I/ Chứng minh đa thức bất khả qui: Bài 11: Chứng minh đa thức 4 2 2 9x x− + bkq trên ¤ Giải Ta có: f(x) = 4 2 2 9x x− + [ ] x∈¤ Vì f(x) vô nghiệm vô nghiệm trên ¤ , do đó nếu f(x) khả quy trên ¤ thì f(x) phải có dạng ( ) ( ) ( ) 2 2 ax+b cx+df x x x= + + (*) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 x a c x b d ac x ad bc x bd= + + + + + + + + (với , , ,a b c d ∈¤ ) 0 (1) 2 (2) 0 (3) 9 (4) a c b d ac ad bc bd + =   + + = −  ⇒  + =   =  Từ (1) ⇒ a = -c; thay a=-c vào (3) ⇒ a(b – d)=0 0a b d =  ⇔  =  + Với a =0 ⇒ c =0 (2), (4) ⇒ 2 9 b d bd + = −   =  ⇒ b, d là nghiệm phương trình: 2 2 9 0X X+ + = Phương trình vô nghiệm trên ¤ nên b, d không tồn tại + b = d Từ (4) 3 3 b d b d = =  ⇒  = = −  • b = d = 3 Từ (1), (2) 0 8 a c ac + =  ⇔  = −  ⇒ a, c là nghiệm phương trình: 2 8 0X − = Phương trình vô nghiệm trên ¤ nên a, c không tồn tại • b = d = -3 Từ (1), (2) 0 4 a c ac + =  ⇔  =  ⇒ a, c là nghiệm phương trình: 2 4 0X + = Phương trình vô nghiệm trên ¤ nên a, c không tồn tại Vậy f(x) không thể phân tích thành dạng (*) Do đó f(x) bất khả quy trên ¤ Câu 3: a/ CMR: ( ) ( ) 5, 7 5 7= +¤ ¤ b/ Tìm đa thức tối thiểu của 5 7+ trên ¤ Giải a/ vì ( ) ( ) 5, 7 5, 7 5 7 5, 7∈ ⇒ + ∈¤ ¤ ( ) ( ) 5 7 5, 7 (a)⇒ + ⊂¤ ¤ Đặt 5 7 α = + (1) 2 5 7 2 5 5 7 α α α ⇒ − = ⇒ − + = ( ) 2 2 5 5 7 2 α α − ⇒ = ∈ +¤ (2) Mặt khác: từ (1) suy ra: 7 5 α = − vì ( ) ( ) 5 7 ; 5 5 7 α ∈ + ∈ +¤ ¤ nên ( ) 7 5 5 7 α = − ∈ +¤ (3) từ (2), (3) ( ) ( ) 5, 7 5 7 (b)⇒ ⊂ +¤ ¤ từ (a) và (b) ( ) ( ) 5 7 5, 7 ⇒ + =¤ ¤ b/ Tìm đa thức tối thiểu 5 7+ trên ¤ Đặt 5 7 α = + (1) 2 2 4 2 4 2 7 5 2 35 12 2 35 24 144 140 24 4 0 α α α α α α ⇒ = + + ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ − + = α ⇒ là nghiệm của ( ) [ ] 4 2 24 4f x x x x= − + ∈¤ Vì f(x) vô nghiệm trên nghiệm trên ¤ , do đó nếu f(x) khả quy trên ¤ thì f(x) phải có dạng ( ) ( ) ( ) 2 2 ax+b cx+df x x x= + + (*) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 x a c x b d ac x ad bc x bd= + + + + + + + + (với , , ,a b c d ∈¤ ) 0 (1) 24 (2) 0 (3) 4 (4) a c b d ac ad bc bd + =   + + = −  ⇒  + =   =  Từ (1) ⇒ a = -c; thay a=-c vào (3) ⇒ a(b – d)=0 0a b d =  ⇔  =  + Với a =0 ⇒ c =0 (2), (4) ⇒ 24 4 b d bd + = −   =  ⇒ b, d là nghiệm phương trình: 2 24 4 0X X+ + = Phương trình vô nghiệm trên ¤ nên b, d không tồn tại + b = d Từ (4) 2 2 b d b d = =  ⇒  = = −  • b = d = 2 Từ (1), (2) 0 28 a c ac + =  ⇔  = −  ⇒ a, c là nghiệm phương trình: 2 28 0X − = Phương trình vô nghiệm trên ¤ nên a, c không tồn tại • b = d = -2 Từ (1), (2) 0 20 a c ac + =  ⇔  = −  ⇒ a, c là nghiệm phương trình: 2 20 0X − = Phương trình vô nghiệm trên ¤ nên a, c không tồn tại Vậy f(x) không thể phân tích thành dạng (*) Do đó f(x) bất khả quy trên ¤ Vậy f(x) đa thức tối thiểu của 5 7+ trên ¤ Câu 1: a/ Tìm các đa thức bậc hai và bậc ba bkq trên trường 2 ¢ các số nguyên mod 2 Giải G/s đa thức ( ) 3 2 axf x bx cx d= + + + với 2 2 0a b+ ≠ Ta có: ( ) ( ) 0 1 f d f a b c d =   = + + +   Vì f(x) bkq nên ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 f d a b c f = =   ⇔   + + = =    Vậy ta có các đa thức sau: 3 2 3 2 1 1 1 x x x x x x + + + + + + Bai 4: Cho ( ) [ ] 2 3 2p x x x x= + + ∈¢ . CMR p(x) là bkq trên 3 ¢ và dựng một mở rộng ( ) 3 α ¢ , với α là một nghiệm của p(x). Giải + CM p(x) bkq trên 3 ¢ Ta có: ( ) ( ) ( ) 0 2 1 1 2 2 p p p =  = ⇒   =  ( ) p x VN trên 3 ¢ ⇒ p(x) bkq trên 3 ¢ + dựng một cơ sở ( ) 3 α ¢ , với α là một nghiệm của p(x). ( ) { } 3 3 / ,a b a b α α = + ∈¢ ¢ (vì p(x) bkq trên 3 ¢ nên đa thức xác định trên 3 ¢ là ( ) 2 2p x x x= + + ) ( ) { } 3 0, ,2 ,1,1 ,1 2 ,2,2 ,2 2 α α α α α α α ⇒ = + + + +¢ Bài 7: CMR trường các số phức £ không có mở rộng thật sự nào: Giải Giả sử F là một mở rộng hữu hạn trên £ ta cần chứng minh F = £ Vì F là mở rộng hữu hạn trên £ ⇒ F mở rộng đại số trên £ a F ∀ ∈ ⇒ a là phần tử đại số trên £ . Do £ là trường đóng đại số nên đa thức bkq nhận a làm nghiệm trên £ là bậc nhất, tức là ( ) [ ] p x x x α β ∃ = + ∈£ Sao cho p(x) =0 0x x F β α β α − ⇒ + = ⇒ = ∈ ⇒ ⊆£ £ Mà F là mở rộng hữu hạn trên £ Vậy F ≡ £ Suy ra £ không có mở rộng thật sự nào Bài 5: Hãy xét xem mỗi số sau là siêu việt hay đại số trên ¤ : 2 3 7; 5; 3; ; 3e i π + + Giải a/ 3i + Đặt 3i α = + 2 2 3 6 9 1 6 10 0 i α α α α α ⇒ − = ⇒ − + = − ⇒ − + = ⇒ α là nghiệm của đa thức ( ) ( ) 2 6 10f x x x x= − + ∈¤ ⇒ i +3 là phần tử đại số trên ¤ b/ 2 π Giả sử 2 π là phần tử đại số trên ¤ ( ) [ ] ( ) 2 0 0 f x x f π ⇒ ∃ ≠ ∈ ⇒ = ¤ Đặt ( ) ( ) ( ) [ ] 2 0g x f x g x x= ⇒ ∃ ≠ ∈¤ ( ) ( ) 2 0g f π π ⇒ = = π ⇒ là phần tử đại số trên ¤ (vô lý) 2 π ⇒ là phần tử siêu việt trên ¤ c/ 7 Đặt 7 α = 2 2 7 7 0 α α ⇒ = ⇒ − = ⇒ α là nghiệm của đa thức ( ) ( ) 2 7f x x x= − ∈¤ ⇒ 7 là phần tử đại số trên ¤ d/ e + 3 Giả sử e + 3 là phần tử đại số trên ¤ ( ) [ ] ( ) 0 3 0 f x x f e ⇒ ∃ ≠ ∈ ⇒ + = ¤ Đặt ( ) ( ) ( ) [ ] 3 0g x f x g x x= + ⇒ ∃ ≠ ∈¤ ( ) ( ) 3 0g e f e⇒ = + = e⇒ là phần tử đại số trên ¤ (vô lý) 3e ⇒ + là phần tử siêu việt trên ¤ f/ 3 5 Đặt 3 5 α = 3 3 5 5 0 α α ⇒ = ⇒ − = ⇒ α là nghiệm của đa thức ( ) ( ) 3 5f x x x= − ∈¤ ⇒ 3 5 là phần tử đại số trên ¤ Bài 18: Xét xem các đa thức sau có bkq trên trường tương ứng sau a/ 2 3x + trên ( ) 7¤ b/ 2 1x + trên ( ) 2−¤ c/ 3 8 2x x+ − trên ( ) 2¤ Giải a/ 2 3x + trên ( ) 7¤ ta có ( ) { } 7 7 / ,a b a b= + ∈¤ ¤ đặt ( ) ( ) [ ] 2 3 7f x x x= + ∈¤ ( ) 2 0 3 0 3f x x x i= ⇔ + = ⇔ = ± Vì 3x i= ± là nghiệm phức nên không thuộc vào ( ) 7¤ . Vậy đa thức ( ) 2 3f x x= + bkq trên ( ) 7¤ b/ 2 1x + trên ( ) 2−¤ ( ) ( ) 2 2i− =¤ ¤ ta có ( ) { } 2 2 / ,i a bi a b= + ∈¤ ¤ đặt ( ) ( ) [ ] 2 1 2f x x i x= + ∈¤ ( ) 2 0 1 0f x x x i= ⇔ + = ⇔ = ± G/s ( ) 2i i∈¤ 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 i a bi a b abi a b i ab ⇒ = + ⇒ − = − + − + − ⇒ = ∈¤ 2i⇒ ∈¤ (vô lý) ⇒ f(x) vô nghiện trên ( ) 2i¤ Vậy đa thức ( ) f x bkq trên ( ) 2i¤ c/ 3 8 2x x+ − trên ( ) 2¤ ta có ( ) { } 2 2 / ,a b a b= + ∈¤ ¤ đặt ( ) ( ) [ ] 3 8 2 2f x x x x= + − ∈¤ Giả sử f(x) có nghiệm ( ) 2 α ∈¤ 2a b α = + Vì α là nghiệm f(x) nên: ( ) 0f α = ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 8 2 2 0 3 2 6 2 2 8 8 2 2 0 3 2 8 2 6 8 2 0 0 2 a b a b a a b ab b a b a b b b a ab a ⇔ + + + − = ⇔ + + + + + − = ⇔ + + + + + − = + ( ) 2 2 2 3 3 2 3 2 3 3 2 8 0 3 2 8 0 6 8 2 0 6 8 2 0 0 8 2 0 VN trê a b b a b b b a ab a a ab a b a a n  + + =  + + =   ⇔ ⇔   + + − =  + + − =    =  ⇔  + − =  ¤ ⇒ không tồn tại ( ) 2 α ∈¤ ⇒ f(x) vô nghiện trên ( ) 2¤ Vậy đa thức ( ) f x bkq trên ( ) 2¤ Bài 8: Tìm mở rộng đơn ( ) α ¤ sinh ra bởi một nghiệm của pt 3 2 6 9 3 0x x x− + + = . Hãy biểu thị mỗi phần tử sau 4 5 5 4 1 ; ;3 2; 1 α α α α α − + + qua các phần tử 2 1, , α α Giải + Đạt ( ) [ ] 3 2 6 9 3f x x x x x= − + + ∈¤ Và ( ) 0f α = Mà f(x) bất khả qui trên ¤ (theo tiêu chuẩn Aidentainơ) ⇒ f(x) là đa thức xác định trên ¤ ( ) { } 2 / , ,a b c a b c α α α ⇒ = + + ∈¤ ¤ + Biểu thị • 4 α qua các phần tử 2 1, , α α Ta có α là nghiệm phương trình nên 3 2 6 9 3 0 α α α − + + = 3 2 6 9 3 α α α ⇒ = − − 4 3 2 6 9 3 α α α α ⇒ = − − (nhân α vào hai vế) ( ) 4 2 2 6 6 9 3 9 3 α α α α α ⇒ = − − − − (thay 3 α ) 4 2 27 57 18 α α α ⇒ = − − • 5 α qua các phần tử 2 1, , α α Ta có α là nghiệm phương trình nên 3 2 6 9 3 0 α α α − + + = 3 2 6 9 3 α α α ⇒ = − − 4 3 2 6 9 3 α α α α ⇒ = − − (nhân α vào hai vế) 5 4 3 2 6 9 3 α α α α ⇒ = − − (nhân α vào hai vế) ( ) ( ) 5 3 2 3 2 3 2 2 2 2 6 6 9 3 9 3 27 57 18 27 6 9 3 57 18 105 261 81 α α α α α α α α α α α α α α α ⇒ = − − − − = − − = − − − − = − − 5 2 105 261 81 α α α ⇒ = − − Các câu còn lại làm tương tự đối với Bài 17: Các mở rộng của trường K đối với trường F dưới đây mở rộng nào là mở rộng chuẩn tắc? a/ ( ) 5−¤ có chuẩn tắc trên ¤ hay không? b/ ( ) 5 7¤ có chuẩn tắc trên ¤ hay không? Giải a/ ( ) 5−¤ có chuẩn tắc trên ¤ hay không? Ta có ( ) ( ) 5 5i− =¤ ¤ ( ) ( ) 2 5 : deg 5 2i x   ⇒ = + =   ¤ ¤ ( ) 5i⇒ ¤ mở rộng hữu hạn trên ¤ Xét ( ) [ ] 2 5f x x x= + ∈¤ bkq trên ¤ (vì f(x) vô nghiệm trên ¤ ) f(x) = 0 5x i⇔ = ± ⇒ Trường phân rã của f(x) trên ¤ là: ( ) ( ) 5 5i i± =¤ ¤ ( ) 5i⇒ ¤ mở rộng chuẩn tắc trên ¤ b/ ( ) 5 7¤ có chuẩn tắc trên ¤ hay không? Ta có ( ) ( ) 7 7 5 : deg 5 7x   = − =   ¤ ¤ ( ) 7 5⇒ ¤ mở rộng hữu hạn trên ¤ ( ) 7 5⇒ ¤ mở rộng đại số trên ¤ Xét ( ) [ ] 7 5f x x x= − ∈¤ bkq trên ¤ (Áp dụng tiêu chuẩn Aidentainơ) f(x) = 0, f(x) có 7 nghiệm là: 2 3 4 5 6 7 7 7 7 7 7 7 5, 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ξ ξ ξ ξ ξ ξ Với 2 2 os sin 7 7 c i π π ξ = + ⇒ Trường phân rã của f(x) trên ¤ là: ( ) 7 5 ξ ¤ ta có: ( ) 7 7 5 5∈¤ nhưng ( ) ( ) 7 7 5 5 ξ ∉¤ ¤ ( ) 7 5⇒ ¤ không mở rộng chuẩn tắc trên ¤ Bài 19: Tìm bậc của trường phân rã các đa thức sau trên ¤ a/ 3 2 2x x x− − − đặt f(x) = ( ) ( ) 3 2 2 2 2 1x x x x x x− − − = − + + f(x) có 3 nghiệm x=2; 1 3 2 2 x i= − ± ⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên ¤ là: ( ) 1 3 2; 3 2 2 i i   − ± =  ÷  ÷   ¤ ¤ Tính ( ) 3 :i     ¤ ¤ Đa thức xác định của 3i trên ¤ là: 2 3x + [ ] x∈¤ ( ) 3 :i     ¤ ¤ = deg ( 2 3x + ) = 2 b/ 3 5x − đặt f(x) = 3 5x − f(x) có 3 nghiệm là: 3 2 2 5 os isin ; 0,2 3 3 k k c k π π   + =  ÷   k = 0 ⇒ 3 0 5x = k = 1 ⇒ 3 1 5x ξ = k = 2 ⇒ 2 3 2 5x ξ = với 1 3 2 2 i ξ = − + ⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên ¤ là: ( ) ( ) 3 3 3 5; 5 5; ξ ξ =¤ ¤ Tính ( ) 3 5; : ξ     ¤ ¤ Xét ( ) ( ) 3 3 5 5; ξ ⊂ ⊂¤ ¤ ¤ + ( ) 3 5 :     ¤ ¤ Đa thức xác định của 3 5 trên ¤ là: 3 5x − [ ] x∈¤ ( ) 3 5 :     ¤ ¤ = deg ( 3 5x − ) = 3 + ( ) ( ) 3 3 5, : 5 ξ     ¤ ¤ Đa thức xác định của ξ trên ( ) 3 5¤ là: 2 1x x+ + [ ] x∈¤ ( ) ( ) 3 3 5, : 5 ξ     ¤ ¤ = deg ( 2 1x x+ + ) = 2 ⇒ ( ) 3 5; : ξ     ¤ ¤ = ( ) 3 5 :     ¤ ¤ . ( ) ( ) 3 3 5, : 5 ξ     ¤ ¤ = 3 . 2 = 6 c/ 4 3x − đặt f(x) = 4 3x − f(x) có 4 nghiệm là: 4 2 2 3 os isin ; 0,3 4 4 k k c k π π   + =  ÷   k = 0 ⇒ 4 0 3x = k = 1 ⇒ 4 1 3x i= k = 2 ⇒ 4 2 3x = − k = 3 ⇒ 4 2 3x i= − ⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên ¤ là: ( ) ( ) 4 4 4 4 4 3; 3; 3; 3 3,i i i− − =¤ ¤ Tính ( ) 4 3; :i     ¤ ¤ Xét ( ) ( ) 4 4 3 3;i⊂ ⊂¤ ¤ ¤ + ( ) 4 3 :     ¤ ¤ Đa thức xác định của 4 3 trên ¤ là: 4 3x − [ ] x∈¤ ( ) 4 3 :     ¤ ¤ = deg ( 4 3x − ) = 4 + ( ) ( ) 4 4 3, : 3i     ¤ ¤ Đa thức xác định của i trên ( ) 4 3¤ là: 2 1x + [ ] x∈¤ ( ) ( ) 4 4 3, : 3i     ¤ ¤ = deg ( 2 1x + ) = 2 ⇒ ( ) 4 3; :i     ¤ ¤ = ( ) 4 3 :     ¤ ¤ . ( ) ( ) 4 4 3, : 3i     ¤ ¤ = 4 . 2 = 8 d/ ( ) ( ) 2 2 6 7x x− − đặt f(x) = ( ) ( ) 2 2 6 7x x− − f(x) có 4 nghiệm là: 6; 7± ± ⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên ¤ là: ( ) ( ) 6, 6, 7, 7 6, 7− − =¤ ¤ Tính ( ) 6, 7 :     ¤ ¤ Xét ( ) ( ) 6 6; 7⊂ ⊂¤ ¤ ¤ + ( ) 6 :     ¤ ¤ Đa thức xác định của 6 trên ¤ là: 2 6x − [ ] x∈¤ ( ) 6 :     ¤ ¤ = deg ( 2 6x − ) = 2 + ( ) ( ) 6, 7 : 6     ¤ ¤ Đa thức xác định của 7 trên ( ) 6¤ là: 2 7x − [ ] x∈¤ ( ) ( ) 6, 7 : 6     ¤ ¤ = deg ( 2 7x − ) = 2 ⇒ ( ) 6, 7 :     ¤ ¤ = ( ) 6 :     ¤ ¤ . ( ) ( ) 6, 7 : 6     ¤ ¤ = 2 . 2 = 4 e/ 4 2 5 6x x+ + đặt f(x) = 4 2 5 6x x+ + = ( ) ( ) 2 2 2 3x x+ + f(x) có 4 nghiệm là: 2; 3i i± ± ⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên ¤ là: ( ) ( ) 2, 2, 3, 3 2, 3i i i i i i− − =¤ ¤ Tính ( ) 2, 3 :i i     ¤ ¤ [...]... ) ¤ dly → G  (1)⇒ (2)   ( 4 3, i )  ÷ = ¤ ¤ ÷   ( 4 ) 3, i : ¤  = 8  } ) ( 3 ) ⊂ ¤ ( 3,i )  ¤ ( 3, i )  ÷ = { id ⇒ G  ¤ ( 3) ÷   Xét ¤ ⊂ ¤ ( i ) ⊂ ¤ ( 3, i )  ¤ ( 3, i )  ÷ = { id : ⇒ G Xét ¤ ⊂ ¤ 4 4 4 F 4 : i → i, σ : i → −i} 4 4   ¤ Mà G    ( ¤ ( i) ÷  4 3, i ) 4 F 3 → 4 3,τ : 4 3 → − 4 3 (  ¤ ÷ và G   ¤ 43 ÷   ( ) 4 3,i )  ÷ ¤ ( i) ÷  } ¤ là các nhóm con của . dạng (*) Do đó f(x) bất khả quy trên ¤ Câu 3: a/ CMR: ( ) ( ) 5, 7 5 7= +¤ ¤ b/ Tìm đa thức tối thi u của 5 7+ trên ¤ Giải a/ vì ( ) ( ) 5, 7 5, 7 5 7 5, 7∈ ⇒ + ∈¤ ¤ ( ) ( ) 5 7 5, 7 (a)⇒. (2), (3) ( ) ( ) 5, 7 5 7 (b)⇒ ⊂ +¤ ¤ từ (a) và (b) ( ) ( ) 5 7 5, 7 ⇒ + =¤ ¤ b/ Tìm đa thức tối thi u 5 7+ trên ¤ Đặt 5 7 α = + (1) 2 2 4 2 4 2 7 5 2 35 12 2 35 24 144 140 24 4 0 α α α α α. tại Vậy f(x) không thể phân tích thành dạng (*) Do đó f(x) bất khả quy trên ¤ Vậy f(x) đa thức tối thi u của 5 7+ trên ¤ Câu 1: a/ Tìm các đa thức bậc hai và bậc ba bkq trên trường 2 ¢ các số