BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ PHẠM ĐOAN NGỌC BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHỨA PHẦN DƯ TAYLOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60.46.01 THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ PHẠM ĐOAN NGỌC BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHỨA PHẦN DƯ TAYLOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60. 46. 01 Người hướng dẫn khoa học : TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán - tin học Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Tp. Hồ Chí Minh. Học viên Cao học : Phạm Đoan Ngọc Bộ môn Toán, Trường chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ. THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2007 Luận văn được hòan thành tại: Trường Đại học Cần Thơ Người hướng dẫn : TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán – Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1 : TS. Nguyễn Công Tâm Khoa Toán – Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2 : TS. Tr ần Minh Thuyết Khoa Thống kê Toán Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh. Học viên Cao học : Phạm Đoan Ngọc Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn tại Trường Đại học Cần Thơ Vào lúc …… giờ,……., ngày …………tháng………năm………. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Cần Thơ. THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2007 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy Cô thuộc khoa Toán Tin Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, cùng với quý thầy cô ở trường Đại học Cần Thơ đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suố t thời gian học tập. Xin chân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Công Tâm, TS. Trần Minh Thuyết đã đọc luận văn và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích cho tôi. Xin trân trọng cảm ơn Phòng Quản lý Khoa học Hợp tác Quốc tế - Sau Đại học Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn tất chương trình học tập. Xin trân trọng cảm ơn trườ ng THPT Chuyên Lý Tự Trọng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian đi học. Xin trân trọng cảm ơn các bạn lớp Cao học Toán khóa 11, các bạn đồng nghiệp, đặc biệt là ThS Lê Xuân Trường đã động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian qua. Phạm Đoan Ngọc Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng Luận văn Thạc Sỹ Toán học 1 Phạm Đoan Ngọc CHƯƠNG 0 PHẦN MỞ ĐẦU Gần đây, nhiều bất đẳng thức chứa phần dư Taylor của một hàm số được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như H. Gauchman [2, 3], Zheng Liu [4], L. Bougoffa [1],… và các tài liệu tham khảo trong đó. Các bất đẳng thức này được thiết lập nhờ vào công thức Leibnitz (đạo hàm cấp cao của tích hai hàm số), hoặc các bất đẳng thức ssuG r && , Chebyshev, Steffensen,… Liên quan đế phần dư Taylor của một hàm số, định lý Taylor được phát biểu như sau: Định lý 0.1. Cho f : (a, b) → R có đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong khoảng (a, b). Khi đó, với mọi x, c ∈ (a, b), tồn tại một số thực θ ∈ (0, 1) sao cho: (0.1) f(x) = ( ) 1 )1( 0 )( )( )!1( )( )( ! )( + + = − + −θ+ +− ∑ n n n k k k cx n cxcf cx k cf Biểu thức (0.2) ∑ = −−= n k k k fn cx k cf xfxcR 0 )( , )( ! )( )(),( gọi là phần dư Taylor của hàm f. Trong công thức (0.1) ở trên, phần dư ),( , xcR fn có dạng tường minh (0.3) 1 )1( , )( )!1( ))(( ),( + + − + −θ+ = n n fn cx n cxcf xcR còn gọi là phần dư Lagrang trong khai triển Taylor của hàm f. Mặt khác, phần dư ),( , xcR fn có dạng tường minh cũng được biểu diễn theo dạng tích phân (phần dư Taylor dạng tích phân) như sau: (0.4) .)( ! )( ),( )1( , ∫ + − = x c n n fn dttf n tx xcR Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng Luận văn Thạc Sỹ Toán học 2 Phạm Đoan Ngọc Trong luận văn này, chúng tôi muốn trình bày và hệ thống lại một số bất đẳng thức chứa phần dư Taylor của một hàm số được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong thời gian gần đây. Một số bất đẳng thức quá lâu như bất đẳng thức Steffensen (1919) mà chúng tôi không tìm được bài báo gốc công bố trong [J.F. STEFFENSEN, On certain inequalities and methods of approximation, J. Inst. Actuaries, 51 (1919), 274 – 297], nên phải tự chứng minh lại trong phần phụ lục. Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương sau đây: Chương 0: Phần mở đầu. Chương 1: Bất đẳng thức Steffensen và một số bất đẳng thức chứa phần dư Taylor. Chương 2: Áp dụng một số bất đẳng thức của chương 1. Chương 3: Bất đẳng thức chứa phần dư Taylor từ công thứ c Leibnitz. Chương 4: Bất đẳng thức chứa phần dư Taylor từ công thức ssuG r && Phần kết luận. Phần tài liệu tham khảo. Phần phụ lục: Luận văn cũng dành một phần phụ lục để chứng minh lại bất đẳng thức Steffensen và bất đẳng thức ssuG r && . Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng Luận văn Thạc Sỹ Toán học 3 Phạm Đoan Ngọc CHƯƠNG I BẤT ĐẲNG THỨC STEFFENSEN VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA PHẦN DƯ TAYLOR Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan đến phần dư Lagrang trong khai triển Taylor của hàm, bất đẳng thức Steffensen và một số bất đẳng thức chứa phần dư Taylor. Trước hết, về phần dư Taylor của hàm f, ta có kết quả sau: Bổ đề 1.1. Cho f ∈ C n+1 ([a, b]), ta có: (1.1) ,),()()( )!1( 1 , )1(1 ∫∫ =− + ++ b a fn b a nn dxxaRdxxfxb n và (1.2) ,),()1()()( )!1( 1 , 1)1(1 ∫∫ +++ −=− + b a fn n b a nn dxxbRdxxfax n trong đó (1.3) ∑ = −−= n k k k fn cx k cf xfxcR 0 )( , )( ! )( )(),( là phần dư Lagrang trong khai triển Taylor của hàm f. Chứng minh Bổ đề 1.1. Dùng tích phân từng phần, ta thu được (1.4) ∫∫ +++ − + =− + b a nn b a nn xdfxb n dxxfxb n )()( )!1( 1 )()( )!1( 1 )(1)1(1 = ∫ + − + b a nn xdfxb n )()( )!1( 1 )(1 ∫ −+− + = + b a nn b a nn dxxfxb n xbxf n )()( ! 1 )()( )!1( 1 )(1)( Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng Luận văn Thạc Sỹ Toán học 4 Phạm Đoan Ngọc .)()( ! 1 ))(( )!1( 1 )(1)( ∫ −+− + −= + b a nnnn dxxfxb n abaf n Áp dụng liên tiếp nhiều lần công thức (1.4), ta được (1.5) ∫ ++ − + b a nn dxxfxb n )()( )!1( 1 )1(1 ∫ −+− + −= + b a nnnn dxxfxb n abaf n )()( ! 1 ))(( )!1( 1 )(1)( nnnn abaf n abaf n ))(( ! 1 ))(( )!1( 1 )1(1)( −−− + −= −+ ∫ −− − − + b a nn dxxfxb n )()( )!1( 1 )1(1 nnnn abaf n abaf n ))(( ! 1 ))(( )!1( 1 )1(1)( −−− + −= −+ ∫ −−−− − − −− − − b a nnnn dxxfxb n abaf n )()( )!2( 1 ))(( )!1( 1 )2(21)2( = … nnnn abaf n abaf n ))(( ! 1 ))(( )!1( 1 )1(1)( −−− + −= −+ 1)(1)2( ))(( )!1( 1 ))(( )!1( 1 +−−−− − +− −−− − − knknnn xbaf kn abaf n ∫ −− − − + b a knkn dxxfxb kn )()( )!( 1 )( nnnn abaf n abaf n ))(( ! 1 ))(( )!1( 1 )1(1)( −−− + −= −+ 1)(1)2( ))(( )!1( 1 ))(( )!1( 1 +−−−− − +− −−− − − knknnn xbaf kn abaf n ∫ +− ′ −+ b a dxxfabaf )( !0 1 ))(( !1 1 Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng Luận văn Thạc Sỹ Toán học 5 Phạm Đoan Ngọc )!1( )( )( ! )( )( )!1( )( )( 1 )2()1( 1 )( − − − − − + − −= − −− + n ab af n ab af n ab af n n n n n n ∫ + − −− +− − −− +− − b a kn kn dxxf ab af kn ab af )( !0 1 !1 )( )( )!1( )( )( 1 )( ∑ ∫ = + + + − −= n k b a k k dxxf k ab af 0 1 )( )( )!1( )( )( = ∫∫ ∑ + − − = b a b a k n 0k k dxxfdx k ax af )( ! )( )( )( ∫ ∑ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − −= = b a n 0k k k dxxfdx k ax af )( ! )( )( )( .),( , ∫ = b a fn dxxaR Công thức (1.1) của bổ đề 1.1 được chứng minh. Công thức (1.2) được chứng minh tương tự. Do đó bổ đề 1.1 được chứng minh. Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Steffensen). Cho f, g: (a, b) → R, f, g ∈ L 1 (a, b), f giảm trên (a, b), 0 ≤ g(x) ≤ 1,∀x ∈ (a, b). Nếu ,)( ∫ =λ b a dxxg thì ta có bất đẳng thức tích phân (1.6) .)()()()( ∫∫∫ λ+ λ− ≤≤ a a b a b b dxxfdxxgxfdxxf Chứng minh Định lý 1.2. (Xem chứng minh trong phần Phụ lục I). Tiếp theo sau đây, chúng tôi trình bày các bất đẳng thức chứa phần dư Taylor nhờ vào bất đẳng thức Steffensen. Ta ký hiệu I ⊂ R là một khoảng (có thể là đoạn, nửa khoảng, …) và I 0 là phần trong của I. Từ đây đến cuối chương này, chúng tôi tập trung chứng minh hai định lý sau: Định lý 1.3. Cho f, g : I → R, a, b ∈ I 0 , a < b. Cho f∈ C n+1 ([a, b]), g ∈ C([a, b]). Giả sử rằng m ≤ f (n+1) (x) ≤ M, m ≠ M, g(x) ≥ 0 ∀x∈[a, b]. Nếu Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng Luận văn Thạc Sỹ Toán học 6 Phạm Đoan Ngọc (1.7) [] )()()( 1 )()( abmafbf mM nn −−− − =λ thì ta có (1.8) ∫ λ− + λ+− + b b n dxxgbx n )()( )!1( 1 1 dxxg n ax mxaR mM b a n fn )( )!1( )( ),( 1 1 , ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − ≤ + [] dxxgaxax n b a nn )()()( )!1( 1 11 ∫ ++ λ−−−− + ≤ + ,)()( )!1( )1( 1 1 dxxgxa n a a n n ∫ λ+ + + −λ+ + − và (1.9) ∫ λ+ + −λ+ + a a n dxxgxa n )()( )!1( 1 1 dxxg n bx mxbR mM b a n fn n )( )!1( )( ),( )1( 1 , 1 ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − − ≤ ++ [] dxxgxbxb n b a nn )()()( )!1( 1 11 ∫ ++ −λ−−− + ≤ + .)()( )!1( )1( 1 1 dxxgbx n b b n n ∫ λ− + + λ+− + − Định lý 1.4. Cho f, g : I → R, a, b ∈ I 0 , a < b. Cho f∈ C n+1 ([a, b]), g∈ C([a, b]). Giả sử f (n+1) (x) tăng trên [a, b], m ≤ g(x) ≤ M, m ≠ M ∀x∈[a, b]. Đặt (1.10) [] , 2 )()( ))(( 1 1 1 1 ∫ + − − −− −− =λ + + b a n n n ab mM m dxxgax abmM (1.11) [] . 2 )()( ))(( 1 1 1 2 ∫ + − − −− −− =λ + + b a n n n ab mM m dxxgxb abmM [...]... − b −λ n 1 b n! ∫b −λ (∫ ( x − t ) g (t ))dx x n a Đổi thứ tự biến lấy tích phân x và t, dựa vào miền lấy tích phân dưới đây và được chia làm hai miền (1.44) D = { (x, t): a ≤ t ≤ x, b−λ ≤ x ≤ b } = D1 ∪ D2, - Luận văn Thạc Sỹ Toán học 16 Phạm Đoan Ngọc Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng ... ( x)dx (n + 1)! Tính toán tương tự ta thu được (1.25) ∫ b b −λ Fn ( x)dx = b 1 n +1 ∫b−λ ( x − b − λ) g ( x)dx (n + 1)! Thay (1.19), (1.24), (1.25) vào (1.17), ta thu được (1.26) b 1 n +1 ∫b−λ ( x − b + λ) g ( x)dx (n + 1)! a +λ ≤ ∫a Rn , f (a, x) g ( x)dx - Luận văn Thạc Sỹ Toán học 10 Phạm Đoan Ngọc Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và... (1.36) λ= 1 [ f ( n) (b) − f ( n) (a) − m(b − a)] M −m - Luận văn Thạc Sỹ Toán học 13 Phạm Đoan Ngọc Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng thì ta có bất đẳng thức tích phân a+λ 1 n +1 ∫a (a + λ − x) g ( x)dx (n + 1)! (1.37) ≤ (−1) n +1 b ⎡ ( x − b) n +1 ⎤ Rn , f (b, x) −... x) n g (t )dt là hàm giảm trên [a, b] Nếu (1.14) λ = f ( n ) (b) − f ( n ) (a ) , thì ta có các bất đẳng thức tích phân (1.15) b 1 n +1 ∫b−λ ( x − b + λ) g ( x)dx (n + 1)! - Luận văn Thạc Sỹ Toán học 7 Phạm Đoan Ngọc Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng -a +λ ≤ ∫a ≤ Rn ,... (t )dt (n + 1)! − b 1 n +1 ∫b−λ (b − λ − t ) g (t )dt (n + 1)! - Luận văn Thạc Sỹ Toán học 17 Phạm Đoan Ngọc Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng Tính toán tương tự ta cũng thu được ∫ (1.48) a+λ a Fn ( x)dx = − =− 1 a+λ n! ∫a (∫ ( x − t ) g (t )dt )dx x n a 1 a+λ g (t... - Luận văn Thạc Sỹ Toán học 21 Phạm Đoan Ngọc Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng Do đó ta có từ (1.61), (1.62) rằng (1.63) b f ( n ) (b − λ 1 ) − f ( n ) (b) ≤ ∫a Fn ( x)Gn ( x)dx ≤ f ( n ) (a) − f ( n ) (a + λ 1 ) ′ Dễ thấy rằng Gn ( x) = −Gn−1 ( x) Do đó, sử dụng tích phân từng phần ta có (1.64)... đề 1.6c được chứng minh - Luận văn Thạc Sỹ Toán học 29 Phạm Đoan Ngọc Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng CHƯƠNG 2 ÁP DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CHƯƠNG 1 Trong chương này, chúng tôi trình bày các áp dụng của Định lý 1.3 và 1.4 Trước hết, là phần áp dụng của Định... ( x)Gn−1 ( x)dx n! f ( n ) (b) b f ( n −1) (b) b (b − x) n g ( x)dx + (b − x) n −1 g ( x)dx n! ∫a (n − 1)! ∫a - Luận văn Thạc Sỹ Toán học 14 Phạm Đoan Ngọc Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng -b + ∫ Fn− 2 ( x)Gn − 2 ( x)dx a =− f ( n ) (b) b f ( n −1) (b) b n −1 (b −... F0 ( x)G0 ( x)dx a b f n − k +1 (b) b n − k +1 n ∫ (b − x) g ( x)dx + (−1) ∫a F0 ( x)G0 ( x)dx ( n − k + 1)! a - Luận văn Thạc Sỹ Toán học 15 Phạm Đoan Ngọc Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng = (−1) n +1 ∑ n k =1 b f k (b) b (b − x) k g ( x)dx + ( −1) n ∫a F0 ( x)G0... a =− b f ( n ) (b ) b (b − x) n g ( x).dx − ∫ Fn −1 ( x).Gn −1 ( x).dx n! ∫ a a b + ∫a Fn − 2 ( x)Gn − 2 ( x)dx - Luận văn Thạc Sỹ Toán học 8 Phạm Đoan Ngọc Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng -=… f ( n ) (a) b f ( n −1) (a) b n n −1 =− ∫a ( x − a) g ( x)dx − (n − 1)! . STEFFENSEN, On certain inequalities and methods of approximation, J. Inst. Actuaries, 51 (1919), 274 – 2 97] , nên phải tự chứng minh lại trong phần phụ lục. Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các. Đoan Ngọc Bộ môn Toán, Trường chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ. THÀNH PHỐ CẦN THƠ 20 07 Luận văn được hòan thành tại: Trường Đại học Cần Thơ Người hướng dẫn : TS. Nguyễn Thành. học, thư viện Trường Đại học Cần Thơ. THÀNH PHỐ CẦN THƠ 20 07 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long đã tận tâm