CHUYÊN ĐỀ: TỤ ĐIỆN-NĂNG LƯỢNG ĐIỆN TRƯỜNG Tổ Vật Lí - Trường THPT Chuyên Hưng Yên A. Lý thuyết I. Tụ điện 1. Hệ vật dẫn tích điện cân bằng Xét một vật dẫn cô lập, khi tích điện cho vật đến điện tích Q thì điện thế của vật là V. Nếu ta tăng điện tích Q lên thì thấy điện thế V cũng tăng theo, và chúng có quan hệ tuyến tính với nhau. Do đó: .Q C V= Trong đó: C là hằng số phụ thuộc vào vật dẫn đó. Xét hệ hai vật dẫn cô lập về điện, nhưng có tương tác hưởng ứng với nhau. Khi đó điện tích trên tụ có sự phân bố phụ thuộc vào cả vật dẫn còn lại ( nhiễm điện do hưởng ứng). Do vậy điện tích trên quả cầu phụ thuộc vào vào cả điện thế trên vật còn lại. Sự phụ thuộc này ta có thể biểu diễn như sau: 1 11 1 12 2 . .Q C V C V= + Tương tự với điện tích trên vật thứ hai: 2 21 1 22 2 . .Q C V C V= + Trong đó: 11 22 ;C C là các hằng số chỉ phụ thuộc vào chính vật dẫn đó, gọi là điện dung của vật dẫn. 12 21 ;C C là các hằng số của vật này phụ thuộc vào vật kia, được gọi là hệ số hưởng ứng tĩnh điện. Mở rộng trong trường hợp có n vật dẫn thì: 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n Q C V C V C V Q C V C V C V Q C V C V C V = + + +   = + + +     = + + +  2. Tụ điện Tụ điện là trường hợp riêng của hệ vật dẫn: “ Tụ điện là hệ hai vật dẫn đặt gần nhau, không tiếp xúc với nhau”. Hai bản tụ đặt gần nhau nên sẽ có hiện tượng hưởng ứng điện. Khi toàn bộ đường sức điện trường xuất phát từ bản này đều kết thúc ở bản bên kia ( không có đường sức nào kết thúc ở vô cực ) thì xảy ra hiện tượng hưởng ứng toàn phần. Tụ điện mà chúng ta nghiên cứu trong bài này là tụ điện hưởng ứng toàn phần. Xét tụ điện gồm hai bản A và B tích điện lần lượt là ; A B q q với điện thế tương ứng mỗi bản là ; A B V V . Hai bản tạo thành hệ vật dẫn tích điện nên: 11 12 21 22 A A B A A B q C V C V q C V C V = +   = +  Do điều kiện hai bản hưởng ứng toàn phần của hai tụ nên: 0 A B q q+ = Mặt khác: hai bản có vai trò như nhau 12 21 C C⇒ = (1) Giả sử ta nối bản B với đất thì: 0 B V = 11 21 ( ) 0 A B A q q C C V⇒ + = + = 11 21 0C C⇒ + = ( Vì 0 A V ≠ ) (2) Lại có: 11 21 12 22 ( ) ( ) 0 A B A B q q C C V C C V⇒ + = + + + = 12 22 0C C⇒ + = (3) Từ (2) và (3) ta có: 12 21 12 21 12 22 12 22 0 0 C C C C C C C C + = = −   ⇒   + = = −   12 21 11 22 C C C C⇒ = = − = − Đặt: 11 22 0C C C= = > 12 21 0C C C⇒ = = − < ( ) A B A B q q C V V⇔ = − = − Đặt A B q q q= = : gọi là điện tích của tụ A A B A B q q q C V V V V U ⇒ = = = − − Trong đó C: đặc trưng cho khả năng tích điện của tụ và được gọi là điện dung của tụ điện. 3. Xác định điện dung của một số loại tụ điện a. Tụ điện phẳng Xét một tụ điện phẳng gồm hai bản vật dẫn có tiết diện S đặt song song với nhau. Khoảng không gian giữa hai bản chứa chất điện môi có hằng số điện môi ε . Tại điểm M nằm trong khoảng giữa hai tụ, cường độ điện trường tại M là: M E E E + − = + r r r Trong đó: ;E E + − r r lần lượt là cường độ điện trường Do bản tích điện dương và bản âm gây ra tại M. Vì E E + − ↑↑ r r nên: M E E E + − = + Mặt khác: theo định lý O-G độ lớn của cường độ điện trường do các bản gây ra tại M là: 0 2 E E δ εε + − = = với Q S δ = 0 0 2 2 q E E S δ εε εε + − ⇒ = = = 0 M E δ εε ⇒ = Nếu chon trục Ox có phương hướng từ bản dương sang bản âm, gốc O trùng với bản dương thì: M dV E dx= 0 0 0 B d d AB A B M A Q U V V dV E dx dx S εε ⇒ = − = = = ∫ ∫ ∫ 0 0 0 d Q Q x d S S εε εε = = 0 AB Q S C U d εε ⇒ = = : Công thức tính điện dung của tụ phẳng M E + r E − r b. Tụ cầu Xét một tụ cầu gồm 2 mặt cầu kim loại đặt đồng tâm, bán kính trong R 1 , bán kính ngoài R 2 . Tích điện cho tụ điện đến điện tích Q ( giả sử mặt cầu trong tích điện dương). Trong khoảng không gian giữa hai mặt cầu chứa đầy một chất điện môi có hằng số điện môi ε . Áp dụng định lý O-G cho một điểm bất kì nằm trong khoảng giữa hai mặt cầu, cách tâm cầu một đoạn r ( 1 2 R r R≤ ≤ ), ta có điện trường tại M là: 2 0 4 M Q E r πεε ⇒ = Điện thế giữa hai điểm nằm trên phương bán kính cách nhau một khoảng dr là: 2 0 4 M Q dV E dr dr r πεε = = Hiệu điện thế giữa hai bản tụ: 2 2 1 1 2 12 1 2 2 0 1 4 R R M R R Q U V V dV E dr dr r πεε ⇒ = − = = = ∫ ∫ ∫ 0 1 2 1 1 ( ) 4 Q R R πεε = − 0 1 2 12 2 1 4Q R R C U R R πεε ⇒ = = − : Công thức tính điện dung tụ cầu II. Năng lượng điện trường 1. Năng lượng của tụ điện a. Năng lượng của một hệ vật dẫn tích điện cân bằng Xét một hệ n vật dẫn tích điện cân bằng, điện tích của các vật dẫn lần lượt là: 1 2 3 ; ; ; ; n q q q q . Điện thế tương ứng của các bản lần lượt là: 1 2 3 ; ; ; ; n V V V V Năng lượng điện của hệ chính bằng công cần thiết để di chuyển toàn bộ hệ ra xa vô cùng. Do vai trò của các vật trong hệ là như nhau nên ta có: 1 1 2 2 1 1 1 W ( ) 2 2 n n n i i i qV q V q V qV = = + + + = ∑ Đối với một vật dẫn cô lập về điện tích điện là q thì năng lượng của nó được xác định bởi: 1 W 2 Vdq= ∫ b. Năng lượng của tụ điện Xét một tụ điện tích điện đến điện tích 1 2 ;q q và điện thế tương ứng là 1 2 ;V V ( giả sử 1 2 )V V> . Hệ điện tích trên có một năng lượng được xác định bởi: 1 1 2 2 1 W ( ) 2 qV q V= + Theo tính chất của tụ hưởng ứng toàn phần: 1 2 0q q q= − = > Gọi: 1 2 U V V= − là hiệu điện thế giữa hai bản, thì 1 2 ( )q C V V= − 2 2 1 2 1 1 1 1 W= ( ) 2 2 2 2 q q V V qU CU C ⇒ − = = = Chú ý: Ta có thể chứng minh biểu thức năng lượng của tụ bằng định luật bảo toàn điện tích cho mạch phóng hay nạp điện cho tụ từ một nguồn điện suất điện động E không đổi. 2. Năng lượng điện trường Khi ta tích điện cho tụ, khoảng không gian giữa hai bản tụ điện tồn tại một điện trường, và khi đó tụ điện mang một năng lượng tính theo các công thức ở trên. Người ta quan niệm rằng: Năng lượng của tụ điện thực chất là năng lượng của điện trường tồn tại trong không gian giữa hai bản tụ. Nawg lượng này có thể nói là chúng được định xứ trong khoảng không gian điện trường giữa hai bản tụ điện Để tìm được biểu thức của năng lượng điện trường, ta xét trường hợp cụ thể là tụ điện phẳng. Ta biết công thức xác định điện dung của tụ phẳng là: 0 S C d εε = Cường độ điện trường giữa hai bản tụ là điện trường đều: U E d = Thay vào biểu thức năng lượng của tụ ta được: 2 2 2 0 0 0 1 1 1 W ( ) ( ).( ) ( ). 2 2 2 E S V E Sd E V d εε εε εε = = = ∆ Trong đó: .V S d∆ = là thể tích khoảng không gian giữa hai tụ, và cũng chính là khoảng không gian chứa từ trường đều E. Như vậy có thể coi: 2 0 1 2 E E ω εε = là năng lượng của điện trường có chứa trong một đơn vị thể tích, gọi là mật độ năng lượng điện trường. Trong trường hợp điện trường không là điện trường đều thì năng lượng điện trường có thể xác định như sau: W E E V dV ω = ∫ B. Một số bài toán về tụ điện và năng lượng điện trường Bài 1. Có 21 tụ điện giống hệt nhau đều có điện dung C mắc nối tiếp với nhau rồi mắc vào một nguồn có hiệu điện thế U. Sau khi các tụ đã nạp điện xong, bỏ nguồn điện đi và một trong số các tụ điện được mắc ngược lại, tức là đảo vị trí hai bản của tụ điện đó, người ta mắc bộ tụ đó với một điện trở R. Tính điện lượng chạy qua điện trở R và nhiệt lượng toả ra ở điện trở đó. Giải: * Ban đầu: (hình vẽ 1). Điện dung tương đương của bộ tụ: 21 C C bo = ⇒ Điện tích của mỗi tụ là: (*) 21 0 UC CUq b =⋅= + Giải sử ta ngắt tụ thứ (n + 1) (nằm giữa nút n A và 1+n A ) rồi sau đó mắc ngược lại. )200( ≤≤ n . Khi đó điện tích ở các tụ đều thay đổi, hệ tương đương với bộ gồm 3 tụ có điện dung: 321 ,, CCC mắc nối tiếp nhau (hình vẽ 2). Trong đó: CC = 2 ; C n C = 1 1 và )1( 201 3 C n C − = + Gọi 321 ,, qqq lần lượt là điện tích các bản tụ bên trái của tụ 321 ,, CCC , khi mạch đã ổn định (không có điện lượng chuyển qua R nữa). Ta có: )2(0 3 3 2 2 1 1 210 =++= C q C q C q U AA + Áp dụng định luật bảo toàn điện tích: * Nút )3(0:, 310031210 qqqqqqqAA ==⇒=+−=− * Nút )4(2: 00021 qqqqqA n −=−−=+− + Thay (1), (3) vào (2) và (4) ta thu được:        −= = ⇔    −=+− =+ ⇔      −=+− =+−+ 21 40 21 2 2 020 2 0)20( 0 2 0 02 2 02 2 q q q q qqq qq qqq C q nn C q Điện lượng chạy qua R là: (**) 441 19 21 19 00 UC qqqq ⋅ =⋅=−= ∆ Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: WQW += 0       +         +−=−=⇒ 2 2 2 31 2 2 0 0 2 11 22 C q CC q C q WWQ b + + + + + + - - - A 0 C A 1 A 2 A 3 A 20 - A 21 ο ο U Hình 1 + - • • • • • • A 0 q 1 C 1 C 2 C 3 q 2 q 3 A n A n + 1 A 21 R Hình 2 • • • • Thay dữ liệu vào ta có: *)*(*0195,0 18522 361 21 8021 2 1 222 3 2 CUCUCUQ ⋅≈⋅=⋅ − ⋅= Bài 2. Một tụ điện được nạp điện tới hiệu điện thế 4E rồi đợc được mắc vào mạch gồm một điện trở, một nguồn điện có suất điện động là E, điện trở trong không đáng kể và một khoá K. Sau khi đóng khoá K, nhiệt lượng toả ra trên điện trở là Q. Hãy xác định điện dung của tụ điện. Giải: Vì chưa biết sơ đồ mạch điện nên ta chia 2 trường hợp: a)Trường hợp 1: Cực (+) của nguồn mắc với bản (+) của tụ. Điện tích ban đầu của tụ: CEECq 44 1 =⋅= Năng lượng ban đầu của tụ: CE C EC C q W 2 22 2 1 1 8 2 161 2 1 = ⋅ =⋅= Điện tích lúc sau của tụ: CEq = 2 . Năng lượng lúc sau của tụ là: 22 . 2 1 222 2 2 2 CE C EC C q W === Độ biến thiên năng lượng của tụ: CECE CE WWW 22 2 12 2 15 8 2 −=−=−= ∆ Mặt khác: CEEqqEqA nguon 2 12 3)( −=−=⋅= ∆ Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: QWA nguon += ∆ Suy ra: CECECEWAQ nguon 222 2 9 2 15 3 =+−=−= ∆ Do đó: 2 9 2 E Q C = Trường hợp 2: Cực (+) của nguồn mắc với bản (-) của tụ. Điện tích lúc đầu của tụ: CEq −= ' 2 Mặt khác ta có: CEECECEEqA nguon 2 5)4(.Δ =+== . Theo định luật bảo toàn năng lượng: QWA nguon += ∆ Suy ra: CECECEWAQ nguon 222 2 25 2 15 5 =+=−= ∆ Do đó: 2 25 2 E Q C = . Bài 3. Hai bản tụ điện phẳng được mắc vào một nguồn có s.đ.đ E và điện trở trong r. Các bản tụ đặt thẳng đứng và đưa một bình lớn chứa chất lỏng có khối lượng riêng 1 ρ và hằng số điện môi 1 ε tới sát mép dưới của các bản tụ. Khi đó chất lỏng sẽ bắt đầu được hút vào trong tụ. Trong thời gian thiết lập cân bằng trong hệ có toả ra nhiệt lượng là Q. Hỏi lượng nhiệt toả ra trong hệ này là bao nhiêu nếu thay chất lỏng trên bằng một chất lỏng khác có khối lượng riêng 2 ρ và hằng số điện môi 2 ε . Bỏ qua sức căng mặt ngoài. Giải: Khi tụ điện tích điện được chạm vào khối điện môi lỏng, nó tác động hút điện môi vào trong khoảng giữa hai bản (do điện môi bị phân cực bởi tác dụng của điện trường giữa hai bản tụ điện) và như vậy năng lượng của hệ giảm đi. Công của lực điện trường kéo điện môi lên trong khoảng giữa hai bản tụ điện biến thành thế năng của cột điện môi trong trọng trường. Công này lại bằng biến thiên năng lượng của hệ tụ điện - nguồn và có giá trị: ( ) 12 2 2 CC E A −= trong đó d lh C 0 1 ε = ; ( ) ( ) d lH C d lH d Hhl C ⋅− +=+ − = 1 0 1 00 2 εεεεε trong đó H, ε là điện môi và chiều cao của cột chất lỏng trong bản tụ; hl, là bề rộng và chiều cao của bản tụ; d là khoảng cách hai bản tụ. ( ) 2 1 2 0 E d lH A ⋅ ⋅− =⇒ εε Thế năng cột điện môi: 2 2 gldH W t ρ = với ρ là khối lượng riêng điện môi. Ta có : ( ) 2 2 2 0 1 gd E HWA t ρ εε ⋅− =⇒= ( ) d lh gd lE C 0 2 22 0 2 1 ε ρ εε + ⋅− =⇒ Nhiệt lượng toả ra trên điện trở trong của nguồn là: Q ( ) ( ) 2 4 2 2 0 2 12 2 1 2 1 gd lE ECC ρ εε − =−= Với chất điện môi 1 ε có khối lượng riêng của 1 ρ ta có: ( ) Q gd lE Q = ⋅− = 2 1 4 2 1 2 0 1 2 1 ρ εε Với chất điện môi 2 ε khối lượng riêng của 2 ρ ta có: ( ) 2 2 4 2 2 2 0 2 2 1 gd lE Q ρ εε ⋅− = Vậy: 2 1 2 2 1 2 1 1         − − ⋅⋅= ε ε ρ ρ QQ Đây là nhiệt lượng toả ra trên điện trở r của nguồn khi trạng thái cân bằng được thiết lập. Bài 4. Hai tụ phẳng giống nhau có cùng điện dung C và điện tích q 0 . Tăng nhanh khoảng cách hai bản trong tụ điện dưới lên 2 lần. Bỏ qua động năng của các bản đó, hãy tìm công thực hiện trong quá trình ấy. Xác định nhiệt lượng tỏa ra trên mỗi điện trở nếu biết rằng 2 1 2R R= . [...]... mạch điện như hình vẽ: các tụ điện giống nhau đều có điện dung C = 100µF , điện trở R = 100kΩ , nguồn điện có s.đ.đ E = 10V và điện trở trong r = 1Ω Đóng khoá K Xác định cường độ dòng điện qua điện trở tại thời điểm sau khi đóng khoá K 0,1s và cường độ dòng điện qua nguồn tại thời điểm đó Tính nhiệt lượng toả ra trên điện trở sau một khoảng thời gian dài Giải: Sau khi đóng mạch các tụ điện nạp điện. .. sau 0,1s điện tích thực tế không đi qua điện trở - điện thế đầu dưới của điện trở bằng 0,2V = 2 (vôn) đầu trên của điện trở có điện thế V = 10 (vôn) Bởi vậy dòng điện qua điện trở trong thời gian chúng ta quan tâm bằng: IR = 0,8V = 0,08mA R Sau thời gian điện tích q đi qua điện trở, điện tích tổng cộng của hai tụ dưới tăng  3q q  +  .C = 0,8q 5C 5C   một lượng : Rõ ràng là chính điện lượng này... sẽ làm cho hiệu điện thế bằng không, từ đó ta có: Q= 4CV 3 Do đó nhiệt lượng tỏa ra trên R bằng : W = 1 1 4.CV 8 ∆ϕ bandau Q = 0,8V = CV 2 ≈ 5mJ 2 2 3 15 Bài 7 Trong mạch điện như hình vẽ, nguồn điện có điện trở không đáng kể, ba điện trở đều bằng R, tụ điện có điện dung C Hãy tính nhiệt lượng toả ra trên điện trở R2 sau khi đóng khoá K, biết điện lượng chạy qua nó là q Giải: Mạch điện trên tương... phương pháp điện thế nút để tiến hành tính toán Giả sử có điện lượng q đi qua điện trở, điện thế các nút ký hiệu là v và u và điện thế của điểm trên cũng là V Khi đó với điện trở trong rất nhỏ và dòng qua nguồn rất nhỏ có thể coi V = 10(V ) Nếu có một điện lượng q đi qua điện trở thì điện tích tổng cộng của các bản có điện thế u là q: C ( v − u ) + Cu = q Điện tích tổng cộng của các bản có điện thế v... đã đi qua nguồn Nó nhận được nhỏ hơn điện tích q vì tụ điện trên có phóng điện, một phần điện tích của nó đi theo nguồn theo chiều ngược lại, do đó dòng qua nguồn bằng: I ng = 0,8I R = 0,064mA Để tính nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở ta viết hiệu điện thế trên nó như là 1 hàm số ∆ϕ = 0,8V − của điện lượng đi qua nó: 0,6q C Rõ ràng đây là sự phụ thuộc tuyến tính Điện tích toàn phần đi qua sau một khoảng... bản tụ dưới lên 2 lần, điện tích trên các tụ chưa kịp biến thiên (không có dòng trong mạch), công thực hiện chỉ để làm tăng năng lượng tụ dưới: 2 2 2 2 q0  1 1  q0 q0 q0 = ⋅ − = A = ∆W = − 2  C / 2 C  2C 2C ′ 2C Sau đó điện tích trên các tụ sẽ phân bố lại Khi ổn định gọi điện tích của tụ trên là q1 và của tụ dưới là q 2 , ta có: U AB = q1 q = 2 C C/2 ⇒ q1 = 2q 2 Áp dụng định luật bảo toàn điện. .. R0 R0 2 1 1 1 = + r R1 R0 2 R ⇒r= R 2 M R 1 R 0 Vì điện lượng chạy qua R2 là q nên tụ điện được nạp điện tích q C R E N 2 Khi ở trạng thái ổn định hiệu điện thế trên tụ là ε và không có dòng M qua R2 Gọi Q là nhiệt lượng toả ra trên r và R2 Vì dòng điện qua R2 ε,r và qua r bằng nhau tại mọi thời điểm nên: C QR2 R = 2 =2 Qr r với QR2 , Qr là nhiệt lượng toả ra R2 N trên R2 và r 2 Do vậy QR2 = Q Công... khi đóng mạch các tụ điện nạp điện rất nhanh còn dòng điện qua điện trở rất nhỏ Thực vậy dòng điện tích lúc đầu được xác định bởi điện trở trong rất nhỏ của nguồn: “thời gian đặc trưng R K• • • • E, r của điện tích” có giá trị cỡ bằng tích của điện dung toàn phần (ở đây có thể lấy bằng C) và điện trở trong r với rC = 10 −4 s . lượng điện trường. Trong trường hợp điện trường không là điện trường đều thì năng lượng điện trường có thể xác định như sau: W E E V dV ω = ∫ B. Một số bài toán về tụ điện và năng lượng điện trường Bài. bản tụ điện tồn tại một điện trường, và khi đó tụ điện mang một năng lượng tính theo các công thức ở trên. Người ta quan niệm rằng: Năng lượng của tụ điện thực chất là năng lượng của điện trường. CHUYÊN ĐỀ: TỤ ĐIỆN-NĂNG LƯỢNG ĐIỆN TRƯỜNG Tổ Vật Lí - Trường THPT Chuyên Hưng Yên A. Lý thuyết I. Tụ điện 1. Hệ vật dẫn tích điện cân bằng Xét một vật dẫn cô lập, khi tích điện cho