DANH SÁCH SINH VIÊN NHÓM 3 LỚP TOÁN 2007B 1 Trần Thị Tài Nguyên 2 Nguyễn Thị Ngọc Hân 3 Trần Thị Thu Trúc 4 Nguyễn Lê Phương Thùy 5 Nguyễn Văn Nghĩa 6 Hồ Anh Thi 7 Hồ Kim Chọn 8 Võ Huỳnh Duy Khánh 9 Trần Vĩnh Thông 10 Ngô Văn Trọng 11 Nguyễn Hiền Nhân 0 MỤC LỤC PHẦN I - LÝ THUYẾT 1 1 Ánh xạ xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Các phép thấu xạ trong không gian P n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Các định lí cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 PHẦN II - BÀI TẬP 9 Tài liệu 24 0 PHẦN II BÀI TẬP 9 Bài 1: trang 74 Cho không gian xạ ảnh (P n , p, V n+1 ). Các phép vị tự của V n+1 đại diện cho những phép biến đổi xạ ảnh nào của P n ? Giải Các phép vị tự k.id v : V n+1 −→ V n+1 −→ x −→ k.id v ( −→ x ) = k. −→ x (k ∈ K ∗ ) là ánh xạ tuyến tính đại diện cho phép biến đổi xạ ảnh đồng nhất. id v : P n −→ P n M −→ id v (M) = M Bài 2: trang 74 Nếu biến đổi xạ ảnh f : P n −→ P n giữ bất động r + 1 điểm độc lập nằm trên một r - phẳng thì nó có giữ bất động mọi điểm của r - phẳng đó không? Giải Nếu f giữ bất động r + 1 điểm độc lập nằm trên r - phẳng thì f không giữ bất động mọi điểm của r - phẳng đó. Chẳng hạn, trong P 2 ta xét phép biến đổi xạ ảnh f có biểu thức tọa độ:    kx  0 = 4x 0 − x 1 kx  1 = 6x 0 − 3x 1 kx  2 = x 0 − x 1 − x 2 cho đường thẳng (d): x 0 − x 1 = 0. Ta thấy f biến điểm A(0: 0: 1) và B(1: 1: 0) nằm trên d thành chính nó. Nhưng M(1: 1: 1) thuộc d mà f(M) = (3 : 3 : 1) = M. Bài 3 trang 74 Trong P n cho r-phẳng U, trên U lấy r + 2 điểm trong đó bất kì R + 1 điểm nào đều độc lập. Chứng tỏ rằng, nếu r + 2 điểm đó đều bất qua phép biến đổi xạ ảnh của P n , thì mọi điểm của U đều bất động. Giải Giả sử S 0 , S 1 , . . . , S r , E là n + 2 điểm trong r-phẳng U thỏa điều kiện bài toán. Gọi −→ e 0 , −→ e 1 , . . . , −→ e r , −→ e lần lượt là các vectơ đại diện cho S 0 , S 1 , . . . , S r , E là n + 2. Trên U ta có r điểm độc lập S 0 , S 1 , . . . , S r , E là n + 2. Vì E ∈ U nên ta có −→ e = t 0 −→ e 0 + t 1 −→ e 1 + . . . + t r −→ e r (1) Đặt −→ e  0 = t 0 −→ e 0 , −→ e  1 = t 1 −→ e 1 , . . . , −→ e  r = t r −→ e r . Đây cũng là các vectơ đại điện cho điểm S 0 , S 1 , . . . , S r . (1) ⇒ −→ e = −→ e  0 + −→ e  1 + . . . + −→ e  r 10 Vì S 0 , S 1 , . . . , S r , E bất động nên ϕ( −→ e  0 ) = k 0 −→ e  0 k i = 0, ∀i = 1, r ϕ( −→ e  1 ) = k 1 −→ e  1 k = 0 . . . ϕ( −→ e  r ) = k r −→ e  r Do đó ϕ( −→ e ) = −→ e  0 + −→ e  1 + . . . + −→ e  r ) ⇒ k( −→ e  0 + −→ e  1 + . . . + −→ e  r ) = k 0 −→ e  0 + k 1 −→ e  1 + . . . + k r −→ e  r ⇒ (k − k 0 ) −→ e  0 + (k − k 1 ) −→ e  1 + . . . + (k − k r ) −→ e  r = 0 Vì { −→ e  0 , −→ e  1 , . . . , −→ e  r } độc lập tuyến tính nên k = k 0 = k 1 = . . . = k r . Lấy M ∈ U có vectơ đại diện là −→ m . Khi đó −→ m = l 0 −→ e 0 + l 1 −→ e 1 + . . . + l r −→ e r ⇒ ϕ( −→ m) = kl 0 −→ e  0 + kl 1 −→ e  1 + . . . + kl r −→ e  r ) = k(l 0 −→ e  0 + l 1 −→ e  1 + . . . + l r −→ e  r = k −→ m Do đó f(M) = M. Vậy mọi điểm thuộc U đều bất động. Bài 4: trang 74 Trong P n cho phép biến đổi xạ ảnh có biểu thức tọa độ: k.x  = A.x. Tìm tọa độ của: a Ảnh của siêu phẳng u = (u 0 : u 1 : : u n ). b Tạo ảnh của điểm X , = (x , 0 : x , 1 : : x , n ) . c Tạo ảnh của siêu phẳng u , = (u , 0 : u , 1 : : u , n ). Giải a. Cho siêu phẳng u = [u 0 : u 1 : : u n ]. Ta có: [u] t .[x] = 0. Mặt khác phép biến đổi xạ ảnh biến siêu phẳng u thành siêu phẳng u , có biểu thức tọa độ là k.x  = A.x. Khi đó tọa độ của các điểm thuộc siêu phẳng u  thỏa:  [u] t .[x] = 0 k.[x , ] = A[x] ⇒  [u] t .[x] = 0 k.[u].A −1 [x , ] = [u] t .[x] Do detA = 0 =⇒ ∃A −1 =⇒ k.[u] t .A −1 [x , ] = 0 (1) 11 Do đó (1) là ảnh của siêu phẳng u. b. Với X  = (x  0 : x  1 : : x  n ) Suy ra tọa độ tạo ảnh là [x] = k.A −1 .[x  ] c. Ta có: u  = [u  0 : u  1 : : u  n ] =⇒ [u  ] t .[x  ] = 0 Khi đó tọa độ các điểm thuộc tạo ảnh của siêu phẳng u  thỏa  [u  ].[x  ] = 0 k.[x  ] = A[x] ⇒ [u  ] t .A.[x] = 0 Bài 5: trang 74 Trong P n cho phép biến đổi xạ ảnh f có biểu thức tọa độ: k.x  = A.x. Gọi χ(λ) = det(A − λI n ) là đa thức đặc trưng của ma trận A (I n lmatrnØnvcpn). Chứng minh rằng: a Tọa độ (x 0 : x 1 : : x n ) của điểm bất động là nghiệm của hệ phương trình: A−λI n )x = 0, trong đó λ là nghiệm của đa thức đặc trưng. b Tọa độ (u 0 : u 1 : : u n ) của siêu phẳng bất động là nghiệm của hệ: (A t − λI n ) = 0, trong đó λ là nghiệm của đa thức đặc trưng. c Nếu λ là nghiệm đơn của đa thức đặc trưng thì điểm bất động và siêu phẳng bất động ứng với nghiệm đó không thuộc nhau. Giải a) Phép biến đổi xạ ảnh f có phương trình: kx  = Ax Khi đó phương trình tìm điểm bất động của f là: kx = Ax ⇔ (A − kI n )x = 0 (1) Đây là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có n + 1 phương trình với n + 1 ẩn số. Muốn hệ phương trình này có nghiệm không tầm thường thì |A − kI n | = 0 với mọi nghiệm k = λi của hệ phương trình |A − kI n |. Ta có các điểm bất động của f ứng với giá trị riêng λ i có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình (A − kI n )x = 0. Bài 6: trang 75 Trong P 2 cho mục tiêu xạ ảnh S 0 , S 1 , S 2 ; E.Tìm biểu thức tọa độ của các phép biến đổi xạ ảnh thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây: a. Các S i đều là điểm bất động (tức là biến thành chính nó). b. Các điểm S 0 , S 1 , S 2 lần lượt biến thành S 1 , S 2 , S 0 và điểm E bất động. c. Điểm S 0 bật động, đường thẳng S 1 S 2 bật động (đường thẳng biến thành chính nó) và S 1 biến thành S 2 . 12 Giải Gọi −→ e 0 , −→ e 1 , −→ e 2 lần lượt là các véctơ đại diện cho các điểm S 0 , S 1 , S 2 . a. vì f(S 0 ) = S 0 ⇒ ϕ( −→ e 0 ) = k 0 −→ e 0 f(S 1 ) = S 1 ⇒ ϕ( −→ e 1 ) = k 1 −→ e 1 f(S 2 ) = S 2 ⇒ ϕ( −→ e 2 ) = k 2 −→ e 2 Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh f là:      k  x  0 = k 0 x 0 k  x  1 = k 1 x 1 (k 0 ; k 1 ; k 2 = 0) k  x  2 = k 0 x 2 b.Vì f(S 0 ) = S 1 ⇒ ϕ( −→ e 0 ) = k 0 −→ e 1 f(S 1 ) = S 2 ⇒ ϕ( −→ e 1 ) = k 1 −→ e 2 f(S 2 ) = S 0 ⇒ ϕ( −→ e 2 ) = k 2 −→ e 0 Biểu thức tọa độ của f có dạng      k  x  0 = k 2 x 2 k  x  1 = k 0 x 0 (k 0 ; k 1 ; k 2 = 0) k  x  2 = k 1 x 1 Vì f(E) = E nên      k = k 2 k = k 0 k = k 1 ⇒ k 0 = k 1 = k 2 = k Chọn k = 1. Vậy biểu thức tọa độ của f cần tìm có dạng:      k  x  0 = x 2 k  x  1 = x 0 k  x  2 = x 1 c. Vì f(S 0 ) = S 0 ⇒ ϕ( −→ e 0 ) = k 0 −→ e 0 f(S 1 ) = S 2 ⇒ ϕ( −→ e 1 ) = k 1 −→ e 2 Biểu thức tọa độ cảu f có dạng:      k  x  0 = k 0 x 0 + a 2 x 2 k  x  1 = k 1 x 1 + b 2 x 2 k  x  2 = c 2 x 2 Phương trình tổng quát của đường thẳng S 1 S 2 : x 0 = 0 Vì M(0 : y 1 : y 2 ) ∈ S 1 S 2 biến thành M  (0 : y  1 : y  2 ) ∈ S 1 S 2 Nên      0 = + a 2 y 2 ky  1 = k 1 y 1 + b 2 y 2 ky  2 = c 2 y 2 ⇒  a 2 = 0 k 1 , c 2 = 0 Vậy biểu thức tọa độ của f cần tìm là:      k  x  0 = k 0 x 0 k  x  1 = k 1 x 1 + b 2 x 2 k  x  2 = c 2 x 2 với k 0 , k 1 , c 2 = 0. Bài 7: trang 75 Gọi S 0 , S 1 , S 2 , S 3 ; E là mục tiêu xạ ảnh trong P 3 . Tìm biểu thức tọa độ của tất cả các phép biến đổi xạ ảnh f : P 3 −→ P 3 thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây: a Các điểm S 0 , S 1 , S 2 , S 3 điều biến thành chính nó. 13 b Hai đường thẳng S 0 S 1 và S 2 S 3 điều biến thành chính nó. c Các đường thẳng S 0 S 1 biến thành đường thẳng S 2 S 3 . d Chỉ có hai điểm bất động là S 0 , S 2 và chỉ có một đường thẳng bất động là S 1 , S 3 . e Có hai đường thẳng bất động là S 0 S 1 và S 2 S 3 , không có điểm bất động và đường thẳng bất động. f Các điểm S 0 , S 1 và mọi điểm trên S 2 S 3 đều bất động. g Các điểm của mặt phẳng < S 0 , S 1 , S 2 > đều bất động và đường thẳng S 0 S 3 bất động. Giải a. Biểu thức tọa độ của f có dạng: k     x  0 x  1 x  2 x  3     =     a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d         x 0 x 1 x 2 x 3     Ta có: f(E) = E  ⇒ (f) :        kx  0 = k 0 x 0 kx  1 = k 1 x 1 kx  2 = k 2 x 2 kx  3 = k 3 x 3 Với k i = 0 tùy ý, i = 0, 3. b. Gọi −→ e 0 , −→ e 1 , −→ e 2 , −→ e 3 lần lượt là các vector đại diện của S 0 , S 1 , S 2 , S 3 . Phương trình tổng quát của các đường thẳng : S 0 S 1 :  x 2 = 0 x 3 = 0 S 2 S 3 :  x 0 = 0 x 1 = 0 Biểu thức tọa độ của f có dạng : f :        k  x  0 = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 k  x  1 = b 0 x 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 k  x  2 = c 0 x 0 + c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 k  x  3 = d 0 x 0 + d 1 x 1 + d 2 x 2 + d 3 x 3 Vì M(y 0 : y 1 : 0 : 0) ∈ S 0 S 1 biến thành M  (y 0  : y 1  : 0 : 0) ∈ S 0 S 1 . Nên: f :        ky  0 = a 0 y 0 + a 1 y 1 ky  1 = b 0 y 0 + b 1 y 1 0 = c 0 y 0 + c 1 y 1 0 = d 0 y 0 + d 1 y 1 ⇒        c 0 = c 1 = 0 d 0 = d 1 = 0     a 0 a 1 b 0 b 1     = 0 Tương tự N(0 : 0 : z 2 : z 3 ) ∈ S 2 S 3 biến thành N  (0 : 0 : z 2  : z 3  ) ∈ S 2 S 3 . Nên: f :        0 = a 2 z 2 + a 3 z 3 0 = b 2 z 2 + b 3 z 3 k”z  2 = c 2 z 2 + c 3 z 3 k”z  3 = d 2 z 2 + d 3 z 3 ⇒        a 2 = a 3 = 0 b 2 = b 3 = 0     c 2 c 3 d 2 d 3     = 0 14 Vậy biểu thức tọa độ của f cần tìm là : f :        k  x  0 = a 0 x 0 + a 1 x 1 k  x  1 = b 0 x 0 + b 1 x 1 k  x  2 = c 2 x 2 + c 3 x 3 k  x  3 = d 2 x 2 + d 3 x 3 Với            a 0 a 1 b 0 b 1     = 0     c 2 c 3 d 2 d 3     = 0 c. Phương trình tổng quát của các đường thẳng (S 0 S 1 ):  x 2 = 0 x 3 = 0 ; (S 2 S 3 ):  x 0 = 0 x 1 = 0 Biểu thức tọa độ của f có dạng : f :        k  x  0 = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 k  x  1 = b 0 x 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 k  x  2 = c 0 x 0 + c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 k  x  3 = d 0 x 0 + d 1 x 1 + d 2 x 2 + d 3 x 3 Vì M(y 0 : y 1 : 0 : 0) ∈ S 0 S 1 biến thành điểm N(0 : 0 : z 2 : z 3 ) ∈ S 2 S 3 . Nên: f :        0 = a 0 y 0 + a 1 y 1 0 = b 0 y 0 + b 1 y 1 kz 2 = c 0 y 0 + c 1 y 1 kz 3 = d 0 y 0 + d 1 y 1 ⇒        a 0 = a 1 = 0 b 0 = b 1 = 0     c 0 c 1 d 0 d 1     = 0 Vậy biểu thức tọa độ của f cần tìm là: f :        k  x  0 = a 2 x 2 + a 3 x 3 k  x  0 = b 2 x 2 + b 3 x 3 kz 2 = c 0 x 0 + c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 kz 3 = d 0 x 0 + d 1 x 1 + d 2 x 2 + d 3 x 3 ⇒            a 2 a 3 b 2 b 3     = 0     c 0 c 1 d 0 d 1     = 0 d. Ta có f(S 0 ) = S 0 , f(S 2 ) = S 2 . Nên φ( −→ e 0 ) = k 0 −→ e 0 , φ( −→ e 2 ) = k 2 −→ e 2 . Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh f có dạng:        k  x  0 = k 0 x 0 + a 1 x 1 + a 3 x 3 k  x  1 = b 1 x 1 + b 3 x 3 k  x  2 = c 1 x 1 + k 2 x + c 3 x 3 k  x  3 = d 1 x 1 + d 3 x Phương trình tổng quát của đường thẳng (S 1 S 3 ):  x 0 = 0 x 2 = 0 Vì M(0 : y 1 : 0 : y 3 ) ∈ S 1 S 3 biến thành M  (0 : y  1 : 0 : y  3 ) ∈ S 1 S 3 . Nên: f :        0 = a 1 y 1 + a 3 y 3 ky  1 = b 1 y 1 + b 3 y 3 0 = c 1 y 1 + c 3 y 3 ky  3 = d 1 y 1 + d 3 y 3 ⇒        a 1 = a 3 = 0 c 1 = c 3 = 0     b 1 b 3 d 1 d 3     = 0 15 Vậy biểu thức tọa độ của f cần tìm là:        k  x  0 = k 0 x 0 k  x  1 = b 1 x 1 + b 3 x 3 k  x  2 = k 2 x 2 k  x  3 = d 1 x 1 + d 3 x 3 Với    k 0 , k 2 = 0     b 1 b 3 d 1 d 3     = 0 e. Theo câu b ta có biểu thức tọa độ của f là: f:            k  x  0 = a 0 x 0 + a 1 x 1 k  x  1 = b 0 x 0 + b 1 x 1 k  x  2 = c 2 x 2 + c 3 x 3 k  x  3 = d 2 x 2 + d 3 x 3 , với                 a 0 a 1 b 0 b 1      = 0      c 2 c 3 d 2 d 3      = 0 Ta có phương trình của f là:          a 0 − k a 1 0 0 b 0 b 1 − k 0 0 0 0 c 2 − k c 3 0 0 d 2 d 3 − k          = 0 ⇔      a 0 − k a 1 b 0 b 1 − k           c 2 − k c 3 d 2 d 3 − k      = 0 ⇔ [(a 0 − k)(b 1 − k) − b 0 a 1 ][(c 2 − k)(d 3 − k) − c 3 d 2 ] = 0 ⇔ (k 2 − (a 0 + b 1 )k + c 2 d 3 − c 3 d 2 ) = 0 ⇔  k 2 − (a 0 + b 1 )k + a 0 b 1 − a 1 b 0 = 0(1) k 2 − (c 2 + d 3 )k + c 2 d 3 − c 3 d 2 = 0(2) Để qua phép biến đổi xạ ảnh f trong P 3 không có điểm bất động và mặt phẳng bất động thì phương trình (1) và (2) chỉ có nghiệm kép. Tức là  (a 0 + b 1 ) 2 − 4(a 0 b 1 − a 1 b 0 ) = 0 (c 2 + d 3 ) 2 − 4(c 2 d 3 − c 3 d 2 ) = 0 ⇔  (a 0 − b 1 ) 2 + 4a 1 b 0 = 0 (c 2 − d 3 ) 2 + 4c 3 d 2 = 0 ⇔            a 1 b 0 < 0 c 3 d 2 < 0 a 0 − b 1 = ±2  −a 1 b 0 c 2 − d 3 = ±2  −c 3 d 2 Vậy 16 [...]... thấu xạ: Ta có Si bất động Gọi d là đường thẳng bất kì đi qua Si Ta sẽ chứng minh d là bất động Lấy X(x0 : x1 : : xn ) ∈ d f (X) = (ax0 : ax1 : : ai xi : : axn ) = aM + xi (ai − a)Si ∈ d Vậy Si là tâm thấu xạ của f 30 Tài liệu 1 Văn Như Cương - Hình học xạ ảnh - Nhà xuất bản Đại học sư phạm 2 Phạm Bình Đô - Bài tập hình học xạ ảnh - Nhà xuất bản Đại học sư phạm 3 Nguyễn Mộng Hy - Bài tập hình. .. i = 1, 2, 3 Ý nghĩa hình học: Phép biến đổi afin sinh ra trong ánh xạ xạ ảnh trên là phép đối xứng tâm là gốc tọa độ b Phép afin sinh ra bởi phép xạ ảnh là:  X1 = X1  f: X2 =   X3 = −X2 X3 18 Ý nghĩa hình học: M (X1 , X2 , X3 ) → f (M ) = (X1 , −X2 , X3 ) ⇒ Phép afin sinh ra trong ánh xạ xạ ảnh trên là phép lấy đối xứng qua mặt phẳng x2 = 0 c Phép afin  ra bởi phép xạ ảnh là: sinh  X1 = X1 ... X1  f: X2 =   X2 −X3 X3 = Ý nghĩa hình học: M (X1 , X2 , X3 ) ∈ A3 → f (M ) = (X1 , X2 , −X3 ) ⇒ Phép afin sinh ra trong ánh xạ xạ ảnh trên là phép lấy đối xứng qua mặt phẳng x3 = 0 d.Phép afin  ra bởi phép xạ ảnh là: sinh  X1 = X1  f: X2 =   X2 X3 = −2X1 − 2X2 − X3 Bài 1 trang 85: Trong P 3 cho mục tiêu {S0 , S1 , S2 , S3 ; E} Viết biểu thức của phép thấu xạ 1-cặp với cơ sở là cặp đường thẳng... = Bài 8: Trang 76 Các phép biến đổi xạ ảnh dưới đây của P3 sinh ra những phép afin nào, giải thích ý nghĩa hình học của những phép afin đó? a kx0 = x0 , kxi = −xi , i = 1, 2, 3 b kx0 = x0 , kx1 = x1 , kx2 = −x2 , kx3 = x3 c kx0 = x0 , kx1 = x1 , kx2 = x2 , kx3 = −x3 d kx0 = x0 , kx1 = x1 , kx2 = x2 , kx3 = −2x1 − 2x2 − x3 Giải a Phép afin sinh ra bởi phép xạ ảnh là: Xi = −Xi , i = 1, 2, 3 Ý nghĩa hình. .. 3x3    k x3 = 9x0 − 9x2 + 7x3  kx  0      kx1 Bài 8: trang 86 Trong P n với mục tiêu xạ ảnh {S0 , S1 , , Sn ; E} cho phép thấu xạ đơn f khác phép dồng nhất sao cho mọi điểm Si đều bất động a Chứng tỏ rằng tâm của phép thấu xạ là một trong các đỉnh Si b Viết biểu thức tọa độ của f nếu Si là tâm thấu xạ Giải Vì f là phép thấu xạ đơn nên trong n + 1 điểm bất động Si , (i = 0, n) phải có... x0 = ax0   k x1 = ax1 Vậy biểu thức tọa độ cần tìm của f là:(f) cx2  k x2 =   k x3 = với a,c = 0 dx3 Bài 2 trang 85:   kx0 = 2x0 + x1 + x2 2 Trong P , cho phép biến đổi xạ ảnh: kx1 = x0 + 2x1 + x2 Chứng tỏ rằng đó là một  kx2 = x0 + x1 + 2x2 phép thấu xạ cặp Xác định cơ sở và tỉ số thấu xạ Giải 2−k 1 1 1 2−k 1 Tìm các điểm bất động của f Ta có: =0 1 1 2−k k1 = 4 ⇔ −k 3 + 6K 2 − 9k + 4 = 0 ⇔... + x1 + x2 = 0 Nên f là phép thấu xạ 0-cặp với cơ sở là ⇒ x0 + x1 + x2 = 0 vì O ∈V 0-cặp (O,V) Tỉ số thấu xạ: Lấy B(0:1:-1) ∈ V, M=2(O)+(B)= (2:3:1) ∈ OB f (M ) = M = (8 : 9 : 7) ∈ OB 8 1 2 1 9 1 3 1 : =4 k = [M, M , O, B]= 2 0 8 1 3 1 9 1 Bài 3: trang 85 Trong P3 cho mặt phẳng V có phương trình: x0 + x1 + x2 + x3 = 0 Gọi f là phép thấu xạ đơn có cơ sở V, có tâm thấu xạ (1: 0: 0: 0) Tìm biểu thức tọa...   kx0   kx1  kx2   kx3 = −x0 − 2x1 − 2x2 − 2x3 = x1 = x2 = x3 Bài 4: trang 85 Trong P2 cho các điểm A = (1: 1: 1), B = (0: 1: 2), C(1: 0: 3), D = (1: 2: 0), E = (3: 0: 2) Tìm biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh f : P2 −→ P2 , biết rằng f giữ bất động các điểm A, B, C và biến điểm D thành điểm E Đó có phải là phép thấu xạ không? Giải 24 Biểu thức tọa độ của f có dạng:   k x 0 = a0 x 0... không thẳng hàng do đó f không phải là phép thấu xạ vì không tồn tại đường thẳng d nào để mọi điểm trên d qua f đều bất động Bài 5 trang 86: Trong P3 cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình: x0 − x1 2x0 + x2 + 3x3 4x0 − 3x1 + x3 x0 + x2 = 0 = 0 = 0 = 0 Tìm biểu thức tọa độ của phép thấu xạ 1 - cặp với cơ sở là cặp (d, d’) và tỉ số thấu xạ k = -1 Giải Đặt (d) : x0 − x1 2x0 + x2 + 3x3 =... trình: x0 + x1 + x2 + x3 = 0 Gọi f là phép thấu xạ đơn có cơ sở V, có tâm thấu xạ (1: 0: 0: 0) Tìm biểu thức tọa độ của f trong các trường hợp sau đây: a Tỉ số thấu xạ k = 3 b f biến điểm (0: 1: 1: 1) thành điểm (3: 1: 1: 1) Tìm tỉ số thấu xạ c f có tính chất đối hợp, nghĩa là f 2 là phép đồng nhất Giải 20 a) Lấy M (0 : 1 : 0 : 0) ∈ V và M = O =⇒ (OM ) : / x2 = 0 x3 = 0 A = OM ∩ V =⇒ A(1 : −1 : 0 : 0) . định lí cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 PHẦN II - BÀI TẬP 9 Tài liệu 24 0 PHẦN II BÀI TẬP 9 Bài 1: trang 74 Cho không gian xạ ảnh (P n , p, V n+1 ). Các phép. bởi phép xạ ảnh là: X  i = −X i , i = 1, 2, 3  Ý nghĩa hình học: Phép biến đổi afin sinh ra trong ánh xạ xạ ảnh trên là phép đối xứng tâm là gốc tọa độ. b. Phép afin sinh ra bởi phép xạ ảnh là: f:      X  1 =. nghĩa hình học: M(X 1 , X 2 , X 3 ) → f(M) = (X 1 , −X 2 , X 3 ) ⇒ Phép afin sinh ra trong ánh xạ xạ ảnh trên là phép lấy đối xứng qua mặt phẳng x 2 = 0. c. Phép afin sinh ra bởi phép xạ ảnh là: f:      X  1 =