Đang tải... (xem toàn văn)
TIỂU LUẬN VÀNH VỚI ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN TẬP CON NIL Một trong những cấu trúc đầu tiên mà sinh viên ngành đại số biết đến là trường thương của một miền nguyên giao hoán, được xây dựng như một tập hợp của các phân số. Điều này dẫn đến một kỹ thuật hữu ích trong lý thuyết vành giao hoán, đó là chuyển một vành giao hoán R bất kỳ sang một vành thương nguyên tố RP và sau đó là trường thương của RP.
[...]... Goldie của một vành R và định lí Goldie làm cơ sở cho các chứng minh trong phần còn lại Chương 2 là nội dung chính của tiểu luận, chứng minh một kết quả cổ điển: Một vành con nil của một vành Nơte thì lũy linh Ngoài ra tác giả đã bổ sung một hướng chứng minh khác cho bài toán đó Chương 3 là một số bài tập liên quan đến chủ đề của tiểu luận được chứng minh chi tiết Quá trình thực hiện tiểu luận giúp tôi... l = 0 suy ra T ml = 0 Hay T lũy linh, đóng đối với phép nhân và thực sự chứa N Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của N Từ đó S = N , hay S lũy linh 2.2 Chứng minh khác của Định lí về tập con nil Định lý 2.2.1 (Levitzki) Trong một vành Nơte trái, mọi iđêan trái nil thì lũy linh Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử vành R Nơte, iđêan trái A nil nhưng không lũy linh Nếu R có một iđêan trái... minh chi tiết Quá trình thực hiện tiểu luận giúp tôi hiểu hơn chuyên đề Vành với điều kiện hữu hạn, đặc biệt thấy được một ứng dụng của định lí Goldie nổi tiếng trong lý thuyết vành và mô đun Đó là những nội dung khó Hiểu được nó, dù chưa nhiều cũng đã là may mắn đối với tôi Rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để tiểu luận được hoàn thiện hơn Một lần nữa tác giả xin chân thành cảm ơn thầy... khác không của R Điều này mâu thuẩn với giả thiết bài toán Vậy ta đã chứng minh xong định lí 10 CHƯƠNG 3 Bài tập Bài toán 1 1) Chứng minh iđêan (¯ của Z24 là lũy linh 6) 2) Cho vành giao hoán R Chứng minh rằng iđêan Rr là lũy linh khi và chỉ khi r là một phần tử lũy linh của R Điều này còn đúng không khi R là vành không giao hoán? Cho ví dụ 3) Trong một vành R, mọi iđêan lũy linh thì nil Điều ngược lại... Trong một vành giao hoán R, iđêan Rr là lũy linh khi và chỉ khi r là một phần tử lũy linh Điều này không còn đúng với vành không giao hoán Ví dụ, ma trận E12 là một phần tử lũy linh của M2 (Z) (vành các ma trận vuông cấp 2 trên miền nguyên Z) Nhưng iđêan trái M2 (Z)E12 không phải lũy linh (thậm chí không phải nil) vì nó chứa phần tử lũy đẳng E22 3) Rõ ràng, một iđêan lũy linh là iđêan nil Điều ngược... cực đại trong số iđêan đó Khi đó, R/N cũng là 8 ¯ vành Nơte có A nil nhưng không có iđêan lũy linh khác 0 nào cả Do vậy, ta có thể giả thiết thêm rằng R không có iđêan lũy linh khác 0 nào cả A là iđêan trái nil của R Lấy 0 = a ∈ A, đặt M = {ax = 0|x ∈ R} ⊆ A Với mỗi ax ∈ M đặt L(ax) = {y ∈ R|yax = 0} thì ta được một tập các iđêan trái của R, thỏa điều kiện dây chuyền tăng nên có phần tử cực đại Kí hiệu... cực tiểu của L ta phải có J n l = L Do vậy, tồn tại r ∈ J n ⊆ J(R) thỏa rl = l Từ đó, (1−r)l = 0 Nhưng vì r ∈ J nên theo Hệ quả 1.3.2 ta có 1−r ∈ U (R) (tập các phần tử khả nghịch của R) Suy ra l = 0, mâu thuẩn Vậy ta có J n = 0 13 KẾT LUẬN Tiểu luận gồm ba phần: mở đầu, nội dung và kết luận Phần nội dung được chia làm ba chương Trong đó, chương 1 trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về vành. .. suy ra rằng, trong trường hợp này, mọi iđêan nil thì lũy linh Chứng minh Theo Bài tập 2, ta chỉ cần chứng minh iđêan J = J(R) là lũy linh Ta có J ⊇ J2 ⊇ J3 ⊇ · · · Bởi vì theo giả thiết, R là Artin trái nên tồn tại một số nguyên dương n sao cho J n = J n+k , ∀k ∈ N Ta chứng minh J n = 0 Giả sử ngược lại, khi đó, tồn tại một iđêan trái L cực tiểu thỏa điều kiện J n L = {0} 12 Gọi l ∈ L sao cho J n l...Ngược lại, giả sử với mọi s ∈ S\N, sN N Khi đó có các phần tử s0 ∈ S\N, n1 ∈ N : s0 n1 ∈ N / Với s0 n1 ∈ S\N, ∃n2 ∈ N : s0 n1 n2 ∈ N Cứ tiếp tục như thế ta được / s0 ∈ S\N, n1 , n2 , ∈ N sao cho s0 n1 n2 nk ∈ N với k = 1, 2, / Suy ra, s0 n1 n2 · · · nl ∈ N Mà N l = 0 nên s0 n1 n2 · · · nl = 0 ∈ N , mâu thuẩn với / / 0 ∈ N Vậy tồn tại s ∈ S\N : sN ⊆ N Do S nil và s ∈ S nên tồn tại... thể giả sử với mọi 0 = u ∈ Rax1 R mà ax1 u = ax2 u = · · · = axn−1 u = 0 nhưng axn u = 0 Khi đó ta sẽ có một phần tử u sao cho uaxn = 0 Vì nếu uaxn = 0 với mọi u ∈ Rax1 R thì cũng đúng với mọi uR, tức là uRaxn = (0) Suy ra (Raxn u)2 = Raxn (uRaxn )u = (0), hay Raxn u là một iđêan trái lũy linh của R nên Raxn u = (0) (do giả thiết R không có iđêan trái lũy linh) Kéo theo axn u = 0 trái với điều giả sử . Artin. Định nghĩa 1.2. Cho R là một vành . x ∈ R được gọi là phần tử chính quy nếu x không là ước của không. Nghĩa là, x ∈ R chính quy nếu r.ann R (x) = 0 và l.ann R (x) = 0. Định nghĩa 1.3. 1) Một tập. trái. Định nghĩa 1.4. Cho vành R. Tập con X ⊆ R là một tập nhân của các phần tử chính quy trong R. Một vành các thương phải (hay vành thương phải) của R đối với X là vành S ⊇ R sao cho: 1) ∀x ∈ X, x −1 ∈. phần tử chính quy trong R là tập Ore phải (trái). Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.1.4, nếu R có một vành thương phải cổ điển và một vành thương trái cổ điển thì các vành thương này trùng nhau, ta nói R