ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————————— ĐỖ HỒNG THÁI VỀ MÔ HÌNH KINH TẾ NASH - COURNOT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————————— ĐỖ HỒNG THÁI VỀ MÔ HÌNH KINH TẾ NASH - COURNOT CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN QUÝ THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Chương 1.Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan . . . . . . 7 1.1.Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . . . . . . . . . 15 1.4.Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.Bài toán tối ưu hoá. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2.Mô hình kinh tế Nash-Cournot. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.Mô hình kinh tế Nash-Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1. Phát biểu mô hình . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2. Mô hình kinh tế Nash-Cournot với bài toán cân bằng. . . . . 28 2.2.Mô hình kinh tế Nash-Cournot cho một số trường hợp riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1. Hàm lợi nhuận có hệ số giảm giá của các hãng là như nhau và hàm chi phí tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2. Hàm lợi nhuận có hệ số giảm giá của các hãng là khác nhau và hàm chi phí tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 3.Mô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot với hàm chi phí lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.Mô hình kinh tế Nash-Cournot với hàm chi phí lõm. 42 3.2.Sự tồn tại nghiệm của mô hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.Một phương pháp phân rã giải mô hình với hàm chi phí lõm tuyến tính từng khúc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Quý. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy về sự hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian tác giả nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Trong quá trình học tập chương trình cao học tại Đại học khoa học, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sự giảng dạy tận tình của GS. Nguyễn Văn Mậu, GS Lê Dũng Mưu, GS. Trần Vũ Thiệu, PGS. Lê Thị Thanh Nhàn, PGS. Nông Quốc Chinh, PGS.Đỗ Văn Lưu, PGS. Tạ Duy Phượng, TS. Nguyễn Thị Thu Thuỷ, TS. Vũ Mạnh Xuân, TS. Vũ Vinh Quang, cùng rất nhiều thầy, cô giáo công tác tại Viện Toán Học Việt Nam, Viện Công Nghệ Thông Tin, Trường đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, các cô. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo Trường đại học khoa học- Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho việc học tập và nghiên cứu của tác giả. Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên lớp cao học toán K3A (Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên), bạn bè, đồng nghiệp. Đặc biệt cảm ơn bạn Trần Xuân Thiện đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2011 Tác giả Đỗ Hồng Thái 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI MỞ ĐẦU Mô hình cân bằng thị trường độc quyền tập đoàn do A. Cournot đưa ra vào năm 1838 và đã được rất nhiều tác giả trên thế giới tập trung nghiên cứu. Mô hình này có thể được mô tả như một bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi không hợp tác gồm n người chơi. Gần đây người ta quan tâm rất nhiều đến việc giải quyết bài toán trên vì những ứng dụng của nó vào thực tiễn cuộc sống là rất đa dạng, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng về mô hình kinh tế Nash - Cournot là việc xây dựng phương pháp giải mô hình trong các trường hợp cụ thể. Nhiều tác giả trên thế giới đã gắn kết mô hình kinh tế Nash – Cournot với các bài toán quen thuộc như: bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động và đã đưa ra được các phương pháp giải trong nhiều trường hợp cụ thể với những giả thiết khác nhau. Nội dung của bản luận văn này là trình bày một cách khái quát về bài toán cân bằng và các bài toán có liên quan. Sau đó mô tả mô hình kinh tế Nash - Cournot dưới dạng bài toán cân bằng và đưa ra phương pháp giải mô hình trong một số trường hợp riêng. Bản luận văn gồm 3 chương. • Chương 1. Trình bày khái quát về bài toán cân bằng và các bài toán có liên quan như bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu hóa, bài toán điểm bất động. • Chương 2. Giới thiệu về mô hình kinh tế Nash - Cournot và việc đưa mô hình kinh tế Nash - Cournot về bài toán cân bằng mà cụ thể là đưa mô hình về bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, sau đó nghiên cứu mô hình trong trường hợp hàm lợi nhuận có hệ số giảm 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn giá như nhau, khác nhau và hàm chi phí tuyến tính. • Chương 3. Nghiên cứu mô hình kinh tế Nash- Cournot trong trường hợp hàm chi phí lõm và đưa ra một phương pháp giải mô hình trong trường hợp hàm chi phí lõm và tuyến tính từng khúc. Do thời gian thực hiện luận văn có hạn, kiến thức của tác giả còn hạn chế, sử dụng phần mềm soạn thảo text chưa thực sự thành thạo nên bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 19 tháng 05 năm 2011 Tác giả Đỗ Hồng Thái 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan Trong chương này, sau khi đưa ra một số khái niệm cơ bản có liên qua đến nội dụng của bản luận văn, chúng tôi sẽ giới thiệu một số bài toán cơ bản có liên quan đến mô hình kinh tế Nash - Cournot. Đó là các bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu và bài toán điểm bất động. 1.1. Một số khái niệm cơ bản Dưới đây ta trình bày một số khái niệm cơ bản, những khái niệm này có liên quan mật thiết với các nội dung quan trọng của chương. Định nghĩa 1.1. (Hàm lồi, xem [10], định nghĩa 1.1.3) Cho W là các tập lồi, đóng, khác rỗng trong R n , ϕ : W → R là một hàm. Hàm ϕ được gọi là: (i) Lồi trên W nếu với mỗi cặp điểm u, v ∈ W và ∀α ∈ [ 0, 1 ] , ta có: ϕ ( αu + (1 − α)v ) ≤ αϕ(u) + (1 − α)ϕ(v). 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Lồi ngặt trên trên W nếu với mọi cặp điểm phân biệt u, v ∈ W và ∀α ∈ ( 0, 1 ) , ta có: ϕ ( αu + (1 − α)v ) < αϕ(u) + (1 − α)ϕ(v). (iii) Lồi mạnh trên trên W với hằng số r > 0 nếu với mỗi cặp điểm u, v ∈ W và ∀α ∈ [ 0, 1 ] , ta có: ϕ ( αu + (1 − α)v ) ≤ αϕ(u) + (1 − α)ϕ(v) − 0, 5α(1 − α)r u − v 2 (iv) Giả lồi trên W : với mỗi cặp u, v ∈ W và ∀α ∈ [ 0; 1 ] nếu ∇ϕ(v), u − v ≥ 0 thì ϕ(u) ≥ ϕ(v). (v) Tựa lồi trên W nếu với mỗi cặp u, v ∈ W và ∀α ∈ [ 0, 1 ] ta có: ϕ ( αu + (1 − α)v ) ≤ max {ϕ(u), ϕ(v)}. (vi) Tựa lồi thực sự trên W nếu ϕ là tựa lồi trên W và với mọi cặp điểm phân biệt u, v ∈ W , ∀α ∈ ( 0, 1 ) ta có: ϕ ( αu + (1 − α)v ) < max {ϕ(u), ϕ(v)}. Định nghĩa 1.2. (Ánh xạ đơn điệu, xem [10], định nghĩa 1.1.1) Cho W là tập lồi, đóng, khác rỗng trong R n , Q : W → R n là một ánh xạ, ánh xạ Q được gọi là: (i) Đơn điệu trên W nếu với mỗi cặp điểm u, v ∈ W , ta có: Q(u) − Q(v), u − v ≥ 0 (ii) Đơn điệu ngặt trên W nếu với mọi cặp điểm phân biệt u, v ∈ W ta có: Q(u) − Q(v), u − v > 0. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Chương 2 Mô hình kinh tế Nash- Cournot Trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu về mô hình kinh tế Nash Cournot và tìm cách đưa mô hình này về bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân (đã giới thiệu ở chương 1), đồng thời nghiên cứu mô hình trong một vài trường hợp riêng 2.1 Mô hình kinh tế Nash- Cournot 2.1.1 Phát biểu mô hình Có n hãng cùng tham gia... http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Sau đây chúng ta sẽ mô tả mô hình kinh tế Nash - Cournot dưới dạng bài toán cân bằng Với các ký hiệu ở trên ta đặt: n Ψ(x, y ) = − fi (x1 , , xi−1 , yi , xi+1 , , xn ) , x = (x1 , , xn ) , y = (y1 , , yn ) i=1 (2.3) và: Φ(x, y ) = Ψ(x, y )−Ψ(x, x) (2.4) Dễ dàng nhận thấy Φ là một song hàm cân bằng trên U Mệnh đề 2.1 Bài toán tìm điểm cân bằng của mô hình kinh tế Nash - Cournot. .. so với sản lượng cân bằng, trong khi các hãng còn lại vẫn giữ nguyên mức sản lượng cân bằng 2.1.2 Mô hình kinh tế Nash- Cournot với bài toán cân bằng Theo trên, ta có fi (x1 , , xn ) (i = 1, 2, , n) là hàm sản lượng của hãng i Ta có: x∗ = x∗ , , x∗ ∈ U n 1 được gọi là điểm cân bằng của mô hình kinh tế Nash- Cournot nếu: fi x∗ , , x∗ = max fi x∗ , , x∗ , yi , x∗ , , x∗ 1 n 1 n i−1 i+1 yi ∈Ui (i = 1, , n)... chiến lược của hãng i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Đặt: U := U1 × U2 × × Un Tập này thường được gọi là tập chiến lược của n hãng hay tập chấp nhận của mô hình Điểm sản lượng x∗ = x∗ , , x∗ ∈ U được gọi là điểm sản lượng cân 1 n bằng của mô hình kinh tế Nash- Cournot nếu không có một hãng nào có thể tăng thêm được phần lợi nhuận của mình bằng việc... hợp riêng Theo quan điểm kinh tế thì lợi nhuận được xác định bằng hiệu của doanh thu trừ chi phí Đặt pi (x) là hàm giá đơn vị sản phẩm và hi (xi ) là hàm tổng chi phí cho khối lượng sản phẩm xi của hãng i, (i = 1, 2, , n) thì hàm lợi nhuận được xác định bằng: fi (x) = xi pi (x)−hi (xi ) (2.5) Vì vậy, trong nội dung của bản luận văn này chúng ta quan tâm tới mô hình kinh tế Nash- Cournot với giả thiết các... http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Từ đó ta thấy, bất đẳng thức: Φ(x, y ) ≥ 0 ⇔ −Ψ(x, x) ≥ −Ψ(x, y ), ∀y ∈ U Điều này thể hiện rằng nếu các hãng cùng áp dụng kế hoạch sản lượng cân bằng, thì tổng lợi nhuận của các hãng là cao nhất so với khi có một hãng nào đó không áp dụng kế hoạch sản lượng cân bằng, trong khi các hãng khác vẫn áp dụng kế hoạch sản lượng cân bằng 2.2 Mô hình kinh tế Nash- Cournot cho một... nghiệm, nghĩa là mô hình có duy nhất điểm cân bằng Trong khi đó bài toán (QP ) có thể có nhiều nghiệm tối ưu do G là ma trận không xác định dương, nghĩa là có thể có điểm làm cực đại tổng lợi nhuận của tất cả các hãng mà không phải là điểm cân bằng Đây cũng là một trong những điểm khác biệt giữa mô hình cân bằng và mô hình tối ưu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn... x − 2 xT Qx (QP1’) x∈U Như vậy tập nghiệm của bất đẳng thứa biến phân (2.7) trùng với tập nghiệm tối ưu của quy hoạch toàn phương (QP1) Điều này có nghĩa là điểm cân bằng của mô hình cân bằng thị trường độc quyền tập đoàn Nash- Cournot cổ điển với giả thiết H1 trùng với điểm làm cực đại tổng lợi nhuận của tất cả các hãng (nghiệm của bài toán (QP1’)) với ma trận hệ số giảm giá do tăng sản lượng là: ... sử x∗ ∈ U là một điểm cân bằng của mô hình, theo định nghĩa ta có: fi x∗ , , x∗ , x∗ , x∗ , , x∗ ≥ fi x∗ , , x∗ , yi , x∗ , , x∗ , n n 1 1 i+1 i−1 i+1 i−1 i ∀yi ∈ Ui (i = 1, 2, , n) Từ đó suy ra: n fi x∗ − fi x∗ , , x∗ , yi , x∗ , , x∗ 1 i−1 i+1 n = Ψ(x∗ , y ) − Ψ(x∗ , x∗ ) i=1 = Φ(x∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ U Nghĩa là x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng Nhìn từ góc độ kinh tế thì −Ψ(x, x) chính là tổng lợi... phân (VIP) Vì vậy theo mệnh đề (1.6) ta có các kết luận của mệnh đề (1.9) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 1.5 Bài toán tối ưu hoá Bài toán tối ưu là một bài toán có nhiều ứng dụng thực tiễn đặc biệt là trong kinh tế như: Bài toán tối đa hoá hàm lợi nhuận, bài toán tối thiểu hoá chi phí Mặt khác bài toán tối ưu hoá có liên quan mật thiết với bài toán cân . thiệu về mô hình kinh tế Nash - Cournot và việc đưa mô hình kinh tế Nash - Cournot về bài toán cân bằng mà cụ thể là đưa mô hình về bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, sau đó nghiên cứu mô hình. . . 23 Chương 2 .Mô hình kinh tế Nash- Cournot. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1 .Mô hình kinh tế Nash- Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1. Phát biểu mô hình . . . . http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 3 .Mô hình cân bằng kinh tế Nash- Cournot với hàm chi phí lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1 .Mô hình kinh tế Nash- Cournot