Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luy ện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 Chủ đề 5: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ I- LÝ THUY ẾT: Gi ả s ử (C) và (C’) là đồ th ị c ủa hai hàm s ố : ( ) vµ ( )y f x y g x= = . Hoành độ giao đ i ểm c ủa (C) và (C’), n ếu có, là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình ( ) ( ) =f x g x (1) Lưu ý: Phương trình ( ) ( )f x g x= là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’). Đảo l ại , n ếu 0 x là nghi ệm c ủa (1), t ức là: 0 0 ( ) ( )f x g x= thì đ i ểm ( ) ( ) 0 0 0 0 ; ( ) hay ; ( )M x f x M x g x là đ i ểm chung c ủa (C) và (C’). Kết quả : - N ếu pt (1) v ô nghi ệm th ì (C) và (C’) không có đ i ểm chung. - N ếu pt (1) c ó n nghi ệm th ì (C) c ắt (C’) t ại n đ i ểm ph ân bi ệ t ( n không là nghi ệm b ội ) BÀI T ẬP MINH HỌA : DẠ NG 1: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐỒ THỊ Bài t ập 1: ( ĐHVH -98 ) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d: 2 5y x= + với đồ thị hàm số (C): 3 2 3 1y x x= + + . Bài gi ải: TXĐ: D R= . Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 3 1 2 5 3 2 4 0 1 1 2 4 0 1 5 2 4 0 1 5 + + = + Û + - - = = - é ê é Û + + - = Û = - + ê + - = Û ê ê = - - ê ë ë x x x x x x x x x x x x x x * Với 1 2.( 1) 5 3x y= - Þ = - + = . * Với ( ) 1 5 2 1 5 5 3 2 5x y= - + Þ = - + + = + . * V ới ( ) 1 5 2 1 5 5 3 2 5x y= - - Þ = - - + = - . Kết luận: V ậy các giao điểm cần tìm là ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1;3 , 1 5;3 2 5 , 1 5;3 2 5 M M M- - + + - - - Nhận xét: Khi xác định tung độ giao điểm, ta đã sử dụng hàm số 2 5= +y x để đơn giản hơn. Bài t ập 2: ( Đề 105) Chỉ r õ các giao điểm của đồ thị (C): 1 3 1 y x x = + + + v ới trục hoành. Bài giải:TXĐ: { } \ 1 D R= - . Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và Ox: 1 3 0 1 + + = + x x (1) TH 1: 3 1- £ ¹ -x .(1) tr ở thành: x y M y 0 x 0 O (C) (C') 1 Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luy ện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 3 0 3 1 1 0 4 4 0 2 1 + + = Û + + + = Û + + = Û = - + x x x x x x x (nhËn) TH 2: 3x < - . (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (lo¹i) 1 3 0 3 1 1 0 4 2 0 1 2 2 (nhËn) é = - + - + + = Û - + + + = Û + + = Û ê + = - - ê ë x x x x x x x x Kết luận: Vậy giao điểm cần tìm là ( ) ( ) 1 2 2;0 , 2 2;0 M M- - - . DẠNG 2: BI ỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA 2 HỌ ĐỒ THỊ. Bài tập 1: ( Đ ề 29) Xác định tất cả các giá trị của a để đường thẳng d: 3y ax= + không cắt đồ th ị hàm số (C): 3 4 1 x y x + = - . Bài giải:TXĐ: { } \ 1 D R= . Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): ( ) ( ) ( ) 3 4 3 3 4 3 1 1 1 + = + Û + = + - ¹ - x ax x ax x x x ( ) 2 7 0 1Û - - = ¹ax ax x (1) Đ ể đường thẳng d không cắt (C) Û phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 1x = . TH 1: Xét 0 a = . (1) trở thành: 7 0- = . Vậy 0a = thỏa. TH 2: Y.c.b.t ( ) 2 2 0 0 28;0 28 0 28 0 0 28 28 0 1 2 1 2 (v« nghiÖm) a a a a a a a a a a a b a a é ¹ ¹ ì ì Û Û Î - êí í - < < D = + < î î ê ê ì ê Û ï ¹ = - ì ê ï ï ê D = + = Û í í - ê - = ï ï î ê ï - = ê î ë Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm là ( ] 28;0a Î - . Bài tập 2: ( Đ ề 34) Xác định tất cả các giá trị của k để đồ thị hàm số (C): 2 4 3 2 x x y x + + = + c ắt đường thẳng d: 1 y kx= + t ại 2 điểm phân biệt. Bài giải:TXĐ: { } \ 2D R= - . Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 1 4 3 2 1 2 2 + + = + Û + + = + + ¹ - + x x kx x x x kx x x ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 3 1 0 2= - + - - = ¹ -g x k x k x x (1) Đ ể d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 2 ¹ - . Chuyờn KHO ST HM S Luy n thi i hc 2012 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong in Trang 3 Y.c.b.t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 0 1 ( 2) 0 4 1 2 2 3 1 0 1 4 8 5 0 0 2 3 4 1 0 g k k k g k k k k k k k k k ỡ ạ ỡ - ạ ù ạ ỡ ù ù - ạ - - - - ạ " ạ ớ ớ ớ - + > " ợ ù ù D > - + - > ợ ù ợ . K t lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l ( ) ( ) ;1 1; . k ẻ -Ơ ẩ +Ơ . Bi tp 3: ( HSPII -97) Tỡm m hm s (C): 4 2 (1 ) 2 1y m x mx m= - - + - ct Ox ti 4 im phõn bit. Bi gii:TX: D R= . Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v Ox : 4 2 (1 ) 2 1 0 (1)- - + - =m x mx m t 2 0t x= , (1) tr thnh: 2 (1 ) 2 1 0 (2)- - + - =m t mt m (C) ct Ox ti 4 im phõn bit Phng tr ỡnh (1) cú 4 nghim phõn bit Phng trỡnh (2) cú 2 nghim dng phõn bit, tc l: 1 2 0 t t< < . Y.c.b.t ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 4 2 1 1 0 2 9 12 4 3 2 0 3 0 0 1 1 1 2 1 1 0 2 1 ạ ỡ ạ ỡ ù ù D = - - - > ù ù - + = - > ạ ù ù ớ ớ = > < < ù - ù ù ù - < < = > ù ù ợ ợ - m m m m m m m m m m S m m m m P m 1 2 ;1 \ 2 3 ổ ử ỡ ỹ ẻ ớ ý ỗ ữ ố ứ ợ ỵ m Kt lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l 1 2 ;1 \ 2 3 ổ ử ỡ ỹ ẻ ớ ý ỗ ữ ố ứ ợ ỵ m . CH í: M i quan h v s nghim ca phng trỡnh ( ) 4 2 0 0 ax bx c a+ + = ạ (1) v ( ) 2 0 0 at bt c a+ + = ạ (2) thụng qua phộp t n ph: 2 0t x= . TH1: Phng tr ỡnh (2) cú 1 nghim 0t < ị Phng tr ỡnh (2) khụng cú nghim x . TH2: Phng tr ỡnh (2) cú 1 nghim 0t = ị Phng tr ỡnh (2) cú nghim 0x = . TH3: Phng trỡnh (2) cú 1 nghim 0t > ị Phng trỡnh (2) cú 2 nghim x t x t ộ = ờ = - ờ ở . Vy cú th m rng yờu cu ca bi toỏn thnh cỏc dng sau: 3-1) Tỡm m hm s (C) ct Ox ti 3 im phõn bit Phng trỡnh (2) cú nghim 1 2 0 0 (0) 0 0 t t g S D > ỡ ù = < = ớ ù > ợ 3-2) Tỡm m hm s (C) c t Ox ti 2 i m phõn bit Phng trỡnh (2) cú nghim 1 2 1 2 0 0 0 0 0 t t P t t S < < < ộ ờ D = ỡ ờ < = ớ ờ > ợ ở Chuyờn KHO ST HM S Luy n thi i hc 2012 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong in Trang 4 3-2) Tỡm m hm s (C) c t Ox ti 1 i m Phng trỡnh (2) cú nghim 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 t t S t t S ộ D > ỡ < = ớ ờ < ợ ờ ờ D = ỡ ờ = = ớ = ờ ợ ở Trờn õy l s m rng bi toỏn cựng hng gii quyt theo lý thuyt Tam thc bc hai v ng dng. Chỳng ta s bn li bn toỏn ny cựng cỏc phng phỏp c sc hn nh ng dng tớnh bin thiờn , Phng phỏp cc trtrong cỏc bi toỏn tip theo. Bi tp 4 : ( d b 2003 ) Tỡm m th hm s 2 ( ) : ( 1)( )C y x x mx m= - + + ct Ox ti 3 im phõn bit. Bi gi i: TX: D R = . Xột phng tr ỡnh honh giao im ca (C) v Ox: 2 2 1 ( 1)( ) 0 (1) ( ) 0 (2) x x x mx m g x x mx m = ộ - + + = ờ = + + = ở (C) ct Ox ti 3 im phõn bit Phng tr ỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit Phng tr ỡnh (2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1. Y.c.b.t ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 0 1 ;0 4; \ 2 2 4 0 0 4 g g m m m m m m m ỡ = + ạ ỡ ạ - ù ù ỡ ỹ ẻ -Ơ ẩ +Ơ - ớ ớ ớ ý D = - > ợ ỵ ù ù ợ < > ợ Kt lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l ( ) ( ) 1 ;0 4; \ 2 m ỡ ỹ ẻ -Ơ ẩ +Ơ - ớ ý ợ ỵ . Trong bi tp trờn, bi ó trỡnh by tng i d thng vỡ ó cú dng . 0A B = . Chỳng ta thay i mt tớ xem sao: Bi tp 5: ( HKT - 98 ) Cho hm s 3 2 3 1 (C)= + +y x x . ng thng i qua ( 3;1)A - v cú h s gúc bng k . Xỏc nh k ng thng ú ct th ti 3 im phõn bit. Bi gii: TX: D R= . ng thng d i qua ( 3;1)A - v cú h s gúc k cú phng tr ỡnh: ( ) ( ) : 1 3 3 1- = + = + +d y k x y k x Xột phng tr ỡnh honh giao im ca (C) v d: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 2 3 1 3 1 (1) 3 3 3 3 3 3 0 (2) + + = + + + = + + = + = - ộ + - = ờ = ở x x k x x x k x x x k x x x x k x k d ct (C) ti 3 im phõn bit Phng tr ỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit Phng trỡnh (2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 3- . Y.c.b.t ( ) { } 0 0; \ 9 9 k k k > ỡ ẻ +Ơ ớ ạ ợ Kt lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l ( ) { } 0; \ 9k ẻ +Ơ . Cỏc em chỳ ý, k thut phõn tớch ( ) ( ) 3 2 3 2 3 1 3 1 (1) 3 3+ + = + + + = +x x k x x x k x , t o ra c s thun li trong quỏ trỡnh phõn tớch. Cũn khụng, chỳng ta phi oỏn c nghim v Chuyờn KHO ST HM S Luy n thi i hc 2012 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong in Trang 5 phõn tớch theo s Hoc -ner. oỏn khụng c nghim thỡ sao nh??? Chỳng ta xột tip bi tp sau: Bi tp 5: Tỡm m th hm s (C): 3 1 3 y x x m= - - ct trc honh ti 3 im phõn bit. Bi gi i: TX: D R = . Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v Ox: 3 3 1 1 0 3 3 (1)x x m x x m- - = - = (C) ct Ox ti 3 im phõn bit th ( ) 3 1 ' : 3 C y x x= - ct : //d y m Ox= ti 3 im phõn bit. Xột 3 1 ( ) 3 g x x x = - . Ta cú: / 2 / 2 1 3 ( ) 1 ( ) 0 2 1 3 x y g x x g x x y ộ = ị = - ờ = - ị = ờ ờ = - ị = ờ ở B ng bin thiờn: D a vo bng bin thiờn, ta thy d ct (C) ti 3 im phõn bit 2 2 3 3 m - < < . Kt lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l: 2 2 ; 3 3 m ổ ử ẻ - ỗ ữ ố ứ . D NG 3 : S GIAO IM V TNH CHT GIAO IM CA HAI H TH Phng phỏp: B c 1 : Thi t l p ph ng tr ỡnh honh giao i m c a (C) v (C): ( ) ( ) =f x g x (1) Bc 2 : Bi n lu n s nghim v tớnh cht nghim c a (1). Nh n xột: Rừ rng honh giao i m c a (C) v (C) l nghi m c a (1) nờn s giao i m v tớnh ch t giao i m c ng l s nghim v tớnh cht nghim c a (1). i u ny, a yờu c u t Gi i tớch sang vi c bi n lun phng trỡnh s cp m chỳng ta ó bi t . Bi tp 1 : Cho hm s 2 4 1 x y x + = - . G i ( d ) l ng thng qua ( ) 1;1A v cú h s gúc k . Tỡm k sao cho (d ) ct ( C ) ti hai im M, N v 3 10MN = . Bi gi i: TX: { } \ 1 D R= . T gi thit ta cú: ( ) : ( 1) 1.d y k x= - + Bi toỏ n tr thnh: Tỡm k h phng trỡnh sau cú hai nghi m 1 1 2 2 ( ; ), ( ; )x y x y phõn bit sao cho ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 90 (*)x x y y- + - = -2 3 2 3 1 _ + + -1 0 g(x) g'(x) x 0 Chuyờn KHO ST HM S Luy n thi i hc 2012 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong in Trang 6 2 4 ( 1) 1 (I) 1 ( 1) 1 x k x x y k x + ỡ = - + ù - + ớ ù = - + ợ . Ta cú: 2 (2 3) 3 0 (I) ( 1) 1 kx k x k y k x ỡ - - + + = ớ = - + ợ D cú ( I) cú hai nghi m phõn bit khi v ch khi phng trỡnh 2 (2 3) 3 0 (**)kx k x k- - + + = cú hai nghi m phõn bit. Khi ú d cú c 3 0, . 8 k kạ < Ta bi n i (*) tr thnh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 (1 ) 90 1 4 90 (***)k x x k x x x x ộ ự + - = + + - = ở ỷ Theo nh lớ Viet cho (**) ta cú: 1 2 1 2 2 3 3 k x x k k x x k - ỡ + = ù ù ớ + ù = ù ợ th vo (***) ta cú phng trỡnh: 3 2 2 8 27 8 3 0 ( 3)(8 3 1) 0k k k k k k+ + - = + + - = 3 41 3 41 3, , 16 16 k k k - + - - = - = = . Kt lun: Vy cỏc giỏ tr ca k c n tỡm l: 3 41 3 41 3, , 16 16 k k k - + - - = - = = . Bi t p 2: Cho hm s 2 2 1 x y x - = + (C). Tỡm m ng thng d: 2y x m= + ct th (C) t i 2 im phõn bit A, B sao cho 5 AB = . Bi gii: TX: { } \ 1 D R= - . Xột p hng trỡnh honh giao im: ( ) 2 2 2 2 ( ) 2 2 0 1 1 x x m g x x mx m x x - = + = + + + = ạ - + (1) d ct (C) ti 2 im phõn bit Phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1- Y.c.b.t ( ) 2 2 8 2 0 8 16 0 ( 1) 2 2 0 g m m m m g m m m ỡ D = - + > ù - - > ớ - = - + + ạ " ù ợ ( ) ( ) ;4 4 2 4 4 2; m ẻ -Ơ - ẩ + +Ơ (2) Lỳc ú, gi A ( ) ;2 A A x x m+ ; B ( ) ;2 B B x x m+ , vi A x v B x l cỏc nghim ca phng trỡnh (1) . Theo nh lý Viet ta cú: 2 2 . 2 A B A B m x x m x x ỡ + = - ù ù ớ + ù = ù ợ (*) Ta cú: ( ) ( ) 2 2 2 5 4 5 B A B A AB x x x x= - + - = ( ) 2 4 1 A B A B x x x x+ - = (**) Thay (*) vo (**) ta c: 2 10 8 20 0 2 (thỏa đk (2)) (thỏa đk (2)) m m m m = ộ - - = ờ = - ở Kt lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l: { } 2;10 .mẻ - Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luy ện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 7 Bài tập 3: Cho hàm số : 2 1 x y x - = - (C) . Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, đường thẳng d : y x m= - + luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB. Bài giải: TXĐ: { } \ 1D R= . * Phương trình hoành độ giao điểm của d ( )CÇ là: ( ) 2 2 0 1x mx m x- + - = ¹ (1) Vì 2 4 8 0 (1) 1 0 m m f ì D = - + > í = - ¹ î với m " , nên phương tr ình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với m " . Suy ra d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt với m " . * G ọi các giao điểm của d ( )C là: A ( ) ; A A x x m - + ; B ( ) ; B B x x m - + , v ới A x và B x là các nghiệm của phương trình (1). Theo định lý Viet ta có: . 2 A B A B x x m x x m + = ì í = - î (*) [ 2 2 2 2( ) 2 ( ) 4 . A B A B A B AB x x x x x x ù = - = + - û (**) Thay (*) vào (**) ta được: [ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4( 2) 2 2 4 2 2 8 8AB m m m m ù é ù = - - = - + = - + ³ ë û û Vậy : AB min 2 2= , đạt được khi 2m = . Bài tập 4 : Cho hàm số ( ) 3 2 1 2 3 3 m y x mx x m C= - - + + . Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại ba đi ểm phân biệt có hoà nh đ ộ 1 2 3 , , x x x thỏa mã n đi ều kiện 2 2 2 1 2 3 15x x x+ + > Bài giải: TXĐ: D R = . Xét phương trình hoà nh đ ộ giao đi ểm: 3 2 3 2 1 2 0 3 3 3 2 0 3 3 x mx x m x mx x m- - + + = Û - - + + = ( ) 2 2 ( 1) 1 3 3 2 0 (1) 1 ( ) (1 3 ) 3 2 0 (2) x x m x m x g x x m x m é ù Û - + - - - = ë û = é Û ê = + - - - = ë Để (C m ) cắt trục Ox tạ i ba đi ể m phân biệt Û Phương trình ( 1) có ba nghiệm phân biệt Û ( 2) có hai ngiệm phân biệt khác 1. Y.c.b.t 2 2 (1 3 ) 4(3 2) 0 3 2 3 0, 0 (*) (1) 6 0 0 m m m m m m g m m ì ì D = - + + > + + > " Û Û Û ¹ í í = - ¹ ¹ î î Giả sử 3 1x = , lúc đó 1 2 , x x là nghiệm của phương tr ình (2). T heo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 3 1 . 3 2 x x m x x m + = - ì í = - - î (3) Khi đ ó : ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 15 2 14 0 (4) x x x x x x x x x+ + = + + > Û + - - > Chuyờn KHO ST HM S Luy n thi i hc 2012 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong in Trang 8 Thay (3) vo (4) ta c: 2 2 (3 1) 2(3 2) 14 0 1 0 1 1m m m m m - + + - > - > < - > i chiu vi iu kin (*) suy ra tp cỏc giỏ tr cn tỡm l: ( ) ( ) ; 1 1;mẻ -Ơ - ẩ +Ơ . Bi tp 5: ( Khi A -2011 ) Cho hm s - + = - 1 2 1 x y x . Chng minh rng vi mi giỏ tr ca m thỡ ng thng :d y x m= + luụn ct (C) ti hai im phõn bit A v B. Gi 1 2 , k k ln lt l h s gúc ca cỏc tip tuyn ti A v B. Tỡm m tng 1 2 k k + t giỏ tr ln nht. Bi gii: TX: 1 \ 2 D R ỡ ỹ = ớ ý ợ ỵ Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v d : 2 1 1 ( ) 2 2 1 0 (*) 2 1 2 x x m g x x mx m x x - + ổ ử = + = + - - = ạ ỗ ữ - ố ứ d ct (C) ti 2 im phõn bit ( ) 0 g x = cú 2 nghim phõn bit 1 2 ạ / 2 0 1 0 1 1 1 0 0 2 2 g m m m m m m g ỡ D > ỡ + + > " ù ù ớ ớ ổ ử + - - ạ " ạ ù ù ỗ ữ ợ ố ứ ợ Suy ra d luụn c t (C) ti 2 im A, B phõn bit. Gi 1 2 , x x l 2 nghim ca phng trỡnh (*). p dng nh lớ Vi - et: 1 2 1 2 (*) 1 . 2 x x m m x x + = - ỡ ù ớ - - = ù ợ H s gúc ca tip tuyn vi (C) ti 1 x l: ( ) ( ) / 1 1 2 1 1 1 k f x x = = - - H s gúc ca tip tuyn vi (C) ti 2 x l: ( ) ( ) / 2 2 2 2 1 1 k f x x = = - - Cỏch 1: CHUN_ N GIN_ D HIU Ta cú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 8 4 2 1 1 2 1 2 1 4 2 1 x x x x x x k k x x x x x x + - - + + + = - - = - - - ộ - + + ự ở ỷ (**) Thay (*) vo (**) ta c: ( ) 2 2 1 2 4 8 6 4 1 2 2k k m m m+ = - - - = - + - Ê - . Suy ra 1 2 k k+ ln nht bng 2- , t c khi ch khi 1.m = - Cỏch 2: C SC Ta cú: ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 k k x x + = - - - - (1) p dng Bt ng thc Cauchy, ta cú: Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luy ện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x + ³ = - - - - - - nên (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 4 2 1 4 2( ) 1 2 k k x x x x x x m x x x x m é ù + = - + £ - = - ê ú - - - - - - ê ú ë û = - = - = - - - é - + + ù é ù ë û - - + ê ú ë û Suy ra 1 2 k k+ lớn nhất bằng 2- , đạt được khi chỉ khi ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x x m x x - = - ¹ é = Û ê - = - + Û + = Û = - - - ë ( lo¹i do ) Cách 3: C ẦN CÙ VÀ CHÍNH XÁC Theo trên, d luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt. Lúc đó: 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 m m m x x mx m m m m x é - + + + = ê ê + - - = Û ê - - + + ê = ë Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 k k x x m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m + = - - = - - - - - + + + - - - + + - = - - é ù é ù + + - + + + + + ë û ë û é ù é ù + + - + + + + + + ë û ë û = - é ù é ù + + - + + + + + ë û ë û + + + = - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 8 6 4 1 2 2 2 2 1 m m m m m m m + + = - - - = - + - £ - é ù + + - + ê ú ë û Suy ra 1 2 k k+ lớn nhất bằng 2 - , đ ạt được khi chỉ khi 1.m = - Bài tập 6 : Cho hàm s ố 2+ - = x x m y có đồ thị là )( m H . Tìm m đ ể đường thẳng 0122: =-+ yx d cắt )( m H t ại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích là . 8 3 = S Bài gi ải: TXĐ: { } \ 2D R= - . Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luy ện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 10 Hoành độ giao điểm A, B của d và )( m H là các nghiệm của phương trình : 2 1 2 +-= + +- x x m x 2,0)1(22 2 -¹=-+ + Û x m xx (1) Để d cắt )( m H tại 2 điểm phân biệt Û Phương tr ình(1) có 2 nghiệm 21 , xx phân biệt khác 2- Y.c.b.t ï î ï í ì -¹ < Û î í ì ¹-+ >-= D Û 2 16 17 0 ) 1 ( 22 ) 2 .( 2 01617 2 m m m m (*) Ta có: . 16 17. 2 2 4 )(. 2 )(. 2 )()( 21 2 12 2 12 2 12 2 12 m xxxxxxyyxx AB -=-+=-=-+-= Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là . 22 1 = h Suy ra , 2 1 8 3 1617 . 2 2 . 22 1 . 2 1 2 1 = Û = - == D mm AB hS OAB th ỏa mãn (*) Kết luận: Vậy 2 1 = m là giá trị cần tìm. Bài t ập 7: Cho hàm số y = 2 2 x y x = - (C). Tìm m đ ể đường thẳng (d ): y x m= + cắt đồ thị (C) t ại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài gi ải: TXĐ: { } \ 2 D R= . Xét p hương trình hoành độ giao điểm của d và (C): ( ) ( ) 2 2 4 2 0 2 2 x x m x m x m x x = + Û + - - = ¹ - (1) Để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2. Y.c.b.t 2 16 4 0 m m ì D = + Û " í - ¹ î ( 2). Lúc đó, gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; A x x m B x x m+ + là 2 giao điểm của d và (C), với 1 2 , x x là 2 nghiệm c ủa phương trình (1). Theo định lí viet ta có 1 2 1 2 4 (3) 2 x x m x x m + = - ì í = - î * Đ ể A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị thì A, B nằm khác phía đối với TCĐ: 2 0x - = . Suy ra: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 0 2 4 0x x x x x x- - < Û - + + < (4) T hay (3) vào 4 ta được : – 4 < 0 luôn đúng (5) * M ặt khác ta lại có AB = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2( ) 8x x y y x x x x- + - = + - (6) T hay (3) vào (6) ta được 2 2 32 32AB m= + ³ . Suy ra: min 32AB = khi 0m = . Kết luận: Vậy m = 0 thoả mãn . [...]... + b Xột phng trỡnh honh giao im ca d v (C): x -1 = -2 x + b g ( x) = 2 x 2 - ( b - 3) x - ( b + 1) = 0 ( x ạ -1) (1) x +1 (d) ct (C) ti 2 im phõn bit Phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit khỏc -1 ỡD g = ( b - 3) 2 + 8 ( b + 1) > 0 ù b 2 + 2b + 17 > 0 "b (2) Y.c.b.t ớ ù ợ g (-1) = 2 + ( b - 3) - ( b + 1) ạ 0 "b Lỳc ú, gi A ( x1 ; -2 x1 + b ) , B ( x2 ; -2 x2 + b ) l 2 giao im ca d v (C), vi x1... III- BI TP T LUYN: 1) Tỡm ta giao im ca cỏc th sau: ỡ x2 3 2x - 4 ỡ ù ù y = - 2 + 3x - 2 ùy = a) ớ b) ớ x -1 x 1 ùy = + ùy = - x2 + 2x + 4 ợ ù 2 2 ợ ỡy = x4 - x2 + 1 ù d) ớ 2 ù ợy = 4x - 5 1 ỡ ùy = - x + 3 + g) ớ 1- x ù y = mx + 3 ợ 2 ỡ ùy = x f) ớ x -1 ù ợ y = -3 x + 1 ỡ ù y = x 3 - 5 x 2 + 10 x - 5 e) ớ 2 ù ợy = x - x + 1 2) Bin lun s giao im ca cỏc th sau: ỡ x3 x2 + - 2x y= ù ỡ... + 4 a3 ti 3 im phõn bit A, B, C vi AB = BC Bi toỏn 2: Xỏc nh tham s th hm s (C ) : y = ax 4 + bx 2 + c ( a ạ 0) ct trc honh ti 4 im phõn bit cú honh lp thnh cp s cng Phng phỏp: Lp hng trỡnh honh giao im: ax 4 + bx 2 + c = 0 (2) - t t = x 2 0 : (2) cú dng: at 2 + bt + c = 0 (3) Lý lun: (2) cú 4 nghim phõn bit khi ch khi (3) cú 2 nghim phõn bit: t1 , t2 : 0 < t1 < t2 (4) - Lỳc ú(2) cú 4 nghim:... ) Chng minh rng ng thng (d ) : y = 2 x + m x -1 luụn ct (C) ti hai im phõn bit A, B thuc hai nhỏnh khỏc nhau Xỏc nh m on AB cú di ngn nht -H THNG V KHI QUT: S TNG GIAO CA HAI TH HM BC BA 1 Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + 6 x ( C) v ng thng d i qua gc ta O v cú h s 2 3 4 5 6 7 gúc k Tỡm k d ct (C) ti 3 im phõn bit O, A, B sao cho AB = 17 Tỡm m ng thng d : y = x +... ỗ ữ +ỗ ữ = 48 ố OB ứ ố OC ứ 19 Cho (C) : y = x ( x + 3) + 4 v d l ng thng i qua A(-1; 0 ) v cú h s gúc bng k Tỡm k d ct (C) ti ba im phõn bit Trong trng hp ny, tỡm tp hp trung im M ca on thng ni hai giao im lu ng khi k thay i 20 Cho (C) : y = x3 - 3x 2 + 4 v ng thng d i qua A(3;4) v cú h s gúc m Tỡm m ng thng d ct (C) ti 3 im phõn bit A, M, N sao cho hai tip tuyn ca (C) ti M v N vuụng gúc nhau 21 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 k k x x m m m m m m m m m m m m m. >-= D Û 2 16 17 0 ) 1 ( 22 ) 2 .( 2 01 617 2 m m m m (*) Ta có: . 16 17. 2 2 4 )(. 2 )(. 2 )()( 21 2 12 2 12 2 12 2 12 m xxxxxxyyxx AB -=-+=-=-+-= Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là . 22 1 = h . - - - nên (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 4 2 1 4 2( ) 1 2 k k x x x x x x m x x x x m é ù + = - + £ - = - ê