BÀI GIẢI a) Xác suất có chai bia Sài Gòn bị bể XÁC SUẤT THỐNG KÊ P(X ≥ 1) = − P(X = 0) = − (GV: Trần Ngọc Hội – 2009) CHƯƠNG ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bài 2.1: Nước giải khát chở từ Sài Gòn Vũng Tàu Mỗi xe chở 1000 chai bia Sài Gòn, 2000 chai coca 800 chai nước trái Xác suất để chai loại bị bể đường tương ứng 0,2%; 0,11% 0,3% Nếu không chai bị bể lái xe thưởng a) Tính xác suất có chai bia Sài Gòn bị bể b) Tính xác suất để lái xe thưởng c) Lái xe phải chở chuyến để xác suất có chuyến thưởng không nhỏ 0,9? Lời giải Tóm tắt: Loại Bia Sài Coca Nước trái Gòn Số lượng/chuyến 1000 2000 800 Xác suất chai 0,2% 0,11% 0,3% bể - - Gọi X1 ĐLNN số chai bia SG bị bể chuyến Khi đó, X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 1000 p1 = 0,2% = 0,002 Vì n1 lớn p1 bé nên ta xem X1 có phân phân phối Poisson: X1 ∼ P(a1) với a1 = n1p1 = 1000.0,002 = 2, nghóa X1 ∼ P(2) Tương tự, gọi X2 , X3 ĐLNN số chai bia coca, chai nước trái bị bể chuyến Khi đó, X2 , X3 có phân phối Poisson: X2 ∼ P(2000.0,0011) = P(2,2); X3 ∼ P(800.0,003) = P(2,4) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com e −2 = − e−2 = 0, 8647 0! b) Tính xác suất để lái xe thưởng Theo giả thiết, lái xe thưởng có không chai bị bể, nghóa X1 + X2 + X3 ≤ Vì X1 ∼ P(2);X2 ∼ P(2,2); X3 ∼ P(2,4) neân X1 + X2 + X3 ∼ P(2+2,2 + 2,4) = P(6,6) Suy xác suất lái xe thưởng là: P(X1 + X2 + X3 ≤ 1) = P[(X1 + X2 + X3 =0) + P(X1 + X2 + X3 = 1)]= e − , (6 , ) e − , (6 , ) = 0,0103 + 0! 1! c) Lái xe phải chở chuyến để xác suất có chuyến thưởng không nhỏ 0,9? Gọi n số chuyến xe cần thực A biến cố có chuyến thưởng Yêu cầu toán xác định n nhỏ cho P(A) ≥ 0,9 Biến cố đối lập A là: A chuyến thưởng Theo câu b), xác suất để lái xe thưởng chuyến p = 0,0103 Do theo công thức Bernoulli ta có: P(A) = − P(A) = − q n = − (1 − 0, 0103)n = − (0, 9897)n Suy P(A) ≥ 0, ⇔ − (0, 9897)n ≥ 0, ⇔ (0, 9897)n ≤ 0,1 ⇔ n ln(0, 9897) ≤ ln 0,1 ln 0,1 ≈ 222, 3987 ln(0, 9897) ⇔ n ≥ 223 ⇔n≥ Vậy lái xe phải chở 223 chuyến Bài 2.2: Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B 2000 linh kiện C Xácsuất hỏng ba linh kiện 0,02%; 0,0125% 0,005% Máy tính ngưng hoạt động số linh kiện hỏng nhiều Các linh kiện hỏng độc lập với a) Tính xácsuất để có linh kiện B bị hỏng b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động c) Giả sử máy có linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động Lời giải - A 1000 0,02% B C 800 2000 0,0125% 0,005% Gọi X1 ĐLNN số linh kiện A bị hỏng máy tính Khi đó, X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 1000 p1 = 0,02% = 0,0002 Vì n1 lớn p1 bé nên ta xem X1 có phân phân phối Poisson: X1 ∼ P(a1) với a1 = n1p1 = 1000.0,0002 =0,2, nghóa X1 ∼ P(0,2) - Tương tự, gọi X2, X3 ĐLNN số linh kiện B, C bị hỏng máy tính Khi đó, X2 , X3 có phân phối Poisson sau: X2 ∼ P(800.0,0125%) = P(0,1); X3 ∼ P(2000.0,005%) = P(0,1) a) Xác suất có linh linh kiện B bị hỏng là: P(X ≥ 1) = − P(X = 0) = − Vì X1 ∼ P(0,2);X2 ∼ P(0,1); X3 ∼ P(0,1) neân X1 + X2 + X3 ∼ P(0,2+0,1 + 0,1) = P(0,4) Suy xác suất để máy tính ngưng hoạt động là: P(X1 + X2 + X3 > 1) = - P(X1 + X2 + X3 ≤ 1) = 1- [P(X1 + X2 + X3 = 0) + P(X1 + X2 + X3 = 1)] = 1− Tóm tắt: Loại linh kiện Số lượng/1máy Xác suất 1linh kiện hỏng Theo giả thiết, máy tính ngưng hoạt động số linh kiện hỏng nhiều 1, nghóa X1 + X2 + X3 > e−0,1 (0,1)0 = − e−0,1 = 0, 0952 0! b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com e−0,4 (0, 4)0 e−0,4 (0, 4)1 − 0! 1! = 1-1,4.e-0,4 = 0,0615 = 6,15% c) Giả sử máy có linh kiện hỏng Khi máy tính ngưng hoạt động có thêm linh kiện hỏng nữa, nghóa X1 + X2 + X3 ≥ Suy xác suất để máy tính ngưng hoạt động trường hợp là: P(X1 + X2 + X3 ≥ 1) = - P(X1 + X2 + X3 < 1) = 1- P(X1 + X2 + X3 = 0) = 1− e−0,4 (0, 4)0 = 1-e-0,4 = 0,3297 = 32,97% 0! Bài 2.3: Trọng lượng loại sản phẩm quan sát đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50kg phương sai 100kg2 Những sản phẩm có trọng lượng từ 45kg đến 70kg xếp vào loại A Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong nhiều sản phẩm) Tính xác suất để a) có 70 sản phẩm loại A b) có không 60 sản phẩm loại A c) có 65 sản phẩm loại A Lời giải Trước hết ta tìm xác suất để sản phẩm thuộc loại A Gọi X0 trọng lượng loại sản phẩm cho Từ giả thiết X0 có phân phối chuẩn X0 ∼ N(μ0, σ02) với μ0 = 50, σ02 = 100 Vì sản phẩm xếp vào loại A có trọng lượng từ 70kg nên xác suất để sản phẩm thuộc loại A P(45 ≤ X0 ≤ ta suy (σ0 = 10) 45kg đến 70) c) Xác suất để có 65 sản phẩm loại A là: 100 − μ 65 − μ 100 − 66, 87 65 − 66, 87 ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ 4,7068 4,7068 = ϕ(7, 0388) − ϕ(−0, 40) = ϕ(5) + ϕ(0, 4) = 0, + 0,1554 = 0, 6554 = 65, 54% P (65 ≤ X ≤ 100) = ϕ( (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta ϕ (7,7068)≈ ϕ (5) = 0,5; ϕ(0,4) = 0,1554) Ta coù P(45 ≤ X ≤ 70) = ϕ( 70 − μ 45 − μ 70 − 50 45 − 50 ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ0 σ0 10 10 = ϕ(2) − ϕ(−0, 5) = ϕ(2) + ϕ(0, 5) = 0, 4772 + 0,1915 = 0, 6687 (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta ϕ (2) = 0,4772; ϕ (0,5) = 0,1915) Vậy xác suất để sản phẩm thuộc loại A p =0,6687 Bây giờ, kiểm tra 100 sản phẩm Gọi X số sản phẩm loại A có 100 sản phẩm kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 100, p = 0,6687 Vì n = 100 lớn p = 0,6687 không gần không gần nên ta xem X có phân phối chuẩn sau: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np = 100.0,6687 = 66,87; σ = npq = 100.0, 6687.(1 − 0, 6687) = 4, 7068 a) Xác suất để có 70 sản phẩm loại A làø: 70 − μ 70 − 66, 87 f( )= f( ) 4, 7068 4, 7068 σ σ 0, 3209 = f (0, 66) = = 0, 0681 = 6, 81% 4, 7068 4, 7068 P (X = 70) = (Tra bảng giá trị hàm Gauss ta f(0,66) = 0,3209) b) Xác suất để có không 60 sản phẩm loại A laø: 60 − μ 0−μ 60 − 66, 87 − 66, 87 ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ 4,7068 4,7068 = ϕ(−1, 46) − ϕ(−14, 21) = −ϕ(1, 46) + ϕ(14, 21) = −ϕ(1, 46) + ϕ(5) P (0 ≤ X ≤ 60) = ϕ( = −0, 4279 + 0, = 0, 0721 = 7, 21% (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta ϕ (14,21) = ϕ (5) = 0,5; ϕ(1,46) = 0,4279) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Bài 2.4: Sản phẩm nhà máy đóng thành kiện, kiện gồm 14 sản phẩm có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: từ kiện lấy sản phẩm; thấy số sản phẩm thuộc loại A nhiều số sản phẩm thuộc loại B nhận kiện đó; ngược lại loại kiện Kiểm tra 100 kiện (trong nhiều kiện) Tính xác suất để a) có 42 kiện nhận b) có từ 40 đến 45 kiện nhận c) có 42 kiện nhận Lời giải Trước hết ta tìm xác suất để kiện nhận Theo giả thiết, kiện chứa 14 sản phẩm gồm 8A 6B Từ kiện lấy sản phẩm; thấy số sản phẩm A nhiều số sản phẩm B, nghóa 3A,1B 4A, nhận kiện Do xác suất để kiện nhận là: P4 (3 ≤ k ≤ 4) = P4 (3) + P4 (4) = C3C1 C4 C0 + = 0, 4056 C14 C14 Vậy xác suất để kiện nhận p = 0,4056 Bây giờ, kiểm tra 100 kiện Gọi X số kiện nhận 100 kiện kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 100, p = 0,4056 Vì n = 100 lớn p = 0,4056 không gần không gần nên ta xem X có phân phối chuẩn sau: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np = 100.0,4056 = 40,56; σ = npq = 100.0, 4056.(1 − 0, 4056) = 4, 9101 a) Xác suất để có 42 kiện nhận laøø: P (X = 42) = = 42 − μ 42 − 40, 56 f( )= f( )= f (0, 29) 4, 9101 4, 9101 4, 9101 σ σ 0, 3825 = 0, 0779 = 7, 79% 4, 9101 (Tra bảng giá trị hàm Gauss ta f(0,29) = 0,3825) b) Xác suất để có từ 40 đến 45 kiện nhận làø 45 − μ 40 − μ 45 − 40, 56 40 − 40, 56 ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ 4, 9101 4, 9101 = ϕ(0, 90) − ϕ(−0,11) = ϕ(0, 90) + ϕ(0,11) = 0, 3159 + 0, 0438 = 0, 3597 = 35, 97% P (40 ≤ X ≤ 45) = ϕ( (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta 0,0438) ϕ (0,9) = 0,3519; ϕ (0,11) = Lời giải Trước hết ta tìm xác suất p để kiện nhận Gọi C biến cố kiện hàng nhận Ta cần tìm p = P(C) Từ giả thiết ta suy có hai loại kiện hàng: Loại I: gồm 6A, 4B chiếm 0,9 = 90% Loại II: gồm 8A, 2B chiếm 0,1 = 10% Gọi A1, A2 biến cố kiện hàng thuộc loại I, II Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có P(A1) = 0,9; P(A2) = 0,1 Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(C) = P(A1) P(C/A1) + P(A2) P(C/A2) Theo giả thiết, từ kiện lấy sản phẩm; sản phẩm thuộc loại A nhận kiện Do đó: c) Xác suất để có 42 kiện nhận làø 100 − μ 42 − μ 100 − 40, 56 42 − 40, 56 P (42 ≤ X ≤ 100) = ϕ( ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ 4, 9101 4, 9101 = ϕ(12) − ϕ(0, 29) = 0, 50 − 0,1141 = 0, 3859 = 38, 59% (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta 0,1141) ϕ(12) = ϕ(5) = 0,5; ϕ(0,29) = Bài 2.5: Sản phẩm nhà máy đóng thành kiện, kiện gồm 10 sản phẩm Số sản phẩm loại A hộp X có phân phối sau: X P 0,9 0,1 Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: từ kiện lấy sản phẩm; thấy sản phẩm loại A nhận kiện đó; ngược lại loại kiện Kiểm tra 144 kiện (trong nhiều kiện) a) Tính xác suất để có 53 kiện nhận b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện nhận c) Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện nhận không nhỏ hôn 95%? Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P(C / A ) = P2 (2) = C2C0 = ; C10 P(C / A ) = P2 (2) = C2C0 28 = C10 45 Suy P(C) = 0,9 (1/3) + 0,1.(28/45) = 0,3622 Vậy xác suất để kiện nhận p = 0,3622 Bây giờ, kiểm tra 144 kiện Gọi X số kiện nhận 144 kiện kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 144, p = 0,3622 Vì n = 144 lớn p = 0,3622 không gần không gần nên ta xem X có phân phối chuẩn sau: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np = 144.0,3622 = 52,1568; σ = npq = 144.0, 3622.(1 − 0, 3622) = 5, 7676 a) Xác suất để có 53 kiện nhận P(X=53) = 6,84% (Tương tự Bài 21) b) Xác suất để có từ 52 đến 56 kiện nhận P(52 ≤ X ≤ 56) = 26,05% (Tương tự Bài 21) c) Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện nhận không nhỏ 95%? Gọi n số kiện cần kiểm tra D biến cố có kiện nhận Yêu cầu toán xác định n nhỏ cho P(D) ≥ 0,95 Biến cố đối lập D D : kiện nhận Theo chứng minh trên, xác suất để kiện nhận p = 0,3622 Do Theo công thức Bernoulli ta có: • X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 100, p1 = 80% = 0,8 Vì n1 = 100 lớn p1 = 0,8 không gần không gần nên ta xem X1 có phân phối chuẩn sau: X1 ∼ N(μ1, σ12) với μ1 = n1p1 = 100.0,8 = 80; Suy • X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 100, p2 = 60% = 0,60 Vì n2 = 100 lớn p2 = 0,60 không gần không gần nên ta xem X2 có phân phối chuẩn sau: X2 ∼ N(μ2, σ22) với μ2 = n2p2 = 100.0,60 = 60; P(D) = − P(D) = − q n = − (1 − 0, 3622)n = − (0, 6378)n P(D) ≥ 0, 95 ⇔ − (0, 6378)n ≥ 0, 95 ⇔ (0, 6378)n ≤ 0, 05 ⇔ n ln(0, 6378) ≤ ln 0, 05 ln 0, 05 ≈ 6, 6612 ln(0, 6378) ⇔ n ≥ ⇔n≥ σ1 = n1p1q1 = 100.0, 8.0, = σ2 = n 2p 2q = 100.0, 60.0, 40 = 4, 8990 a) Xác suất để có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn laø: 1 1 70 − μ1 1 70 − μ P(X1 =70)+ P(X =70) = f( )+ f( ) 2 σ1 σ1 σ2 σ2 1 70 − 80 1 70 − 60 1 1 = f( )+ f( )= f (−2, 5) + f (2, 04) 4 4, 8990 4, 8990 4, 8990 1 1 = 0, 0175 + 0, 0498 = 0, 000727 4, 8990 P(X = 80) = Vaäy phải kiểm tra kiện Bài 2.6: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 80% máy khác sản xuất loại sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 60% Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 100 sản phẩm Tính xác suất để a) có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn b) có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn c) có không 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn Lời giải Gọi X ĐLNN số sản phẩm đạt tiêu chuẩn 100 sản phẩm A1, A2 biến cố chọn máy 1, máy Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo công thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta có: P(X = k) = P(A1 )P(X=k/A ) + P(A )P(X= k/A ) (1) 1 = P(X=k/A1 )+ P(X=k/A ) 2 Như vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trường hợp chọn máy 1, máy Khi đó: 1 • (1) cho ta P(X = k) = P(X1 =k)+ P(X =k) 2 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com b) Xác suất để có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là: 1 P(70 ≤ X ≤ 90) = P(70 ≤ X1 ≤ 90)+ P(70 ≤ X ≤ 90) 2 90 − μ1 70 − μ1 90 − μ 70 − μ 1 = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] σ1 σ1 σ2 σ2 90 − 80 70 − 80 90 − 60 70 − 60 = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] 4 4, 899 4, 899 = [ϕ(2, 5) − ϕ(−2, 5) + ϕ(6,12) − ϕ(2, 04)] = (0, 49379 + 0, 49379 + 0, − 0, 47932) = 0, 50413 c) Xác suất có không 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn P(70 ≤ X ≤ 100) =0,5072 (Tương tự câu b) Bài 2.7: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 1% máy khác sản xuất loại sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 2% 10 Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 1000 sản phẩm Tính xác suất để a) có 14 phế phẩm b) có từ 14 đến 20 phế phẩm Lời giải Gọi X ĐLNN số phế phẩm 1000 sản phẩm A1, A2 biến cố chọn máy 1, máy Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo công thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta coù: P(X = k) = P(A1 )P(X=k/A ) + P(A )P(X= k/A ) (1) 1 = P(X=k/A1 )+ P(X=k/A ) 2 Như vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số phế phẩm trường hợp chọn máy 1, máy Khi đó: 1 • (1) cho ta P(X = k) = P(X1 =k)+ P(X =k) 2 • X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 1000 p1 = 1% = 0,001 Vì n1 lớn p1 bé nên ta xem X1 có phân phân phối Poisson: X1 ∼ P(a1) với a1 = n1p1 = 1000.0,01 = 10, nghóa X2 ∼ P(10) • X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 1000 p2 = 2% = 0,002 Vì n2 lớn p2 bé nên ta xem X2 có phân phân phối Poisson: X1 ∼ P(a2) với a2 = n2p2 = 1000.0,02 = 20, nghóa X2 ∼ P(20) a) Xác suất để có 14 phế phẩm là: 1 e−10 1014 e−20 2014 + = 0, 0454 P(X = 14) = P(X1 =14)+ P(X =14) = 2 14 ! 14 ! b) Xác suất để có từ 14 đến 20 phế phẩm là: 1 P(14 ≤ X ≤ 20) = P(14 ≤ X ≤ 20)+ P(14 ≤ X ≤ 20) 2 = 20 ∑ k =14 e−10 10k + k! 20 ∑ k =14 e−20 20k = 31, 35% k! Bài 2.8: Một xí nghiệp có hai máy I II Trong ngày hội thi, công nhân dự thi phân máy với máy sản xuất 100 sản phẩm Nếu số sản phẩm loại A không 70 công nhân thưởng Giả sử công nhân X, xác suất sản xuất sản phẩm loại A với máy I II 0,6 0,7 a) Tính xác suất để công nhân X thưởng b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu? Lời giải Gọi Y ĐLNN số sản phẩm loại A có 100 sản phẩm sản xuất A1, A2 biến cố chọn máy I, máy II Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo công thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta coù: P(Y = k) = P(A1 )P(Y=k/A ) + P(A )P(Y= k/A ) (1) 1 = P(Y=k/A1 )+ P(Y=k/A ) 2 Như vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số sản phẩm loại A có 100 sản phẩm sản xuất trường hợp chọn máy I, máy II Khi đó: 1 P(Y = k) = P(X1 =k)+ P(X =k) • (1) cho ta 2 • X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 100, p1 = 0,6 Vì n1 = 100 lớn p1 = 0,6 không gần không gần nên ta xem X1 có phân phối chuẩn sau: X1 ∼ N(μ1, σ12) với μ1 = n1p1 = 100.0,6 = 60; σ1 = n1p1q1 = 100.0, 6.0, = 4, 8990 • X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 100, p2 = 0,7 Vì n2 = 100 lớn p2 = 0,7 không gần không gần nên ta xem X2 có phân phối chuẩn sau: X2 ∼ N(μ2, σ22) với μ1 = n2p2 = 100.0,7 = 70; σ2 = n2p2q = 100.0, 7.0, = 4, 5826 a) Xác suất để công nhân X thưởng laø: 11 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 12 1 P(70 ≤ X1 ≤ 100)+ P(70 ≤ X ≤ 100) 2 100 − μ1 70 − μ1 100 − μ 70 − μ = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] 2 σ1 σ1 σ2 σ2 P(70 ≤ Y ≤ 100) = 100 − 60 70 − 60 100 − 70 70 − 70 = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] 4, 899 4, 899 4, 5826 4, 5826 1 = [ϕ(8,16) − ϕ(2, 04) + ϕ(6, 55) − ϕ(0)]= (0, − 0, 47932 + 0, 5) = 0, 2603 2 b) Giaû sử công nhân X dự thi 50 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu? Gọi Z ĐLNN số lần công nhân X thưởng Khi Z có phân phối nhị thức Z ∼ B(n,p) với n = 50, p = 0,2603 Số lần thưởng tin Mod(Z) Ta có: Mod(Z) = k ⇔ np − q ≤ k ≤ np − q + ⇔ 50.0, 2603 − 0, 7397 ≤ k ≤ 50.0, 2603 − 0, 7397 + ⇔ 12, 2753 ≤ k ≤ 13, 2753 ⇔ k = 13 Vậy số lần thưởng tin công nhân X 13 lần Bài 2.9: Trong ngày hội thi, chiến só chọn ngẫu nhiên hai loại súng với súng chọn bắn 100viên đạn Nếu có từ 65 viên trở lên trúng bia thưởng Giả sử chiến só A, xác suất bắn viên trúng bia súng loại I 60% súng loại II 50% a) Tính xác suất để chiến só A thưởng b) Giả sử chiến só A dự thi 10 lần Hỏi số lần thưởng tin bao nhiêu? c) Chiến só A phải tham gia hội thi lần để xác suất có lần thưởng không nhỏ 98%? Lời giải Gọi X ĐLNN số viên trúng 100 viên bắn Gọi A1, A2 biến cố chọn súng loại I, II Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo công thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta coù: 13 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P(X = k) = P(A1 )P(X=k/A ) + P(A )P(X= k/A ) Như viên • • (1) 1 = P(X=k/A1 )+ P(X=k/A ) 2 vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số viên trúng 100 bắn trường hợp chọn loại I, II Khi đó: 1 P(X = k) = P(X1 =k)+ P(X =k) (1) cho ta 2 X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 100, p1 = 0,6 Vì n1 = 100 lớn p1 = 0,6 không gần không gần nên ta xem X1 có phân phối chuẩn sau: X1 ∼ N(μ1, σ12) với μ1 = n1p1 = 100.0,6 = 60; σ1 = n1p1q1 = 100.0, 6.0, = 4, 8990 • X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 100, p2 = 0,5 Vì n2 = 100 lớn p2 = 0,5 không gần không gần nên ta xem X2 có phân phối chuẩn sau: X2 ∼ N(μ2, σ22) với μ1 = n2p2 = 100.0,5 = 50; σ2 = n2p2q = 100.0, 5.0, = a) Xác suất để chiến só A thưởng là: 1 P(65 ≤ X1 ≤ 100)+ P(65 ≤ X ≤ 100) 2 100 − μ1 65 − μ1 100 − μ 65 − μ = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] σ1 σ1 σ2 σ2 2 P(65 ≤ X ≤ 100) = 100 − 60 65 − 60 100 − 50 65 − 50 = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] 4, 899 4, 899 5 1 = [ϕ(8,16) − ϕ(1, 02) + ϕ(10) − ϕ(3)]= (0, − 0, 34614 + 0, − 0, 49865) = 0, 0776 2 b) Giả sử chiến só A dự thi 10 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu? Gọi Y ĐLNN số lần chiến só A thưởng Khi Y có phân phối nhị thức Y ∼ B(n,p) với n = 10, p = 0,0776 Số lần thưởng tin mod(Y) Ta có: mod(Y) = k ⇔ np − q ≤ k ≤ np − q + ⇔ 10.0, 0776 − 0, 9224 ≤ k ≤ 10.0, 0776 − 0, 9224 + ⇔ −0,1464 ≤ k ≤ 0, 8536 ⇔ k = 14 Theo công thức Bernoulli ta có: P(X = 0) = C 4(0, 8)0 (0, 2)4 = 0, 0016; Vậy số lần thưởng tin chiến só A lần, nói cách khác, thường chiến só A không thưởng lần 10 lần tham gia P(X = 1) = C 4(0, 8)1 (0, 2)3 = 0, 0256; P(X = 2) = C 4(0, 8)2 (0, 2)2 = 0,1536; c) Chiến só A phải tham gia hội thi lần để xác suất có lần thưởng không nhỏ 98%? P(X = 3) = C 4(0, 8)3 (0, 2)1 = 0, 4096; P(X = 4) = C 4(0, 8)4 (0, 2)0 = 0, 4096 Gọi n số lần tham gia hội thi D biến cố có lần thưởng Yêu cầu toán xác định n nhỏ cho P(D) ≥ 0,98 Biến cố đối lập D D : lần thưởng Theo chứng minh trên, xác suất để lần thưởng p = 0,0776 Do Theo công thức Bernoulli ta có: P(D) = − P(D) = − q n = − (1 − 0, 0776)n = − (0, 9224)n Suy P(D) ≥ 0, 98 ⇔ − (0, 9224)n ≥ 0, 98 ⇔ (0, 9224)n ≤ 0, 02 ⇔ n ln 0, 9224 ≤ ln 0, 02 ln 0, 02 ≈ 48, 43 ln 0, 9224 ⇔ n ≥ 49 ⇔n≥ Vậy chiến só A phải tham gia hội thi 49 lần Bài 2.10: Một người thợ săn bắn viên đạn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn trúng đích a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X Lời giải a) Ta thấy X có phân phối nhị thức X∼ B(n,p) với n = 4, p = 0,8 X ĐLNN rời rạc nhận giá trị: 0, 1, 2, , Luật phân phối X có dạng: X P p0 p1 p2 p3 p4 15 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Vậy luật phân phối X là: X P 0,0016 0,0256 0,1536 0,4096 0,4096 b) Tìm kỳ vọng phương sai X - Kỳ vọng: M(X) = np = 3,2 - Phương sai: D(X) = npq = 0,64 Bài 2.11: Có hai lô hàng I II, lô chứa nhiều sản phẩm Tỉ lệ sản phẩm loại A có hai lô I II 70% 80% Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn số sản phẩm loại A lấy từ lô II b) Gọi X số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy Tìm kỳ vọng phương sai X Lời giải Gọi X1, X2 ĐLNN số sp loại A có sp chọn từ lô I, II Khi • X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1, p1); n1 = 2; p1 = 70% = 0,7 với xác suất định bởi: P(X = k) = C (0, 7)k (0, 3)2 − k k Cụ thể X1 P 0,09 0,42 0,49 • X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2, p2); n2 = 2; p2 = 80% = 0,8 với xác suất định bởi: P(X = k) = C (0, 8) k (0, 2)2 − k k Cụ thể X2 P 0,04 16 0,32 0,64 a) Xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn số sản phẩm loại A lấy từ lô II laø: P(X1 ≥ X2) = P[(X1 =2)(X2 =0)+ (X1 =2)(X2 =1)+ (X1 =1)(X2 =0)] = P(X1 =2)P(X2 =0)+ P(X1 =2)P(X2 =1)+ P(X1 =1)P(X2 =0) = 0,1932 b) Goïi X số sp loại A có sp chọn Khi X = X1 + X2 Vì X1 , X2 độc lập nên ta có: - Kỳ vọng X M(X) = M(X1) + M(X2) = n1p1 + n2p2 = - Phương sai X laø D(X) = D(X1) + D(X2) = n1p1q1 + n2p2q2 = 0,74 Bài 2.12: Cho hai hộp I II, hộp có 10 bi; hộp I gồm bi đỏ, bi trắng hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp hai bi a) Tính xác suất để hai bi đỏ hai bi trắng b) Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi đỏ có bi rút Tìm luật phân phối X Lời giải Gọi X1, X2 ĐLNN số bi đỏ có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi - X1 có phân phối siêu bội X1 ∼ H(N1, N1A, n1); N1 = 10; N1A= 6; n1 = với xác suất định bởi: CC C k P(X = k) = 10 Cụ thể X1 P 6/45 24/45 15/45 - X2 có phân phối siêu bội X2 ∼ H(N2, N2A, n2); N2 = 10; N2A = 7; n2 =2 với xác suất định bởi: = k) = C C C k P(X 2−k 3/45 21/45 21/45 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi đỏ có bi rút Khi X = X1 + X2 Bảng giá trị X dựa vào X1, X2 sau: X X2 X1 2 1 2 3 a) Xaùc suất để bi đỏ bi trắng laø: P(X = 2) = P[(X1=0) (X2=2)+ (X1=1) (X2=1)+ (X1=2) (X2=0)] = P(X1=0) P(X2=2)+ P(X1=1)P(X2=1)+ P(X1=2)P(X2=0)] = (6/45)(21/45) + (24/45)(21/45) + (15/45)(3/45) = 1/3 b) Luật phân phối X có dạng: X P 2− k X2 P ñoù: p0 = P(X = p1 = P(X = p2 = P(X = p3 = P(X = p4 = P(X = 0)= P(X1 1)= P(X1 2) = 1/3; 3)= P(X1 4)= P(X1 p0 17 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com p2 p3 p4 =0) P(X2 = 0) = 2/225; =0) P(X2 = 1) + P(X1 =1) P(X2 = 0)= 22/225; =1) P(X2 = 2) + P(X1 =2) P(X2 = 1)= 91/225; =2) P(X2 = 2) = 7/45 Vậy luật phân phối X laø : X P 2/225 22/225 1/3 91/225 7/45 10 Cụ thể p1 18 Bài 2.13: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô hàng lấy sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt có sản phẩm a) Tìm luật phân phối X b) Không dùng luật phân phối X, tính M(X), D(X) Lời giải Gọi X1, X2 ĐLNN số sp tốt có sản phẩm máy sản xuất; lấy từ lô hàng Khi X1, X2 độc lập ta có: - X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1, p1); n1 = 3; p1 = 0,9 Cuï thể ta có: P(X = 0) = C 3p0q = (0,1)3 = 0, 001; đó: p0 = P(X = 0)= P(X1 = 0)P(X2 = 0) = 1/120000; p1 = P(X = 1)= P(X1 = 0)P(X2 = 1) + P(X1 = 1)P(X2 = 0) = 1/2500; p2 = P(X = 2) = P(X1 = 0)P(X2 = 2) + P(X1 = 1)P(X2 = 1) + P(X1 = 2)P(X2 =0) = 291/40000 p3 = P(X = 3) = P(X1 = 0)P(X2 = 3) + P(X1 = 1)P(X2 = 2) + P(X1 = 2)P(X2 =1) + P(X1 = 3)P(X2=0) = 473/7500 p4 = P(X = 4) = P(X1 = 1)P(X2 = 3) + P(X1 = 2)P(X2 = 2) + P(X1 = 3)P(X2 = 1) = 10521/40000 p5 = P(X = 5) = P(X1 = 2) P(X2 = 3) + P(X1 = 3)P(X2 = 2) = 567/1250 p6 = P(X = 6) = P(X1 = 3)P(X2 = 3) = 1701/8000 Vaäy luật phân phối X là: P(X = 1) = C 3p1q = 3(0, 9)(0,1)2 = 0, 027; X P 1/120000 1/2500 291/40000 473/7500 10521/40000 576/1250 1701/8000 P(X = 2) = C p q = 3(0, 9) (0,1) = 0, 243; 2 P(X = 3) = C 3p 3q = (0, 9)3 = 0, 729 - X2 có phân phối siêu bội X2 ∼ H(N2, N2A, n2); N2 = 10; N2A = 7; n2 = (vì lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30%, nghóa lô hàng gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu) Cụ thể ta có: CC C = 1) = C C C = 2) = C C C = 3) = C C C = ; 120 = 21 ; 120 = 63 ; 120 P(X = 0) = 35 = 120 10 P(X 3 10 P(X 10 P(X 10 a) Ta coù X = X1 + X2 Luật phân phối X có dạng: - b) Vì X = X1 + X2 X1 , X2 độc lập nên ta có: Kỳ vọng X M(X) = M(X1) + M(X2) = n1p1 + n2 p2 = 4,8 (với p2 = N2A/N2) Phương sai X D(X) = D(X1) + D(X2) = n1p1q1 + n2 p2q2(N2-n2)/(N2-1)= 0,76 Baøi 2.14: Cho hai hộp I II, hộp có 10 bi; hộp I gồm bi đỏ, bi trắng hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp I hai bi bỏ sang hộp II, sau rút ngẫu nhiên từ hộp II ba bi a) Tính xác suất để bi trắng b) Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi trắng có ba bi rút từ hộp II Tìm luật phân phối X Xác định kỳ vọng phương sai X Lời giải Gọi X ĐLNN số bi trắng có bi rút từ hộp II Ai (i = 0, 1, 2) biến cố có i bi trắng (2-i) bi đỏ có bi lấy từ hộp I Khi A0, A1, A2 hệ biến cố đầy đủ, xung khắc đôi ta coù: X P p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 19 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 20 CC C P(A ) = C C C P(A ) = C C C P(A ) = 2 = 16 = ; 45 10 1 10 2 28 ; 45 2 = 10 45 Với k = 0, 1, 2, theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(X = k) = P(A0)P(X = k/A0) + P(A1)P(X = k/A1) + P(A2)P(X = k/A2) a) Xác suất để ba bi trắng laø: Maø P(X = 3) = P(A0)P(X = 3/A0) + P(A1)P(X = 3/A1) + P(A2)P(X = 3/A2) CC C P(X = / A ) = C C C P(X = / A ) = C C C P(X = / A ) = = ; 220 = 10 ; 220 = 20 220 12 12 6 12 neân P(X= 3) = 73/2475 b) Luật phân phối X có dạng: X P 28 C 4C 16 C5C7 C 6C + + = 179 / 825; 3 45 C 45 C 45 C p = P(X = 0) = 12 12 12 28 C 4C 16 C 5C7 C 6C + + = 223 / 450; p1 = P(X = 1) = 3 45 C12 45 C12 45 C12 1 2 28 C 4C 16 C5C7 C 6C + + = 1277 / 4950; 3 45 C12 45 C12 45 C12 p = P(X = 2) = 2 p3 = P(X= 3) = 73/2475 Suy luật phân phối X là: X P 179/825 223/450 1277/4950 73/2475 Từ suy kỳ vọng X M(X) = 1,1 phương sai X D(X) = 0,5829 Bài 2.15: Có ba lô sản phẩm, lô có 20 sản phẩm Lô thứ i có i+4 sản phẩm loại A (i = 1, 2, 3) a) Chọn ngẫu nhiên lô từ lô lấy sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm loại A b) Từ lô lấy sản phẩm Gọi X tổng số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy Tìm luật phân phối X tính Mod(X), M(X), D(X) Lời giải p0 p1 p2 p3 đó, tương tự ta có: a) Gọi C biến cố sản phẩm lấy có sản phẩm loại A Gọi A1, A2, A3 biến cố chọn lô I, II, III Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(C) = P(A1)P(C/A1) + P(A2)P(C/ A2)+ P(A3)P(C/A3) Theo Công thức xác suất lựa choïn: 21 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 22 CC C )=CC C )=CC C P(C / A1 ) = 15 = = 546 ; 1140 = 546 1140 20 P(C / A 2 14 20 P(C / A 13 2.16: Một người có chìa khóa bề giống nhau, có chìa mở cửa Người tìm cách mở cửa cách thử chìa mở cửa (tất nhiên, chìa không mở loại ra) Gọi X số chìa khóa người sử dụng Tìm luật phân phối X Hỏi người thường phải thử chìa mở cửa? Trung bình người phải thử chìa mở cửa? 525 ; 1140 20 Lời giải Ta thấy X ĐLNN rời rạc nhận giá trị: 1, 2, 3, Luật phân phối X có dạng: Suy P(C)= 0,4728 b) Luật phân phối X có dạng: X P p0 p1 p2 p3 Gọi Bj (j = 1, 2, 3) biến cố lấy sp loại A từ lô thứ j Khi B1, B2, B3 độc lập 15 ; P(B1 ) = ; 20 20 14 P(B2 ) = ; P(B2 ) = ; 20 20 13 P(B3 ) = ; P(B3 ) = 20 20 P(B1 ) = Ta coù − " X = " = B1B2B3 ⇒ P(X = 0) = P(B1 )P(B2 )p(B3 ) = 273 / 800 − " X = 1" = B1B2B3 + B1B2B3 + B1B2B3 ⇒ X P Vậy luật phân phối X X P P(X = 3) = P(A1 A A ) = P(A1 )P(A / A1 )P(A / A1 A ) = (3 / 5)(2 / 4)(2 / 3) = / P(X = 4) = P(A1 A A A ) = P(A1 )P(A / A )P(A / A A )P(A / A1 A A ) = (3 / 5)(2 / 4)(1 / 3)(2 / 2) = / 10 Vậy luật phân phối X là: X P 2/5 Từ luật phânphối X ta suy mode, kỳ vọng phương sai X : - Mode: Mod(X) = - Kỳ vọng: M(X) = 0,9 - Phương sai: D(X) = 0,625 23 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 3/10 1/5 1/10 Từ luật phân phối ta suy ra: - 273/800 71/160 151/800 21/800 p4 P(X=1) = P(A1) = 2/5 P(X = 2) = P(A1 A ) = P(A1 )P(A / A1 ) = (3 / 5)(2 / 4) = / 10; − " X = " = B1B2B3 + B1B2B3 + B1B2B3 ⇒ − " X = " = B1B2B3 ⇒ P(X = 3) = P(B1 )P(B2 )P(B3 ) = 21 / 800 p3 Goïi Aj (j = 1,2, 3, 4) biến cố chìa khóa chọn lần thứ j mở cửa Khi đó: P(X = 1) = P(B1 )P(B2 )P(B3 ) + P(B1 )P(B2 )P(B3 ) + P(B1 )P(B2 )P(B3 ) = 71 / 160 P(X = 2) = P(B1 )P(B2 )P(B3 ) + P(B1 )P(B2 )P(B3 ) + P(B1 )P(B2 )P(B3 ) = 151 / 800 p1 p2 Mode cuûa X Mod(X) = - Kỳ vọng X M(X) = ∑ xipi = Vậy người thường phải thử chià mở cửa Trung bình người phải thử chìa mở cửa Bài 2.17: Một người thợ săn có viên đạn Người săn với nguyên tắc: bắn trúng mục tiêu ngay, không săn Biết xác suất 24 trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn người sử dụng săn a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X X P p2 p3 p4 Goïi Aj (j = 1,2, 3, 4) biến cố viên đạn thứ j trúng đích Khi đó: Lời giải a) Ta thấy X ĐLNN rời rạc nhận giá trị: 1, 2, , Luật phân phối X có dạng: X P p1 p2 p3 p4 p5 Gọi Aj (j = 1,2, , 5) biến cố viên đạn thứ j trúng đích Khi đó: P(A j ) = 0, 8; P(A j ) = 0, P(A j ) = 0, 8; P(A j ) = 0, Ta coù: P(X = 2) = P(A1 A ) = P(A )P(A ) = 0, 8.0, = 0, 64; P(X = 3) = P(A1 A A + A1 A A ) = P(A1 A A ) + P(A1 A A ) = P(A1 )P(A )P(A ) + P(A1 )P(A )P(A ) = 0, 2.0, 8.0, + 0, 8.0, 2.0, = 0, 256 P(X = 4) = P(A1A A + A 1A A + A1 A A + A1 A A ) Ta coù: P(X=1) = P(A1) = 0,8 = P(A1 )P(A )P(A ) + P(A1 )P(A )P(A ) + P(A1 )P(A )P(A ) + P(A1 )P(A )P(A ) P(X = 3) = P(A1 A A ) = P(A1 )P(A )P(A ) = 0, 2.0, 2.0, = 0, 032; Vậy luật phân phối X là: = 0, 2.0, 2.0, + 0, 8.0, 2.0, + 0, 2.0, 8.0, + 0, 2.0, 2.0, = 0,104 P(X = 2) = P(A1 A ) = P(A1 )P(A ) = 0, 2.0, = 0,16; P(X = 4) = P(A1 A A A ) = P(A1 )P(A )P(A )P(A ) = 0, 2.0, 2.0, 2.0, = 0, 0064; P(X = 5) = P(A1 A A A ) = P(A1 )P(A )P(A )P(A ) = 0, 2.0, 2.0, 2.0, = 0, 0016 Vaäy luật phân phối X là: X P 0,8 0,16 b) Từ luật phân phối X ta suy ra: - Kỳ vọng X M(X) = 1,2496 - Phương sai X D(X) = 0,3089 0,032 0,0064 0,0016 X P 0,64 0,256 0,104 b) Từ luật phân phối X ta suy ra: - Kỳ vọng X M(X) = 2,464 - Phương sai X D(X) = 0,456704 Baøi 2.18: Một người thợ săn có viên đạn Người săn với nguyên tắc: bắn viên trúng mục tiêu ngay, không săn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn người sử dụng săn a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X Lời giải a) Ta thấy X ĐLNN rời rạc nhận giá trị: 2, 3, Luật phân phối X có daïng: 25 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 26 ... độc lập với a) Tính xácsuất để có linh kiện B bị hỏng b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động c) Giả sử máy có linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động Lời giải - A 1000 0,02%... Tính xác suất để chi? ??n só A thưởng b) Giả sử chi? ??n só A dự thi 10 lần Hỏi số lần thưởng tin bao nhiêu? c) Chi? ??n só A phải tham gia hội thi lần để xác suất có lần thưởng không nhỏ 98%? Lời giải. .. Kiểm tra 100 kiện (trong nhiều kiện) Tính xác suất để a) có 42 kiện nhận b) có từ 40 đến 45 kiện nhận c) có 42 kiện nhận Lời giải Trước hết ta tìm xác suất để kiện nhận Theo giả thiết, kiện chứa