ẹAẽI HOẽC ẹONG A Soỏ 7-2012 23 ng dng ca nh lý CHO MA TRN VUễNG CP 2 ThS. Nguyn Hu Hc Phũng Khoa Hc - i Hc ụng TểM TT õy l nh lý c bn ca i s tuyn tớnh. õy ta s xem xột ng dng ca nú trong vic tớnh toỏn ly tha v tỡm ma trn nghch o ca ma trn vuụng cp 2. T khúa: nh lý Cayley-Hamilton, ma trn. ABSTRACT This is the basic theorem of linear algebra. In this paper, we will consider about its applications in calculating the power and finding the inverse matrix of quare matrix level 2. Keyword: Cayley-Hamilton theorem, matrix. Trong bi vit ny ta ký hiu E, O ln lt l ma trn n v, ma trn khụng cựng cp vi ma trn tham gia trong biu thc. 1. nh lý Cayley-Hamilton 1.1. nh lý Cho T l ma trn vuụng cp n. a thc c trng ca T bc n l nh thc: T () E T = (E l ma trn n v cp n) Khi ú ta cú: =() T TO (O l ma trn khụng cp n) (1) Chng minh nh lý trờn cú th tham kho ti cỏc giỏo trỡnh i s tuyn tớnh hoc ti blog ca GS Ngụ Bo Chõu http://ngobaochau.wordpress.com/tag/hamilton/ Khi T l ma trn vuụng cp 2 ta thu c kt qu sau: ẹAẽI HOẽC ẹONG A Soỏ 7-2012 24 1.2. Mnh Cho = . ab A cd Khi ú ta cú: + + = 2 ( )( )A a d A ad bc E O (2) Chng minh: Theo nh lý Cayley-Hamilton ta cú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A ab EA a d b c cd = = = ( ) 2 a d (ad bc)= + + Thay bi A, 1 bi E ta thu c (2). 2. ng dng ca nh lý Cayley-Hamilton 2.1. Tớnh ly tha ca ma trn vuụng T 2 (2) A (a d)A (ad bc)E (*)=+ T ú ta thu c: ( ) ( ) ( ) 32 2 A A.A A a d A (ad bc)E a d A ad bc A = = + =+ ( ) ( ) ( ) 43 2 3 2 A A.A A a d A (ad bc)A a d A ad bc A = = + =+ T õy, phộp tớnh ly tha bc n ca ma trn c a v tớnh ly tha bc (n-1) v chuyn dn v phộp nhõn 1 s vi ma trn v ng nhiờn, quỏ trỡnh tớnh toỏn c n gin i nhiu. Vớ d 1: Cho = 12 14 A . Tớnh 23 ,AA. Gii: p dng cụng thc (*), ta c: 2 5 10 6 0 1 10 A 5A 6E 5 20 0 6 5 14 == = 32 1 10 1 2 11 38 A 5A 6A 5 6 5 14 1 4 19 46 = = = ẹAẽI HOẽC ẹONG A Soỏ 7-2012 25 T nhn xột trờn ta cú th ngh n vic tớnh n A (n 1,2,3, )= . Khi gp loi toỏn ny, phng phỏp quen thuc m ta ngh n chớnh l phng phỏp quy np toỏn hc tng c dựng tớnh s hng tng quỏt ca dóy s hay tớnh o hm cp n ca mt hm s. Ni dung ca phng phỏp ny l tớnh mt s s hng ban u, d oỏn s hng tng quỏt v chng minh d oỏn bng quy np toỏn hc. Vớ d 2: Cho = 0 0 a A b . Tớnh A n Gii: p dng cụng thc (*), ta c: 2 2 2 a0 A (a b)A abE 0b =+= 3 32 3 a0 A (a b)A abA 0b =+ = n n n a0 A 0b = Ta cú: n n1 n1 n n n1 a0 a0 a 0 A A .A 0b 0b 0 b + + + = = = Vy (**) ỳng vi mi n = 1, 2, 3, Trong vớ d 2, A l ma trn c bit, ta d dng oỏn c A n , tuy nhiờn, khi A l ma trn bt k, nh trong vớ d 1, ta rt khú tỡm ra quy lut d oỏn A n , õy cng l hn ch ca phng phỏp ny. Bõy gi ta s suy ngh phng phỏp s dng nh lý Cayley- Hamilton gii quyt bi toỏn ny! Trc ht, ta thy rng a thc c trng ca A l a thc bc hai, vỡ vy cú th phõn tớch (2) thnh dng: (A - E)(A - E) = 0 (tt nhiờn cú c trng hp , C tuy nhiờn trong phm vi bi ny ta tm thi gii hn , R). 2.1.1. Trng hp Khi ú t ()()0()()AEAE AEAAE = = T ú bng quy np toỏn hc ta d dng chng minh c: (**) ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 7-2012 26 nn (A E)A (A E)−α = −α β (i) Hồn tồn tương tự, ta có: nn (A E)A (A E)−β = −β α (ii) (2.2) (2.1) : ( ) ( ) ( ) n nn n n AA E α β α β α β αβ − − =−−− n n n1 n1 n () AA E −− α −β αβ α −β ⇒= − α−β α−β (3) Ví dụ 3: Cho 42 11 A −  =   . Tính: n A . Giải: Theo định lý Cayley-Hamilton ta có: −+ =⇒− − = 2 5 6 0 ( 2 )( 3 ) 0A A E A EA E Ta có: − −=⇒ −=−( 2)( 3) 0 ( 2) 3( 2)AEAE AAE AE Bằng quy nạp tốn học ta dễ dàng chứng minh được: 1 ( 2) 3( 2) 2 3( 2) () n n n nn AAE AE A A AE i + −= −⇒ −= − (iii) Mặt khác: ( 2)( 3) 0 ( 3) 2( 3)AEAE AAE AE− −=⇒ −=− Lập luận tương tự ta thu được: 1 ( 3) 2( 3) 3 2( 3) () n n n nn AAE AE A A AE ii + −= −⇒ −= − (iv) 1 2.3 2 2(3 2 ) ( ) ( ) : (3 2 ) (2.3 3.2 ) 32 32 nn nn n nn n n nn nn i ii A A E +  − −− − =−−− =  − −+  2.1.2. Trường hợp αβ = Khi đó (2) trở thành: 2 ()AE O α −= Đặt: A EB A EB αα − =⇒= + với 2 BO= . Áp dụng khai triển nhị thức Newton: 1 1 2 22 () () () nn n n n nn A E C E BC E B B αα α −− = + + ++ Do 2 11 () nnn nn B O A En EB En A E αα αα α −− =⇒= + = + − 1 ( 1) (2.4) nn n A n An E αα − ⇒ = −− Trong cho βα → ta cũng sẽ thu được ! (ii)-(i) (iii)-(iv) (4) (3) (4) ẹAẽI HOẽC ẹONG A Soỏ 7-2012 27 Vớ d 4: Cho 31 11 A = . Tớnh n A Gii: Theo nh lý Cayley-Hamilton: 22 4 4 ( 2)A A EO A E O + = = p dng (4) vi 2 = ta c: 11 1 11 ( 2)2 .2 .2 ( 1).2 .2 ( 2)2 nn nn n nn nn A n An E nn + = = Trong phng phỏp trờn, ta s dng phõn tớch biu thc thnh nhõn t. Nu nhỡn theo khớa cnh a thc, a thc c trng ca ma trn A: 2 () ( ) ( )a d ad bc = + + . Gi , l hai nghim ca () . - Trng hp Theo nh lý v phộp chia a thc, tn ti a thc ()Q v cỏc s p, q sao cho: 2 ( ) ( ) () n a d ad bc Q p q = + + + + Ln lt thay , = = vo biu thc trờn ta thu c: 11 () nn n n nn p pq pq q = += += = T ú ta thu c cụng thc (3): = 11 () nn n n n AA E - Trng hp = Khi ú ta cú: 2 ( ) () n Q pq = ++ o hm hai v theo ta c: 12 2( )() ( ) '() n n Q Qp = + + Ln lt thay = vo hai biu thc trờn ta cú: ẹAẽI HOẽC ẹONG A Soỏ 7-2012 28 1 1 ( 1) nn nn pq p n n p qn =+= = = T ú ta thu c cụng thc (4): = 1 ( 1) nn n A n An E i vi trng hp a thc c trng cú nghim phc, ta th xột vớ d c th sau õy: Vớ d 5: Cho 37 12 A = . Tớnh n A Gii: Theo nh lý Cayley-Hamilton ta cú: 2 0A AE++= T ú: 2 27 13 A AE = = 32 10 01 A AA E = = = Do ú: 3 10 ( 1,2,3, ) 01 m AE m = = = 31 37 ( 0,1,2, ) 12 m AA m + = = = 32 2 27 ( 0,1,2, ) 13 m AA m + = = = Trong trng hp ny cỏc nghim ca phng trỡnh c trng: 13 2 2 cos sin 2 33 i i + = = + 13 4 4 cos sin 2 33 i i = = + ẹAẽI HOẽC ẹONG A Soỏ 7-2012 29 p dng cụng thc Moivre v s dng cụng thc (3) ta cng thu c: 33 3 10 1 ( 1,2,3, ) 01 mm m AE m ==== = 31 31 31 37 ( 0,1,2, ) 12 m m m AA m + + + = == = = 32 2 32 2 32 2 () m m m A A E AE A + + + = = + = = = 32 2 27 ( 0,1,2, ) 13 m AA m + == = S dng nhng kt qu thu c trờn, ta d dng kim tra li ly tha bc n ca cỏc ma trn c bit: 0 0 0 0 n n n a a AA b b = = (vớ d 2) 1 0 0 nn n n ab a na b AA a a = = 1 0 0 n n nn a a AA ba na b a = = 2.2. Tỡm ma trn nghch o i vi ma trn vuụng cp 2, vic tỡm ma trn nghch o khỏ n gin. õy, ta th xột mt vớ d s dng nh lý Cayley-Hamilton tỡm ma trn nghch o. Vớ d 6: Cho 14 23 A = . Tỡm ma trn nghch o 1 A Gii: p dng nh lý Cayley-Hamilton ta cú: 2 45A A EO = Nhõn hai v ng thc trờn vi 1 A : ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 7-2012 30 1 45AEA O − −− = 1 1 34 54 21 34 55 21 55 A AE A − − −  ⇒ =−=  −   −  ⇒=  −  Kết luận Bài tốn về lũy thừa của ma trận vng cấp 2 có nhiều cách giải khác nhau, chẳng hạn ngồi cách sử dụng phương pháp quy nạp như đã nêu trong bài ta có thể sử dụng phương pháp chéo hóa ma trận Trong nhiều giáo trình Đại số tuyến tính khơng giới thiệu định lý này, nên bài viết này nhằm giới thiệu một số ứng dụng của định lý Cayley- Hamilton trong việc tính tốn với các ma trận vng cấp 2. Kết hợp với các kiến thức Tốn sơ cấp sẽ cho ta nhiều lời giải ngắn gọn và thú vị. Đối với các ma trận vng cấp cao hơn dĩ nhiên việc tính tốn cũng phức tạp hơn, vấn đề này tơi xin đề cập trong một bài viết khác■ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Hamilton_theorem 2. http://ngobaochau.wordpress.com/tag/hamilton/ . tr n ta cú th ngh n vic tớnh n A (n 1,2,3, )= . Khi gp loi to n ny, phng phỏp quen thuc m ta ngh n chớnh l phng phỏp quy np to n hc tng c dựng tớnh s hng tng quỏt ca dóy s hay tớnh o hm cp n. Trong nhiều giáo trình Đại số tuy n tính khơng giới thiệu định lý n y, n n bài viết n y nhằm giới thiệu một số ứng dụng của định lý Cayley- Hamilton trong việc tính t n với các ma tr n vng cấp. n ca mt hm s. Ni dung ca phng phỏp ny l tớnh mt s s hng ban u, d o n s hng tng quỏt v chng minh d o n bng quy np to n hc. Vớ d 2: Cho = 0 0 a A b . Tớnh A n Gii: p dng cụng thc (*), ta