Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết ...” dành cho học sinh lớp 6, 7 đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đại số ở lớp 9. Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loại phương trình này. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua
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`67".&7 77&&7'G&A5$ ()*$+$, D>+&A,E&1&+&A&9@&,'^-O?PFJ Z&B3?!>.&&,&1>.&&:&"-'"O1A /012+$, D>+&A,E&1& +9.;&2,%;-?,a.7@b9 c&&&A'E777& @1&&A[& X-019.& .&67."6.; 30+454+$, +&A,E&1&.d !777.,J1e fg77&9h6 fg77.+&` fg777J fg7787 fg77&5# fg775. fg77&> fg7782&&A 6$+$'+$, DE&,+&A1ij3iW3kiiV,21li3l3kiiW $7$(&' !"#$ DE&,.d !'&A[& X,&1>.&&:&$7'=&,/& .&&:& 89 :;15""<<"="> ZIkiiVfkiiW&,g4& !m,@Y!b97JI-'E -O?PFJZ&B3+&A[& X.&&:&&'&& 91(13DJ1&$/,>&+&A,E&17'G @7#35&&.&4$BB> .&&&,&1> @7'G) @ =&3=&[& X.&&:&&,%+&A'&A.9ll .&"=7Wc3n25,.e K&:&e oiH ne okH eooH D&1>.&&:& &7!,(U[oQ.&55 [& X+&273&,%,VH',(W,>&27![& X HI1 D&1>.&&:&&&91(1 &7!',( W[ooH ?"1@430+454+$;$430+"A<*B"C !"!#$% &'( p q0r q0r= ⇔ k q0r i p q0r sq0rt ≥ = \ !3K&&7e 0 o 0 o+ = − qor K&&eqor⇔ k 0 o 0 o 0 o 0 l 0 l0 i 0 o 0 o ≥ ≥ ≥ ⇔ ⇔ = − = + = − \61e7,%#&A0ul )&'( p q0r q0r q0r+ = \ !3K&&7e 0 l j 0 k+ = − − qkr K&&3\=&,&E&A0vk3#e qkr⇔ 0 l 0 k j+ + − = * ⇔ k0 o k q0 lrq0 kr kj+ + + − = ⇔ q0 lrq0 kr ok 0+ − = − ⇔ k k k 0 ok k 0 ok 0 T kj0 oji 0 0 T oQQ 0 kQ0 ≤ ≤ ≤ ≤ ⇔ ⇔ = = + − = + − \61e7,%#&A0uT rF@le p q0r q0r q0r+ = \ !3K&&7e 0 o 0 U ok 0+ − − = − qlr K&&e\=&,&E&AUw0wok3#e qlr⇔ 0 o ok 0 0 U+ = − + − ⇔ 0 o j k qok 0rq0 Ur+ = + − − ⇔ k k oW0 0 VQ 0 Q− − = − ⇔QqoW0f0 k fVQru0 k fV0xoT ⇔UT0fQ0 k fllTf0 k xV0foTui ⇔j0 k fVQ0xljkui ( ) ( ) k k k VQ ljk Qk oUTQ oUTQ ljk j 0 0 j 0 k 0 j j j kj kj j Qk Q QQ j 0 j j 0 V 0 q0 Vr j0 QQ j kj j − + = − × + − + ÷ ÷ = − − × = − − = − − ÷ ÷ ⇔0 o u QQ j y0 k uV \61e7,%#&&A0 o u QQ j y0 k uV +&',( p q0r q0r q0r q0r+ = + \ !3K&&7e 0 0 o 0 Q 0 W i− − − − + + = qQr K&&e\=&,&E&A0vQ3#e qQr⇔ 0 W 0 0 o 0 Q+ + = − + − ⇔ k0 W k 0q0 Wr k0 j k q0 Qrq0 or+ + + = − + − − ⇔ U 0q0 Wr q0 orq0 Qr+ + = − − ⇔ k k QW 0 W0 oQ 0q0 Wr 0 j0 Q+ + + + = − + ⇔QjxoQ0xoQ 0q0 Wr+ ui \=&0vQ⇒'2&"7./ ⇒7'&A , & -$./01 \ ! o3K&&7e k 0 Q0 Q 0 V− + + = qor K&&eqor⇔ k q0 kr V 0− = − \=&,&E&A0wV3#e qor⇔z0fkzuVf0 fZ20{keqor⇒kf0uVf0q'&Ar fZ2kw0wVeqor⇒0fkuVf0⇔0uj OFeD7./e0uj3 \ ! k3K&&7 0 k k 0 o 0 oi T 0 o k 0 k k 0 o+ + + + + − + = + − + qkr K&&eqkr⇔ 0 o k 0 o o 0 o k3l 0 o W k 0 o k 0 o o+ + + + + + − + + = + − + + ⇔ 0 o o z 0 o l z k3z 0 o oz+ + + + − = + − DN1u 0 o+ q1vir⇒7,%;e 1 o z 1 lz k z 1 oz+ + − = − fZ2iw1{oe1xoxlf1ukfk1⇔1ufoq@&r fZ2ow1wle1xoxlf1uk1fk⇔1ul fZ21|le1xox1fluk1fkq'&Ar \=&1ul⇔0xouW⇔0uV \61e7,%#&A0uV *& 23+4)5/67 &789 -:;<!=>/1?;@.A \ !o K&&7 0 o j0 o l0 k− − − = − ?o3,&E&A0vo \=&0voe\2&e 0 o j0 o− < − ⇒'2&J \27&e l0 k− vo⇒'27& \61e7,%'&A ?k3\=&0vo#e 0 o j0 o l0 k− = − + − ⇔ 0 o V0 l k qj0 orql0 kr− = − + − − ⇔ k U0 k qj0 orql0 kr− = − − B \2&./J'=&0vo'27& '=&0vo⇒7'&A )&3+4C/0-D;< \ !k3K&&7e k k k l0 T0 U j0 oi0 oQ Q k0 0+ + + + + = − − qor K&&e#qor⇔ k k k Q W l 0 k0 o j 0 k0 o q0 k0 or j l j + + + + + + + = − + + + ÷ ÷ ⇔ k k k lq0 or Q jq0 or W j q0 or+ + + + + = − + #e\2&v Q W k l j+ = + = 3F$RuS01⇔0ufo \27&wj3F$RuS01⇔0ufo \61e7,%#&A0ufo &3+4C//.:A20E?AA.A=7A.A/1!+$5& \ !o3K&&7e k 0 U V k0 k0 o 0 o + + = + − + K&&e,&E&A0v o k F`$10uk&A"7 fZ2 o 0 k k ≤ < e\u T o V V l 0 o + + < + + 3_e\g| V l+ fZ20|ke\guk0 k x k0 o− |k3k k x l u V l+ 3\{ V l+ 0 k 0 o k o T T o o l 0 o k o > ⇒ + > + + < + = + + \61e7,%#&A 1$0uk \ !k3K&&7e k k k k l0 U0 l 0 k l0 j0 o 0 l0 Q− + − − = − + − − − K&&ed'=&0uk3#e k k k l3Q U3k l k k l3k j3k o k l3k Q o k l T − + − − = − + − − − ⇔ − = − qor⇔ k k k k ql0 j0 or kq0 kr q0 kr lq0 kr l0 j0 o 0 k− − − − + − − − = − − − − Z20|ke\{\g Z20{ke\|\g \61e0uk&A 1$"7 \ !l3K&&7e T V T l 0 k 0 + = − − F K&& eDne0{k3c}d$10u l k &A"73(&,# &A 1$36'61e \=&0{ l k e T k l 0 < − ' V Q k 0 < − ⇒ T V T l 0 k 0 + < − − 3 +'=& l k {0{ke T V T l 0 k 0 + > − − \ !Q3K&&7e k k l0qk W0 lr qQ0 krqo o 0 0 r i+ + + + + + + = qor K&& eqor ( ) ( ) k k l0 k ql0r l qk0 or k qk0 or l i⇔ + + + + + + + = ( ) ( ) k k l0 k ql0r l qk0 or k qk0 or l⇔ + + = − + + + + Z2l0ufqk0xor⇔0u o j − &>I;&'2}3\610u o j − &A"73O&A"qor} o yi k − ÷ 3 &,#&A 1$3 \=& o o 0 k j − < < − el0{fk0fo{i ⇒ql0r k |qk0xor k ⇒ k k k ql0r l k qk0 or l+ + > + + + P1e ( ) ( ) k k l0 k ql0r l qk0 or k qk0 or l i+ + + + + + + > ⇒qor#&A 13?&+),&,226qor#&A& o o 0 k j − < < − +&3+4/G>.HI$+5JKLD)5/67>@M \ !3K&&7 0 Q0 o k 0 Q0 o − + = − K&&e,&E&A o 0 Q > ~7 !$,a k + ≥ '=&|i \=&,&E&A o 0 0 Q0 o i Q > ⇒ − > 3Z9e 0 Q0 o k 0 Q0 o − + ≥ − 3F$RuS01⇔ k 0 Q0 o 0 Q0 o i= − ⇔ − + = N ⇔ k k 0 Q0 Q l i q0 kr l 0 k l 0 k l− + − = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ± , /;G?C \ !o3K&&7e k0 o 0 k 0 l+ − − = + K&&3Dne0vk3D>h$1eqk0xorfq0fkru0xl3F,#J&97'&'2" 7e q0 lrq k0 o 0 k or i+ + + + − = ⇔ 0 l i k0 o 0 k o + = + + − = ⇒g'&A \ !k3K&&7e k 0 o kq0 or 0 o o 0 l o 0+ + + = − + − + − qor K&&3Dnez0zwoeqor⇔ ( ) ( ) 0 o o 0 k 0 o o 0 o i+ − − + − − + = ⇔0 o uiy0 k u kQ kj − \ !l3K&&7e l k Q 0 o 0 0 0 o o 0 o− + + + + = + − qor K&&3?Bhe0 Q fouq0forq0 l x0 k x0xor3 qor⇔ ( ) ( ) l k 0 o o o 0 0 0 o i− − − + + + = ⇔0uk B& /MO4 &3+4AO4 \ !o3K&&7e k 0 0 o o+ + = qor K&&3DN 0 o+ u1q1vir ⇒1 k u0xo⇔0u1 k fo⇔0 k uq1 k for k ⇒qkr⇔q1 k for k x1foui⇔1q1−orq1 k x1−orui3 ,#.167&A"7e o j iy oy k − − \ !k3K&&7e ( ) l 0 o o k 0 o k 0− + + − = − qor OFeDne0vo3DN 0 o o− + u1 qor⇔ ( ) ( ) l k 0 o o 0 o o k i− + + − + − = ⇔1 l x1 k fkui ⇔q1forq1 k xk1xkrui⇔1uo⇔0uo P )&3+4O4 \ !o3K&&7ekq0 k xkruj l 0 o+ qlr K&&3DNu 0 o+ 'u k 0 0 o− + qDne0v−ovi'vir3n&,#e k u0xo' k u0 k f0xo k ' k u0 l xo3⇒qlr⇔kq k x' k ruj'⇔qk−'rq−k'rui K&&0,^03n25e0∈ j lU j lU y k k + − \ !k3K&&7e ( ) ( ) k 0 j 0 k o 0 U0 oi l+ − + + + + = qor K&&3Dne0vfk3qor⇔ ( ) ( ) 0 j 0 k o q0 jrq0 kr l+ − + + + + = DNe 0 j+ u 0 k+ u'q'vir⇒ k f' k ul3qor⇔qfrqoxru k f k ⇔qfrqofxfrui⇔qfrqofrqofrui K&&e0ufo&A 1$ \ !l3K&&7e 0 o l0 k0 o+ − = − qor K&&3Dne0vi3DN 0 o+ u l0 u'q'vireqor⇔fu k f k ⇔qfrqxxorui _xxo|i⇒u⇔0u o k &A 1$"73 \ !Q3K&&7e Q o j 0 0 k0 0 0 0 + − = + − qor K&&3DN o 0 0 − u j k0 0 − u'q'vir qor⇔ o j o j 0 k0 0 k0 i 0 0 0 0 − − − − − − − = ÷ ÷ ⇔fq' k f k rf'ui ⇔qf'rqoxx'rui3\oxx|i9eu'3K&&,e0uk &3+4)O4 \ !oK&&7e k k 0 l0 k 0 l 0 k 0 k0 l+ + + + = + + + − qor K&&3Dne0vk3qor⇔ q0 orq0 kr 0 l 0 k q0 0rq0 lr− − + + = + + − + DNe 0 o− u 0 k− u 0 l+ uqvireqor⇔xux⇔qforqfrui ⇔uoNu31;@&,0uk&A 1$"7 \ !k3K&&7e 0 k 03 l 0 l 03 j 0 k 03 j 0= − − + − − + − − K&&3DNe k 0= − y ' l 0= − y j 0= − qy'yvir ⇒0uk• k ul•' k uj• k u'x'x Q ,##Ae q 'rq r k qor q' rq' r l qkr q rq 'r j qlr + + = + + = + + = ZJ'2"qorqkrqlr#esqx'rq'xrqxrt k uli \y'yvi9e q 'rq' rq r li+ + + = qQr n27qQr'=&(qoryqkryqlr M,2e li ' qjr k li qTr l li ' qUr j + = + = + = ?'2"qjryqTryqUr#e lo li lo li kq ' r ' li Ti + + = ⇒ + + = qVr n27qVr'=&(qjryqTryqUr#e k li Ti oo li li klW ' 0 k Ti Ti oki oW li Ti = = ⇒ = − = ÷ ÷ = +&3+4O4/;G.? \ !o3K&&7 0 o k0 o j− + − = ?oeK&&+&o3,0uj ?keDN 0 o i− = ≥ ' k0 o '− = 3#Ae k k ' j ' k o + = − = ⇔ k ok = = − ⇔0uj3 \ !kK&&7e V 0 j 0 j+ + − = K&&3Dneiw0wkj3DN V 0+ u j 0 '− = q'vire ⇒ k k ' j ' ol + = + = k ul ' ' l 'uk = ⇔ = K&�uo&A 1$3 \ !l3K&&7e k k kj 0 W 0 k− − − = K&&3Dneflw0wleDN k kj 0− u k W 0− u'q'vir R [...]... một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong khuôn khổ chương trình cấp THCS, mà cụ thể là những phương pháp giải phương trình vô tỉ của lớp 9 Ngoài những phương pháp mà tôi chắt lọc nêu trên, chắc chắn còn nhiều phương pháp giải khác mà bản thân tôi, do năng ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang 14 ĐỀ TÀI: MÔT SÔ PHƯƠNG... ⇔ m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm x = m2 + 4 2m ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang 11 ĐỀ TÀI: MÔT SÔ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TI ****************************** – Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình với m là tham số: x2 − 3 = x − m (Đề...ĐỀ TÀI: MÔT SÔ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TI ****************************** u + v = 2 u − v = 2 u = 5 ⇔ ⇒ 2 ⇔ Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất 2 u + v = 8 v = 3 u + v = 16 Ví dụ 4 Giải phương trình: 1 − x + 4 + x = 3 Giải ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1 Đặt 1 − x = u ; 4 + x = v (u, v ≥ 0) u + v = 3 x = 0 ⇒ 2 ⇒ 2 x = −3 u + v = 5 Ví dụ 5 Giải phương trình:... x − x = m − m Giải Điều kiện: x ≥ 0 – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x − 1) = 0 ⇒ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1 – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với ( x − m)( x + m − 1) = 0 x − m =0 ⇔ x = 1− m + Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1 − m) 2 + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m II Kêt quả thực... Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: x = m2 + 3 m2 + 3 Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ ≥m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ m ≤ 3 + Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ 3 ⇔ m ≤ − 3 Tóm lại: – Nếu 0 ≤ m ≤ 3 hoặc m ≤ − 3 Phương trình có một nghiệm: x = m2 + 3 2m – Nếu − 3 < m ≤ 0 hoặc m > 3 : phương trình vô nghiệm Ví dụ 3 Giải và biện luận theo tham số m phương trình:... thời để giúp cho các em có thể có một sự quyết tâm lớn trong công việc học tập ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang 13 ĐỀ TÀI: MÔT SÔ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TI ****************************** của mình Đặc biệt là với những học sinh tham gia học tập bộ môn Toán, đây là một môn học khó, có rất ít học sinh lựa chọn... v).(u 2 − 2uv + v 2 ) = 0 ⇔ 3.(u + v).(u − v) 2 = 0 ⇔ ⇒ kết quả u = v 6) Giải và biện luận phương trình vô ti Ví dụ 1 Giải và biện luận phương trình: Giải Ta có: x2 − 4 = x − m x ≥ m x ≥ m ⇔ x2 − 4 = x − m ⇔ 2 2 2 2 x − 4 = x − 4xm + m 2mx − (m + 4) = 0 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: x = m2 + 4 m2 + 4 Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ ≥m 2m 2m + Nếu m > 0:... của đề tài vào việc bồi dưỡng cho các em Kết quả đạt được như sau: 1 Môn Giải toán trên máy tính cầm tay a) Cấp Huyện: Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh cấp Huyện: 11 em Số học sinh đạt giải: 9 em (1 giải nhất, 2 giải nhì, 3 giải ba và 3 giải khuyến khích) ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang 12 ĐỀ TÀI: MÔT SÔ PHƯƠNG... Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang 14 ĐỀ TÀI: MÔT SÔ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TI ****************************** lực còn hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài của tôi không thể không còn những sơ suất Chính vì vậy, tôi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn Người thực hiện Đỗ Trung Thành NHẬN XÉT, ĐÁNH... giỏi cấp Tỉnh: 5 em b) Cấp Tỉnh: Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh: 5 em Số học sinh đạt giải: III Bài học kinh nghiệm Qua việc thực hiện chuyên đề giải phương trình vô tỉ trong chương trình của cấp THCS và việc bồi dưỡng học sinh giỏi hai môn Toán và Giải toán trên máy tính cầm tay Bản thân tôi đã rút ra được một số bài học kinh nghiệm