PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN HUYỆN ĐẦM DƠI NĂM HỌC 2010-2011 - Môn thi TOÁN - Ngày thi: 23-01-2011 - Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4 điểm) a. Chứng minh rằng: 1 26 4813532 = + +−+ b. Cho biểu thức yxyxx x yxy x A 22 22 2 22 −−+ + − − = với yxx 2;1 ≠≠ - Rút gọn A. - Tính giá trị của biểu thức khi 124 +=y Câu 2. (5 điểm) a. Cho đa thức: ( ) bxaxxxf ++−= 232 23 Xác định a, b để f(x) chia hết cho x-1 và x+2. b. Chứng minh rằng : 246116 234 nnnn +++ với mọi Zn ∈ . Câu 3. (4,5 điểm) Một canô chạy trên sông xuôi dòng 84 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ. Nếu canô xuôi dòng 112 km và ngược dòng 110 km thì mất 9 giờ. Tính vận tốc riêng của canô và vận tốc của dòng nước. Câu 4. (4 điểm). Cho đường tròn (O), từ điểm B bất kì thuộc đường tròn kẻ đường vuông góc BH với tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm A cho trước. Gọi I là giao điểm thứ hai của BH với đường tròn (O), gọi B’ là điểm đối xứng của điểm B qua tâm O. a. Chứng minh rằng: 'BAAI   = b. Chứng minh rằng BA là phân giác của góc OBH. c. Khi B di động trên đường tròn. Chứng minh rằng đường phân giác ngoài của góc OBH đi qua một điểm cố định. Câu 5. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC và đường phân giác BD. Chứng minh rằng: DCADBCABBD 2 −= Hết ĐỀ CHÍNH THỨC Đáp án và thang điểm Câu 1. (4 điểm) a. Chứng minh rằng: 1 26 4813532 = + +−+ VT = 1 )13(2 )13(2 26 322 26 12432 26 4813532 = + + = + + = + −+ = + +−+ Các bước biến đổi cho 0,25 điểm nhưng không quá 1 điểm 2 đ b. Cho biểu thức yxyxx x yxy x A 22 22 2 22 −−+ + − − = với yxx 2;1 ≠≠ Rút gọn yyxy yx yxyxy x xyx x yxy x yxyxx x yxy x A 1 )2( 2 2 2 )2( )1)(2( )1(2 )2( 22 22 2 22 = − − = − − − = +− + − − = −−+ + − − = Các bước biến đổi cho 0,25 điểm nhưng không quá 0,75 điểm 1,5 đ Tính giá trị của biểu thức khi 124 +=y 2 13 13 1 324 1 124 11 − = + = + = + == y A 0,5 đ Câu 2. (5 điểm) a. Cho đa thức: ( ) bxaxxxf ++−= 232 23 Xác định a, b để f(x) chia hết cho x-1 và x+2. Khi f(x) chia hết cho x-1 nên ta có f(1) = 0 430232 =−⇔=++−⇔ baba (I) Khi f(x) chia hết cho x+2 nên ta có f(-2) = 0 2012 −=−⇔ ba (II) Từ (I) và (II) ta tính được 12; 3 8 −=−= ba 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ b. Chứng minh rằng : 246116 234 nnnn +++ với mọi Zn ∈ . Phân tích 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 2 [ ] [ ] )3)(2)(1( )65)(1( )1(6)1(5)1( )66()55()( )6116(6116 2 2 223 23234 +++= +++= +++++= +++++= +++=+++ nnnn nnnn nnnnnn nnnnnn nnnnnnnn Mà 24 = 3.2 3 Vậy tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 và chia hết cho 8 nên chia hết cho 24. Vậy 246116 234 nnnn +++ với mọi Zn ∈ . 0,25 đ 0,25 đ 0.25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu 3. (4,5 điểm) Một canô chạy trên sông xuôi dòng 84 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ. Nếu canô xuôi dòng 112 km và ngược dòng 110 km thì mất 9 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. Gọi x, y lần lượt là vận tốc của ca nô và dòng nước (x>0; y>0; x, y tính bằng km/h; x>y) Theo đề ra ta có hệ phương trình        = − + + = − + + 9 110112 5 4484 yxyx yxyx Đặt X=x+y; Y=x-y ta có hệ phương trình        =+ =+ 9 110112 5 4484 YX YX Giải ra ta được X=28; Y=22 Thay vào tìm được x=25; y= 3 Vậy vận tốc của ca nô là 25 km/h Vận tốc của dòng nước 3 km/h 0,25 đ 1,75 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ Câu 4. (4,0 điểm). Cho đường tròn (O), từ điểm B bất kì thuộc đường tròn kẻ đường vuông góc BH với tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm A cho trước. Gọi I là giao điểm thứ hai của BH với đường tròn (O), gọi B’ là điểm đối xứng của điểm B qua tâm O. a. Chứng minh rằng: 'BAAI   = b. Chứng minh rằng BA là phân giác của góc OBH. c. Khi B di động trên đường tròn. Chứng minh rằng đường phân giác 3 ngoài của góc OBH đi qua một điểm cố định. Vẽ hình đúng 0,5 đ a. Ta có góc BIB’ = 1V (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) '//')(,' BAIAAxIBgtBHAxBHIB  =⇒⇒⊥⊥⇒ 0,25 đ 0,75 đ b. AxOA ⊥ (vì Ax là tiếp tuyến của (O) tại A) OABHgtAxBH //)( ⇒⊥ OABAMB =⇒ (1) OBAOAB =⇒ (OA=OB=R) (2) Từ (1) và (2) OBAAMB =⇒ , tia BA nằm giữa hai tia BO và BM, vậy BA là phân giác góc OBH 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ c. gọi BA’ là đường phân giác ngoài (A’ ∈ (O)) của góc OBH ⇒=⇒ 0 90'BHA AA’ là đường kính (vì A’BA là góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) 1,0 đ Câu 5. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC và đường phân giác BD. Chứng minh rằng: DCADBCABBD 2 −= 4 Gọi đường tròn (O) đi qua 3 điểm A, B, C. Đường phân giác của góc B cắt cung nhỏ AC tại E. Xét hai tam giác ABE và DBC, chúng có CEgtBB ˆ ˆ ),( ˆˆ 21 == (hai góc nội tiếp chắn cung AB). Vậy ABE∆ đồng dạng với DBC∆ BC BE BD AB =⇒ BDDEBCABBDBDDEBDBDDEBDBEBDBCAB ).( 22 −=⇒+=+==⇒ Tương tự ta có ABE∆ đồng dạng với ABE∆ DCADBDDE BD AD DC DE =⇒=⇒ Thay vào ta được điều phải chứng minh 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ Lưu ý: Nếu học sinh có cách giải khác vẫn cho điểm tối đa. 5 . PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN HUYỆN ĐẦM DƠI NĂM HỌC 2010-2011 - Môn thi TOÁN - Ngày thi: 23-01-2011 - Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4 điểm) a 110 km thì mất 9 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. Gọi x, y lần lượt là vận tốc của ca nô và dòng nước (x>0; y>0; x, y tính bằng km/h; x>y) Theo đề ra ta có. ra ta có hệ phương trình        = − + + = − + + 9 110112 5 4484 yxyx yxyx Đặt X=x+y; Y=x-y ta có hệ phương trình        =+ =+ 9 110112 5 4484 YX YX Giải ra ta được X=28; Y=22 Thay