Chuyên  Bi dng HSG Toán 9 nm hc 2011-2012 Phan Sn – Trng THCS Tam Dng DÙNG NG THC  CHNG MINH BT NG THC A. Kin thc s dng: Các BT s dng trong chuyên : 1. 2(a 2 + b 2 )  (a + b) 2 2. a 3 + b 3  ab(a + b) 3. a 2 + b 2 + c 2  -2(ab + bc + ca) B. i dung chuyên : Ví d 1: Cho x, y là các s thc sao cho x + y ≠ 0. Chng minh rng: x 2 + y 2 + 2 1 () xy xy + +  2 Bài gii: t z = 1 xy xy + − + ⇒ xy + yz + zx = -1. Khi ó ta có: VT = x 2 + y 2 + z 2  -2(xy + yz + zx) = 2 Ví d 2: Cho x, y z, là các s thc dng. Chng minh rng: 2 22 2 x y z xyz P xy yzzx ++ =++≥ + ++ Bài gii: Cách 1: Dùng BT Cauchy Ta có: 2 4 x xy x xy + +≥ + ; 2 4 y yz y yz + +≥ + ; 2 4 z zx z zx + +≥ + . Do ó: P= 2 22 2 x y z xyz xyz xy yzzx ++ + + + ≥++ + ++ hay 2 22 2 x y z xyz xy yzzx ++ ++≥ + ++ Cách 2: Áp dng bt ng thc Svac-x ta có: P = 2222 () 2( )2 x y z xyz xyz yzzxxy xyz ++ ++ ++≥= + + + ++ Cách 3: Ta có: (x –y) + (y – z) + (z – x) = 0. Mà x – y = 22 xy xy − + ; y - z = 22 yz yz − + ; z – x = 22 zx zx − + nên P = Q, trong ó: 2 22 xyz P xy yzzx =++ + ++ và 222 yzx Q xy yzzx =++ + ++ Do ó: 2P = P + Q = 22 xy xy + + + 22 yz yz + + + 22 zx zx + +  2 () 2() xy xy + + + 2 () 2() yz yz + + + 2 () 2() zy zx + + = x + y +z Suy ra: 2 22 2 x y z xyz P xy yzzx ++ =++≥ + ++ . ng thc xy ra khi x = y = z. BÀI TP LUYN TP Bài 1: Cho x, y, z là các s thc dng. Chng minh rng: a/ 3 33 2 22222 3 x y z xyz x xy y y yz z z zx x ++ ++≥ ++ ++ ++ b/ 4 44 22 22 22 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 x y z xyz x y xy y z yz z x zx ++ ++≥ ++ ++ ++ Bài gii: Câu a: Ta có: x– y+ y– z+ z– x= 0 nên: 33 33 33 2 22222 0 xy yz zx x xyy y yzz z zxx − −− ++= ++ ++ ++ Do ó: P = Q, trong ó: Chuyên  Bi dng HSG Toán 9 nm hc 2011-2012 Phan Sn – Trng THCS Tam Dng 3 33 2 22222 xyz P x xy y y yz z z zx x =++ ++ ++ ++ ; 333 2 22222 yzx Q x xy y y yz z z zx x =++ ++ ++ ++ Ta có bt ng thc: 22 22 1 3 a abb a abb −+ ≥ ++ . Tht vy: 2222222 2222 22 3( )( )2( )1 3( )3( )3 a abb a abb a abb ab a abb a abb a abb −+ −+ ++ + − ==≥ ++ ++ ++ Khi ó: 2P = P + Q = 33 33 33 2 22222 xy yz zx x xyy y yzz z zxx + ++ ++ ++ ++ ++ 2 2 22 22 2 2 22 22 ( )( ) ( )( ( )( ) x y x xy y y z y yz z z x z zx x x xy y y yz z z zx x + −+ + −+ + −+ = ++ ++ ++ ++ 2() 3333 xy yz zx xyz + + + ++ ≥++= ó suy ra: 3 33 2 22222 3 x y z xyz P x xy y y yz z z zx x ++ =++≥ ++ ++ ++ . ng thc xy ra khi x = y = z. Câu b: Ta có: 44 44 44 22 22 22 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) xy yz zx x y xy y z yz z x zx − −− ++= ++ ++ ++ nên P = Q, trong ó: 4 44 22 22 22 ( )( ) ( )( ) ( )( ) xyz P xyxy yzyz zxzx =++ ++ ++ ++ ; 444 22 22 22 ( )( ) ( )( ) ( )( ) yzx Q xyxy yzyz zxzx =++ ++ ++ ++ Xét 2P = P + Q = 44 44 44 22 22 22 ( )( ) ( )( ) ( )( ) xy yz zx x yxy y zyz z xzx + ++ ++ ++ ++ ++ Áp dng bt ng thc 2(a 2 + b 2 )  (a + b) 2 ⇔ a 2 + b 2  1 2 (a + b) 2 , ta có: x 4 + y 4  1 2 (x 2 + y 2 ) 2  1 4 (x 2 + y 2 )(x + y) 2 ⇒ 44 22 ( )()4 x y xy x y xy ++ ≥ ++ ng t: 44 44 22 22 ; ( )( ) 4 ( )( ) 4 y z yz z x zx y z yz z x zx ++++ ≥≥ ++ ++ , do ó: 2P 2 xyz ++ ≥ ⇒ P 4 xyz ++ ≥ Bài 2: Cho a, b, c ôi mt khác nhau. t M = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ab bc ca bcca caab abbc ++ −− −− −− Chng minh rng: a/ M = -1 b/ 222 222 2 ()()() abc bc ca ab ++≥ −−− i gii: a/ Dành cho các hc sinh yêu quý! b/ Áp dng bt ng thc: x 2 + y 2 + z 2  -2(xy + yz + zx) ta có: 222 222 2 ()()() abc bc ca ab + + ≥− −−− ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ab bc ca bcca caab abbc ++ −− −− −− ) = 2 (pcm) Chuyên  Bi dng HSG Toán 9 nm hc 2011-2012 Phan Sn – Trng THCS Tam Dng Bài 3: Cho a, b, c phân bit khác 0. t N = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) abbc bcca caab abbc bcca caab ++ ++ ++ ++ −− −− −− Chng minh rng: a/ N = -1; b/ 222222 222 9 () () ()4 a ab b b bc c c ca a ab bc ca ++ ++ ++ ++≥ −−− i gii: a/ t ab x ab + = − ⇒ 22 1 ;1 ab xx ab ab += −= −− bc y bc + = − ⇒ 22 1 ;1 bc yy bc bc += −= −− ca z ca + = − ⇒ 22 1 ;1 ca zz ca ca += −= −− Do ó: (x + 1)(y + 1)(z + 1) = (x - 1)(y - 1)(z - 1) ⇒ xy + yz + zx = -1 (pcm). b/ Ta có 4(a 2 + ab + b 2 ) = 3(a + b) 2 + (a – b) 2 Xét 4.VT = 3. 222 ( )( )( )1 ()()() abbcca abbcca  +++ +++  −−−  Áp dng BT: x 2 + y 2 + z 2  -2(xy + yz + zx) ta có: 222 ( )( )( ) 2 ()()() abbcca ab bc ca +++ + + ≥− −−− [ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) abbc bcca caab abbc bcca caab ++ ++ ++ ++ −− −− −− ] = 2 Do ó: 4VT = 3. 222 ( )( )( )1 ()()() abbcca abbcca  +++ +++  −−−   3.3 = 9 hay VT  9 4 Bài tp tham kho: Bài 1: Cho a, b, c là các s thc dng. Chng minh rng: 666 332233223322 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 6 a b c abc a ba abb b cb bcc c ac caa ++ ++≥ + ++ + ++ + ++ Bài 2: Cho a, b, c là các s dng tha mãn ab + bc + ca = 3abc. Chng minh rng: 222 222222 1 ()()() bca aa ab b bb bc c cc ca a ++≥ ++ ++ ++ Bài 3: Cho a, b, c khác -1. Chng minh rng: 222 1112 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)( 1) abcabc +++≥ + + + +++ Bài 4: Cho a, b, c dng và ôi mt khác nhau. Chng minh rng: 222 1114 ( )( )( ) ab bc ca abbcca ++≥ − − − ++ ( Gi ý: Dùng ng thc 111 0 ( )( ) ( )( ) ( )( )abbc bcca caab ++= −− −− −− ) Còn tip …. . + b 2 )  (a + b) 2 2. a 3 + b 3  ab(a + b) 3. a 2 + b 2 + c 2  -2(ab + bc + ca) B. i dung chuyên : Ví d 1: Cho x, y là các s thc sao cho x + y ≠ 0. Chng minh rng: x 2 + y 2 . có: 222 222 2 ()()() abc bc ca ab + + ≥− −−− ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ab bc ca bcca caab abbc ++ −− −− −− ) = 2 (pcm) Chuyên  Bi dng HSG Toán 9 nm hc 2011-2012 Phan Sn – Trng THCS Tam Dng Bài 3:. ;1 ca zz ca ca += −= −− Do ó: (x + 1)(y + 1)(z + 1) = (x - 1)(y - 1)(z - 1) ⇒ xy + yz + zx = -1 (pcm). b/ Ta có 4(a 2 + ab + b 2 ) = 3(a + b) 2 + (a – b) 2 Xét 4.VT = 3. 222 ( )( )( )1 ()()() abbcca abbcca  +++ +++  −−−  Áp