có cực trị với mọi giá trị của tham số m. 2/ Xác định tham số m để hàm số ( ) 3 2 2 3 1 2y x mx m x= − + − + đạt cực đại tại điểm 2x = . 3/ Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + , m là tham số , có đồ thị là ( ) m C Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 4/ Tìm m để hàm số ( ) 4 2 2 2 5y mx m x m= − + − + − có một cực đại tại 1 2 x = . 5/ Tìm m để hàm số sau đây đạt cực trị 1) 3 2 2 2 3y x x mx= − + + 2) ( ) 2 1 2 1 x m x y x + − + = + 3) 2 2 2 2 2 x x m y x + + + = + 6/ Tính giá trị cực trị của hàm số sau và viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. 3 2 2 1y x x x x= − − + . 7/ Tìm m để hàm số ( ) 3 2 2 3 5y m x x mx= + + + − có cực đại, cực tiểu. Đònh nghóa : Chú ý: Muốn tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên khoảng ( trên đoạn ) ta lập bảng biến thiên trên khoảng ( trên đoạn tính các giá trò đầu mút ) đó . Dựa vào bảng biến thiên để kết luận . Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số : 4 §3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Giả sử hàm số f(x) xác đònh trên tập hợp số thực D. a) Nếu tồn tại một điểm x 0 D sao cho f(x) f(x 0 ) , x 0 D thì số M = f(x 0 ) đgl GTLN của hàm số f trên tập D kí hiệu: M = b) Nếu tồn tại một điểm x 0 D sao cho f(x) f(x 0 ) , x 0 D thì số m = f(x 0 ) đgl GTNN của hàm số f trên tập D kí hiệu: m = TÀI LIỆU ƠN THI TNPHPT -MƠN TỐN LỚP 12-HKI a) f(x) = 2 4 x− b) f(x) = x 3 – 3x + 3 trên đoạn [- 3; 2 3 ] c) f(x) = x + 1 1 −x trên khoảng ( 1 ; + ∞ ) Bài tập : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: a) f(x) = x 2 +2x – 5 trên đoạn [ - 2 ; 3 ] b) f(x) = 3 3 x + 2x 2 + 3x – 4 trên đoạn [ - 4 ; 0 ] c) f(x) = x + x 1 trên khoảng ( 0 ; + ∞ ) d) f(x) = - x 2 + 2x + 4 trên đoạn [ 2; 4 ] e) f(x) = 2 452 2 + ++ x xx trên đoạn [ 0 ; 1 ] f) f(x) = x – x 1 trên nữa đoạn ( 0 ; 2 ] g) ( ) ( ) 2 2 4f x x x= + − h) ( ) 2 3 10f x x x= + − . i) ( ) ( ) 4f x x x= − . j) ( ) 4 2 2 1f x x x= − + trên đoạn [ ] 0; 2 . k) ( ) 2 osxf x x c= + trên đoạn 0; 2 π       . l) ( ) 9 f x x x = + trên đoạn [ ] 2;4 m) ( ) 4 1 2 f x x x = − + − + trên đoạn [ ] 1;2− . 5 TÀI LIỆU ƠN THI TNPHPT -MƠN TỐN LỚP 12-HKI Đònh nghóa : Chú ý: Cách tìm các tiệm cận Ví dụ: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các hàm số sau: a) y = 2 12 + − x x b) y = 2 2 1 35 x x − − c) y = 1 2 2 − + x x d) y = 1 1 2 + + x x Bài tập: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các hàm số sau: a) y = 23 2 + − x x b) y = 3 22 + −− x x c) y = 1 – x 1 d) y = 1 + 2 1 x e) y = 10116 2 2 −+ xx x f) ) y = 1 1 2 +x g) y = 2 4 1 x− h) y = ( ) 2 32 1 −x 6 §4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN Đường thẳng y = y 0 đgl Đường tiệm cận ngang ( Gọi tắc là tiệm cận ngang ) của đồ thò hàm số y = f(x) nếu hoặc Đường thẳng x = x 0 đgl đường tiệm cận đứng ( Gọi tắc là tiệm cận đứng ) của đồ thò hàm số y = f(x) nếu hoặc Muốn tìm tiệm cận đứng ta giải phương trình mẫu số bằng không tìm nghiệm ( VD:hàm số f(x) = có tiệm cận đứng x = - 2 ) + Hàm số có bậc tử = bậc mẫu thì tiệm cận ngang y = hệ số bậc cao nhất chia nhau ( VD: hàm số y = có tiệm cận ngang y = - 1 ) + Hàm số có bậc tử < bậc mẫu thì tiệm cận ngang y = 0 + Hàm số có bậc tử > bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang TÀI LIỆU ƠN THI TNPHPT -MƠN TỐN LỚP 12-HKI i) y = 3 3 2 + − x x j) y = 9 2 −x x m) y = 2 4 x x − n) y = 2 2 1 35 x x − − k) y = 65 1 2 ++ − xx l) y = x x 1 2 + CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ . Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò các hàm số sau: a) y = x 3 – 3x 2 – 9x – 5 b) y = – x 3 + 3x 2 – 4x + 2 c) y = x 3 -3x+1 d) y = 3x 2 -x 3 e) y = x 3 +3x−4 f) y = (1-x) 3 g) y = 2 1 x 2 x 2 4 +− h) y = x 4 +x 2 -2. i) y=2x 2 −x 4 -1 j) y= x 4 -1 k) y = 1x 1x − + l) y = 2x x2 + m) y = 1 x x − n) y = 4 1 2x − + o) y = 2 1 x x − − p) y = 1 2 2x − + + 7 §5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bước 1: Tìm tập xác đònh . Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số Tính đđạo hàm y’ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc khơng xác định. Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. Tìm cực trị. Tìm các giới hạn tại vơ cực,các giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận(nếu có). Lập bảng biến thiên.(Ghi kết quả tìm được và bảng biến thiên) Bước 3: Vẽ đồ thò hàm số Vẽ các đường tiệm cận của hàm số ( nếu có ) Tìm giao điểm với các trục toạ độ ( Nếu đồ thò không cắt các trục toạ độ hoặc giao điểm phức tạp thì bỏ qua ) Tìm một số điểm khác , ngoài các điểm cực đại , cực tiểu, điểm uốn để vẽ đồ thò chính xác hơn TÀI LIỆU ƠN THI TNPHPT -MƠN TỐN LỚP 12-HKI Bài toán tổng quát: Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thò hai hàm số : 1 2 (C ): y f(x) (C ): y g(x) =   =  (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau Chú ý 1 : * (1) vô nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm điểm chung * (1) có n nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) có n điểm chung Chú ý 2 :* Nghiệm x 0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C 1 ) và (C 2 ). Khi đó tung độ điểm chung là y 0 = f(x 0 ) hoặc y 0 = g(x 0 ). 8 x y y y x x OO O )( 1 C )( 2 C )( 1 C )( 2 C 1 x 2 x 1 M 2 M 2 y 1 y 0 M )( 2 C )( 1 C x y 0 y 0 x O CHỦ ĐỀ 1: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Phương pháp chung: * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thò hai hàm số đã cho: f(x) = g(x) (1) * Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) . Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thò (C 1 ) và (C 2 ). Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của hai đồ thò (C 1 ) và (C 2 ). TÀI LIỆU ƠN THI TNPHPT -MƠN TỐN LỚP 12-HKI CHỦ ĐỀ 2:TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG a. Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C):y = f(x) tại điểm 0 0 0 M (x ;y ) (C)∈ Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x 0 ;y 0 ) có dạng: y - y 0 = k ( x - x 0 ) Trong đó : x 0 : hoành độ tiếp điểm y 0 : tung độ tiếp điểm và y 0 =f(x 0 ) k = f ' (x 0 ) : hệ số góc của tiếp tuyến . b. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước. Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Gọi 0 0 ( ; ) ( )M x y C∈ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) Bước 2: Tìm x 0 bằng cách giải phương trình : ' 0 ( )f x k= , từ đó suy ra 0 0 ( )y f x= =? Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ta sẽ được pttt cần tìm. Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước . 9 (C): y=f(x) 0 x x 0 y y 0 M ∆ (C): y=f(x) 0 x x 0 y y 0 M ∆ TÀI LIỆU ƠN THI TNPHPT -MƠN TỐN LỚP 12-HKI Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau: a).Nếu đường thẳng ( ∆ ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của ( ∆ ) là: k a ∆ = b). Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng 1 2 ( ) và ( )∆ ∆ . Khi đó: 1 2 1 2 1 2 1 2 // k k k .k 1 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⇔ = ∆ ⊥ ∆ ⇔ = − CHỦ ĐỀ 3: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình f(x) = g(x) (1).Nghiệm x 0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C 1 ):y=f(x) và(C 2 ):y=g(x) 10 (C): y=f(x) ∆ x y ak /1 −= O baxy +=∆ : 2 (C): y=f(x) x y ak = baxy += 1 ∆ 2 ∆ y x 0 x )( 1 C )( 2 C