Đang tải... (xem toàn văn)
PHƯƠNG PHÁP THAY GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆTVí dụ 1: Tìm hàm f biết : f(x + y) + f(x – y) = 2f(x).cosy , x, y RGiải : Chọn x = 0, y = t ta được : f(t) + f(t) = 2f(0).cost(1)Chọn : x = , y = , ta có : f( + t) + f(t) = 2 = Chọn : x = , ta có :f( + t) + f(t) = 0 (3)Lấy (1) – (2) + (3) , ta được : 2f(t) = 2f(0).cost + 2 f(t) = f(0).cost +
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 68 §1. NGUYÊN HÀM Số tiết : 2LT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Khái niệm : • Cho hàm số f xác ñịnh trên K, ở ñó K là một khoảng, một ñoạn hay một nửa khoảng. Hàm số F ñược gọi là nguyên hàm của f trên K nếu : F / (x) = f(x) với mọi x thuộc K. • Nếu hàm số f có một nguyên hàm F thì với mọi C∈R hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f. • Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K ñược kí hiệu là : ( ) f x dx ∫ . Vậy : ( ) f x dx ∫ = F(x) + C và ( ) / ( ) ( ) f x dx f x = ∫ (Với F là một nguyên hàm của f và ( ) f x dx ∫ còn ñược dùng ñể chỉ một nguyên hàm bất kì của f. 2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : 1) 0dx C = ∫ ; dx ∫ = x + C 2) x x dx 1 α + 1 α = α+ ∫ + C ( α ≠ − 1) 3) dx ln x x = ∫ + C (x ≠ 0) 4) Với k là hằng số khác 0, ta có : a) kx kx e e dx C k = + ∫ b) x x a a dx lna = ∫ + C (0 < a ≠ 1) c) coskxdx ∫ = sin kx k + C d) sin kxdx ∫ = − cos kx k + C 5) a) 2 dx cos x ∫ = tgx + C b) 2 dx sin x ∫ = − cotgx + C 3. Tính chất : a) ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx b) ∫a.f(x)dx = a∫f(x)dx + C (a ≠ 0). B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 1) ∫4x 4 dx = 4/5.x 5 + C 2) ∫(x 3 + 2x 2 – 4)dx = x 4 /4 + 2/3.x 3 – 4x + C 3) ∫(x – 1)(x 4 + 3x)dx = ∫(x 5 – x 4 + 3x 2 – 3x)dx = x 6 /6 – x 5 /5 + x 3 – 3/2.x 2 + C 4) ∫sin2xdx = −cos2x/2 + C 5) ∫1/x 3 dx = ∫x −3 dx = 3 1 2 3 1 2 x x C C − + − + = + − + − 6) sin 2 cos 2sin 1 2 2 2 x x x dx C = = + ∫ 7) 3 2 2 1 4 2 2 3 x x dx dx dx x x C x x + = + = + + ∫ ∫ ∫ Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 69 8) 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 2 4 x x x xdx dx C + = = + + ∫ ∫ C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : a) x 3 + x 2 /4 + C b) x 4 /2 – 5/2.x 2 + 7x + C c) −1/x – x 3 /3 – x/3 + C d) 1 1 3 3 2 3 1 2 1 3 x x C − + = + − + e) 2 2 2 10 10 2 ln10 ln10 x x C = + 2. Tìm : a) 4 3 3 2 2 3 3 4 x x C + + b) 2 2 x C x − + c) 2x – sin2x + C d) sin 4 2 8 x x C + + 3. Chọn (C) 4. Khẳng ñịnh sau ñúng hay sai ? Nếu f(x) = (1 − x ) / thì ∫f(x)dx = − x + C Giải: ðúng. Vì ( ) / ( ) (1 ) 1 f x dx x dx x C x C = − = − + = − + ∫ ∫ §2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Số tiết : 2LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Phương pháp ñổi biến số : [ ( )] '( ) [ ( )] f u x u x dx F u x C = + ∫ Trong ñó F là một nguyên hàm bất kì của f. 2. Công thức nguyên hàm từng phần : ( ) '( ) ( ). ( ) ( ) '( ) u x v x dx u x v x v x u x dx = − ∫ ∫ B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tìm : 1) 4 (2 1) x dx + ∫ 2) 3 2 2 4 x dx x + ∫ 3) os(7 5) c x dx + ∫ 4) s inx .cos e xdx ∫ Giải: 1) ðặt u = 2x + 1 ⇒ du = u’.dx = 2dx ⇒ dx = du/2, ta ñược : 5 5 4 4 1 (2 1) (2 1) . 2 2 5 10 du u x x dx u C + + = = = + ∫ ∫ 2) ðặt u = x 2 + 4 ⇒ du = 2x.dx (không nên suy ngược lại), ta ñược : 1 1 1 2 2 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3 ( 4) 1 2 2 4 1 3 x du u dx u du u x C u x − + − = = = = = + + + − + ∫ ∫ ∫ 3) ðặt u = 7x + 5 ⇒ du = 7dx ⇒ dx = du/7, ta ñược : Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 70 1 1 os(7 5) cos . sin sin(7 5) 7 7 7 du c x dx u u x C + = = = + + ∫ ∫ 4) ðặt u = sinx ⇒ du = cosxdx, ta ñược : s inx s inx .cos u u e xdx e du e e C = = = + ∫ ∫ *. Trình bày cho học sinh cách lấy nguyên hàm trực tiếp. Ví dụ 2: Tìm : 1) cos x xdx ∫ 2) ln xdx ∫ 3) 2 3 x x e dx ∫ Giải: 1) ðặt ' cos sinx u x du dx v x v = = ⇒ = = hoặc cos sinx u x du dx dv xdx v = = ⇒ = = ⇒ cos sin sin x sin cos x xdx x x dx x x x C = − = + + ∫ ∫ 2) ðặt 1 ln x u x du dx x dv dx v = = ⇒ = = ⇒ ln ln ln xdx x x dx x x x C = − = − + ∫ ∫ 3) ðặt 2 2 2 x x du dx u x e dv e dx v = = ⇒ = = ⇒ 2 2 2 2 2 1 1 . 3 3 2 2 6 2 x x x x x x e e e e dx x dx xe C = − = − + ∫ ∫ C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 5. Dùng phương pháp ñổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau : ðáp số a) 1 3 2 6(1 ) x C − − + b) 2 5 4 5 x C + + c) 5 2 4 2 (1 ) 5 x C − − + d) 2 1 C x − + + 6. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau : ðáp số a) 2 cos 4sin 2 2 x x x C − + + b) 2 sinx 2 cos 2sin x x x x C + − + c) x x xe e C − + d) 4 4 ln(2 ) 4 16 x x x C − + LUYỆN TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 7. a) ðặt u = 7 – 3x 2 . KQ : 3 2 2 1 (7 3 ) 3 x C − − + b) ðặt u = 3x + 4. KQ : 1/3.sin(3x + 4) + C c) ðặt u = 3x + 2. KQ : 1/3.tan(3x + 2) + C d) ðặt u = sin(x/3). KQ : 6 1 sin 2 3 x C + 8. a) ðặt u = 3 1 18 x − . KQ : 6 3 1 18 x C − + Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 71 b) ðặt u = sin 1 x . KQ : 2 1 1 sin 2 C x − + c) ðặt 3 2 3 x x u x du x dx dv e dx v e = = ⇒ = = . KQ : 3 2 ( 3 6 6) x e x x x C − + − + (từng phần 3 lần) d) ðặt u = 3 9 x − . KQ : ( ) 3 9 3 9 2 3 9. 3 x x x e e C − − − − + 9. a) ðặt 2 2 sin 2 os2 2 du xdx u x x dv c xdx v = = ⇒ = = . KQ : 2 1 1 1 sin 2 cos2 sin 2 2 2 4 x x x x x C + − + b) ðặt 3 2 1 ln 2 3 du dx u x x dv xdx v x = = ⇒ = = KQ : 3 3 2 2 2 4 ln 3 9 x x x C − + c) ðặt u = sinx. KQ : 5 sin 5 x C + d) ðặt u = x 2 . KQ : 2 sin 2 x C + §3. TÍCH PHÂN Số tiết : 2LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Khái niệm : Tích phân của hàm số f từ a ñến b (a, b ∈ K) là : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx F x F b F a f x dx = = − = ∫ ∫ Trong ñó F là một nguyên hàm bất kì của f trên K. Chú ý : ðối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x. ðịnh lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên ñoạn [a ; b]. Khi ñó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai ñt x = a, x = b là : S = ( ) b a f x dx ∫ 2. Tính chất của tích phân : 1) a a f(x)dx ∫ = 0 2) b a a b f(x)dx f(x)dx = − ∫ ∫ 3) b b a a k.f(x)dx k f(x)dx = ∫ ∫ 4) b c b a a c f(x)dx f (x)dx f(x)dx = + ∫ ∫ ∫ với c∈(a; b) 5) b b b a a a [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx ± = ± ∫ ∫ ∫ B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tính các tích phân sau : 1) 5 5 3 3 1 5 ln ln 3 dx x x = = ∫ 2) 4 2 4 2 2 1 ln 6 ln 2 2 x x dx x x + = + = + ∫ Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 72 3) Tìm b nếu biết rằng : 2 2 0 0 0 (2 4) 0 ( 4 ) 0 4 0 4 b b b x dx x x b b b = − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ∫ Ví dụ 2: Cho 3 1 ( ) 2 f x dx = − ∫ và 3 1 ( ) 3 g x dx = ∫ . Tính : 3 1 [3 ( ) ( )] f x g x dx − ∫ và 3 1 [5 4 ( )] f x dx − ∫ Giải: 3 3 3 1 1 1 [3 ( ) ( )] 3 ( ) ( ) 3( 2) 3 9 f x g x dx f x dx g x dx − = − = − − = − ∫ ∫ ∫ 3 3 3 1 1 1 [5 4 ( )] 5 4 ( ) 10 4( 2) 18 f x dx dx f x dx − = − = − − = ∫ ∫ ∫ C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 10. Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau : a) 4 2 3 2 x dx − + ∫ b) 2 1 x dx − ∫ c) 3 2 3 9 x dx − − ∫ Giải: a) Tích phân ñó bằng diện tích hình thang ABCD. Diện tích ñó là : S = 6 ( ) (2 5) 21 2 2 h AB CD + = + = b) Tích phân ñó bằng tổng diện tích hai tam giác vuông OAB và OCD. S = S OAB + S OCD = 1 1 1 5 1.1 2.2 2 2 2 2 2 + = + = c) Tích phân ñó bằng nửa diện tích ñường tròn : x 2 + y 2 = 9, có bán kính bằng 3. Diện tích nửa hình tròn là : S = 1 2 πR 2 = 4,5π 11. Cho biết 2 5 5 1 1 1 ( ) 4 ; ( ) 6 ; ( ) 8 f x dx f x dx g x dx = − = = ∫ ∫ ∫ . Hãy tính : a) 5 2 ( ) f x dx ∫ b) 2 1 3 ( ) f x dx ∫ c) 5 1 [ ( ) ( )] f x g x dx − ∫ d) 5 1 [4 ( ) ( )] f x g x dx − ∫ Giải: a) 5 1 5 2 5 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) 6 10 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx = + = − + = − − + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) 2 1 3 ( ) 3.( 4) 12 f x dx = − = − ∫ Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 73 c) 5 1 [ ( ) ( )] 6 8 2 f x g x dx − = − = − ∫ d) 5 1 [4 ( ) ( )] 4.6 8 16 f x g x dx − = − = ∫ 12. Cho biết 3 4 0 0 (z)dz = 3 ; (x)dx = 7 f ∫ ∫ f . Hãy tính : 4 3 ( ) f t dt ∫ . Giải: 4 0 4 0 4 3 3 0 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 7 4 f t dt f t dt f t dt f z dz f x dx = + = + = − + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 13. a) Chứng minh rằng nếu f(x) ≥ 0 trên [a ; b] thì ( ) b a f x dx ∫ ≥ 0. b) Chứng minh rằng nếu f(x) ≥ g(x) trên [a ; b] thì ( ) b a f x dx ∫ ≥ ( ) b a g x dx ∫ . Giải: a) Theo ñịnh lí 1. ( ) b a f x dx ∫ là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi ñths y = f(x), trục hoành và hai ñt x = a, x = b. b) ðặt h(x) = f(x) – g(x) ≥ 0 trên [a ; b], theo a) ta ñược : ( ) b a h x dx ∫ ≥ 0 ⇔ [ ( ) ( )] b a f x g x dx − ∫ ≥ 0 14. a) Một vật chuyển ñộng với vận tốc v(t) = 1 – 2sin2t (m/s). Tính quãng ñường mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời ñiểm t = 0 (s) ñến thời ñiểm t = 3 π /4 (s). b) Một vật chuyển ñộng chậm dần với vận tốc v(t) = 160 – 10t (m/s). Tính quãng ñường mà vật di chuyển ñược từ thời ñiểm t = 0 ñến thời ñiểm mà vật dừng lại. Giải: a) Quảng ñường là S = 3 3 4 4 0 0 3 (1 2sin 2 ) ( os2 ) 1 4 t dt t c t π π π − = + = − ∫ b) Khi vật dừng lại thì v(t) = 0 ⇒ t = 16. Khi ñó S = 16 0 (160 10 ) 1280 t dt− = ∫ (m) 15. Một vật ñang chuyển ñộng với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t 2 (m/s 2 ). Tính quãng ñường vật ñi ñược trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt ñầu tăng tốc. Giải: Gọi v(t) là vận tốc của vật thì v’(t) = a(t) = 3t + t 2 ⇒ v(t) = 3 2 3 2 3 t t C + + . Vì v(0) = 10 nên suy ra C = 10. Vậy v(t) = 3 2 3 10 2 3 t t + + . Quãng ñường vật ñi ñược là : S = 2 3 10 0 3 4300 10 2 3 3 t t dt + + = ∫ (m) 16. Một viên ñạn ñược bắn lên theo phương thẳng ñứng với vận tốc ban ñầu 25m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8m/s 2 . a) Sau bao lâu viên ñạn ñạt tới ñộ cao lớn nhất. b) Tính quãng ñường viên ñạn ñi ñược từ lúc bắn lên cho ñến khi chạm ñất (tính chính xác ñến hàng phần trăm). Giải: a) Gọi v(t) là vận tốc của vật, khi ñó v’(t) = a(t) = −9,8 ⇒ v(t) = −9,8t + C. Vì v(0) = 25 nên suy ra C = 25. Vậy v(t) = −9,8t + 25. Gọi T là thời ñiểm viên ñạn ñạt ñộ cao lớn nhất, tại ñó viên ñạn có vận tốc bằng 0 ⇒ v(T) = 0 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 74 ⇒ T = 25 2,55 9,8 ≈ (s). Quãng ñường viên ñạn ñi ñược cho tới thời ñiểm T = 2,55 (s) là : S = T 0 ( 9,8 25) 31,89 t dt− + ≈ ∫ (m) Vạy quãng ñường viên ñạn ñi ñược cho ñến khi rơi xuống ñất là 2S ≈ 63,78 (m). §4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Số tiết : 2LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Phương pháp ñổi biến số : Công thức ñổi biến số : ( ) ( ) [ ( )]. '( ) ( ) b u b a u a f u x u x dx f u du = ∫ ∫ (1) Dạng 1: Ta cần tính ( ) b a g x dx ∫ . Nếu ta viết ñược g(x) dưới dạng f[u(x)].u’(x) thì ta ñược (1) (ñặt u = u(x) ⇒ du = u’(x)dx) ðổi cận : x = a ⇒ u(a) ; x = b ⇒ u(b). Chuyển về tính tích phân mới ñơn giản hơn. Dạng 2: Ta cần tính ( ) f x dx β α ∫ . ðặt : x = x(t) (t ∈ K) ⇒ dx = x’(t)dt ðổi cận : α = x(a) ; β = x(b), ta ñược : ( ) [ ( )]. '( ) b a f x dx f x t x t dt β α = ∫ ∫ , bài toán quy về dạng 1. 2. Phương pháp tích phân từng phần : Ta cần tính tích phân dạng : ( ). '( ) b a u x v x dx ∫ ðặt : ( ) '( ) '( ) ( ) u u x du u x dx dv v x dx v v x = = ⇒ = = hoặc ( ) '( ) ' '( ) ( ) u u x du u x dx v v x v v x = = ⇒ = = Khi ñó : ( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( ) b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx = − ∫ ∫ B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tính các tích phân sau : 1) I = 2 2 1 x xe dx ∫ 2) J = 1 2 0 1 x dx − ∫ Giải: 1) ðặt u = x 2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = du/2. ðổi cận : x = 1 ⇒ u = 1 ; x = 2 ⇒ u = 4. ⇒ I = 4 4 4 4 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 u u u du e e e du e e = = = − ∫ ∫ 2) ðặt x = sint ⇒ dx = costdt. ðổi cận : x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t = π/2 ⇒ J = 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 os2 sin 2 1 sin .cos os 2 2 4 4 c t t t t tdt c tdt dt π π π π + π − = = = + = ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính các tích phân sau : 1) K = 1 0 x xe dx ∫ 2) L = 2 1 ln x xdx ∫ Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 75 Giải: a) ðặt x x u x du dx dv e dx v e = = ⇒ = = ⇒ K = 1 1 0 0 . ( 1) 1 x x x e e dx e e − = − − = ∫ b) ðặt 2 1 ln 2 du dx u x x dv xdx x v = = ⇒ = = ⇒ L = 2 2 2 2 2 1 1 1 3 ln 2 ln 2 2 ln2 2 2 4 4 x x x x dx − = − = − ∫ C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 17. a) ðặt u = x + 1 (hoặc u = 1 x + ). KQ: 2 (2 2 1) 3 − b) ðặt u = tanx. KQ: ½ c) ðặt u = 1 + t 4 . KQ: 15/16 d) ðặt u = x 2 = 4. KQ: 1/8 e) ðặt u = x 2 + 1 (hoặc 2 1 x + ).KQ : 4 f) ðặt u = 1 – cos3x. KQ: 1/6 18. a) KQ: 32 7 ln 2 3 4 − b) KQ: e c) KQ: 1 2 e π + − d) KQ: 1 2 π − LUYỆN TẬP 19. a) KQ: 2 3 b) KQ: π/8 (từng phần) 20. a) KQ: 5 4 9 1 − b) KQ: 4/3 21. Chọn (B). ðặt u = 2x 22. Chứng minh rằng : a) 1 1 0 0 ( ) (1 ) f x dx f x dx = − ∫ ∫ b) 1 1 1 0 ( ) [ ( ) ( )] f x dx f x f x dx − = + − ∫ ∫ Giải: a) ðặt u = 1 – x ⇒ du = −dx. x = 0 ⇒ u = 1 ; x = 1 ⇒ u = 0, ta ñược : 1 0 1 1 0 1 0 0 (1 ) ( )( ) ( ) ( ) f x dx f u du f u du f x dx − = − = = ∫ ∫ ∫ ∫ (ñpcm) b) Ta có : 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) f x dx f x dx f x dx − − = + ∫ ∫ ∫ . Cần tính 0 1 ( ) f x dx − ∫ = ? ðặt u = −x ⇒ du = −dx. Với x = −1 ⇒ u = 1 ; x = 0 ⇒ u = 0, ta ñược : 0 0 1 1 1 1 0 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) f x dx f u du f u du f x dx − = − − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 76 ⇒ 1 1 1 0 ( ) [ ( ) ( )] f x dx f x f x dx − = + − ∫ ∫ (ñpcm) 23. Cho 1 0 ( ) 3 f x dx = ∫ . Tính 0 1 ( ) f x dx − ∫ trong các trường hợp sau : a) f là hàm số lẻ b) f là hàm số chẵn Giải: a) Vì f(x) là hàm lẻ nên f(−x) = −f(x). Theo 22) ta có : 0 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 3 f x dx f x dx f x dx − = − = − = − ∫ ∫ ∫ b) Vì f(x) là hàm chẵn nên f(−x) = f(x). Theo 22) ta có : 0 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 3 f x dx f x dx f x dx − = − = = ∫ ∫ ∫ 24. Tính các tích phân sau : a) ðặt u = x 3 . KQ: 8 3 e e − b) ðặt u = lnx. KQ: 3 (ln 3) 3 c) ðặt u = x 2 + 1. KQ : 7/3 d) ðặt u = 3x 3 . KQ: 3 1 9 e − e) ðặt u = 1 + sinx. KQ: ln2 25. Tính các tích phân sau : a) KQ: 1 8 4 π − b) ðặt u = ln(2 – x).KQ: 2 (ln 2) 2 c) KQ: 2 2 4 π − (từng phần 2 lần) d) ðặt u = x 3 + 1. KQ: 2 (2 2 1) 9 − e) KQ: 3 2 1 9 e + §5, 6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ðỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ Số tiết : 4LT + 3BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Diện tích hình phẳng : ( ) b a S f x dx = ∫ ( ) ( ) b a S f x g x dx = − ∫ 2. Thể tích vật thể : ( ) b a V S x dx = ∫ Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 77 2 ( ) b a V f x dx = π ∫ (quay quanh trục Ox) 2 ( ) d c V g y dy = π ∫ (quay quanh trục Oy) *.Chú ý: Ta cần tính thể tích của vật thể sinh bởi hình (H) quanh trục Oy (V t ). Gọi V 1 là thể tích vật thể tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung parabol PA quay Oy và V 2 là thể tích vật thể tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung parabol PO quay Oy. Khi ñó V t = V 1 – V 2 . Ta cần tìm phương trình của PA và PO. B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = x 3 – 1, ñường thẳng x = 2, trục tung và trục hoành. Giải: Ta có : x 0 1 2 x 3 – 1 − 0 + Khi ñó : S = 1 2 1 2 3 3 3 3 0 1 0 1 7 1 1 (1 ) ( 1) 2 x dx x dx x dx x dx − + − = − + − = ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 – x 2 và ñường thẳng y = −x. Giải: Hoành ñộ giao ñiểm là nghiệm của phương trình : 2 – x 2 = −x ⇔ x = −1 hoặc x = 2. Khi ñó : S = 2 2 1 9 (2 ) 2 x x dx − + − = ∫ Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng H giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = x , trục hoành và ñường thẳng y = x – 2. Giải: Coi H là hình phẳng giới hạn bởi ñường cong x = y 2 , ñường thẳng x = y + 2, trục hoành y = 0 và ñường thẳng x = 2. Do ñó : S = 2 2 0 10 ( 2 ) 3 y y dy+ − = ∫ Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) giớis hạn bởi trục hoành và parabol y = x(4 – x) quanh : a) Trục hoành b) Trục tung Giải: a) Parabol cắt trục hoành tại 2 ñiểm x = 0 và x = 4. V = 4 2 2 0 512 (4 ) 15 x x dx π π − = ∫ b) Gọi V t là thể tích cần tìm. V 1 là thể tích vật thể khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung PA, trục tung và hai ñt y = 0, y = 4 quanh (H) [...].. .Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr Oy V2 là th tích v t th khi quay hình ph ng gi i h n b i cung PO, tr c tung và hai ñt y = 0, y = 4 quanh Oy ⇒ Vt = V1 – V2 Ta có : y = x(4 – x) ⇔ x = 2 ± 4 − y và khi x∈[0 ; 4] thì y∈[0 ; 4] Do ñó PA có phương trình : y = 2 + 4 − y và PO có phương trình :y = 2 − 4 − y ( 4 4 4 V y : Vt... Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ð ng Tháp 78 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr 29 Tính th tích v t th n m gi a hai mp x = −1 và x = 1, bi t r ng thi t di n c a v t th b c t b i mp vuông góc v i tr c Ox t i ñi m có hoành ñ x (−1 ≤ x ≤ 1) là m t hình vuông c nh là 2 1 − x 2 Gi i: G i S(x) là di n tích c a hình ph ng ⇒ S(x) = 4(1 – x2) Khi ñó th tích v t th là : 1 1 16 V = ∫ S ( x )dx... ng Tháp 80 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr x 2 39 Cho hình ph ng A gi i h n b i các ñư ng y = x.e , y = 0, x = 0 và x = 1 Tính th tích c a kh i tròn xoay t o thành khi quay hình A quanh tr c hoành Gi i: 2 x 2 1 V = π ∫ xe dx = π∫ x 2 e x dx = π(e − 2) 0 0 1 40 Cho hình ph ng B gi i h n b i các ñư ng x = 2sin 2y , y = 0, x = 0 và y = π/2 Tính th tích c a kh... Thanh Bình – ð ng Tháp π cos x 0 ≤ x ≤ và hai tr c t a ñ Tính 2 83 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr th tích c a kh i tròn xoay t o thành khi quay A quanh tr c hoành Gi i: π V = π ∫ 2 cos xdx = π 0 56 Cho hình ph ng A gi i h n b i ñư ng cong có phương trình x(y + 1) = 2 và các ñư ng th ng x = 0, y = 0, y = 3 Tính th tích c a kh i tròn xoay t o thành khi quay A quanh... ( 2 ) 2 − 2 − 4 − y dy 128 π 3 C BÀI T P SÁCH GIÁO KHOA : 26 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ñ th hàm s y = sinx + 1, tr c hoành và hai ñt x = 0 và x = 7π/6 Gi i: 7π 6 0 7π 3 + +1 6 2 27 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i : a) ð th hàm s y = cos2x, tr c hoành, tr c tung và ñt x = π S= ∫ (s inx + 1)dx = b) ð th hàm s y = x và y = 3 x c)ð th hàm s y = 2x2 và y = x4 – 2x2 trong mi n x... b) ð t u = lnx KQ: 44 Tìm hàm s y = f(x) n u bi t dy = 12( 3x2 – 1)3dx và f(1) = 3 Gi i: Ta có : dy = 12( 3x2 – 1)3dx = y’dx ⇒ y’ = 12( 3x2 – 1)3 mà (ln x )2 +C 2 ∫ f '( x )dx = f ( x ) nên ta c n tính : (3 x 2 − 1)4 12 ∫ (3 x − 1) dx = + C = f(x) (ñ t u = 3x2 – 1) và f(1) = 3 ⇔ C = −5 2 2 4 (3 x − 1) V y f(x) = − 5 2 2 3 45 Xác ñ nh s b dương ñ tích phân ∫ b 0 ( x − x 2 )dx có giá tr l n nh t Gi i: b ... t i th i ñi m nó ñu i k p A là 24m/s 50 Tính các tích phân sau : Vì f là hàm liên t c nên t n t i c∈[a ; b] ñ f(c) = Trư ng THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ð ng Tháp 82 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao a) π 2 0 ∫ x 2 sin 2 xdx b) Giáo viên: Phan Công Tr ∫ 2 1 x (2 x 2 + 1)dx c) Gi i: π2 1 a) − (t ng ph n) b) ð t u = 2x2 + 1 KQ: 9 8 2 51 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i : a) ñ th hàm s y =... : x2 a) ð th các hàm s y = x ; y = 1 và y = trong mi n x ≥ 4 0, y ≤ 1 b) ð th hai hàm s y = x4 – 4x2 + 4, y = x2 , tr c tung và ñt x = 1 c) ð th các hàm s y = x2 ,y = 4x – 4 và y = −4x – 4 Gi i: 2 2 x 1 3 2 5 a) S = SABCD - S∆ cong = (1 + 2 ) − ∫ dx = − = 0 4 2 2 3 6 (Hình bên) Trư ng THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ð ng Tháp 79 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao b) S = 1 ∫ (x 4 0 − 5 x 2 + 4)dx... các ñư ng y = 1, y = 4 và x = x − 1 Tính th tích c a kh i 2 Tính th tích c a kh i tròn y xoay t o thành khi quay hình B quanh tr c tung Gi i: 4 4 V = π ∫ 2 dy = 3π 1 y 33 Cho hình ph ng B gi i h n b i các ñư ng y = −1, y = 1, x = 0 và x = kh i tròn xoay t o thành khi quay hình B quanh tr c tung Gi i: 5y 2 Tính th tích c a 1 V = π ∫ 5y 4 dy = 2 π −1 LUY N T P 34 Tính di n tích hình ph ng gi i h n... m A và B g p nhau là 20 giây k t lúc A xu t phát ð th v n t c c a A là ñư ng g p khúc OMN Quãng ñư ng A ñã ñi ñư c là di n tích hình thang OMNQ Di n tích c a nó là : 6 (20 + 12) = 96 , do ñó lúc g p B thì A ñã ñi 2 ñư c 96m ð th v n t c c a B là ñt HP Vì B xu t phát cùng v trí v i A nên quãng ñư ng B ñã ñi ñư c là 96m M t khác, quãng ñư ng B ñã ñi ñư c b ng di n tích hình tam giác HPQ v i HQ = 8 và . dụ 1: Tính các tích phân sau : 1) 5 5 3 3 1 5 ln ln 3 dx x x = = ∫ 2) 4 2 4 2 2 1 ln 6 ln 2 2 x x dx x x + = + = + ∫ Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên:. Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau : a) 4 2 3 2 x dx − + ∫ b) 2 1 x dx − ∫ c) 3 2 3 9 x dx − − ∫ Giải: a) Tích phân ñó bằng diện tích hình thang ABCD. Diện tích. π − = = = + = ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính các tích phân sau : 1) K = 1 0 x xe dx ∫ 2) L = 2 1 ln x xdx ∫ Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh