Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Bộ đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2010 – 2011 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu Đề số 1. Thời gian: 150 phút. Bài 1. a) Chứng minh rằng nếu 3 3 3 3 a b c a b c      thì với mọi số nguyên dương lẻ n ta có n n n n a b c a b c      . Hướng dẫn: đặt 3 3 3 , , x a y b z c    , khi đó ta có 3 3 3 3 x y z x y z      , lập phương 2 vế và phân tích nhân tử ta có:       3 0 x y x z y z     , từ đó suy ra có ít nhất 2 trong 3 số x, y, z bằng nhau, suy ra 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau. Suy ra điều cần chứng minh. b) Giải phương trình 2 2 1 x x x x x      Hướng dẫn:Nhân 2 vế của phương trình với 2 và biến đổi phương trình như sau:       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 0 1 1 x x x x x x x x x x x VN x x                        KL: Phương trình vô nghiệm. c) Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 1 0 3 2 3 1 0 x y x y xy x y              Hướng dẫn:Cộng 2 phương trình ta có:     2 2 3 2 0 2 1 0 2 1 x xy y x y x y x y x y x y                  Thế vào một trong hai phương trình ta sẽ tìm ra x và y. Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Bộ đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2010 – 2011 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu Bài 2. a) Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm:     2 2 2 2 0 x x m x mx      Hướng dẫn:         2 2 2 2 2 2 0 2 0 1 2 0 2 x x m x mx x x m x mx                 Phương trình có 3 nghiệm khi xảy ra 1 trong hai trường hợp sau: TH1: 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt và một phương trình có nghiệm kép khác hai nghiệm của phương trình kia. Để ý phương trình (2) có – 2 < 0 nên ko thể có nghiệm kép. Phương trình (1) có nghiệm kép khi m = 1, khi đó nghiệm kép là 1 và cũng là nghiệm của (2) (Không thỏa) TH2: Hai phương trình có hai nghiệm phân biệt và có 1 nghiệm chung. Phương trình có nghiệm chung khi m = - 2 và m = 1. Thế trực tiếp vào phương trình thì phương chỉ có 2 nghiệm. KL: Không tồn tại m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. b) Cho a, b, x, y là các số thực dương thỏa a + b + x + y < 2. Nếu 2 2 a b x y    và 2 2 a b x y    , chỉ ra rằng a = x, b = y Hướng dẫn:           2 2 a x y b y b y b a x a x y b           Mà      2 1 4 a x y b a x y b        , suy ra a x b y    Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Bộ đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2010 – 2011 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu Bài 3. Một tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên dương và có độ lớn diện tích bằng chu vi. Tìm kích thước của tam giác vuông đó. Hướng dẫn: Gọi x, y là độ dài 2 cạnh góc vuông, ta có 2 2 * , , x y x y N   Giả sử x y  . Ta có phương trình 2 2 2 xy x y x y           2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 8 0 4 4 8 0 4 4 8 x y xy x y x y x y xy xy xy x y x y                   Bài 4. Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC của (O). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC và AO lần lượt tại D, E và F. a) Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE không đổi và tính giá trị đó theo R. b) Tìm vị trí của M sao cho khoảng cách từ A đến DE là lớn nhất. c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC, ADE và AMF thẳng hàng. Hướng dẫn: a) Học sinh tự giải. b)Vẽ MH vuông góc DE. Gọi M 0 là giao của AO và (O). Vì MF là tiếp tuyến nên F thuộc đoạn AM 0 . Từ đó ta có 0 AH AF AM   . Dấu “=” xảy ra khi và khi 0 M M  . c) Chứng minh 3 đường tròn cùng đi qua một điểm khác A. Gọi N là giao điểm của (ADE) và (ABC), ta chứng minh N thuộc (AMF). ( kí hiệu (XYZ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ). Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Bộ đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2010 – 2011 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu Gọi K là giao điểm của (ADE) và (ABC). Ta chứng minh tứ giác AKMF nội tiếp. Ta có   . KBD KCE g g     , suy ra KD DB MD KE EC ME   , suy ra KM là phân giác góc  KDE . Từ đó     1 1 2 2 DKM DKE BAC FAE    Từ đó ta có:         0 180 KAF KMF KAE EAF KDM MKD KAE KDE        . Từ đó ta có tứ giác AKMF là nội tiếp. Bài 5. Cho   3 n n  điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kì tạo thành một tam giác vuông. Tìm tất cả các giá trị của n. Hướng dẫn: Với n = 3, ta chọn 3 điểm là 3 đỉnh của tam giác vuông, n = 3 thỏa đề bài. Với n = 4, ta chọn 4 điểm là 4 đỉnh của một hình chữ nhật, n = 4 thỏa đề bài. Chứng minh n > 4 thì không tồn tại n điểm thỏa đề bài. Ta chọn 2 điểm có khoảng cách là lớn nhất là A, B. Khi đó các điểm còn lại cùng với 2 điểm này tạo thành một tam giác vuông nên phải thuộc đường tròn đường kính AB. Khi đó có ít nhất 2 điểm cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB, gọi là C, D. Khi đó tam giác ACD không phải là tam giác vuông. (Vô lý) Vậy các giá trị của n là 3, 4. . Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Bộ đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2 010 – 2011 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu Đề số 1. Thời gian:. y. Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Bộ đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2 010 – 2011 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu Bài 2. a) Tìm m để.  Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Bộ đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2 010 – 2011 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu Bài 3. Một tam giác