CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! 1 HÀM SỐ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: + Hàm số y = f(x) đƣợc gọi đồng biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( )x x K x x f x f x + Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( )x x K x x f x f x 2. Qui tắc xét tính đơn điệu a. Định lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: + Nếu f‟(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến + Nếu f‟(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến b. Qui tắc B1: Tìm tập xác định của hàm số B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x i (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. B3: Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến. II. Các ví dụ Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số: 3 2 2 42 11 . y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x( 3), (x > 0) 32 x - 1 c. y = x 2 3 . y = x +1 a x x x x x xd Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 2 3 4 2 3 2 2 2 . y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9 3- 2x x 2 3 . y = e. y = f. y = 25-x x + 7 1 a x x x x x d x Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định. Phƣơng pháp + Dựa vào định lí. Ví dụ 3. Chứng minh hàm số 2 2y x x nghịch biến trên đoạn [1; 2] Ví dụ 4 a. Chứng minh hàm số 2 9yx đồng biến trên nửa khoảng [3; + ). b. Hàm số 4 yx x nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] Ví dụ 5. Chứng minh rằng a. Hàm số 3 21 x y x nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b. Hàm số 2 23 21 xx y x đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. c. Hàm số 2 8y x x nghịch biến trên R. CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! 2 Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trƣớc đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trƣớc Phƣơng pháp: + Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số. + Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai Ví dụ 6. Tìm giá trị của tham số a để hàm số 32 1 ( ) ax 4 3 3 f x x x đồng biến trên R. Ví dụ 7. Tìm m để hàm số 22 56 () 3 x x m fx x đồng biến trên khoảng (1; ) Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: 2 1 m yx x đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Ví dụ 9 Xác định m để hàm số 3 2 ( 1) ( 3) 3 x y m x m x đồng biến trên khoảng (0; 3) Ví dụ 10 Cho hàm số 4mx y xm a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; ) c. Tìm m để hàm số giảm trên ( ;1) Ví dụ 11 Cho hàm số 32 3(2 1) (12 5) 2y x m x m x . Tìm m để hàm số: a. Liên tục trên R b. Tăng trên khoảng (2; ) Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997) Cho hàm số 3 2 2 ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)y x a a x a a đồng biến trên [2:+ ) Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT Phƣơng pháp Sử dụng các kiến thức sau: + Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn. + f ( x) đồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ()f a f x f + f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( )f a f x f b Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 23 11 . tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < + 2 2 8 2 xx . cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0 26 x a x x x cx Ví dụ 2. Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 b. Chứng minh rằng 2sin tan 3 , (0; ) 2 x x x x Ví dụ 3 Cho hàm số ( ) tanx - xfx CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! 3 a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 b. Chứng minh 3 tan , (0; ) 32 x x x x Ví dụ 3 Cho hàm số 4 ( ) tanx, x [0; ] 4 f x x a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0; ] 4 b. Chứng minh rằng 4 tan , [0; ] 4 x x x  CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số Phƣơng pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc I. B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f‟(x). Tìm các điểm tại đó f‟(x) = 0 hoặc f‟(x) không xác định. B3. Lập bảng biến thiên. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị Qui tắc II. B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f‟(x). Giải phƣơng trình f‟(x) = 0 và kí hiệu là x i là các nghiệm của nó. B3: Tính f ”(x i ) B4: Dựa vào dấu của f ” (x i ) suy ra cực trị ( f ”(x i ) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x i ; ( f ”(x i ) < 0 thì hàm số có cực đại tại x i ) * Chú ý: Qui tắc 2 thƣờng dùng với hàm số lƣợng giác hoặc việc giải phƣơng trình f‟(x) = 0 phức tạp. Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 32 2 3 36 10y x x x Qui tắc I. TXĐ: R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x + - - 54 71 + + - 0 0 2 -3 + - y y' x Vậy x = -3 là điểm cực đại và y cđ =71 x= 2 là điểm cực tiểu và y ct = - 54 Qui tắc II TXĐ: R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x y”= 12x + 6 y‟‟(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y ct = - 54 y‟‟(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và y cđ =71 Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! 4 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x 3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 22 22 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x x d x Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 2 22 3 22 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x xx . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f. 2 a c y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a B1: Tính y‟ = f‟(x) B2: Giải phƣơng trình f‟(a) = 0 tìm đƣợc m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f‟(a) = 0 không kể CĐ hay CT) Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x 3 – 3mx 2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 LG 2 ' 3 6 1y x mx m . Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y‟(2) = 0 2 3.(2) 6 .2 1 0 1m m m Với m = 1 ta đƣợc hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 2 có : 2 0 ' 3 6 ' 0 2 x y x x y x tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Bài 1. Xác định m để hàm số 32 3 5 2 ®³t cùc ®³i t³i x = 2y mx x x Bài 2. Tìm m để hàm số 32 2 ( ) 5 cã cùc trÞ t³i x = 1. Khi ®ã h¯m sè cã C§ hay CT 3 y x mx m x Bài 3. Tìm m để hàm số 2 1 ®³t cùc ®³i t³i x = 2 x mx y xm Bài 4. Tìm m để hàm số 3 2 2 2 2 ®³t cùc tiÓu t³i x = 1y x mx m x Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 32 ( ) axf x x bx c đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số () 1 q f x xp x đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 Hướng dẫn: 2 '( ) 1 , x -1 ( 1) q fx x + Nếu 0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã h¯m sè lu«n ®ång biÕn . H¯m sè kh«ng cã cùc trÞ.q + Nếu q > 0 thì: CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! 5 2 2 1 21 '( ) 0 ( 1) 1 xq x x q fx x xq Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào. Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Bài toán: „Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.‟ Phƣơng pháp B1: Tìm m để hàm số có cực trị. B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: Hàm số 32 ax ( 0)y bx cx d a có cực trị khi và chỉ khi phƣơng trình y‟ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Cực trị của hàm phân thức () () px y Qx . Giả sử x 0 là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x 0 ) có thể đƣợc tính bằng hai cách: hoặc 00 00 00 ( ) '( ) ( ) hoÆc y(x ) ( ) '( ) P x P x yx Q x Q x Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 2 32 1 x 2 4 . y = ( 6) 1 . y = 32 mx m a x mx m x b x Hƣớng dẫn. a. TXĐ: R 2 ' 2 6y x mx m . Để hàm số có cực trị thì phƣơng trình: 2 2 6 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖtx mx m 2 3 ' 6 0 2 m mm m b. TXĐ: \2 22 22 2 (2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4 ' ( 2) ( 2) ¯m sè cã cùc ®³i, cùc tiÓu khi ' 0 ã hai nghiÖm ph©n biÖt kh²c -2 4 4 4 0 ' 0 4 4 4 0 0 4 8 4 4 0 0 x m x x mx m x x m y xx H y c x x m m m mm Bài 1. Tìm m để hàm số 32 3 2. Víi gi² trÞ n¯o cña m th× h¯m sè cã C§, CT?y x mx Bài 2. Tìm m để hàm sô 23 ( 1) 1x m m x m y xm luôn có cực đại và cực tiểu. Bài 3. Cho hàm số 32 2 ± 12 13y x x . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung. Bài 4. Hàm số 32 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. Bài 5. Cho hàm 2 1 x mx y x . Tìm m để hàm số có cực trị Bài 6. Cho hàm số 2 24 2 x mx m y x . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trƣớc. Phƣơng pháp + Tìm điều kiện để hàm số có cực trị CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! 6 + Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất. Ví dụ . Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x 3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 22 22 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x x d x Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 2 22 3 22 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x xx . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f. 2 a c y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Bài 5. Xác định m để hàm số 32 3 5 2 ®³t cùc ®³i t³i x = 2y mx x x Bài 6. Tìm m để hàm số 32 2 ( ) 5 cã cùc trÞ t³i x = 1. Khi ®ã h¯m sè cã C§ hay CT 3 y x mx m x Bài 7. Tìm m để hàm số 2 1 ®³t cùc ®³i t³i x = 2 x mx y xm Bài 8. Tìm m để hàm số 3 2 2 2 2 ®³t cùc tiÓu t³i x = 1y x mx m x Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 32 ( ) axf x x bx c đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số () 1 q f x xp x đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 Bài 11. Tìm m để hàm số 32 3 2. Víi gi² trÞ n¯o cña m th× h¯m sè cã C§, CT?y x mx Bài 12. Tìm m để hàm sô 23 ( 1) 1x m m x m y xm luôn có cực đại và cực tiểu. Bài 13. Cho hàm số 32 2 ± 12 13y x x . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung. Bài 14. Hàm số 32 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. Bài 15. Cho hàm 2 1 x mx y x . Tìm m để hàm số có cực trị Bài 16. Cho hàm số 2 24 2 x mx m y x . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! 7  GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên ;ab : +B1: Tính đạo hàm của hàm số y‟ = f‟(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f‟(x), lập bảng biến thiên Trong đó tại x 0 thì f‟(x 0 ) bằng 0 hoặc khơng xác định Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]: B1: Tìm các giá trò x i ;ab (i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh . B2: Tính 12 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b B3: GTLN = max{ 12 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } GTNN = Min{ 12 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 yx x trên khoảng (0; ) Hƣớng dẫn: Dễ thầy h àm số liên tục trên (0; ) 2 2 22 11 ' 1 ' 0 1 0 1 x y y x x xx . Dễ thấy 1 (0; )x Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2. Tính GTLN, GTNN của hàm số 3 2 2 3 4 3 x y x x trên đoạn [-4; 0] Hƣớng dẫn Hàm số liên tục trên [-4; 0], 22 [-4;0] [-4;0] 1 '( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0 3 16 16 ( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4 33 Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0 16 Min khi x = -4 hc x = -1 3 x x x f x x x f x x x x f f f f V y khi y Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 3 2 3 4 2 3 2 . f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o³n [-3; 1] c. f(x) = x 8 16 trªn ®o³n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o³n [-4; 3] a x x x x x x Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): GTLN - + y y' b x 0 a x GTNN + - y y' b x 0 a x + + 0 2 + - y y' + 1 0 x CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! 8 2 x1 . f(x) = trªn nöa kho°ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho°ng (1; + ) x + 2 x- 1 c. f(x) = x 1 - x d. f(x) a 13 = trªn kho°ng ( ; ) cosx 2 2  TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ I. Kiến thức cần nắm Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) y = y 0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau đƣợc thoả mãn: 00 lim ( ) , hoÆc lim ( ) xx f x y f x y x = x 0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn: 0 0 0 0 lim , lim , lim , lim x x x x x x x x Đƣờng thẳng y = ax + b ( 0a ) đƣợc gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn: lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0 xx f x f x II. Các dạng toán Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ () () Px y Qx Phƣơng pháp Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang, xiên: + Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0 + Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. + Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên đƣợc xác định bằng cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b + ()x với lim ( ) 0 x x thì y = ax + b là tiệm cận xiên. Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số: 2 2 2x- 1 x 7 x + 2 . y = b. y = c. y = x + 2 3 x 1 x a x Hƣớng dẫn a. Ta thấy 22 2 1 2 1 lim ; lim 22 xx xx xx nên đƣờng thẳng x= 2 là tiệm cận đứng. Vì 1 2 21 lim lim 2 2 2 1 xx x x x x nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. b. + 2 3 7 lim 3 x xx x . Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. + 1 2 3 yx x . Ta thấy 1 lim[y - (x + 2)]= lim 0 3 xx x Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số. c. Ta thấy 2 1 2 lim . 1 x x x Nên x = 1 là đƣờng tiệm cận đứng. + 2 1 2 lim 1 x x x . Nên x = -1 là tiệm cận đứng. + 2 2 2 12 2 lim 0 1 1 1 x x xx x x . Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. CtnSharing.Com Download Ebook Free !!! 9 Dng 2. Tim cn ca hm vụ t 2 ax ( 0)y bx c a Phng phỏp Ta phõn tớch 2 ax ( ) 2 b bx c a x x a Vi lim ( ) 0 x x khi ú () 2 b y a x a cú tim cn xiờn bờn phi Vi lim ( ) 0 x x khi ú () 2 b y a x a cú tim cn xiờn bờn tr ỏi Ví dụ Tìm tiệm cận của hàm số: 2 9 18 20y x x H-ớng dẫn 2 9( 2) 6yx Các tính giới hạn vô cực của hàm số () () fx y gx lim ( ) 0 fx xx lim ( ) 0 gx xx Dấu của g(x) () lim () 0 fx xx gx L Tuỳ ý 0 L > 0 0 + + - - L < 0 0 - + + - Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau: 2x - 1 3 - 2x 5 -4 . y = b. y = c. y = d. y = x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1 x+ 1 1 e. y = f. y = 4 + 2x + 1 x- 2 a -x + 3 4 - x g. y = h. y = x 3x + 1 Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 x 12 27 x 2 x 3 2- x . y = b. y = c. y = d. y = 4 5 ( 1) 4 x 4 3 1 x 2 . y = 2x -1 + f. y = x3 x x x a x x x x x x e x 32 22 1 2x g. y = x- 3 + h. y = 2(x- 1) 1 x x Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số 2 2 x . y = 1 x+ 3 b. y = x+ 1 1 . 4 x a x x cy x Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số: 22 3 2( 2) 1 x y x m x m có đúng 2 tiệm cận đứng. 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 CtnSharing.Com Download Ebook Free !!! 10 Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số: 22 3x 1 -3x 4 . y = b. y = 12 xx a xx Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2 2( 1) 4 3 2 x m x m y x tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt) Bài 7. Cho hàm số: 2 (3 2) 3 3 1 x x m m y x (1) a. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm (4; 3)A b. Tìm m để đ-ờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol 2 yx tại hai điểm phân biệt. 4. khảo sát và vẽ hàm bậc ba Dạng 1: Khảo sát và vẽ hàm số 32 (a 0)y ax bx cx d Ph-ơng pháp 1. Tìm tập xác định. 2. Xét sự biến thiên của hàm số a. Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có). Tìm các đ-ờng tiệm cận. b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: + Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị. + Điền các kết quả vào bảng. 3. Vẽ đồ thị của hàm số. + Vẽ đ-ờng tiệm cận nếu có. + Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn. + Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh) Ví dụ 1. Cho hàm số: 32 31y x x a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của ph-ơng trình: 32 31x x m H-ớng dẫn a. 1. TXĐ: D 2. Sự biến thiên của hàm số a. Giới hạn tại vô cực 33 23 33 23 31 lim ( 3 1) lim (1 ) 31 lim ( 3 1) lim (1 ) xx xx x x x xx x x x xx c. Bảng biến thiên 22 0 ' 3 6 ' 0 3 6 0 2 x y x x y x x x Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;0) v (2; + ) Và nghịch biến trên khoảng (0; 2). Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; và y CĐ =y(2)= 3 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =0 và y CT = y(1) = -1 3. Đồ thị + Giao với Oy: cho x = 0 0y . Vởy giao với Oy tại điểm O(0; -1) + '' 0 6 6 0 1y x x . Điểm A (1; 1) + Nhận điểm A làm tâm đối xứng. b. 3 - + -1 - - + 0 0 2 0 + - y y' x 2 -2 -5 5 [...]... trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :  Chúng ta đã biết cách giải phƣơng trình: u 2 uv v2 0 (1) bằng cách u Xét v 0 phƣơng trình trở thành : v v 0 thử trực tiếp 2 u v 0 Các trƣờng hợp sau cũng đƣa về đƣợc (1)   a A x u bB x v mu 2 c A x B x nv 2 20 CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vơ tỉ thì sẽ nhận đƣợc phƣơng trình vơ tỉ theo dạng... 5(t 0) thì x 2 t4 t2 5 Thay vào ta có phƣơng trình sau: 4 10t 2 25 6 2 (t 5) 1 t t 4 22t 2 8t 27 16 4 (t 2 2t 7)(t 2 2t 11) 0 Ta tìm đƣợc bốn nghiệm là: t1,2 Do t 2 x2 1 1 Thay vào tìm đƣợc x 1 Bài 2 Giải phƣơng trình: 2 x2 Giải Đặt t x2 1 x f x 1 2 2; t3,4 0 nên chỉ nhận các gái trị t1 0 1 2 3 1 2 2, t3 1 2 3 2 và x Từ đó tìm đƣợc các nghiệm của phƣơng trình l: x 1 2 3 Cách khác: Ta có thể bình phƣơng... Dùng hằng đẳng thức :  Từ những đánh giá bình phƣơng : A2 Từ phƣơng trình 4 x 2 12 B2 0 , ta xây dựng phƣơng trình dạng A2 2 5x 1 2 x x 1 4 x 5x 1 2 B2 0 x 1 0 ta khai triển ra có phƣơng trình : 9 5x 2 9 5x 2 Dùng bất đẳng thức  Một số phƣơng trình đƣợc tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: đƣợc tại x0 thì x0 là nghiệm của phƣơng trình A Ta có : 1 x 1 x B 2 Dấu bằng khi và chỉ khi x 0 và x=0 Vậy ta... Cho các véc tơ: u   u v  u  v 2  x1 ; y1 , v x2 ; y 2 khi đó ta có 2 2 2 y1 y2 x12 y12 x2 y2   x1 y1 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ u, v cùng hƣớng k x2 y2  x1 x2 0 , chú ý tỉ số phải dƣơng 28  u.v  CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!   u v cos   u v , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos 1 u  v 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác  Nếu tam giác ABC là tam giác đều... 11 ; ; 73 8 bằng cách viết lại phƣơng trình 3x 1 x 4 26 CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! khi đó đặt 3x 1 2 y 3 , nếu đặt 2 y 3 thấy dấu của cùng dấu với dấu trƣớc căn 3x 1 thì chúng ta khơng thu đƣợc hệ nhƣ mong muốn , ta Một cách tổng qt f ( x) f ( y) Xét hệ: A.x B y m A '.x m ' (1) để hệ có nghiệm x = y thì : A-A‟=B và m=m‟, (2) Nếu từ (2) tìm đƣợc hàm ngƣợc y g x thay vào (1) ta đƣợc phƣơng... họ (Cm) đi qua M 0 Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M 0 Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M 0 Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố đònh của họ đường cong (Cm ) D¹ng 1: TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (Cm ) : y PHƯƠNG PHÁP GIẢI f ( x, m) ( m là tham số )... x 2 2 9 1 x2 256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 13 13 1 x 2 3 3 3 1 x 2 2 2 13 27 13 13x2 3 3x2 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: 10 x 16 10 x x 1 x2 1 x 3 10 x 2 16 10 x 2 2 Dấu bằng x Bài 3 giải phƣơng trình: x3` 3x2 Ta chứng minh : 8 4 4 x 4 Bài tập đề nghị Giải các phƣơng trình sau 1 2x 4 x 4 1 2x 1 x x 2 x4 8 4 4 x4 2 16 2 2 64 2 5 2 5 8x 40 8 4 4 x 4 0 x 13 và x3 3x2 8x 40 0 x 3 2 x 3 x 13 16... đƣợc giải quyết Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phƣơng trình vơ tỉ “đẹp “ theo cách trên 3 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn  Từ những phƣơng trình tích x 1 1 x 1 x 2 0, 2x 3 x 2x 3 x 2 0 Khai triển và rút gọn ta sẽ đƣợc những phƣơng trình vơ tỉ khơng tầm thƣờng chút nào, độ khó của phƣơng trình dạng này phụ thuộc vào phƣơng trình tích mà ta xuất phát Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phƣơng... là tâm của đƣờng tròn Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M O  Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dƣới cùng một góc 120 0 Bài tập 1) 2 x2 2) 2x2 x2 4x 5 2x 1 2 x2 3 1 x 1 x 2 10 x 50 3 1 x 1 3 5 IV PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phƣơng trình vơ tỉ dựa theo hàm đơn điệu  Dựa vào kết quả : “ Nếu y f t là hàm đơn điệu... 2x x2 1 2 2 x 1 x2 1 tan t , t ; 2 2 Khi đó pttt 2sin t cos2t cos2t 1 0 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x sin t 1 sin t 2sin 2 t 0 1 3 Bài tập tổng hợp Giải các phương trình sau x3 1 x2 3 x 2 2x2 x 1 4 2x 4 x3 x2 x 1 1 16 2 4 x 2 16 2 x x4 1 9 x 2 16 31 CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! 2 x2 2 x 30 2007 30 4 x 2007 12 x 8 2x 4 2 2 x 9 x 2 16 3 x 1 3 x 1 x3 2 3 x 3 x 1 2x 1 4x 5 3x 1 2x 7 x . 1x m m x m y xm luôn có cực đại và cực tiểu. Bài 3. Cho hàm số 32 2 ± 12 13y x x . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung. Bài 4. Hàm số 32 2(. CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! 6 + Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất. Ví dụ . Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 +. hàm số có cực trị Bài toán: „Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.‟ Phƣơng pháp B1: Tìm m để hàm số có cực trị. B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: Hàm