Đang tải... (xem toàn văn)
Tiểu luận môn LÝ THUYẾT HÀM LỒI SUY RỘNG LỜI TỰA VÀ TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI. Chương I. Lời tựa. Phần này, chúng tôi làm rõ về lịch sử phát triển của lý thuyết và những nội dung trọng tâm của nó. Chương II. Tiêu chuẩn cho tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng trong trường hợp hàm khả vi. Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu về tiêu chuẩn cho hàm giả lồi và tính chất đơn điệu suy rộng đối với lớp hàm khả vi.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN Tiểu luận Môn: LÝ THUYẾT HÀM LỒI SUY RỘNG Đề tài: LỜI TỰA VÀ TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI. Học viên thực hiện : Phan Huy Phong Chuyên ngành : Toán Giải tích Giảng viên hướng dẫn : PGS. TS. Phan Nhật Tĩnh HUẾ, 2013 MỤC LỤC Trang phụ bìa 1 MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 2 1 LỜI TỰA 3 2 TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG TRONG TRƯỜNG HỢP HÀM KHẢ VI 11 2.1 Những điều kiện cấp 1 đối với tính tựa lồi . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Tính đơn điệu suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết về hàm lồi suy rộng là sự phát triển lý thuyết hàm lồi. Nó mở rộng các lớp hàm lồi với những tính chất tốt bằng cách giảm dần các khái niệm. Đây là một môn học khá thú vị và có ý nghĩa ứng dụng cao trong thực tiễn. Được sự hướng dẫn của thầy Phan Nhật Tĩnh, chúng tôi đã được dịch và tìm hiểu về một số vấn đề được giao. Vì vậy trong tiểu luận này chúng tôi tìm hiểu về tổng quan lý thuyết này và từ đó trình bày một số tiêu chuẩn cho tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng trong trường hợp khả vi. Do đó, nội dung tiểu luận được chia làm ba chương: Chương I. Lời tựa. Phần này, chúng tôi làm rõ về lịch sử phát triển của lý thuyết và những nội dung trọng tâm của nó. Chương II. Tiêu chuẩn cho tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng trong trường hợp hàm khả vi. Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu về tiêu chuẩn cho hàm giả lồi và tính chất đơn điệu suy rộng đối với lớp hàm khả vi. Trong quá trình giải quyết vấn đề, chúng tôi đã tham khảo, tìm hiểu các tài liệu, trao đổi với bạn bè và đặc biệt là thông qua các buổi seminar ở lớp. Qua đây, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS. Phan Nhật Tĩnh đã nhiệt tình giảng dạy chúng tôi trong suốt thời gian qua. Đặc biệt, chúng tôi xin cảm ơn thầy đã tạo điều kiện để chúng tôi tiếp cận, tìm hiểu đề tài. Huế, tháng 05 năm 2013 PHAN HUY PHONG 2 Chương 1 LỜI TỰA Tính lồi của hàm đóng vai trò trung tâm trong nhiều lĩnh vực của toán ứng dụng. Một trong những lý do, đó là nó được trang bị rất tốt để giải các bài toán cực trị. Chẳng hạn, một số điều kiện cần để tồn tại cực tiểu trở thành điều kiện đủ trong bài toán lồi. Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán thực tế có thể được mô tả bởi mô hình lồi. Trong nhiều trường hợp, hàm không lồi cho ta biểu diễn thực chính xác hơn. Những lớp hàm không lồi này được sinh ra mà vẫn giữ một số tính chất tốt và đặc trưng của hàm lồi. Chẳng hạn, sự có mặt của chúng bảo đảm những điều kiện cần để có cực tiểu trở thành đủ hoặc cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục. Điều này dẫn đến sự ra đời một số khái niệm suy rộng của lớp hàm lồi. Nó xảy ra trong các lĩnh vực khác nhau như kinh tế, xây dựng, khoa học quản lý, lý thuyết xác suất và những khoa học ứng dụng khác trong suốt nửa sau của thế kỉ XX. Chẳng hạn, một tính chất nổi trội và thường dùng của hàm lồi là các tập mức con cũng là tập lồi. Nhiều hàm không lồi thuần túy cũng có tính chất này. Nếu xét lớp tất cả các hàm có các tập mức con là lồi thì ta nhận được lớp các hàm tựa lồi. Nó rộng hơn nhiều so với lớp các hàm lồi. De Finetti được xem là người đã đưa ra thuật ngữ hàm tựa lồi vào năm 1949. Tuy nhiên tính tựa lồi đã đóng vai trò quan trọng trong năm 1928 với định lý minimax của John von Neumann, định lý này được đưa ra như một giả thuyết kĩ thuật chứ không phải là một loại hàm mới. Nhiều lớp hàm lồi suy rộng khác cũng được đưa ra sau đó. Những năm gần đây, bên cạnh hàm lồi suy rộng nhận giá trị thực cũng như giá trị vectơ, các hàm lồi suy rộng đa trị cũng được tập trung nghiên cứu. Trong suốt 40 năm qua, các hoạt động nghiên cứu trong lĩnh vực này có dấu hiệu gia tăng đáng kể. Một điểm nổi bật của tính lồi đó là mối liên hệ gần gũi với tính đơn điệu: một hàm khả vi là lồi khi và chỉ khi gradient của nó là ánh xạ đơn điệu. Điều này có thể mở rộng cho các hàm không khả vi thông qua các đạo hàm suy rộng, các vi phân dưới và ánh xạ đa trị. Những liên hệ tương tự cũng được phát hiện giữa hàm lồi suy rộng với ánh xạ đơn điệu suy rộng. Ví dụ: hàm khả vi là tựa lồi khi và chỉ 3 khi gradient của nó tựa đơn điệu. Mảng ánh xạ đơn điệu suy rộng không mới trong các tài liệu. Thật thú vị là việc xuất hiện lần đầu của tính đơn điệu suy rộng lại là năm 1936 (trước cả khi ra đời thuật ngữ này). Đáng lưu ý là điều này được tìm thấy độc lập và gần như cùng thời gian trong cả 2 bài báo: một là của Georgescu-Roegen (1936) đề cập đến khái niệm sở thích địa phương trong thuyết tiêu dùng của kinh tế học, và tài liệu kia là của Wald (1936) chứa đựng chứng minh chặt chẽ đầu tiên về sự tồn tại trạng thái cân bằng cạnh tranh chung. Điều đáng chú ý là những tiên đề khác nhau về sự ưa thích được bộc lộ trong thuyết tiêu dùng thực ra là những điều kiện về tính đơn điệu suy rộng. Việc thừa nhận mối liên hệ gần gũi giữa trường được thiết lập tốt có sẵn của tính lồi suy rộng với trường tương đối không phát triển được của tính đơn điệu suy rộng đã mang lại sự thúc đẩy cho cả hai và dẫn đến sự gia tăng các hoạt động nghiên cứu chuyên ngành. Ngày nay, tính đơn điệu suy rộng thường được sử dụng trong việc giải quyết các vấn đề phụ, bất đẳng thức biến phân và trạng thái cân bằng. Tập sách đầu tiên viết riêng cho tính lồi suy rộng, đó là Proceedings of a NATO Advanced Study Institute (Báo cáo của viện nghiên cứu cấp cao NATO) được tổ chức bởi Avriel, Schaible và Ziemba ở Vancouver, Canada từ ngày 4-15 tháng 8 năm 1980; "Generalized Concavity in Optimization and Economics" (Tính lõm suy rộng trong tối ưu hóa và kinh tế học) của Schaible và Ziemba (1981, Academic Press) (học viện báo chí). Tiếp sau đó là chuyên đề "Generalized Concavity" (tính lõm suy rộng) của Avriel, Diewert, Schaible, Zang (1988, Plenum Publishing Corporation) (nhà xuất bản Plenum). Cả hai tập sách này đều xác nhận mối liên hệ gần gũi giữa hàm lồi suy rộng trong toán với ứng dụng thích hợp của nó, đặc biệt trong lý thuyết kinh tế, nơi mô tả lĩnh vực này ngay từ đầu. Mordecai Avriel là người đã khởi xướng chuyên đề đầu tiên về sự suy rộng của tính lồi năm 1978. Ngay sau đó ông cũng đề xuất tổ chức hội nghị quốc tế về chủ đề này. Ông thường nhấn mạnh tầm quan trọng của những ứng dụng tính lồi suy rộng trong lý luận. Điều này cho thấy phạm vi nghiên cứu liên ngành của đề tài này. Từ 2 tập sách ban đầu này đã có một lượng lớn các kiến thức mới được tích lũy, được trình bày riêng biệt trong các tài liệu nghiên cứu, đã dẫn đến sự ra đời của ý tưởng giới thiệu những kết quả nghiên cứu chính về tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng trong một quyển sách chỉ nam. Tập sách này gồm 14 chương được biên soạn bởi các chuyên gia hàng đầu thuộc các lĩnh vực khác nhau nghiên cứu về tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng. Mỗi chương bắt đầu từ những vấn đề rất cơ bản và sau đó phát biểu khéo léo nội dung của nó. Chúng tôi đưa ra nhiều tài liệu trong lĩnh vực này và có một số chủ 4 đề không đưa vào. Chúng tôi tin rằng việc xuất bản sách tổng hợp viết theo từng chương có thể lấp các khoảng cách. Các chương được chia thành 2 phần của cuốn sách, điều này phụ thuộc vào trọng tâm là tính lồi suy rộng hay tính đơn điệu suy rộng. Chương 1 được soạn bởi Frenk và Kassay , cung cấp kiến thức về giải tích lồi và tựa lồi trong không gian hữu hạn chiều. Vì phần này nghiên cứu chủ yếu trên các tập đã biết, chẳng hạn các tính chất đại số và tôpô quan trọng nhất của không gian con tuyến tính, tập affine, tập lồi và lồi đều, nón. Các kết quả tách nổi tiếng cũng được trình bày và sau đó dùng để suy ra các biểu diễn đối ngẫu cho các tập lồi (lồi đều). Phần tiếp theo chủ yếu nghiên cứu các hàm lồi, tựa lồi, tựa lồi đều. Qua đó cho thấy việc nghiên cứu này có thể quy về nghiên cứu trên các tập được khảo sát ở phần trước. Ví dụ: biểu diễn tương đương của kết quả tách các tập lồi được sử dụng cho biểu diễn đối ngẫu của một hàm. Kết quả quan trọng trong phần này là định lý Fenchel-Moreau đối với các hàm tựa lồi đều trong giải tích lồi và sự suy rộng của nó. Phần cuối của chương trình bày một số ứng dụng quan trọng của giải tích lồi và tựa lồi đối với thuyết tối ưu hóa, thuyết trò chơi và nghiên cứu hàm tựa lồi đều thuần nhất dương. Chương 2 được trình bày bởi Crouzeix, phần này dành cho đặc trưng cấp 1 và 2 của hàm lồi suy rộng, tiêu chuẩn cấp 1 đối với tính đơn điệu suy rộng. Đặc trưng cấp 1 của hàm lồi (tựa lồi, giả lồi, ) suy rộng khả vi bao gồm các đặc trưng trong điều kiện ánh xạ gradient đơn điệu (tựa đơn điệu, giả đơn điệu, ) suy rộng. Đặc trưng cấp 2 của tính lồi suy rộng liên quan đến đặc trưng cấp 1 của tính đơn điệu suy rộng. Trong đó sự hạn chế của dạng toàn phương (nửa) xác định dương trên không gian con tuyến tính rất quan trọng. Nghiên cứu toàn diện vấn đề chính là nội dung trình bày trong phần này. Chương bao gồm có một số ứng dụng quan trọng của hàm Cobb-Douglas, điều kiện để một hàm là hàm toàn phương lồi suy rộng, lồi, ánh xạ affine đơn điệu suy rộng, phương pháp điểm trong và tính tách được cộng tính. Tính lồi của đồ thị trên (epigraph), là cấu trúc hình học đẹp của hàm lồi được biết đến trong giải tích lồi, có nhiều mối liên hệ mật thiết với tính đơn điệu và khả vi theo hướng. Đối với hàm tựa lồi, đồ thị trên không lồi nhưng các tập mức con vẫn lồi. Tương tự các hàm lồi, cấu trúc hình học của các tập mức con kéo theo các tính chất liên tục và khả vi quan trọng của hàm tựa lồi. Chương 3 được viết bởi Crouziex, cung cấp cái nhìn sâu sắc về sự tranh luận trong giải tích tựa lồi giữa tính chính quy hóa tựa lồi và sự tăng của nón, cũng như các tính chất liên tục và khả vi đối với hàm tựa lồi. Trong trường hợp không có đạo hàm theo hướng, các đạo hàm suy rộng như đạo hàm Dini trên và dưới có thể dùng được. Trong các trường hợp xác định, các đạo hàm này liên hệ với các đối tượng hình học quan trọng như: nón chuẩn tắc với các tập mức con và tựa vi phân dưới của hàm tựa lồi 5 tại một điểm cho trước. Vai trò và lợi ích của các vấn đề này đều được khảo sát triệt để trong phần này. Tính lồi được biết đến trong lý thuyết tối ưu hóa vô hướng cổ điển, đóng vai trò cơ sở vì nó bảo đảm các tính chất quan trọng như: cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục; điểm dừng là cực tiểu địa phương (điều kiện cần tối ưu thứ nhất cũng là điều kiện đủ). Những kết quả này đạt được trong trường hợp vô hướng có ảnh hưởng lớn đến lĩnh vực tối ưu hóa vectơ, điều này đang được phát triển tốt trong thập niên gần đây. Trong tối ưu hóa vectơ, khái niệm cực tiểu thường được xem như một nón thứ tự trên không gian ảnh của hàm mục tiêu. Nón này chỉ cảm sinh một thứ tự bộ phận, đây là lý do chính tại sao một số phương pháp mở rộng khái niệm tính lồi suy rộng trong tối ưu hóa vectơ. Chương 4 được soạn bởi Cambini và Martein, bàn luận về quy luật của tính chất lồi suy rộng trong vấn đề tối ưu hóa vectơ và vô hướng trong hữu hạn chiều. Trường hợp giá trị vô hướng, bài toán cực trị với hàm tựa lồi, tựa tuyến tính, giả lồi, giả tuyến tính, preinvex, invex đều được nghiên cứu. Trường hợp giá trị vectơ, điều kiện tối ưu được suy ra cho lớp hàm lồi suy rộng khả vi giá trị vectơ cho trước, gồm có các hàm C- tựa lồi, (C , C § )- giả lồi, (C , C § )- giả tuyến tính, (C, η)- invex, với C là nón thứ tự của không gian ảnh. Chương 5 được viết bởi Lực, cũng giải quyết bài toán tối ưu vectơ nhưng trong tình huống tổng quát hơn, đó là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực và dưới dạng giải tích phi tuyến. Lớp các hàm vectơ lồi suy rộng khác nhau đều được giới thiệu và nghiên cứu. Những kết quả tồn tại nghiệm hữu dụng và những tính chất cấu tạo như tính compact, tính liên thông của các tập nghiệm cũng được khảo sát, chứng minh. Các điều kiện tối ưu cũng được cung cấp cho 3 loại đạo hàm: đạo hàm cổ điển, đạo hàm liên tiếp và các xấp xỉ Jacobian. Phần cuối của chương bàn luận về phương pháp vô hướng hóa để giải bài toán tối ưu vectơ. Một chủ đề trung tâm trong tối ưu là lý thuyết đối ngẫu lồi. Cho trước một bài toán cực tiểu lồi gốc, một mặt nhúng nó vào một họ các bài toán cực tiểu nhiễu và sau đó cân đối với các nhiễu này, một mặt kết hợp nó với một vấn đề đối ngẫu. Tồn tại những mối quan hệ chặt chẽ giữa bài toán gốc và đối ngẫu giúp ích cho việc phân tích các tính chất của bài toán ban đầu, và đặc biệt để đạt được điều kiện tối ưu hóa. Chúng cũng được dùng để hệ thống các thuật toán số. Trong trường hợp các vấn đề xuất hiện trong ứng dụng thuộc các khoa học khác nhau, đặc biệt trong kinh tế học, các vấn đề đối ngẫu thường có giả thuyết đẹp mang lại một sự động lực mới để phân tích chúng. Chương 6 được soạn bởi Martínez-Legaz, bàn về đối ngẫu lồi suy rộng và các ứng dụng kinh tế của nó. Việc mở rộng lý thuyết đối ngẫu lồi cho trường hợp lồi suy rộng được dựa vào sơ đồ đối ngẫu suy rộng Fenchel-Moreau và vào lý thuyết chung của sự liên hợp. Trong giải tích tựa lồi sự liên hợp các tập mức rất hữu dụng. Sơ đồ đối ngẫu tổng quát Fenchel-Moreau và 6 các liên hợp này cũng được đề cập chi tiết trong chương này. Phần cuối chương dành cho các ứng dụng trong kinh tế học như: tính đối ngẫu giữa hàm tiện ích trực tiếp và gián tiếp trong thuyết người tiêu dùng, tính đơn điệu của hàm nhu cầu và thuyết người tiêu dùng trong trường hợp thiếu hàm tiện ích. Khái niệm vi phân dưới của hàm lồi tại một điểm cho trước trong miền xác định của nó đóng vai trò chính trong giải tích lồi. Thực vậy vi phân dưới đóng 2 vai trò khác nhau. Một là tính địa phương: nó trang bị một xấp xỉ địa phương cho hàm lồi trong một lân cận của một điểm cho trước. Một vai trò khác là tính toàn cục: nó là công cụ để xây dựng siêu phẳng tựa cho đồ thị trên của hàm lồi. Những sự suy rộng của ý kiến đầu về vi phân dưới dẫn đến giải tích không trơn, trong khi đó ý kiến thứ hai dẫn đến tính lồi trừu tượng. Tính lồi trừu tượng chính là nội dung của Chương 7, được viết bởi Rubinov và Dutta. Một trong những kết quả cơ bản của giải tích lồi là: mỗi hàm lồi nửa liên tục dưới là bao hình trên (cận trên bé nhất theo từng điểm) của tất cả các hàm affine được làm trội bởi một hàm. Động lực chính để phát triển tính lồi trừu tượng ở chỗ sự biểu diễn bao hình rất thuận lợi, kể cả khi ta xét bao hình trên của các tập gồm các hàm không affine. Hai kiểu đối tượng được nghiên cứu trong khuôn khổ tính lồi trừu tượng là: hàm lồi trừu tượng và tập lồi trừu tượng. Hàm lồi trừu tượng có thể được miêu tả thông qua biểu diễn bao hình của các hàm không nhất thiết tuyến tính hay các hàm affine sơ cấp. Tập lồi trừu tượng được định nghĩa thông qua tính chất sau: một điểm không thuộc tập lồi trừu tượng có thể tách khỏi tập đó bởi một hàm sơ cấp. Chương này trình bày các định nghĩa chính liên quan đến tính lồi trừu tượng và đưa ra các ví dụ về hàm lồi trừu tượng dựa vào các tập khác nhau của hàm hàm sơ cấp, gồm có các hàm tựa lồi trừu tượng. Một số ứng dụng của tính lồi trừu tượng cũng được trình bày ở đây như: sơ đồ đối ngẫu Minkowski, liên hợp Fenchel-Moreau và bất đẳng thức loại Hadamard đối với hàm tựa lồi. Chương 8 được trình bày bởi Frenk và Schaible, được dành cho Fractional Programing (lập trình phân thức). Nó kết luận phần 1 của quyển sách, tập trung vào tính lồi suy rộng. Những chương trình phân thức là các bài toán tối ưu tỉ số bao hàm một hay một số tỉ số trong hàm mục tiêu. Chẳng hạn: hàm mục tiêu thường không lồi nhưng lồi suy rộng trong trường hợp tử thức và mẫu thức lồi, lõm hay affine. Một tài liệu bao quát có thể so sánh điều đó với các lớp bài toán tối ưu hóa khác đang được phát triển. Trong suốt 40 năm qua chương trình phân thức được lợi từ sự tiến bộ của tính lồi suy rộng và ngược lại. Chương bắt đầu với tóm tắt về những ứng dụng rộng lớn khác nhau của chương trình phân thức tỉ số đơn, min-max và tổng các tỉ số. Những ứng dụng gần đây chú trọng. Một số trường hợp nghiên cứu cũng được đề cập đến. Tóm tắt về những ứng dụng của chương trình phân thức này củng cố cho sự tương thích của tính lồi suy rộng với các môn học ứng dụng, đặc biệt là đối với khoa học quản lý. Điều 7 này bổ sung cho sự trình bày những ứng dụng tính lồi suy rộng trong lý thuyết kinh tế ở Chương 6. Tóm tắt những ứng dụng của lập trình phân thức kéo theo sự phân tích cụ thể chương trình phân thức min-max, bao gồm tỉ số đơn và chương trình phân thức min-max cổ điển được giới hạn hơn. Cơ sở của phân tích là phép xấp xỉ tham số. Đầu tiên, thuật toán Dinkelbach gốc được đưa ra và các tính chất hội tụ của nó được phân tích. Khi đó tính đối ngẫu được đưa ra để đáp ứng với chương trình phân thức max-min đối ngẫu và những quan hệ đối ngẫu đều được chứng minh. Cuối cùng thuật toán Dinkelbach đối ngẫu được trình bày và suy ra những tính chất hội tụ của nó. Chương đầu tiên của phần hai quyển sách là Chương 9, viết bởi Hadjisavvas và Schaible. Nó được bắt đầu với giới thiệu sự biểu diễn của 9 loại ánh xạ đơn điệu suy rộng và chỉ ra liên kết giữa những ánh xạ này và các hàm lồi suy rộng khả vi: một hàm thuộc vào 1 trong 9 lớp hàm lồi suy rộng nếu và chỉ nếu gradient của nó thuộc vào lớp ánh xạ đơn điệu suy rộng tương ứng. Phần cuối chương trình bày tiêu chuẩn đối với ánh xạ đơn điệu suy rộng. Đầu tiên trình bày về ánh xạ khả vi rồi đến các ánh xạ không khả vi (Lipschitz địa phương hay chỉ liên tục). Cuối cùng đề cập chi tiết đến trường hợp đặc biệt ánh xạ affine vì sự thích hợp của nó với chương trình toàn phương lồi suy rộng và các bài toán phụ tuyến tính đơn điệu suy rộng. Các hàm lồi suy rộng không nhất thiết khả vi. Trong trường hợp này, gradient của nó thường được thay bởi đạo hàm suy rộng xấp xỉ. Chương 10 viết bởi Komlósi về việc nghiên cứu các hàm lồi suy rộng không trơn với các lớp đạo hàm suy rộng đặc biệt. Một số kết quả được trình bày sự liên kết giữa tính đơn điệu suy rộng của đạo hàm suy rộng với tính lồi suy rộng của hàm suy rộng trong phần bàn luận. Sự phong phú các khái hiệu khác nhau của đạo hàm suy rộng đã thúc đẩy việc giải quyết tiên đề, trong đó có khái niệm trừu tượng xấp xỉ bậc 1. Lợi ích của xấp xỉ bậc 1 tựa lồi trong lý thuyết tối ưu cũng được khảo sát. Cụ thể, các hàm tựa khả vi trên suy rộng được nghiên cứu, và các định lý loại Farkas tựa lồi và điều kiện tối ưu loại KKT đang được chứng minh. Mối quan hệ giữa hàm lồi suy rộng và ánh xạ đơn điệu suy rộng cũng được xấp xỉ bởi vi phân dưới thay cho các đạo hàm suy rộng. Đối với hàm không lồi, tiêu chuẩn vi phân dưới Fenchel-Moreau không thỏa mãn. Điều này dẫn đến Clarke, Rockafellar và những nhà toán học khác đưa ra các vi phân dưới khác nhau. Trong chương 11 viết bởi Hadjisavvasm, trình bày mối liên hệ giữa tính lồi suy rộng của hàm nửa liên tục dưới với tính đơn điệu suy rộng của vi phân dưới của chúng. Việc hợp nhất xấp xỉ này gồm đa phần các vi phân dưới. Một số loại mới của tính đơn điệu suy rộng, như tính đơn điệu suy rộng cyclic và tính tựa đơn điệu riêng cũng được giới thiệu. Khái niệm sau cùng được chứng minh có liên hệ gần gũi với bất đẳng thức biến phân Minty. Cuối cùng, trình bày một số kết quả gần đây về cực 8 đại của toán tử giả đơn điệu và mối quan hệ của nó với tính liên tục. Tính đơn điệu suy rộng không loại trừ khái niệm đối ngẫu của tính lồi suy rộng. Chẳng hạn khái niệm giả đơn điệu xuất hiện lần đầu trong bài toán phụ. Chương 12 viết bởi Yao và Chadli giải thích tầm quan trọng của khái niệm này trong những bài toán phụ và các bất đẳng thức biến phân. Phần đầu của chương trình bày những kết quả gần đây về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với bài toán phụ và bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều dưới tính giả đơn điệu. Đưa ra một ứng dụng của bài toán phụ về trạng thái cân bằng tới hạn của đĩa đàn hồi mảnh. Phần tiếp theo trình bày về tính giả đơn điệu tôpô và hơn nữa những kết quả tồn tại nhận được và một số ứng dụng. Khái niệm tính giả đơn điệu tôpô được đưa ra bởi Brézis năm 1968 đối với toán tử phi tuyến để thu được định lý tồn tại đối với phương trình khả vi từng phần eliptic tựa tuyến tính và parabolic. Trong phần cuối, đưa ra một số khả năng mở rộng đối với bài toán phụ và bất đẳng thức biến phân, và trình bày sự tương đương giữa một số vấn đề, gồm có các bài toán phụ, các bài toán tối thiểu yếu tố và các bài toán bất đẳng thức biến phân. Bài toán cân bằng đưa ra sự hợp nhất và chung nhất cho tối ưu hóa, các bài toán phụ và bất đẳng thức biến phân. Thông thường, đa số việc nghiên cứu trên các khía cạnh khác nhau của bài toán cân bằng đều bị giới hạn bởi vấn đề tính đơn điệu. Tuy nhiên, giả thiết tính đơn điệu tham gia làm hạn chế đối với nhiều bài toán ứng dụng, đặc biệt trong kinh tế học và khoa học quản lý. Trong suốt thập kỉ gần đây, các bài toán cân bằng đơn điệu suy rộng đã được khảo sát kỹ lưỡng hơn và nhiều tiến triển đã đạt được trong những hướng khác nhau. Chương 13 được viết bởi Konnov, trình bày những kết quả cơ bản trong lý thuyết và xây dựng phương pháp giải cho bài toán cân bằng đơn điệu suy rộng và bất đẳng thức biến phân. Trong đó bài toán cân bằng giá trị vectơ cũng được đề cập đến. Chắc chắn lợi ích đầu tiên của tính đơn điệu suy rộng (trước cả khi xuất hiện thuật ngữ này) đã được tìm thấy cách đây 68 năm trong ngành kinh tế học. Như đã nói ở trên, nó tồn tại độc lập trong một bài báo của Georgescu-Roegen (1936), đưa ra khái niệm sở thích địa phương trong lý thuyết người tiêu thụ, và trong bài báo của Wald (1936) chứa chứng minh gốc đầu tiên của sự tồn tại cân bằng chung cạnh tranh. Những tiến bộ đáng kể sẽ được trình bày trong Chương 14 được viết bởi John. Chương này đưa ra nhiều ví dụ quan trọng về cách dùng tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng trong kinh tế. Ví dụ đầu tiên là lý thuyết người tiêu thụ. Phép xấp xỉ hàm tiện ích tăng thêm tầm quan trọng cho tính tựa lõm và giả lõm của hàm. Phép xấp xỉ quan hệ nhu cầu được thể hiện bởi các tính chất đơn điệu suy rộng, trong tài liệu kinh tế điều đó được xem như các tiên đề trong thuyết ưa chuộng bộc lộ. Trong trường hợp sở thích không bắc cầu lồi (lần lượt nửa lồi chặt hay lồi chặt), các tính chất đơn điệu suy rộng khác nhau của lượng 9 [...]... tựa đơn điệu Giả sử f : C → R là khả vi trên tập lồi C Khi đó bên cạnh các đặc trưng của hàm lồi được biết đến, chúng ta có đặc trưng các hàm lồi suy rộng được suy từ Mệnh đề 2.1.1, 2.1.3, 2.1.4 Mệnh đề 2.2.1 Nếu f lồi (giả lồi, giả lồi chặt, tựa lồi) trên C khi và chỉ khi đơn điệu (giả đơn điệu, giả đơn điệu chặt, tựa đơn điệu) trên C f Cũng như tính lồi (suy rộng) của hàm số, đặc trưng tính đơn điệu. .. ủng hộ cho sự ra đời của tập sách này NICOLAS HADJISAVVAS SANDOR KOMLOSI SIEGFRIED SCHAIBLE 10 Chương 2 TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG TRONG TRƯỜNG HỢP HÀM KHẢ VI Trong phần này chúng tôi dịch và tìm hiểu từ trang 90 đến trang 97, chương II của [1] Đó là những đặc trưng cấp 1 và 2 của hàm tựa lồi (giả lồi) và đặc trưng cấp 1 của ánh xạ đơn trị tựa đơn điệu (giả đơn điệu) ... trực tiếp từ định lý trên: Hệ quả 2.1.8 Cho f là hàm khả vi trên tập lồi mở C và gradient của f không triệt tiêu trên C Khi đó f là giả lồi trên C khi và chỉ khi f là tựa lồi trên đó 2.2 Tính đơn điệu suy rộng Một cách tương tự, ta có tính đơn điệu có liên quan đến tính lồi, tính đơn điệu suy rộng liên quan đến tính lồi suy rộng Trong chương này, chúng ta đề cập đến gradient của các hàm nên ở đây ta... (suy rộng) của ánh xạ được suy ra từ đặc trưng của ánh xạ 1 biến thực Với a ∈ C, d ∈ E, đặt: Ia,d = {t ∈ R| a + td ∈ C} Với mỗi t ∈ Ia,d , ta định nghĩa: Fa,d (t) = F (a + td), d Dễ thấy F đơn điệu (giả đơn điệu, giả đơn điệu chặt, tựa đơn điệu) trên C khi và chỉ khi với mọi a ∈ C, d ∈ E, Fa,d là đơn điệu (giả đơn điệu, giả đơn điệu chặt, tựa đơn điệu) trên Ia,d Hơn nữa, tính đơn điệu suy rộng và. .. đơn điệu chặt nếu ∀x1 , x2 ∈ C, x1 = x2 , F (x1 ), x2 − x1 ≥ 0 ⇒ F (x2 ), x2 − x1 > 0 Tính tựa đơn điệu được đưa ra bởi Hassouni và độc lập với Karamardian và Schaible; tính giả đơn điệu của Karamardian Trường hợp, tính giả đơn điệu áp dụng cho ánh xạ không âm trên quỹ đạo dương chính là tiên đề yếu cho các hàm được ưa thích phát hiện được Dễ thấy ánh xạ đơn điệu là giả đơn điệu và ánh xạ giả đơn điệu. .. hàm giả lồi khả vi thì tựa lồi Đồng thời một hàm giả lồi chặt khả vi thì cũng tựa lồi chặt Cũng như tính lồi và tính tựa lồi, tính giả lồi cũng được đặc trưng thông qua các hàm một biến thực Thực vậy, f giả lồi (chặt) trên C nếu và chỉ nếu với mọi a ∈ C, d ∈ E, hàm một biến fa,d là giả lồi (chặt) trên Ia,d Liên hệ với điều kiện cuối trong Mệnh đề 2.1.1, chúng ta có đặc trưng của tính giả lồi như sau:... iv) f tựa lồi chặt trên C nếu với mọi x, y ∈ C, x = y và t ∈ (0, 1) ta có: f (x + t(y − x)) < max{f (x), f (y )} 11 Cho a ∈ C, d ∈ E, ta định nghĩa: Ia,d = {t ∈ R| a + td ∈ C}, và với mỗi t ∈ Ia,d : fa,d (t) = f (a + td) Khi đó, hàm f lồi (lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi chặt) trên C nếu và chỉ nếu fa,d là lồi (lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi chặt) trên Ia,d với mọi a ∈ C, d ∈ E Dựa vào định nghĩa hàm lồi (lồi. .. λ1 = 1, λ2 = 0 suy ra f là hàm lồi Vậy ta có điều phải chứng minh Các kết luận còn lại chứng minh tương tự, dựa vào định nghĩa của các hàm trên Vì những điều kiến cấp 1 và 2 đối với hàm lồi nhiều biến được suy ra từ điều kiện tương ứng cho hàm một biến thực Do đó chúng ta tập trung vào hàm tựa lồi một biến thực Cho hàm θ : I → R khả vi trên khoảng I ⊂ R Khi đó, θ là tựa lồi trên I khi và chỉ khi tồn... các hàm tựa lồi, chẳng hạn hàm f (t) = t3 tựa lồi nhưng không có cực tiểu Điều này thúc đẩy sự ra đời lớp các hàm giả lồi Cho tập lồi C và hàm f : C → R, khi đó: i) f được gọi là giả lồi trên C nếu ∀x, y ∈ C, f (y ) < f (x) ⇒ f (x), y − x < 0; ii) f được gọi là giả lồi chặt trên C nếu ∀x, y ∈ C, x = y, f (y ) ≤ f (x) ⇒ f (x), y − x < 0 Dễ thấy hàm lồi khả vi thì giả lồi Theo Mệnh đề 2.1.1, hàm giả lồi. .. Mệnh đề 2.1.5 Cho f là khả vi và giả lồi trên tập lồi C Giả sử tại x ∈ C ta có f (x) = 0 Khi đó f đạt cực tiểu toàn cục tại x Chứng minh Với mọi y ∈ C ta có f (x), y − x = 0 (vì lồi nên ta suy ra f (y ) ≥ f (x), ∀y ∈ C f (x) = 0) Do f giả Trong trường hợp, hàm giả lồi trên tập lồi mở thì nó chính là hàm tựa lồi khả vi đạt giá trị nhỏ nhất tại những điểm mà tại đó gradient của hàm triệt tiêu Đó là nội