Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương trình dạy toán nói chung của trung học cơ sở, có rất nhiều vấn đề mà người dạy chúng ta cần quan tâm, đánh giá và suy nghĩ để từ đó tư duy tổng hợp, tiến hành thực hiện áp dụng việc đổi mới giúp cho việc giảng dạy của thầy hiệu quả hơn, việc tiếp thu của trò dễ dàng hơn và học trò hứng thú với việc học tập ở trường. Qua nghiên cứu chương trình giảng dạy tôi nhận thấy trong phân môn Đại số lớp 9 phần bài tập liên quan đến căn thức và các phép biến đổi của căn thức đặc biệt là các dạng toán về phương trình và bất phương trình chứa căn thức đối với học sinh khi thực hiện rất khó khăn, trong một số đề thi học sinh giỏi các cấp thì dạng toán liên quan đến giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức là những bài toán hay và khó.
Sở giáo dục & đào tạo Hải Dơng Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phơng trình - bất ph ơng trình chứa thức ph ơng pháp giải Môn : Toán Khối : Năm học 2007 - 2008 Phòng giáo dục & đào tạo miện Phần ghi số phách Phòng GD & ĐT Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phơng trình - bất ph ơng trình chứa thức phơng pháp giải Môn : Toán Khối : bùi văn uý Ngời thực hiện: đánh giá tổ chuyên môn (Nhận xét, đánh giá xếp loại) đánh giá hội đồng nhà trờng (Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký ®ãng dÊu) Phần ghi số phách Phòng GD & ĐT Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phơng trình - bất ph ơng trình chứa thức phơng pháp giải Môn : Toán Khối : đánh giá, xếp loại Phòng giáo dục đào tạo (Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký đóng dÊu) tác giả : Đơn vị công tác : A đặt vấn đề Trong chơng trình dạy toán nói chung trung học sở, có nhiều vấn đề mà ngời dạy cần quan tâm, đánh giá suy nghĩ để từ t tổng hợp, tiến hành thực áp dụng việc đổi giúp cho việc giảng dạy thầy hiệu hơn, việc tiếp thu trò dễ dàng học trò hứng thú với việc học tập trờng Qua nghiên cứu chơng trình giảng dạy nhận thấy phân môn Đại số lớp phần tập liên quan đến thức phép biến đổi thức đặc biệt dạng toán phơng trình bất phơng trình chứa thức học sinh thực khó khăn, số đề thi học sinh giỏi cấp dạng toán liên quan đến giải phơng trình bất phơng trình chứa thức toán hay khó Trong năm gần đây, việc đổi phơng pháp dạy học yêu cầu bắt buộc tất môn học, cụ thể phải áp dụng linh hoạt phơng pháp ®Ĩ t¹o cho häc sinh häc tËp cã hƯ thèng, tự giác việc nghiên cứu lý thuyết nh tìm tòi lời giải, phát triển tính sáng tạo học sinh việc vận dụng kiến thức đà học để khám phá lời giải tập, thống kê đa chúng số dạng sở thực việc giải toán cách dễ dàng Qua trình giảng dạy đối tợng học sinh, đà thực việc tổng hợp số dạng toán phơng trình - bất phơng trình chứa thức phơng pháp giải, bớc đầu đà đạt đợc kết định Tôi mạnh dạn tổng hợp viết sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phơng trình bất phơng trình phơng pháp giải khuôn khổ chơng trình toán trung học sở nhằm mong muốn đợc đồng nghiệp tham khảo cho ý kiến B giảI vấn đề Một điều cần lu ý phơng trình bất phơng trình chứa tính không thuận nghịch phép toán Nhìn chung dạng phơng trình bất phơng trình phơng trình, bất phơng trình đa phơng trình bất phơng trình đại số bậc nguyên Vì cần lu ý ®Õn ®iỊu kiƯn cã nghÜa cđa biĨu thøc VÝ dơ 1: A(x) = (1 + x )2 + (1 - x )2 B(x) = + 2x A(x) = B(x) chØ ®óng x > VÝ dơ 2: Xét phơng trình A(x) = B(x) (1) ®iỊu kiƯn ®èi víi B(x) lµ quan träng NÕu cha biết thông tin B(x) viết: (1) ⇔ A(x) = B(x) B(x) ≥ VÝ dụ 3: Giải phơng trình x = x Phơng trình có nghiệm x = (2) Nếu dựa vào phép tính biến đổi ta sÏ thÊy: (2) ⇔ x - = (1 - x)2 x = ⇔ x = Do vậy, trờng hợp, cần phải xem xét điều kiện có nghĩa phơng trình cách chi tiết, sau tiến hành phép biến đổi tơng đơng Quy tắc giản ớc: Khác với biểu thức đại số bậc nguyên thừa số khác không, ta giản ớc đặt thừa số chung Đối với biểu thức chứa căn, cần ®Ỉc biƯt lu ý tíi ®iỊu kiƯn cã nghÜa ( x − 1)) x + ( x − 2) x = x( x + 3) Bài toán 1: Giải phơng trình: Giải: Điều kiện có nghĩa: (x - 1)x x≥2 (x - 2)x ≥ ⇔ x=0 x(x + 3) ≥ x ≤ -3 1) x = lµ mét nghiƯm 2) XÐt x ≥ giản ớc hai vế phơng trình cho x x −1 + x − = x + ⇔ 2x - + ( x − 1)( x − 2) = x + ⇔ ( x − 1)( x − 2) = - x 6-x ≥ x≤6 ⇔ ⇔ (x2 - 3x + 2) = 36 - 12x + x2 Kết hợp với điều kiện x ta ®ỵc nghiƯm x = ⇔x = ± 28 3x2 = 28 28 3) XÐt x ≤ - viết phơng trình đà cho dới dạng: (1 − x )(− x) + (2 − x)(− x) = (− x)(− x − 3) Gi¶n íc vÕ cho − x 1− x + − x = − x Trờng hợp phơng trình vô nghiệm vế trái lớn vế phải Tóm lại: phơng trình đà cho có hai nghiệm x = x = 28 Quy tắc thay giá trị: Sử dụng đẳng thức: (u + v) = u3 + v3 + 3uv (u +v) Tõ biÓu thøc u + v = a dƠ dµng suy ra: u3 + v3 + 3uva = a3 Tuy nhiªn, phÐp thÕ giá trị u + v = a vào biểu thức lập phơng dẫn đến phép bình phơng phép biến đổi không phép biến đổi tơng đơng Bài toán 2: Giải bất phơng trình: x + 3 − x ≥ m (1) Gi¶i: (1) ⇔ 3 − x ≥ m - x ⇔ - x ≥ m3 - 3m2 x + 3m x - x ⇔ 3m x - 3m2 x + m3 - ≤ 1) m = 0, ∀ x lµ nghiƯm 2) m ≠ xÐt tam thøc bËc hai: f(t) = 3mt2 - 3m2t + m3 - 3, víi t = x = 9m4 - 12m(m3 - 3) = - 3m4 + 36m = - 3m(m3 - 12) m 12 -0 + a) NÕu m < th× < => f(t) ≤ 0, ∀t VËy ∀x lµ nghiƯm b) NÕu < m ≤ 12 th× f(t) ≤ => 3m − ∆ ≤ ≤ 3m + ∆ t 6m 6m Từ ta đợc 3m ∆ 3m − ∆ ≤x ≤ 6m 6m c) m > 12 th× ∆ < => f(t) > ∀t , bất phơng trình vô nghiệm Bài toán 3: Giải phơng trình: + x + x + − x − x = Giải: Lập phơng hai vế ta đợc: + 3 + x + x2 − x − x2 (3 + x + x2 + − x − x2 ) = VËy phơng trình tơng đơng với: + x + x2 + − x − x2 = 3 + x + x2 − x − x2 = V× + x + x > nªn suy ra: x = − x − x = => x = −2 Hai giá trị thoả mÃn phơng trình đà cho Phép hữu tỉ hoá: Một phơng pháp để giải phơng trình bất phơng trình chứa chuyển toán đà cho dạng hữu tỷ (bậc nguyên) cách đặt ẩn phụ Bài toán 4: Giải phơng trình: x + = (a x - x + )x Gi¶i: §iỊu kiƯn x ≥ NhËn xÐt: ∀a , x = không nghiệm phơng trình Chia vế phơng trình cho x x , ta ®ỵc: x + 1 x = a (1) phơng trình vô nghiÖm + NÕu a x +1 ⇔ x= = a5 x a5 Bài toán 5: Giải phơng trình: x + x = + XÐt a > ®ã (1) Giải: Điều kiện x 5; Đặt (1) 2 ≤ ,y ≤ x −1 = y + 2 Khi ®ã: x = (y + ) + 1, 5− x = 4 − (y + ) Thay vào (1) ta đợc phơng trình: 2 4 = ⇔ (y+ ) + (y ) =4 ) +y+ 2 2 2 2 2 ⇔ (y + ) - (y ) + 2(y2 - ) = ⇔ 2y4 + 6y2 - = => y = ± 2 2 2 Vậy phơng trình có nghiệm x1 = ( + ) + = 2 2 x2= (- + ) + = 2 Bài toán 6: Giải bất phơng trình: 2( − x − x ) ≥ − x + x Giải: Điều kiện x 4 (y + Viết bất phơng trình ®· cho díi d¹ng: ( − x + x )2 + ( − x - x )2 ≥ − x + x Đặt x + x = y 1− x ≥ - x Do Nªn: y ≥ suy y2 ≥ y x ≥ x Do vËy ( − x + x )2 ≥ − x + x Vậy (1) luôn Suy nghiệm đoạn [ 0;1] Phép chuyển hệ: (hữu tỉ hoá gián tiếp) (1) Nhìn chung, phơng trình bất phơng trình chứa thức chuyển đợc hệ hữu tỉ Tuy nhiên, cho thấy tính u việt hệ nhận đợc Thông thờng, phép toán chuyển hệ có hiệu phép toán có sử dụng đẳng thức quen biết 2x Bài toán 7: Giải phơng trình + 2x x x = u ; Giải: Điều kiện: -5 < x < 5; Đặt Khi ta ®ỵc hƯ: u2 + v2 = 10 - + = 5+ x + x = v ; < u , v < (*) 4 - + 2(u + v) = u v (u + v)2 = 10 + 2uv (u + v)(1 - )= uv 2 = t ⇔ uv = , t > uv t Ta đợc hệ: (u + v)2 = 10 + t 16 (u + v)2 = 9(1 − t ) 2 uv = t Đặt tiếp 16 Vậy t phải thoả mÃn phơng trình 9(1 t ) = 10 + t 2 ⇔ ⇔ 8t = 45t(1 - t) + 18(1 - t) 45t - 72t + t + 18 = 2 ⇔ 15 (3t - 2t ) - 14 (3t - 2t) - 9(3t - 2) = ⇔ (3t - 2) (15t2 - 14t - 9) = t= => uv = 3 t= + 46 15 ⇔ => uv = 30 + 46 = a1 VËy u,v lµ nghiƯm cđa mét hai hÖ sau: (u + v)2 = 10 + 2uv = 16 u = ; v1 = (1) => (u - v) = 10 - 2uv = u = ; v2 = ( 10 + 2a1 + 10 − 2a1 ) v3 = ( 10 + 2a1 − 10 − 2a1 ) u3 = (u + v)2 = 10 + 2a1 (2) => ( 10 + 2a1 − 10 − 2a1 ) v4 = ( 10 + 2a1 + 10 − 2a1 ) (u - v)2 = 10 - 2a1 u4 = Các nghiệm thoả mÃn điều kiện (*) Suy nghiệm phơng trình là: x = - u k2 , k = 1,2,3,4 Bài toán 8: Giải phơng trình: x2 - 2x = 2 x Giải: Điều kiện x Đặt x − = α y + β Chän α , β ®Ĩ hƯ : x2 - 2x = ( α y + β ) ( α y + β )2 = 2x - Lµ hƯ ®èi xøng: LÊy α = 1, β = -1 Ta ®ỵc hƯ: x2 - 2x = 2(y - 1) ( x ≥ , y ≥ 1) y - 2y = 2(x - 1) 2 ⇔ x - 2x = 2(y - 1) (x2 - 2x) - (y2 - 2y) = 2(y - 1) - 2(x - 1) x - 2x = 2(y - 1) y=x x2 - 2x = 2(x - 1) ⇔ x2 - y2 = y=-x x2 - 2x = 2(- x - 1) y=x ⇔ (*) ⇔ x=y=2 x - 4x + = y = -x ( v« nghiệm) x2 = -2 Đối chiếu với điều kiện hệ (*) ta đợc nghiệm phơng trình : x=2+ 2 Bài toán 9: Giải phơng trình: x + x = Giải: Điều kiện x Đặt x = u 0≤u≤ x =v u+v= 0≤v≤ 2; u=( 2 - v) đợc hÖ u2 + v4 = (1) ( - v)2 + v4 = =2 ⇔ (v4 + 2v2 + 1) - (v2 + v + ) = 2 ⇔ (v2 + 1)2 - (v + ) =0 1 ⇔ (v2 + v + + )(v2 - v + )=0 2 Giải phơng trình (1): v4 + v2 - v + Vế trái luôn dơng, phơng trình đà cho vô nghiệm Phân tích thành nhân tử: (phép đặt ẩn phụ không toàn phần) Một nội dung khó loại phơng trình bất phơng trình chứa xác định tiêu chuẩn để biểu thức chứa phân tích đợc thành nhân tử Tuy nhiên, dựa vào đặc thù riêng bài, có thĨ xem mét bé phËn thÝch hỵp cđa biĨu thøc đà cho nh biến số độc lập phân tích chúng theo biến phụ Bài toán 10: Giải phơng trình: + x - = 3x + − x + − x (1) Ph©n tÝch: Coi − x = t nh biến độc lập Khi viết (1) dới dạng: + x - = 3(1 - t2 ) + 2t + t + x ⇔ 3t2 - (2 + + x ) t + 4( + x - 1) = (2) Còng nh vËy, nÕu coi + x = t lµ Èn phơ có phơng trình tơng tự Tuy nhiên, may mắn để giải đợc phơng trình (2) theo tam thức bậc hai t xảy Đó điểm nút quan trọng phơng pháp đặt ẩn số phụ không toàn phần: Thông thờng, trớc giải, ta cần xét biểu diễn số hạng 3x dới dạng tổ hợp sè: ( − x )2 ; ( + x )2 ; 3x = α (1 - x) + β (1+ x) + γ Vµ chän α , β , thích hợp để tam thức theo biến t có biệt thức = Giải: Điều kiện -1 x (1) Đặt x = t 3x = - (1 - x) + (1 + x) - = - t2 + 2(x + 1) - Khi phơng trình (1) có dạng + x - = - t2 + 2(x + 1) - + 2t + t + x ⇔ t2 - (2 + + x )t + + x - 2(1 + x) = (3) ∆ = (2 - + x )2 Suy (3) ⇔ (t - + x ) (t - + + x ) = t = 1+ x ⇔ 1− x = 1+ x ⇔ x=⇔ t = - 1+ x x=0 1− x = - 1+ x Cả hai giá trị thoả mÃn điều kiện (1) Vậy phơng trình có hai nghiệm x = x=- Phép giải biện luận: Việc giải phơng trình bất phơng trình chứa thức có tham số thờng đợc tiến hành theo đặc thù cụ thể để tìm cách giải tối u Để có cách hệ thống bớc, ta xếp việc biện luận theo trình tự dới đây: Bài toán 11: Giải biện luận bất phơng trình (1) x2 x m Phân tích: Các điểm đặc biệt: x = 1, x = m -1 m Tõ ®ã, suy phÐp biƯn ln theo sù ph©n bè cđa m 10 x≥1 x ≤ -1 1) m = (1) ⇔ x −1 ≥ x - a) x - ≤ => x ≤ Suy x ≤ - lµ nghiƯm b) x - => x Bất phơng trình (1) ⇔ x2 - ≥ x2 - 2x + ⇔ x ≥ VËy x ≥ Lµ nghiƯm x ≤ -1 2) m = -1 (1) ⇔ x − ≥ x + (2) a) x ≤ - lµ nghiƯm b) XÐt x > - Bất phơng trình (2) x2 - x2 +2x +1 ⇔ x ≤ -1 (lo¹i) VËy x ≤ -1 lµ nghiƯm 3) m < -1 a) x < m lµ nghiƯm b) XÐt x ≥ m bất phơng trình (1) x2 -1 x2 - 2mx + m2 Giải: Điều kiện 2mx m2 + ⇔ x ≤ m +1 VËy x ≤ 2m m2 +1 2m m2 +1 => m ≤ x ≤ 2m lµ nghiƯm 4) -1 < m < a) x ≤ -1 lµ nghiƯm b) XÐt x Bất phơng trình (1) x2 -1 ≥ x2 -2mx + m2 ⇔ 2mx ≥ m2 + (*) + -1 < m ≤ th× ( * ) v« nghiƯm m2 +1 + < m < ( * ) x thoả m·n ®iỊu kiƯn x ≥ VËy x ≤ -1 2m m2 +1 x≥ lµ nghiƯm 2m 5) m > a) x ≤ -1 lµ nghiƯm b) XÐt x m m2 +1 Bất phơng trình (1) x không thoả mÃn điều kiện x m 2m Vậy x -1 nghiệm Bài toán 12: Giải biện luận bất phơng trình sau: ( x − m)( x + m − 2) ≥ 2x - m - (1) Gi¶i: (1) ⇔ ( x − 1) − (m − 1) ≥ 2(x - 1) - (m - 1) Điều kiện để thức cã nghÜa: x ≥ + m −1 x ≤ - m −1 1) XÐt 2(x - 1) - (m - 1) ≤ ⇔ x ≤ + x ≤ - m −1 (1') (2) m −1 kết hợp với (2) (1) có nghiệm: 11 2) XÐt 2(x - 1) - ( m - 1) > ⇔ x > + m −1 kÕt hợp với (2) ta đợc x > m = vµ x ≥ + m − m ≠ ®ã : (1) ⇔ (x - 1)2 - (m - 1)2 ≥ 4(x - 1)2 - 4(m - 1) (x - 1) + (m - 1)2 ⇔ 3(x - 1)2 - 4(m - 1) (x - 1) + 2(m - 1)2 ≤ ⇔ (x - 1)2 + (x - 1) - (m - 1) ≤ x=1 m=1 ⇔ ⇔ Trêng hợp vô nghiệm x-m=0 x=1 Kết luận: m bất phơng trình có nghiệm x - m Bài toán 13: Giải biện luận phơng trình: x2 + m = x m Giải: Điều kiện: x m Đặt x m = y x = y2 + m ta đợc hệ y0 x2 + m = y x = y2 + m x ≥ m; y ≥ ⇔ y=x x2 - x + m = x ≥ m; y ≥ ⇔ y = -1 - x x2 + x + m + = x ≥ m; y ≥ 1) Gi¶i hƯ (1) x2 + m = y (x - y)(x + y + 1) = x ≥ m; y ≥ (1) (2) a) NÕu m < th× (1) cã nghiƯm x = y = + − 4m b) NÕu m điều kiện để (1) có nghiệm ∆ = - 4m ≥ ⇔ ≤ m ≤ + − 4m ®ã x - m = x2 ≥ => x ≥ m vµ hƯ (1) cã nghiƯm x = y = 2) Gi¶i hƯ (2) a) m + > m > -1 không xảy b) Nếu m + ≤ th× (2) x>m y = -1 - x > − − − − 4m Ví dụ 2: Xét phơng trình A(x) = B(x) (1 ) điều kiện B(x) quan trọng Nếu cha biết thông tin B(x) kh«ng thĨ viÕt: (1 ) ⇔ A(x) = B(x) B(x)... ý phơng trình bất phơng trình chứa tính không thuận nghịch phép toán Nhìn chung dạng phơng trình bất phơng trình phơng trình, bất phơng trình đa phơng trình bất phơng trình đại số bậc nguyên... kê đa chúng số dạng sở thực việc giải toán cách dễ dàng Qua trình giảng dạy đối tợng học sinh, đà thực việc tổng hợp số dạng toán phơng trình - bất phơng trình chứa thức phơng pháp giải, bớc đầu