Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 1: Phương trình và bất phương trìnhBài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAII. Cách giải1) Phương trình bậc nhất:ax + b = 0, a,b IR.•Nếu a 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = b .a•Nếu a = 0, b 0 thì phương trình vô nghiệm.•Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm ñúng với mọi x IR.2) Phương trình bậc hai:ax2 + bx + c = 0, a 0.•Nếu = b2 – 4ac < 0 phương trình vô nghiệm.
Tự ôn luyện thi đại học môn Toán T Ự Ô N L UY Ệ N TH I M Ô N T O Á N 1 2 Tự ôn luyện thi đại học môn Toán Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán Ch ư ơ ng 1: Ph ư ơ ng t rì nh và b ấ t ph ư ơ ng t rì nh B ài 1 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I. Cách gi ả i 1) P h ư ơ ng t r ình b ậ c nh ấ t: ax + b = 0, a,b ∈ IR. • Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - b . a • Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm ñúng với mọi x ∈ IR. 2) P h ư ơ ng t r ình b ậ c ha i : ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0. • Nếu ∆ = b 2 – 4ac < 0 phương trình vô nghiệm. b • Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = - . 2a − b ± ∆ • Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt II. ð ịnh lí Viét và hệ qu ả về d ấ u các nghiệm x 1, 2 = . 2 a 1) ð ị nh lí Vié t : N ế u ph ươ ng t r ì nh a x 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 c ó h ai ngh iệ m x , x t h ì b S = x 1 + x 2 = - a c v à P = x 1 .x 2 = . a 2) Hệ qu ả : Ph ươ ng t r ì nh b ậc h ai a x 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 c ó h ai ngh iệ m : ∆ ≥ 0 Tr ái d ấ u ⇔ c < 0 a C ùng d ấ u ⇔ c a > 0 ∆ ≥ 0 Cùng dương ⇔ c > 0 a ∆ ≥ 0 Cùng âm ⇔ c > 0 a − b > 0 a − b < 0 a III. ð ịnh lí về d ấ u c ủ a tam th ứ c b ậ c hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 ta có 1. ð ị nh l í thu ậ n: • Nếu ∆ = b 2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x. • Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ - b . 2a • Nếu ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2 và a.f(x) > 0 với x ngoài [x 1 ; x 2 ] . a.f(x) < 0 với x 1 < x < x 2 . 2. ð ị nh l í ñ ả o: Nếu tồn tại số α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt và số α nằm trong khoảng hai nghiệm ñó: x 1 < α < x 2 . Tự ôn luyện thi đại học môn Toán 1 1. ð iề u k iệ n ñể f(x ) = ax 2 + bx + c k hông ñổi d ấ u v ớ i m ọi x a = b = 0 c > 0 a = b = 0 c ≥ 0 f(x) > 0 với ∀ x ⇔ a > 0 ∆ < 0 f(x) ≥ 0 với ∀ x ⇔ a > 0 ∆ ≤ 0 a = b = 0 f(x) < 0 với ∀ x ⇔ c < 0 a < 0 ∆ < 0 a = b = 0 f(x) ≤ 0 với ∀ x ⇔ c ≤ 0 a < 0 ∆ ≤ 0 2. So s ánh ngh i ệ m tam th ứ c b ậ c hai v ớ i s ố t h ự c α • ð iều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và x 1 < α < x 2 là: a.f( α ) < 0. • ð iều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và α nằm ngoài khoảng hai ∆ > 0 nghiệm: a.f ( α ) > 0 ∆ > 0 - Nếu α nằm bên phải hai nghiệm: x 1 < x 2 < α ⇒ a.f ( α ) > 0 S b = − < a 2 2a - Nếu α nằm bên trái hai nghiệm: α < x 1 < x 2 ∆ > 0 ⇒ a.f ( α ) > 0 S b = − > a 2 2a • ð iều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm nằm trong, một nghiệm nằm ngoài ñoạn [ α; β ] là: f( α ).f( β ) < 0. 3. ð i ề u k i ệ n ñ ể f ( x ) c ó ng h i ệ m th ỏ a m ãn x > α : • Trường hợp 1: f(x) có nghiệm x 1 < α < x 2 ⇔ a.f( α ) < 0. ∆ ≥ 0 • Trường hợp 2: f(x) có nghiệm α < x 1 < x 2 ⇔ a.f ( α ) > 0 S α < 2 f ( α ) = 0 • Trường hợp 3: f(x) có nghiệm α = x 1 < x 2 ⇔ S α < 2 ( Làm tương tự với trường hợp x < α và khi xảy ra dấu bằng) Ngoài ra ta chú ý thêm ñịnh lí sau: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục. Khi ñó ñiều kiện ñể phương trình f(x) = m có nghiệm là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x). 2 1 Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán B ả ng tóm t ắ t ñ ịnh lý thu ậ n về d ấ u c ủ a tam th ứ c b ậ c hai Nếu ∆ < 0 N ế u ∆ = 0 N ế u ∆ > 0 a.f(x) > 0 v ới ∀ x a.f(x) > 0 v ới ∀ x ≠ - b a.f(x) > 0 v ới x ngoà i [x 1 ; x 2 ] 2a a.f(x) < 0 v ới x 1 < x < x 2 B ả ng tóm t ắ t so sánh nghiệm tam th ứ c b ậ c hai v ớ i số th ự c α ð iề u k iệ n ñể f (x) = ax 2 + bx + c có ha i ngh iệ m phân b iệt và α n ằ m g iữ a kho ả ng ha i ngh iệ m x 1 < α < x 2 α n ằ m ngoà i kho ả ng ha i ngh iệ m ∆ > 0 a.f ( α ) > 0 a.f( α ) < 0 x 1 < x 2 < α x 1 < x 2 < α ∆ > 0 a.f ( α ) > 0 ∆ > 0 a.f ( α ) > 0 S b = − < a 2 2a S b = − > a 2 2a Ví d ụ 1 . T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh x 2 − 2(m + 4)x + m 2 + 8 = 0 có 2 ngh iệ m d ươ ng. Ví d ụ 2 . Xác ñị nh a ñể b iể u t h ứ c (a + 1)x 2 − 2(a − 1)x + 3a − 3 l uôn d ươ ng Ví d ụ 3 . T ì m m ñể b ất ph ươ ng t r ì nh x 2 + x − 2 ≥ m ngh iệ m ñ úng v ới m ọi x. Ví d ụ 4 . T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh x 2 + mx + 2m = 0 có ha i ngh iệ m x 1 , x 2 t h ỏ a mãn -1< x 1 < x 2 Ví d ụ 5 . T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh x 2 − 2mx + 2m 2 − 1 = 0 có ngh iệ m t h ỏ a mãn − 2 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ 4 Ví d ụ 6 . Cho ph ươ ng t r ì nh x 2 + (m + 2)x + 3m − 2 =0 T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh có ha i ngh iệ m phân b iệt nh ỏ h ơ n 2 Ví d ụ 7 . T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có ngh iệ m lớ n h ơ n 1 Ví d ụ 8. T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh x 2 − 6mx + 9m 2 − 2m + 2 = 0 có ngh iệ m x ≤ x 2 ≤ 3 Nguyễn ð ức Tuấn lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 3 Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán B ài 2 : PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ð ỐI I. Ph ư ơ ng trình trùng ph ư ơ ng ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0 (1) ð ặt t = x 2 ≥ 0 ph ươ ng t r ì nh (1) t r ở t hành : a t 2 + b t + c = 0 (2) • PT (1) có ngh iệ m kh i và ch ỉ kh i (2) có ít nh ất m ột ngh iệ m không âm. • PT (1) có ñ úng ha i ngh iệ m phân b iệt kh i và ch ỉ kh i (2) có ñ úng m ột ngh iệ m d ươ ng. • PT (1) có ñ úng 3 ngh iệ m phân b iệt kh i và ch ỉ kh i (2) có m ột ngh iệ m b ằ ng 0 và m ột ngh iệ m d ươ ng. • PT (1) có ñ úng 4 ngh iệ m phân b iệt kh i và ch ỉ kh i (2) có ha i ngh iệ m d ươ ng phân b iệt . Ví d ụ 1 . Cho ph ươ ng t r ì nh : x 4 + (1-2m)x 2 + m 2 – 1 = 0. a)T ì m các g i á t r ị c ủ a m ñể ph ươ ng t r ì nh vô ngh iệ m. b)T ì m các g i á t r ị c ủ a m ñể ph ươ ng t rr ì nh có 4 ngh iệ m phân b iệt . Ví d ụ 2. T ì m m sao cho ñồ t h ị hàm s ố y = x 4 -2(m+4)x 2 + m 2 + 8 c ắt t r ụ c hoành lầ n lượt tại 4 ñiể m phân b iệt A, B, C, D v ới AB = BC = CD. II. Ph ư ơ ng trình ch ứ a giá trị tuyệt ñ ối 1) C ác d ạ ng c ơ b ả n: b ≥ 0 | a | = b ⇔ a = ± b b ≥ 0 | a | = | b | ⇔ a = ±b b < 0 | a | ≤ b ⇔ 2 2 | a | ≥ b ⇔ b ≥ 0 a ≤ b a 2 ≥ b 2 | a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b 2 Ví d ụ 1. Giải phương trình | x 2 – 3x + 2 | - 2x = 1. Ví d ụ 2. Giải bất phương trình x 2 - | 4x – 5 | < 0. Ví d ụ 3. Giải và biện luận phương trình | 2x – m | = x. Ví d ụ 4. Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3. Ví d ụ 5. Giải và biện luận bất phương trình | 3x 2 -3x – m | ≤ | x 2 – 4x + m |. 2)P h ươ ng pháp ñồ t h ị : a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | khi ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x). - Chia ñồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần ñồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành (2). - Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị (3). vẽ. - ð ồ thị hàm số y = | f(x) | là ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) và phần ñồ thị (3) vừa b) ð ịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao ñiểm của ñường thẳng nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng chúng về một vế của phương trình rồi vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) và ñường thẳng y = h(m) rồi áp dụng ñịnh lí trên ñể biện luận. Ví d ụ 6. Tìm m ñể phương trình | x 2 – 1 | = m 4 – m 2 +1 có 4 nghiệm phân biệt. Ví d ụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. Nguyễn ð ức Tuấn lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 4 Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán B ài 3 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I.Các d ạ ng c ơ b ả n Dạng 1: 2 n + 1 f (x) = ϕ(x) , n ∈ N * ⇔ f(x) = [ ϕ(x) ] 2n+1 ϕ (x) ≥ 0 Dạng 2: Dạng 3: 2 n f (x) = ϕ(x) , n ∈ N * ⇔ f (x) ≥ 0 f (x) = [ ϕ (x)] 2 n f (x) ≥ 0 f (x) < ϕ (x) ⇔ ϕ (x) > 0 , 2 f (x) ≤ ϕ (x) ⇔ ϕ (x) ≥ 0 2 Dạng 4: f (x) < [ ϕ (x)] f (x) ≥ 0 f (x) > ϕ (x) ⇔ ϕ (x) < 0 , ϕ (x) ≥ 0 f (x) > [ ϕ (x)] 2 f (x) ≤ [ ϕ (x)] f (x) < 0 f (x) ≥ ϕ (x) ⇔ ϕ (x) ≥ 0 ϕ (x) ≥ 0 f (x) ≥ [ ϕ (x)] 2 Ví d ụ 1. Giải phương trình Ví d ụ 2. Giải bất phương trình Ví d ụ 3. Giải bất phương trình x 2 − 2x + 3 = 2x + 1 x 2 − x −12 < x 2x 2 + 5x − 6 > 2 − x Ví d ụ 4. Tìm m ñể phương trình có nghiệm x − m = 2x 2 + mx − 3 II. Các ph ư ơ ng pháp gi ả i ph ư ơ ng trình, b ấ t ph ư ơ ng trình vô tỷ không c ơ b ả n 1) P h ư ơ ng pháp l ũ y th ừ a hai v ế : - ð ặt ñiều kiện trước khi biến ñổi - Chỉ ñược bình phương hai vế của một phương trình ñể ñược phương trình tương ñương (hay bình phương hai vế của một bất phương trình và giữ nguyên chiều) nếu hai vế của chúng không âm. - Chú ý các phép biến ñổi căn thức A 2 = A . Ví d ụ 5. Giải phương trình x + 1 = 3 − x + 4 Ví d ụ 6. Giải bất phương trình x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x Ví d ụ 7. Giải bất phương trình 3 x − 5x + 5 > 1 Ví d ụ 8. Giải bất phương trình x + 2 − x + 1 ≤ x Ví d ụ 9.Giải phương trình Ví d ụ 10.Giải bất phương trình 2x 2 + 8x + 6 + x 2 − 4x + 3 − x 2 −1 = 2x + 2 2x 2 − 3x + 1 ≥ x −1 2)P h ươ ng pháp ñ ặ t ẩ n p h ụ: - Những bài toán có tham số khi ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh của ẩn mới. - Chú ý các hằng ñẳng thức Ví d ụ 11.Giải bất phương trình (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 , a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) , … 5x 2 + 10x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2x Ví d ụ 12.iải phương trình x + 8 + 2 x + 7 + x + 1 − x + 7 = 4 Ví d ụ 13.Giải phương trình x + 2 + x − 2 = 4x −15 + 4 2 x 2 − 4 Ví d ụ 14.Giải phương trình Ví d ụ 15.Giải bất phương trình 9x 2 + 4 = 3x x 2 5 x + 5 + 2x − 2 x < 2x + 1 + 4 2 x 2x Nguyễn ð ức Tuấn lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 5 [...]... lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 15 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 3: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan Bài 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Sơ ñồ khảo sát hàm số 1) Tìm tập xác ñịnh của hàm số (Xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn (nếu có)) 2) Khảo sát sự biến thi n hàm số a) Xét chiều biến thi n của hàm số • Tính ñạo hàm • Tìm các ñiểm tới hạn (ðiểm tới hạn thuộc TXð và tại ñó f ′(x) không xác ñịnh... trình: log 1 ( 5 − x ) < log 1 (3 − x) 3 3 log 2 (9 x + 9m 3 ) = x Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 14 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán III Các phương trình, bất phương trình không cơ bản • Phải ñặt ñiều kiện • Những bài toán có tham số, ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh của ẩn mới • Những bài toán phương trình, bất phương trình mũ, logarit mà ẩn x vừa ở số mũ của lũy thừa, vừa ở hệ số,... bảng biến thi n (ghi tất cả các kết quả tìm ñược vào bảng biến thi n) 3)Vẽ ñồ thị • Chính xác hóa ñồ thị (tìm giao ñiểm của ñồ thị với các trục tọa ñộ và nên lấy thêm một số ñiểm của ñồ thị, nên vẽ tiếp tuyến ở một số ñiểm ñặc biệt) • Vẽ ñồ thị (ñọc lại các ví dụ mẫu SGK từ trang 80 ñến trang 97) Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 16 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN... vậy phải chú ý ñến chiều của bất phương trình trong quá trình biến ñổi Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 12 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán b)Các công thức chú ý: b > 0 log a b có nghĩa ⇔ 0 < a ≠ 1 • log c b log c a • log a b = • log a n b m = • log a b 2 = 2k.log a | b | m loga b n ( Công thức ñổi cơ số với b > 0 , 0 < a ≠ 1 , 0 < c ≠ 1 ) ( Với b > 0 và 0 < a ≠ 1 ) với k ∈ Z II Các... Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 9 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán III Phương trình ñẳng cấp, phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx 1) Phương trình ñẳng cấp bậc cao ñối với sinx và cosx: Khái niệm: Một phương trình sau khi biến ñổi về cosx, sinx mà ở tất cả các số hạng có tổng số mũ của cosx và của sinx hoặc ñều là số tự nhiên chẵn hoặc ñều là số tự nhiên lẻ thì phương trình ñó... 2 π 3π Ví dụ 21 Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm x∈ : 3 3 , cos x + sin x = 4 4 m 1 − t2 2 t 2 −1 2 Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 10 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán IV Phương trình ñưa về dạng tích Các phương trình lượng giác không có dạng như những phương trình ñã trình bày ở các mục trước, người ta thường nghĩ tới phân tích chúng thành những phương trình cơ bản Việc... dụ 7.Giải phương trình sin x.cos 4x − sin 2x = 4 sin − 4 2 Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 11 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT I Các kết quả cơ bản x 1) Hàm số mũ: y = a , 0 < a ≠ 1 • Tập xác ñịnh: IR + • Tập giá trị: IR (ñồ thị luôn nằm phía trên trục hoành) • Khi a > 1 hàm số ñồng biến Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến • Dạng... trình các tiếp tuyến ñó Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 18 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Ví dụ 5 Cho hàm số y = − 1 3 4 2 x − 3x + có ñồ thị là (C) 2 2 a) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại các ñiểm uốn b) Tìm tiếp tuyến của (C) ñi qua ñiểm A(0; 3 2 ) Ví dụ 6 Cho hàm số y= 3x + 2 có ñồ thị là (C) x+2 Chứng minh rằng, không có tiếp tuyến nào của ñồ thị (C) ñi qua giao ñiểm... phương trình tương ñương với: 0.. .Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG I Hệ phương trình ñối xứng loại 1 1)Khái niệm: Là hệ mà mỗi phương trình không ñổi khi ta thay x bởi y và thay y bởi x 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) là một nghiệm của hệ thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ 3)Cách . Tự ôn luyện thi đại học môn Toán T Ự Ô N L UY Ệ N TH I M Ô N T O Á N 1 2 Tự ôn luyện thi đại học môn Toán Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán Ch ư ơ ng . ñó: x 1 < α < x 2 . Tự ôn luyện thi đại học môn Toán 1 1. ð iề u k iệ n ñể f(x ) = ax 2 + bx + c k hông ñổi d ấ u v ớ i m ọi x a . x ≤ x 2 ≤ 3 Nguyễn ð ức Tuấn lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 3 Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán B ài 2 : PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG