Đang tải... (xem toàn văn)
TIỂU LUẬN MẬT MÃ VÀ AN TOÀN DỮ LIỆU VẤN ĐỀ KIỂM TRA SỐ NGUYÊN TỐ LỚN Bài toán kiểm tra số nguyên tố lớn là một trong những bài toán cơ bản nhưng hết sức quan trọng trong lĩnh vực an toàn và bảo mật thông tin. Số nguyên tố cũng thường được dùng để tạo khóa cho các thông tin nhạy cảm mà người gửi cũng như người nhận đều muốn giữ bí mật. Ứng dụng chính của số nguyên tố là trong lĩnh vực mã hóa (cryptography), trong đó chúng ta cần tạo ra những số nguyên tố với hàng trăm chữ số. Kiểm tra một số có phải số nguyên tố hay không là một bài toán khá quan trọng trong khoa học máy tính, vì số nguyên tố được sử dụng rất rộng rãi trong các giải thuật mã hóa dùng khóa mở (public key cryptography algorithms). Ngoài ra nó còn được ứng dụng trong các bộ phát sinh số giả ngẫu nhiên (pseudorandom) và bảng hash (hash table).
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ &&& TIỂU LUẬN MẬT MÃ VÀ AN TOÀN DỮ LIỆU Đề tài: “VẤN ĐỀ KIỂM TRA SỐ NGUYÊN TỐ LỚN” Giảng viên: PGS.TS Trịnh Nhật Tiến Học viên thực hiện: Nguyễn Thế Tùng, K20 Lớp MH: INT 6010 2 Mã HV: 13025189 Hà Nội, 05/2014 1/ Giới thiệu Bài toán kiểm tra số nguyên tố lớn là một trong những bài toán cơ bản nhưng hết sức quan trọng trong lĩnh vực an toàn và bảo mật thông tin. Số nguyên tố cũng thường được dùng để tạo khóa cho các thông tin nhạy cảm mà người gửi cũng như người nhận đều muốn giữ bí mật. Ứng dụng chính của số nguyên tố là trong lĩnh vực mã hóa (cryptography), trong đó chúng ta cần tạo ra những số nguyên tố với hàng trăm chữ số. Kiểm tra một số có phải số nguyên tố hay không là một bài toán khá quan trọng trong khoa học máy tính, vì số nguyên tố được sử dụng rất rộng rãi trong các giải thuật mã hóa dùng khóa mở (public key cryptography algorithms). Ngoài ra nó còn được ứng dụng trong các bộ phát sinh số giả ngẫu nhiên (pseudorandom) và bảng hash (hash table). 2/ Các khái niệm cơ bản 2.1/ Số nguyên tố Số tự nhiên p, lớn hơn 1 gọi là số nguyên tố nếu như nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Định lý cơ bản của số học nói rằng, bất kỳ số tự nhiên n, lớn hơn 1 có thể phân tích thành tích các số nguyên tố. Tức là một số tự nhiên có thể biểu diễn dưới dạng sau k k ppn αα 1 1 = , ở đây k ppp <<< 21 - là các số nguyên tố khác nhau, N k ∈ αα , , 1 . Ví dụ: • Các số nguyên tố Fermat: 3, 5, 17, 257, 65537 • Các số nguyên tố Mersenne: Đến 23 tháng 8/2008, đã biết 47 số nguyên tố Mersenne (nếu tính cả trường hợp 2 1 -1=1 là số đầu tiên; số thứ 47 có 12.978.189 chữ số), sau đây là 12 số đầu tiên. Số tiếp theo có 157 chữ số. 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727. 2.2/ Số nguyên tố cùng nhau Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có Ước số chung lớn nhất là 1. Ví dụ 6 và 35 là nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 1, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau vì chúng có Ước chung lớn nhất là 3. Số 1 là nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên. Nhưng cũng có những trường hợp đặc biệt, hợp số là số nguyên tố cùng nhau. VD: 6 và 25 tuy là hợp số nhưng chúng có Ước chung lớn nhất là 1 nên chúng là những số nguyên tố cùng nhau. 2.3/ Hợp số Cho hai số tự nhiên a, b. Nếu có số tự nhiên q sao cho a=b*q thì ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Khi đó ta cũng nói a là bội của b, b là ước của a. Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất hai ước tự nhiên là 1 và chính nó. Các ước này được gọi là ước tầm thường của n. Một số tự nhiên lớn hơn 1, không chia hết cho số nào khác ngoài các ước tầm thường, được gọi là số nguyên tố. Các số tự nhiên lớn hơn 1 và không nguyên tố thì được gọi là hợp số. Một hợp số là tích của ít nhất 2 số nguyên tố. Ví dụ: 14 là hợp số vì ngoài việc chia hết cho hai ước tầm thường là 1 và 14 nó còn chia hết cho 2 và 7. 2.4/ Đồng dư thức Cho số nguyên dương n, hai số nguyên a,b được gọi là đồng dư theo mô-đun n nếu chúng cho cùng số dư khi chia cho n (hay là a-b chia hết cho n). Kí hiệu là: Ví dụ: Vì 11 và 5 khi chia cho 3 đều cho số dư là 2. Nếu số nguyên dương n và số nguyên a nguyên tố cùng nhau thì tồn tại duy nhất một số sao cho: , số x này được gọi là nghịch đảo của a theo mô-đun n. 2.5/ Số Fermat Chúng ta xem số n dạng 12 += m n , ở đây Nm ∈ . Nếu m chia hết cho số nguyên tố 2>p , tức là 1, 11 ≥= mpmm , thì 1)2( 1 += p m n chia hết cho 12 1 + m , có nghĩa là n là hợp số. Cho nên số nguyên tố có thể chỉ khi k m 2= . Định nghĩa: Số , ,2,1,0,12 2 =+= kF k k gọi là số Fermat. Hiện tại chúng ta biết được rằng 43210 ,,,, FFFFF là số nguyên tố, còn các số Fermat tiếp theo 325 ≤≤ k là hợp số, còn các số tiếp theo thì chưa được kiểm tra. Để kiểm tra tính nguyên tố của số Fermat chúng ta xem định lý sau Định lý: Số k Fn = khi k>0 là số nguyên tố khi và chỉ khi: )(mod13 2 1 n n −≡ − . Chứng minh: Chúng ta chứng minh điều kiện đủ. Chúng ta có: k n 2 21 =− . Từ )(mod13 2 1 n n −≡ − , nên )(mod13 1 n n ≡ − , điều này có nghĩa là bậc của 3 (mod n) bằng k n 2 21 =− . Nên nhóm nhân * n Z có ít nhất là n-1 phần tử, và các phần tử khác không của Z n khả nghịch, hay n là số nguyên tố. Bây giờ ta chứng minh phần nghịch. Chú ý rằng )3(mod142 1 22 ≡≡ −kk . Bởi vậy n>3, )4(mod1),3(mod2 ≡≡ nn . Theo định luật bình phương (định lý Gausse) ta có 1 3 2 3 )1.( 3 3 4 )13)(1( −= = =− = −− nn n n . Theo tiêu chuẩn Euler thì )(mod3 3 2 1 n n n− ≡ . 2.6/ Số Mersenn Chúng ta xem số n dạng 12 −= m n . Nếu m là hợp số, m=ab, ba ≤< 1 , thì 12 −= ab n chia hết cho 12 −= a n . Cho nên số n là nguyên tố chi khi m là số nguyên tố. Định nghĩa: Cho p là số nguyên tố, và 12 −= p p M cũng là số nguyên tố. Và số p M gọi là số nguyên tố Mersenn. Để kiểm tra tính nguyên tố của số Mersenn ta dùng định lý sau Định lý: Cho q là số nguyên tố, q>2, 12 −= q n . Chúng ta xem dãy , ,,, 210 LLL xác định dãy này như sau 4 0 =L ; )(mod2 2 1 nLL jj −≡ + . Số n là số nguyên tố khi và chỉ khi )(mod0 2 nL q ≡ − Định lý: Cho p là số nguyên tố, )4(mod3≡p , 12 −= p p M . Số Fermat p F là số nguyên tố khi và chi khỉ )(mod1 2/)1( p F p FM p −≡ − . Chứng minh: Theo định lý nhỏ Fermat ta có )(mod22 12 p M p ≡ − , từ đây )(mod512.2 12 pp MF p ≡+= − . Dẫn đến 1),( = pp MFUCLN , và dẫn đến )(mod 5 5 2 1 p p pp p p p F F M MM F F M M p ≡ ≡ ≡ ≡ − Cho nên 1 5 2 5 ),5(mod2)5(mod1212 334 −= = ≡−≡−= + p k p M M 2.7/ Dãy số Liuka Cho dãy số , ,, 210 uuu và , ,,, 210 vvv với 4,2,1,0 1010 ==== vvuu , còn các thành phần tiếp theo của dãy được tính theo công thức truy hồi 11 4 −+ −= jjj xxx , được gọi là dãy số Liuka. 3/ Các phương pháp kiểm tra số nguyên tố lớn 3.1/ Phương pháp N ± 1 Đầu tiên chúng ta xem phương pháp N-1 kiểm tra số nguyên tố. Định lý: Cho 1, >∈ nNn , n là số lẻ, ∏ = =− k i i i pn 1 1 α - đã biết được sự phân chia thành thừa số nguyên tố của n-1. Nếu như đối với mỗi ki , ,1= tồn tại số Na i ∈ , sao cho )(mod1 1 na n i ≡ − , )(mod1 1 na i p n i ≠ − , thì n là số nguyên tố. Chứng minh: Cho i m là bậc của )(mod na i trong n Z . Từ điều kiện chúng ta có 1| −nm i , và i m không là ước của i p n 1− , cho nên ii mp i | α với i=1,…,k. Dẫn đến )(mod nab i i i p m ii α ≡ có bậc là i i p α trong * n Z , còn phần tử )(mod 1 nbbb k ⋅⋅= có bậc là 1 1 1 −=⋅⋅ npp k k α α trong * n Z . Điều này có nghĩa là n Z là một trường, và n là số nguyên tố. Từ định lý này chúng ta có thể kiểm tra được tính nguyên tố như sau. Phân tích n-1 ra thừa số, chọn a=2,3,…, kiểm tra điều kiện định lý. Nếu như tìm thấy a nào đó, với na << 1 , mà )(mod1 1 na n ≠ − , thì n là hợp số. Nếu như tìm được k aa , , 1 , mà thỏa mãn điều kiện định lý thì n là số nguyên tố. Tương tự với việc kiểm tra số nguyên tố bằng phương pháp n-1, ta tìm hiểu phương pháp n+1 khi biết hoàn toàn các nhân tử nguyên tố của n+1. Định lý: Cho ZQP ∈, , 04 2 ≠−= QPD . Xác định dãy số Liuka , , 10 uu và định thức D bằng các biểu thức sau: jjj QuPuuuu −=== ++ 1210 ,1,0 điều kiện là 0≥j . Cho n là một số tự nhiên lẻ, n>1, ∏ = =+ k i i i qn 1 1 β - tức là phân tích n+1 ra thừa số nguyên tố, và 1−= n D . Nếu như đối với từng ki , ,1= , tìm được iiii QPDZQP 4,, 2 −=∈ , sao cho có quan hệ với dãy số Liuka , , )( 1 )( 0 ii uu thỏa mãn điều kiện: )( 1 | i n un + và n không là ước của )( /)1( i qn i u + , thì n là số nguyên tố. Nếu như tồn tại dãy số Liuka { } j u như thế và D, sao cho 1+n u không chia hết cho n, thì n là hợp số. Định lý: Cho Nn ∈ , n>1, n là số lẻ, 11 1 RFn ⋅=− , với 1),( 11 = RFUCLN . Giả sử chúng ta biết được hoàn toàn sự phân tích ra thừa số nguyên tố ∏ = = k j j j qF 1 1 α . Nếu như đối với mỗi j=1,…,k tìm được Na j ∈ , sao cho )(mod1 1 na n j ≡ − , 1),1( /)1( =− − naUCLN j qn j với điều kiện nF ≥ 1 , thì số n là số nguyên tố. Chứng minh: Giả sử p là ước số nguyên tố của n. Chúng ta chứng minh rằng np > , từ đây dẫn đến n là số nguyên tố. Từ điều kiện chúng ta có )(mod1 1 na n j ≡ − dẫn đến )(mod1 1 pa n j ≡ − , từ đây 1),( =paUCLN j và bậc j e của phần tử )(mod pa j trong p Z không là ước của n-1. Ngoài ra theo định lý nhỏ Fermat thì )1(| −pe j . Từ điều kiện của định lý ta có )(mod1 /)1( pa j qn j ≠ − , từ đây jj eq j | α . Dẫn đến )1(| −pq j j α , và )1(| 1 1 −= ∏ = pqF k j j j α . Nghĩa là nFpFp ≥>≥− 11 ,1 . Chúng ta sẽ chứng minh với sự giúp đỡ của định lý này có thể xây dựng được số nguyên tố lớn. Chúng ta xây dựng dãy số nguyên tố , 321 <<< ppp cho đến khi xây dựng được số nguyên tố đủ lớn chúng ta cần. Số nguyên tố 1 p chọn bất kỳ, ví dụ 3 1 =p . Giả sử chúng ta đã xây dựng được số nguyên tố 1−i p . Chọn số ngẫu nhiên r, 11 1 −≤≤ −i pr . Giả sử: tr s 2= , t là số lẻ. Như thế số nguyên tố i p chúng ta chọn 1212 1 1 1 +=+= − + − tprpn i s i . Đặt 1 1 1 2 − + = i s pF , tR = 1 . Rõ ràng rằng 1),( 11 = RFUCLN và chúng ta cũng có nF > 1 , bởi vì 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2212 Fptptpn i s i s i s ≤<<+= − + − + − + . Dẫn đến để chứng tỏ n là số nguyên tố, chúng ta cần tìm các số 1 a và 2 a , sao cho )(mod1 1 2 1 1 naa nn ≡≡ −− , 1),1(),1( 1 1 2 2 1 1 =−=− − − − naUCLNnaUCLN i p n n . Nếu như ta tìm được số a, sao cho )(mod1 1 na n ≠ − , thì n là hợp số và chúng ta cần chọn số ngẫu nhiên r khác. Nếu như chúng ta chứng minh được n là nguyên tố thì đặt np i = . Một phương pháp khác xây dựng số nguyên tố ứng dụng định lý trên có thể nêu ra dưới đây. Chúng ta lại xây dựng dãy số nguyên tố, và giả sử xây dựng 3 1 > −i p . Chúng ta chọn số chẵn ngẫu nhiên r, thỏa mãn 31 1 −≤≤ −i pr , và đặt 1 1 += − rpn i . Giả sử 11 − = i pF , rR = 1 , 1),( 11 = RFUCLN .Chúng ta cần tìm một số tự nhiên a sao cho 1),1(),(mod1 1 =−≡ − naUCLNna rn (bởi vì r p n i = − −1 1 ). Rõ ràng ta có bất đẳng thức npF i >= −11 , bởi vì 2 11 2 1111 131)3(1 −−−−−− ≤+−=+−≤+= iiiiii ppppprpn Chọn a và thực hiện tương tự như phương pháp xây dựng trên. Định lý tiếp theo sẽ cho chúng ta cách xây dựng số nguyên tố hiệu quả hơn, bởi vì không cần tính toán ước nguyên tố lớn. Định lý: Cho 12 += rqn , ở đây q là số nguyên tố lẻ, và r với 12 +≤ qr . Nếu tồn tại số Na ∈ , sao cho )(mod1 1 na n ≡ − , )(mod1 2 na r ≠ , thì n là số nguyên tố. Chứng minh. Giả sử n là hợp số, pNn = , với p là số nguyên tố, 1 > N . Bởi vì n không là ước của 1 2 − r a , nên tồn tại số nguyên tố p sao cho )1()( 2 −> r pp an νν và khi 11)1( 2 ≥+−= r p as ν chúng ta có np s | và s p không là ước của 1 2 − r a . [...]... Nitơ tổng số = Nitơ protein + Nitơ phi protein - Đạm tổng số hay protein tổng số là nitơ tổng số nhân với hệ số chuyển đổi Hệ số này phụ thuộc vào hàm lượng nito trong protein Thông thường nito chiếm 16% protein nên hệ số chuyển đổi thường sử dụng là 100/16 = 6.25 - Đạm tổng số = Nito tổng số X hệ số chuyển đổi - Bảng dưới đây biểu diễn hệ số chuyển đổi cụ thể cho nhiều đối tượng mẫu khác nhau MẪU... cách từ vạch sắc tố đến vạch thấm mẫu 31 TÍNH KẾT QUẢ Rf=7,5/8 TRẢ LỜI CÂU HỎI Câu1 :Độ phân cực của các dạng sắc tố quang hợp trong hình 6.1 làcholorophyll A và cholorophyll b có độ phân cực lớn hơn b-carotene , b-carotene có độ phân cực thấp , còn zeaxanthin có độ phân cực lớn hơn b-carotenen nhưng nhõ hơn cholorophyll A và cholorophyll B Câu2 :Phải dùng ethan 95% để trích ly sắc tố mà không dùng... bằng nước thu được V = 100 ml) Pha loãng mẫu với hệ số pha loãng n lần để được mẫu phân tích (mẫu X) - Lập một loạt 6 ống theo số thứ tự 0, 1, 2, 3, 4, 5 và 1 ống nghiệm chứa mẫu cần phân tích X - Dùng đồng hồ bấm giây, canh thời gian 0 phút cho 5ml thuốc thử vào ống nghiệm 0, lắc đều để yên Ở thời điểm 1 phút cho 5ml thuốc thử vào ống nghiệm 1, lắc đều để yên, cứ tiếp tục cho đến hết 19 Ống nghiệm... 4,94 Kiểm tra pH - Dung dịch đệm glycine – NaOH 0,1 M pH = 10 (dùng đ ể xác định hoạt tính 𝛼 −amylase kiềm - Dung dịch HCl 0,1N - Dung dịch iod: hòa tan 30 mg KI và 3 mg I2 v ới một lượng nhỏ nước cất Lắc nhẹ hỗn hợp để hòa tan hoàn toàn, sau đó chuyển dung dịch sang b ình định mức 1000 ml, bổ sung nước cất đến vạch mức Bảo quản dung dịch trong b ình màu nâu để chỗ tối - Dung dịch tinh bột 1%: h òa tan... lượng % nito tổng số được tính theo công thức: N(%) = {1.42/1000*(V1 – V2)*100/m}*n Trong đó: - V1: số ml H2SO4 cho vào trong bình V2: số ml NaOH 0.1N đã chuẩn độ m: số gam mẫu hay ml mẫu sau khi chuẩn độ lại n: hệ số pha loãng mẫu khi vô cơ hóa mẫu để đưa vào chưng cất 1.42: hệ số nito, cứ 1ml H2SO4 dùng để trung hòa NH4OH thì tương đương với 1.42mg nito Bài tập: pha loãng 50 lần sữa tươi nguyên chất Vinamilk... theo Smith và Roe Đơn vị này có giống đơn vị quốc tế không? Ta có thể chuyển đơn vị Smith và Roe thành đơn vị quốc tế không nếu giữ nguyên pp xác định như trong bài Đơn vị amylase (theo Smith và Roe) là lượng enzyme cần thiết để thủy phân hoàn toàn 10 mg tinh bột sau thời gian phản ứng 30 phút trong điều kiện thí nghiệm Đơn vị này không giống đơn vị quốc tế BÀI 6 :TÁCH CÁC SẮC TỐ QUANG HỢP BẰNG... Dung dịch thuốc thử Bradford: dd thuốc thử có thành phần trong 100ml như sau: Coomassie Brilliant Blue: 0,005g 18 Methanol: 4,7g Phosphoric acid 85%: 8,5g Phẩm màu Coomasie Brilliant Blue được làm tan trong ethanol trong một chai đựng màu tối có nắp Bổ sung phosphoric acid và chỉnh tới 100ml bằng nước cất Lắc đều, giữ ở 40C - Dung dịch cần xác định hàm lượng protein (phòng thí nghiệm cung cấp) 2 Tiến... là protein và có tính đặc hiệu cao Mỗi enzyme có khả năng xúc tác cho một hoặc một số phản ứng nhất định Hoạt động hay hoạt tính của enzyme càng mạnh thì lượng cơ chất được chuyển hóa hoặc lượng sản phẩm tạo thành trên một đơn vị thời gian càng lớn Vì vậy có thể đánh giá hoạt tính xúc tác của enzyme bằng cách xác định tốc độ chuyển hóa cơ chất hoặc tốc độ tích lũy sản phẩm phản ứng Về nguyên tắc... típ 100 - nguyên liệu hóa chất - Lá rau cải bó xôi hay các loại rau xanh khác - Ethanol 96 % - Acetone - Ether dầu hỏa - Cồn 95% II TIẾN HÀNH - Nghiền lá 10g trong 10ml ethanol 95% đun sôi 5 phút - Lọc - Cắt giấy lọc thành dải có đầu nhọn kẻ vạch tiếp mẩu và vạch dừng - Thấm mẫu lên vạch bằng micropipette - Nhúng giấy lọc trong dung môi - Để dung môi chạy lên vạch dừng - Đánh dấu các vệt sắc tố bằng... mẫu với hệ số pha loãng n lần để được mẫu phân tích Phải giảm bớt nồng độ protein trong mẫu, để khi đo nồng độ quang không bị vượt quá giới hạn cho phép - Lập một loạt 6 ống theo số thứ tự 0, 1, 2, 3, 4, 5 và 1 ống nghiệm chứa mẫu cần phân tích X Phải pha các nồng độ khác nhau để lập đường chuẩn Để xác định protein trong mẫu - Dùng đồng hồ bấm giây, canh thời gian 0 phút cho 5ml thuốc thử vào ống . 23 05843009 21 3 6939 51, 618 970 019 6 426 9 013 744956 21 1 1, 16 22 5 927 6 829 21 3 3633 915 78 010 28 8 12 7, 17 014 118 346046 92 317 316 87303 715 88 410 5 727 . 2. 2/ Số nguyên tố cùng nhau Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng. 2 1 -1= 1 là số đầu tiên; số thứ 47 có 12 .978 .18 9 chữ số) , sau đây là 12 số đầu tiên. Số tiếp theo có 15 7 chữ số. 3, 7, 31, 12 7, 819 1, 13 10 71, 524 287, 21 4 7483647, 23 05843009 21 3 6939 51, 618 970 019 6 426 9 013 744956 21 1 1,. nếu )1) (2) (1( 1 2 11 +−++< FmLFmFn , ở đây LLFR += 11 1 2 , 1 21 FL <≤ , thì n là số nguyên tố khi và chỉ khi hoặc LR = 1 , hoặc 1 2 8LL − không là số chính phương. 3 .2/ Kiểm tra số nguyên tố