Đang tải... (xem toàn văn)
Slide toán rời rạc Chương tô màu đồ thị đồ thị phẳng Hi vọng sẽ giúp ích cho mọi người Slide khá dễ hiểu. Xin không edit bản quyền tác giả Chân thành cảm ơn Made by VanAnh TheGioiTinHoc.Org Mình sẽ up sớm các bài slide khác cho các bạn nghiên cứu Share và like nếu bạn thích.
Nhóm 6 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Đỗ Văn Anh – KHMT3 1 2 TOÁN RỜI RẠC ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ Đỗ Văn Anh – KHMT3 3 ĐỒ THỊ PHẲNG Bài toán Tìm cách làm cho các con đường đi dẫn từ 3 ngôi nhà tới 3 cái giếng sao cho không có 2 con đường nào cắt nhau? Mô hình bài toán Đỉnh: các gia đình và giếng nước Cạnh: đường đi từ nhà đến các giếng Có thể vẽ đồ thị mà không có 2 cạnh nào cắt nhau? Đỗ Văn Anh – KHMT3 4 ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt phẳng mà không có các cạnh nào cắt nhau ở điểm không phải là điểm mút của mỗi cạnh. Hình vẽ như vậy được gọi là một biểu diễn phẳng của đồ thị. Đỗ Văn Anh – KHMT3 5 ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Ví dụ Đồ thị sau có phải là đồ thị phẳng không? Đỗ Văn Anh – KHMT3 6 ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Ví dụ Chứng minh K 3,3 không phẳng. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 1 v 2 v 4 v 5 R 2 R 1 R 21 v 3 R 1 R 22 v 5 v 4 v 2 v 1 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Đỗ Văn Anh – KHMT3 7 ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Công thức Euler Tất cả biểu diễn phẳng của cùng một đồ thị có số miền bằng nhau Định lý 1 Trong đơn đồ thị phẳng, liên thông thì r = e – v + 2 r: số miền e: số cạnh v: số đỉnh Đỗ Văn Anh – KHMT3 Đỗ Văn Anh – KHMT3 8 ĐỒ THỊ PHẲNG Công thức Euler Chứng minh Xây dựng dãy đồ thị con của G G1 ≡ e 1 G i = G i-1 ∪ e i (i = 2,3, …, e) G ≡ G e Quy nạp Định lý đúng với G 1 Giả sử G n phẳng thỏa r n = e n − v n + 2 Xét đồ thị phẳng G n+1 G n+1 = G n ∪ (a n+1 , b n+1 ) Đỗ Văn Anh – KHMT3 Đỗ Văn Anh – KHMT3 9 ĐỒ THỊ PHẲNG Công thức Euler Chứng minh Xét đồ thị phẳng G n+1 G n+1 = G n ∪ (a n+1 , b n+1 ) Nếu a n+1 , b n+1 đều thuộc G n a n+1 , b n+1 nằm trên miền biên của miền chung r n+1 = r n + 1 e n+1 = e n + 1 v n+1 = v n ⇒ r n+1 = e n+1 − v n+1 + 2. a n+1 b n+1 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Đỗ Văn Anh – KHMT3 10 ĐỒ THỊ PHẲNG Công thức Euler Chứng minh Xét đồ thị phẳng G n+1 G n+1 = G n ∪ (a n+1 , b n+1 ) Nếu b n+1 (hoặc a n+1 ) không thuộc G n Chỉ có a n+1 nằm trên miền biên của miền chung r n+1 = r n e n+1 = e n + 1 v n+1 = v n + 1 ⇒ r n+1 = e n+1 − v n+1 + 2. a n+1 b n+1 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Đỗ Văn Anh – KHMT3 [...]... kết quả chấp nhận được Bài toán tìm sắc số là một bài toán khó! 27 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Thuật toán Welch Powell Ví dụ 1: Tô màu cho đồ thị sau với số màu ít nhất có thể được v1 v6 v5 v2 v3 v4 G 28 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Thuật toán Welch Powell Ví dụ 2: Tô màu cho đồ thị sau với số màu ít nhất có thể được 29 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Thuật toán tô màu đồ thị đơn - Bước 1:Liệt kê... KHMT3 ĐỒ THỊ PHẲNG Định lý Kuratowski Đồ thị G là không phẳng khi và chỉ khi G chứa một đồ thị con đồng phôi với K3,3 hoặc K5 Ví dụ: Chứng minh các đồ thị sau không phẳng a a b d f h b c g c e d f e 16 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Bài toán Tô màu một bản đồ 2 miền có chung biên giới được tô bằng 2 màu tùy ý, miễn là khác nhau Xác định số màu tối thiểu cần có để tô màu một bản đồ sao... Định nghĩa Tô màu một đơn đồ thị là việc gán màu cho các đỉnh của nó sao cho hai đỉnh liền kề có màu khác nhau Sắc số (Chromatic number) Số màu tối thiểu cần thiết để tô màu G Ký hiệu: χ(G) 19 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Định nghĩa Ví dụ Tìm sắc số của đồ thị sau: Số màu cần tô: 4 v1v3v6v4 đôi một kề nhau v1 v2 ⇒χ(G) = 4 v3 v5 v4 v6 v7 20 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Định... Gán màu 1 cho v1,gán màu 1 cho các đỉnh không kề với v1 Gán tiếp màu 1 cho các đỉnh không kề với đỉnh đã được gắn màu 1 30 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Thuật toán tô màu đồ thị đơn Bước 3: Gán màu 2 như đã làm với màu 1 Tức là chọn đỉnh chưa gán màu có bậc lớn nhất gán màu 2 Gán màu 2 cho các đỉnh không kề với đỉnh màu 2 không gán được màu 2 nữa mà đồ thị còn đỉnh chưa có màu thì sang màu 3 Không gán được màu. .. Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Một số định lý về tô màu đồ thị Định lý 4 (Định lý 4 màu) Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 4 Định lý được chứng minh bởi Appel và Haken Đây là định lý đầu tiên được chứng minh với sự trợ giúp của máy tính Ta có thể chứng minh định lý yếu hơn: Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 5 25 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Thuật toán Welch Powell... màu 2 Giả sử gán G màu 2 Không thể gán tiếp màu 2 G D F E 33 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Bước 3 Đỉnh E có bậc 4 A B C G D D F Gán màu 3 cho E (xanh) B hoặc C có thể gán màu 3 Giả sử gán C màu 3 Không thể gán tiếp màu 3 E 34 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Thuật toán tô màu đồ thị đơn Bước 4: B A C G D D F Gán màu 4(vàng) cho B,F Vậy đồ thị đã được gán màu Số màu là 4 E 35 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Ứng dụng Hãy... nữa mà đồ thị còn đỉnh chưa có màu thì sang màu 4 - 31 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Thuật toán tô màu đồ thị đơn Bước 1 deg(D)=6; B A C D G Deg(E)=deg(A)=4 F Deg(C)=deg(B)=3 Deg(G)=deg(F)=3 E Bước 2: Gán màu 1(xám) cho đỉnh D Không thể gán tiếp màu 1 32 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Thuật toán tô màu đồ thị đơn Bước 2 Gán màu 2 cho đỉnh A (hoặc E) A B C Giả sử chọn màu 2( đỏ) gán cho đỉnh A F hoặc G có thể gán màu 2 Giả... kề nhau có màu khác nhau 17 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Bài toán Tô màu một bản đồ Mô hình hóa bài toán Đỉnh: các miền có trên bản đồ Cạnh: nối hai đỉnh nếu các miền được biểu diễn bằng hai đỉnh này có biên giới chung Yêu cầu: Gắn các màu cho các đỉnh của đồ thị sao cho không tồn tại 2 đỉnh kề nhau có cùng một màu B A E D C G F B A C E D G F 18 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Định... Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Một số định lý về tô màu đồ thị Định lý 2 Nếu G có chứa một đồ thị con đẳng cấu với Kn thì χ(G) ≥ n A Ví dụ: Tìm sắc số của đồ thị sau E B F Chú ý Nếu G’ ⊂ G thì χ(G) ≥ χ(G’) D C 23 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Một số định lý về tô màu đồ thị Định lý 3 Một đơn đồ thị G = (V, E) có thể tô bằng 2 màu khi và chỉ khi nó không có chu trình độ dài lẻ Chứng... Dùng một màu để tô đỉnh đầu tiên và cũng dùng màu này để tô màu các đỉnh liên tiếp trong danh sách mà không kề với đỉnh đầu tiên Bắt đầu trở lại đầu danh sách, tô màu thứ hai cho đỉnh chưa được tô và lập lại quá trình trên cho đến khi tất cả các đỉnh đều được tô màu 26 Đỗ Văn Anh – KHMT3 Tô màu đồ thị Thuật toán Welch Powell Chú ý Kết quả của thuật toán có thể không là sắc số Thuật toán chỉ . một biểu diễn phẳng của đồ thị. Đỗ Văn Anh – KHMT3 5 ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Ví dụ Đồ thị sau có phải là đồ thị phẳng không? Đỗ Văn Anh – KHMT3 6 ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Ví dụ Chứng. giếng Có thể vẽ đồ thị mà không có 2 cạnh nào cắt nhau? Đỗ Văn Anh – KHMT3 4 ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị phẳng Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt phẳng mà không có. các đồ thị sau không phẳng. a b c d e f a b c d e f g h Đỗ Văn Anh – KHMT3 Đỗ Văn Anh – KHMT3 17 Tô màu đồ thị Bài toán Tô màu một bản đồ 2 miền có chung biên giới được tô bằng 2 màu