Đại số là gì? Đại số là gì? Phổ thông Phổ thông : giải ph ơng trình : giải ph ơng trình Đại học Đại học : nghiên cứu các cấu trúc với các phép : nghiên cứu các cấu trúc với các phép toán hai ngôi (nhóm, vành, tr ờng, không gian toán hai ngôi (nhóm, vành, tr ờng, không gian tuyến tính) tuyến tính) Phản ánh quá trình Phản ánh quá trình h h ình thành môn Đại số ình thành môn Đại số trong lịch sử (gần trong lịch sử (gần 4000 n 4000 n ă ă m m ) ) Nguồn gốc chữ Đại số Nguồn gốc chữ Đại số Có xuất xứ từ cuốn sách của nhà toán học ả rập Có xuất xứ từ cuốn sách của nhà toán học ả rập Al Al Khwarizmi Khwarizmi (800 847): (800 847): Hisab al-jabr wal-muqabala Hisab al-jabr wal-muqabala (Khoa học về sự cân bằng và l ợc giản) (Khoa học về sự cân bằng và l ợc giản) Nội dung Nội dung : : các ph ơng pháp giải ph ơng trình các ph ơng pháp giải ph ơng trình Al-jabr Al-jabr => => Algebra Algebra => => Đại số Đại số Al Khwarizmi Al Khwarizmi => => Algorithm Algorithm => => Thuật toán Thuật toán Dấu tích đầu tiên Dấu tích đầu tiên Ai Cập Ai Cập : 1800 1600 tr ớc c/n : 1800 1600 tr ớc c/n các cuộn giấy Papyrus chứa các bài toán các cuộn giấy Papyrus chứa các bài toán giải ph ơng trình bậc nhất giải ph ơng trình bậc nhất Babilon Babilon (Irak): 1800 tr ớc c/n (Irak): 1800 tr ớc c/n các bảng đất xét chứa các bài toán giải ph ơng các bảng đất xét chứa các bài toán giải ph ơng trình bậc hai, ph ơng trình hai biến bậc hai trình bậc hai, ph ơng trình hai biến bậc hai Chú ý Chú ý : : Babilon phát triển hơn Babilon phát triển hơn Papyrus Rhind Papyrus Rhind Tác động của việc biểu diễn các số Tác động của việc biểu diễn các số Ai cập Ai cập hệ thập phân hệ thập phân dùng các chữ để biểu diễn các số lớn dùng các chữ để biểu diễn các số lớn => => tính toán khó khăn tính toán khó khăn Babilon Babilon hệ sáu m ơi (ví dụ: giờ đồng hồ) hệ sáu m ơi (ví dụ: giờ đồng hồ) dùng vị trí ký hiệu để biểu diễn số lớn dùng vị trí ký hiệu để biểu diễn số lớn => => dễ tính toán hơn dễ tính toán hơn => => đại số phát triển hơn đại số phát triển hơn Đặc điểm Đại số thời cổ đại Đặc điểm Đại số thời cổ đại Các bài toán có ngữ cảnh đời th ờng Các bài toán có ngữ cảnh đời th ờng Các con số đ ợc chọn lọc để có nghiệm nguyên Các con số đ ợc chọn lọc để có nghiệm nguyên Không có số không và số âm Không có số không và số âm Nặng về số học Nặng về số học Không dùng ký hiệu Không dùng ký hiệu Không có suy luận và chứng minh Không có suy luận và chứng minh (là toán nh ng ch a phải là toán học) (là toán nh ng ch a phải là toán học) Hy lạp (600 100 năm tr ớc c/n) Hy lạp (600 100 năm tr ớc c/n) Trung tâm th ơng mại (hàng hải) Trung tâm th ơng mại (hàng hải) Giao l u của nhiều văn hoá và tín ng ỡng khác Giao l u của nhiều văn hoá và tín ng ỡng khác nhau nhau Nhu cầu tìm hiểu thế giới tự nhiên Nhu cầu tìm hiểu thế giới tự nhiên Sự hình thành nghề thông thái: Sự hình thành nghề thông thái: Appolonius, Appolonius, Archimedes, Aristoteles, Demokrit, Euklid, Archimedes, Aristoteles, Demokrit, Euklid, Hippokrates, Plato, Pythagoras, Zeno Hippokrates, Plato, Pythagoras, Zeno Sự ra đời của toán học Sự ra đời của toán học Câu hỏi trọng tâm tại sao Câu hỏi trọng tâm tại sao (tr ớc kia thế nào) (tr ớc kia thế nào) Quan tâm đến các vấn đề toán học thuần tuý Quan tâm đến các vấn đề toán học thuần tuý Toán học có suy luậ Toán học có suy luậ n và chứng minh n và chứng minh Nặng về hình học (3 vấn đề nổi tiếng nhất: Nặng về hình học (3 vấn đề nổi tiếng nhất: chia ba một góc, nhân đôi hình lập ph ơng, cầu chia ba một góc, nhân đôi hình lập ph ơng, cầu ph ơng đ ờng tròn) ph ơng đ ờng tròn) Bộ sách Bộ sách Cơ sở Cơ sở của Euklid của Euklid 13 tập: tổng kết kiến thức toán học Hy Lạp 13 tập: tổng kết kiến thức toán học Hy Lạp Xây dựng hình học trên cơ sở một hệ tiên đề Xây dựng hình học trên cơ sở một hệ tiên đề Cuốn sách đ ợc in nhiều thứ hai trên thế giới Cuốn sách đ ợc in nhiều thứ hai trên thế giới Sách giáo khoa cho nhiều thế kỷ sau (vua Càn Sách giáo khoa cho nhiều thế kỷ sau (vua Càn Long đã học cuốn sách này) và ảnh h ởng đến Long đã học cuốn sách này) và ảnh h ởng đến tận ngày nay (các chứng minh hình học) tận ngày nay (các chứng minh hình học) Giải ph ơng trình thông qua hình học Giải ph ơng trình thông qua hình học (các số = đoạn thẳng: chỉ chấp nhận số d ơng) (các số = đoạn thẳng: chỉ chấp nhận số d ơng) Euklid Euklid [...]... cho đại số trừu tợng ra đời Viete Số phức Bombelli: dùng số phức một cách hệ thống Gauss (1777-1855): - chứng minh mọi đa thức đều có nghiệm phức (Định lý cơ bản của Đại số) - chỉ ra việc dựng hình bằng thớc kẻ và compa có liên quan chặt chẽ đến việc giải phơng trình ý nghĩa: Tồn tại các cấu trúc đại số ngoài các hệ số thông thờng Gauss Cân bằng Đại số và Hình học Lịch sử cổ đại và trung đại: Đại số. .. cấu trúc Đại số Mở đầu: nhóm và phép toán hai ngôI (Galois) Hamilton (1805-1865): trờng quaternion (không giao hoán) Grassmann (1809-1877): không gian tuyến tính (chiều bất kỳ) Dedekind (1831-1916): trờng, vành Đại số hiện đại Đặc điểm: thoát khỏi các vấn đề cụ thể của số học và giải phơng trình Những ngời tiên phong: Noether (1882-1935), Artin (1898-1962) Hệ thống: cuốn sách Đại số hiện đại của... Noether (1882-1935), Artin (1898-1962) Hệ thống: cuốn sách Đại số hiện đại của Waerden (1903-1996) Nghiên cứu các cấu trúc toán học với các quan hệ hai ngôi Noether Artin Đại số ngày nay Đại số hiện đại = Đại số cơ sở Câu hỏi Đại số là gì? sẽ do tơng lai trả lời ... thống việc giải phơng trình Dùng hình học để giải (ảnh hởng của toán học Hy Lạp) Không chấp nhận số âm và số không => phân loại phơng trình phức tạp Không dùng ký hiệu mà dùng số cụ thể Đợc dịch sang tiếng Latin, nguồn chính cho việc truyền bá Đại số sang châu Âu (một số ví dụ luôn xuất hiện ở các sách Đại số sau này) Al Khwarizmi Thời kỳ Phục Hng (1200 1600) Thơng mại phát triển đặc biệt ở Italia... nhận có đại lợng bậc bốn (vợt khuôn khổ không gian ba chiều) Phơng pháp bất định Cuốn Số học của Diophantus dùng ký hiệu ẩn số đầu tiên nhng bị quên lãng (do ảnh hởng của phơng pháp hình học), đợc tìm thấy lại 1463 Bombelli (1530-1572): công bố sách Đại số viết lại Ars Magna, dùng ẩn số thay lời (tiện lợi hơn cho suy luận và tổng quát hóa) Viete (1540-1603): dùng ký hiệu (bất định) cho các hệ số =>...Cuốn sách Đại số đầu tiên Diophantus (~ 250 trớc c/n): Số học 9 tập: còn lu lại 6 tập gồm 189 bài toán giải ph ơng trình và hệ phơng trình bậc hai với các cách giải khác nhau Chỉ xét nghiệm dơng hữu tỷ Không dùng hình học để giải Dùng ký hiệu để biểu diễn phơng trình, ẩn số, phép trừ, số mũ (gieo mầm đại số trừu tợng) La Mã (200 trớc c/n 1100 sau c/n) Thời... châu Âu Sự giao lu thúc đẩy toán học phát triển (kế toán, thiên văn, v.v) Sử dụng hệ thập phân và cách biểu diễn số theo vị trí Các trờng đại học ra đời Giải phơng trình bậc ba Ngời có công đầu tiên: delle Ferro (1465-1526), giáo s trờng Đại học Bologna (đại học đầu tiên trên thế giới) giải phơng trình dạng ax3 + bx = c (hệ số dơng) Trờng hợp tổng quát: Tartaglia (1500-1557) Công bố: Cardano (1501-1576)... Cardano Cuộc cách mạng Ars Magna Chứa đựng những ý tởng mới sau hơn hai nghìn năm (từ thời Babylon) Lần đầu tiên xuất hiện số âm và số ảo (Cardano coi những số này không tồn tại trên thực tế, nh ng có thể tính toán đợc) Hạn chế: dùng ngôn ngữ hình học, không dùng ẩn số Chú ý: số ảo xuất hiện qua việc biểu diễn nghiệm phơng trình bậc ba Giải phơng trình bậc bốn Ferrari (1522-1565, học trò của Cardano):... cổ đại và trung đại: Đại số chịu ảnh h ởng của Hình học Descartes (1596-1650): phơng pháp tọa độ cho phép giải các bài toán hình học bằng đại số Cách mạng: đẩy Đại số lên một tầm cao mới với những ứng dụng mới Đoạn tuyệt với quan niệm về chiều hình học của các số khi giải phơng trình Descartes Giải phơng trình bậc cao Vấn đề giải phơng trình bằng căn thức Abel (1802-1829): không có công thức tổng . quá trình h h ình thành môn Đại số ình thành môn Đại số trong lịch sử (gần trong lịch sử (gần 4000 n 4000 n ă ă m m ) ) Nguồn gốc chữ Đại số Nguồn gốc chữ Đại số Có xuất xứ từ cuốn. diễn số lớn dùng vị trí ký hiệu để biểu diễn số lớn => => dễ tính toán hơn dễ tính toán hơn => => đại số phát triển hơn đại số phát triển hơn Đặc điểm Đại số thời. hình học (các số = đoạn thẳng: chỉ chấp nhận số d ơng) (các số = đoạn thẳng: chỉ chấp nhận số d ơng) Euklid Euklid Cuốn sách Đại số đầu tiên Cuốn sách Đại số đầu tiên Diophantus Diophantus